关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

重点高中数学复数教学案例

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 13:48
tags:高中数学教案

高中数学基础哪个网课老师好-全部高中数学公式表


重点高中数学复数教学案例










































———————————————————————————————— 作者:
———————————————————————————————— 日期:




2




复数代数形式的乘除运算》

案例分析
尉氏县第三高级中学


一、案例背景
1、教材分析
本节课是《复数代数形式的四则运算》的第二课时,是四则运算的重 点,也
是本章的重点.复数的乘法法则是规定的,其合理性表现在:这种规定与实数乘
法的法则 是一致的,而且实数乘法的有关运算律在这里仍然成立.由除法是乘法
的逆运算的这种规定,可以得到复 数除法的运算法则.
教材在内容编排上使用问题探究式的方法,引导学生能够自己探究新知,发现新知,理解新知.学生不仅学到了知识,而且培养了学习兴趣,提高了学习积
极性.
2、学情分析
高二的学生
3、教学目标设计:
知识与技能:理解并掌握 复数的代数形式的乘法与除法运算法则,深刻
理解它是乘法运算的逆运算
过程与方法:理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
情感、态度与价值观:复数 的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯
燥无味,学生不易接受,教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的,让学生体会到这是生产实践的需要
从而让学生积极主动地建构知识体系。教材 内容及重点、
难点分析
教学重点:复数代数形式的除法运算。



教学难点:对复数除法法则的运用。
教学设想:如果两个复数的实 部和虚部分别相等,那么我们就说这两个
复数相等即:如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+d i
?
a=c,
b=d,只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
4、教 学思路①本节课的教学以建构主义学习理论为指导,以学生为中心,以问
题为出发点,使课堂教学过程成 为学生自主地进行信息加工、知
识意义构建、创新能力发展的。教师在教学过程中则适时介入,
引导、启发、组织、帮助、促进。②设计创造性思维问题。所谓
创造性思维问题即是指利于学生创造性思 维发展的问题。创造性
思维问题的设计应遵循这样几个原则:题型具有开放性、解题富
有挑战性 。
5、教学手段①互动法:老师提出问题,由学生回答,并从知识中获得启迪,从
而解决问题 。②任务驱动教学法:将所要学习的新知识隐含在一
个或向个问题之中,学生通过对所提的任务进行分析 、讨论,并
在老师的指导、帮助下找出解决问题的方法,最后通过任务的完
成而实现对所学知识 的意义建构。
二、案例描述
1、新课导入
提出问题:试计算5(2+i).
活动设计:先由学生独立思考,然后交流看法.
学情预测:学生可能类比单项式与多项式的乘法来计算.
活动成果:(板书)
5(2+i)=(2+i)+(2+i)+(2+i)+(2+i)+(2+i)=10+5i.
2、讲解新课
设计意图⑴
通过比较分别运用实数集中乘法的意义和复数的加法法则 计算所得的结果,
得到结论:m(a+bi)=ma+mbi,其中m,a,b∈R.引出新课.两个复 数相乘又
该如何计算?




探究新知


提出问题:如何计算(2+i)(3+2i)?
活动设计:先让学生独立思考,然后小组交流,教师巡视指导,并注意与学
生交流.
学情预测:学生可能类比两个多项式的乘法来计算.
活动成果:(板书)
(1)规定,复数的乘法法则:
设z
1
=a+bi,z
2
=c+di是任意两个复数,那么它们的积:
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+b di
2
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
(2)(2+i)(3+2i)=6+3i+4i+2i
2
=4+7i.
设计意图⑵
遇到问题就得解决问题,但是复数又是一个全新的知识,它是实数集的扩充,所以在不违背原有知识的基础上规定了复数的乘法法则,使学生体会知识的创新
与发展的过程.

理解新知


提出问题1:怎样理解复数的乘法法则?它可能满足哪些运算律?
活动设计:学生独立思考,然后同学间交流.
学情预测:学生可以独立理解复数的乘法法则,并写出它满足的运算律.
活动成果:
(1)可以看出,两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果
中把i
2
换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.
两个复数的积是一个确定的复数.
(2)实数集上的乘法满足的运算律,可以直接推广到复数集上的乘法运算中:
对于任意z< br>1
,z
2
,z
3
∈C,有z
1
·z
2
=z
2
·z
1

(z
1
·z
2
)·z
3
=z
1
·(z
2
·z
3
),
z
1
(z
2
+z
3
)=z
1z
2
+z
1
z
3
.
设计意图⑶
准确地把握法则及其满足的运算律,为正确熟练地运用打下良好的基础.



提出问题2:计算i
5
,i
6
,i
7
,i
8
的值,你能推测i
n
(n∈N
*
)的值 有什么规律吗?
活动设计:学生独立思考,然后同学间交流结果,教师巡视指导.
学情预测:学生能够计算出四个值,并说出周期性.
活动成果:i
5
=i, i
6
=-1,i
7
=-i,i
8
=1,推测i
4n

1
=i,i
4n

2
=-1,i
4n< br>+
3
=-i,i
4n

4
=1(n∈N
*< br>).
设计意图⑷
了解i的幂的周期性,培养学生的观察和归纳能力.

运用新知


例1计算:
(1)(1-i)
2
;(2)(1-2i)(3+4i)(1+2i).
思 路分析:第(1)题可以用复数的乘法法则计算,也可以用实数系中的乘法
公式计算;第(2)题可以按 从左到右的运算顺序计算,也可以结合运算律来计算.
解:(1)解法一:(1-i)
2=(1-i)(1-i)=1-i-i+i
2
=-2i;
解法二:(1-i)
2
=1-2i+i
2
=-2i.
(2 )解法一:(1-2i)(3+4i)(1+2i)=(3+4i-6i-8i
2
)(1+2i )
=(11-2i)(1+2i)=(11+4)+(22-2)i=15+20i;
解法 二:(1-2i)(3+4i)(1+2i)=[(1-2i)(1+2i)](3+4i)=5(3+4i)= 15+20i.
点评:此题主要是巩固复数乘法法则及运算律,以及乘法公式的推广应用.特
别要提醒其中(-2i)·4i=8,而不是-8.

探究新知


提出问题1:在例1中1-2i与1+2i的积恰好是一个实数,观察这两个复
数之间有何联系?
活动设计:学生独立思考,然后交流.
学情预测:在教师的引导下,学生能够得出两个复数的异同.


< br>活动成果:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复
数叫做互为共轭复数. 虚部为0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
注意:z的共轭复数常用z表示.即:若z=a+bi,则z=a-bi.
设计意图⑸ 例1(2)为引出共轭复数的概念提供了实例支持,从而得出共轭复数的定义,
使学生对知识的接受 变得自然.
提出问题2:类比实数的除法,联系复数减法法则的引入过程,探求复数除
法的法则.
活动设计:引导学生运用乘法法则以及复数相等的概念来得到除法法则.
活动成果:(1)规 定复数的除法是乘法的逆运算,即把满足(c+di)(x+yi)=a
+bi(c+di≠0)的复数 x+yi,叫做复数a+bi除以c+di的商.
(2)经计算可得(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.
根据复数相等的定义,有cx-dy=a,dx+cy=b.
ac+bdbc-ad
由此得x=
2
,y=
2
.
22
c
+d
c
+d
于是得到复数除法的法则是:(a+bi)÷(c +di)=
ac+bd
c
+d
22

bc-ad
c
+d
22
i.
由此可见,两个复数相除(除数不为0),所得的商是一个确定的复数.


理解新知


提出问题1:若z
1
,z
2
是共轭复数,那么
(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?
(2)z
1
·z
2
是一个怎样的数?
(3)若z
1
是实数,则它的共轭复数是怎样的数?
活动设计:学生独立探究,然后再小组交流.教师巡视指导.



学情预测:学生通过独立思考,然后与同学交流看法,最后能够得出正确的
结论.
活动成果:(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称;
(2)z
1
·z< br>2
=|z
1
|
2
=|z
2
|
2;(即z·z=|z|
2
=|z|
2
)
(3)z
1
的共轭复数仍是z
1
,即实数的共轭复数是它本身.
设计意图⑹
使学生加深对共轭复数概念的了解.
提出问题2:在实际进行复数运 算时,每次都按照乘法逆运算的办法来求商,
这是十分麻烦的.如何简化求商的过程?这种简化的求商过 程与实数系中作何种
运算的过程相类似?
活动设计:起初学生会无从下手,可以提示他们观察 商的实部和虚部的分母
与除数的关系,从而得解.
学情预测:学生在教师的指导下,基本上能发现规律.
活动结果:(1)在进行复数除法运算 时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成
a+bi
c+di

形式,再 把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di,化简整理后即可.
(2)这种求商过程与作根式除法时 的处理是很类似的.在作根式除法时,分
子、分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化” .这里分子和分
母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数化”.
设计意图⑺
简化求解过程,有利于熟练运用法则.

运用新知


例2计算(1+2i)÷(3-4i).
思路分析:先把(1+2i)÷(3-4 i)写成
1+2i
3-4i
的形式,然后分子、分母都乘以3



+4i,计算整理即可.
?1+2i??3+4i?
解:(1+2i)÷(3-4i)=


3-4i?3-4i??3+4i?

3-8+6i+4i
3
2
+4
2
-5+10i
12

25
=-
5
5
i.
1+2i
点评:例2是复数除法的计算题,目的是让学生熟练操作上述作 除法的简便
过程.
巩固练习
计算:(1)
7+i?-1+i??2+i?
;(2)(3+2i)(-3+2i);(3).
3+4i-i
?7+i??3-4 i?25-25i
解:(1)
==
25
=1-i;
3+4i?3+ 4i??3-4i?
(2)(3+2i)(-3+2i)=(2i)
2
-(3)
2
=2i
2
-3=-2-3=-5;
(3)
?-1+i??2+ i?
-i
-2-i+2i+i
2
-3+i
?-3+i?i
= ===-1-3i.
-i-i-i·i
7+i
变练演编
1.已知:___ _____÷________=1+2i,则横线上可以填的条件是什么?(可
以多写几种)
3+4i
2.计算:;并自己编制一道类似的题目.
4-3i
答案:1.1 1+2i,3-4i或5,1-2i等等.(先写出被除数或除数中的一个,然
后求另一个)
2.解法一:
3+4i
4-3i


?3+4i??4+3i??4-3i??4+3i?

25i

25
=i;
=i.
解法二:
3+4i
4-3i
?3+4i?i
?4- 3i?i
?3+4i?i
3+4i



5+3i-5i+6
编制的题目:,
(编制的原则设分子是z
1
=a+bi,则分 母为z
2
3-5i
-6i-5
=b-ai,即分母与i的乘积就是分子,可直 接约分,从而达到分母实数化).
设计意图⑻
第一个题目的设计不仅是为了训练学生灵活处 理问题,熟练运用知识的能
力,而且可以培养学生发散思维与集中思维的能力,还可以考查学生对知识、 问
题理解的深刻性和思维的深刻性、全面性.题型的新颖性、开放性更是不言而
喻.第二个题的 目的是使学生更深刻理解复数的除法就是分母的实数化.
3、拓展延伸
1.复数a+bi与c+di的积是实数的充要条件是( )
A.ad+bc=0 B.ac+bd=0
C.ac=bd D.ad=bc
2.已知(1+2i)z=4+3i,求z.
3.计算
-23+i
2
2 010
+().
1-i
1+23i
解析:1.若(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i是实数,则 只需虚部ad+bc
=0.故答案为A.
?4+3i??1-2i?10-5i
2. 由已知可得z=
==
5
=2-i,所以z=2+i.
1+2i?1+2i??1-2i?
2
2 010
i?1+23i?
2
21 005
2
1 005
3.
+(
)
=+[(
)]
=i+(
)
1+23i1-i1+23i1-i
-2i
=i+i
1 005
=i+i
4
×
251

1
=i+i=2i.
4、高考连线
复数在高考中占有很重要的地位。高考中多以选择题形式出现,属易得分题型,要求学生必须掌握。
5、课堂小结
对给定的三个复数z
1
=a< br>1
+b
1
i,z
2
=a
2
+b
2< br>i,z
3
=a
3
+b
3
i,你能研究些什么?
-23+i
4+3i



用什么样的方法来研究?(数系的 扩充,当复数的虚部为0时,复数也就是特殊
的实数;复数的分类;复数相等的概念;复数的几何意义; 复数的模;复数的运
算;复数的运算律;任一个复数的共轭复数及性质等本章所学的所有知识.用类比、转化、数形结合、化虚为实等思想方法来研究.)
6、布置作业
习题3.2 A组4、5题.
7、补充练习
基础练习
⑴复数(15+8i)(-1-2i)的值为________.
⑵已知复数z
1< br>=3+4i,z
2
=t+i,且z
1
·z
2
是实数, 则实数t等于( )
3443
A.
4
B.
3
C.-
3
D.-
4

m-2i
⑶复数z=在复平面上对应的点不可能位于( )
1+2i
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
z
1
⑷ 若z
1
=a+2i,z
2
=3-4i且
z
为纯虚数,则实数 a的值为__________.
2
111
⑸已知z
1
=5+10 i,z
2
=3-4i,
z

z

z
,求z .
12
85
答案:1.1-38i 2.A 3.A 4.
3
5.5-
2
i.
拓展练习
⑹已知2i-3是关于x的方程2x
2
+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.
思路分析:2i-3是方程的根,代入方程后根据复数相等的定义,化虚为实,
即可求得.
解:由已知得:2(2i-3)
2
+p(2i-3)+q=0,
?
?
10-3p+q=0,
从而(10-3p+q)+(2p-24)i=0.于是,有
?
解得p=12,q
?
?
2p-24=0,
=26.



点评:解决复数问题的关键就是转化为实数问题来处理,复数相等 就是实现
这一转化的很好的工具.
三、案例反思
本节课是本章的重点内容,同时复 数乘、除法的法则的理解更是难点.故在
本节课的设计上多次采取类比的方法,使知识在不失其本质的情 况下,更易于理
解.同时这种处理方法可以使新知识与所学知识建立联系性,有利于知识的网络
化和系统化.
在整个设计上突出了问题驱动式的教学方法,以问题为主线,以学生为主体,
随 着问题的提出与解决,教学内容也被随之很好地学习与理解.
在例题和习题的设计环节上,力求突出本 节课的重点:熟练掌握复数的乘除
法运算以及数学思维方式与技能形成的培养.例题的选题目的有三:一 是巩固所
学法则及运算律;二是通过一题多解培养学生的发散思维能力;三是培养计算能
力,以 形成技能.变练演编的第1题考查学生灵活运用知识、发散思维及逆向思
维的能力;第2题则是使学生更 加深刻地体会复数除法的实质就是“分母实数
化”,培养学生问题理解的深刻性、全面性.为了进一步巩 固所学,又设计了巩
固练习、达标检测和补充练习等环节.在补充练习中为学有余力的同学安排了拓展练习,增加思维量的同时也开阔了视野.
我们知道,对于实系数一元二次方程ax
2< br>+bx+c=0,如果b
2
-4ac<0,那么
它在实数集R内没有实根.现在 把实数集R扩充为复数集C,再来考察这一问
bc
题.经过变形,原方程可以化为x
2

a
x=-
a

2
b-4ac
bbbc bb
2222
∴x
2
+2·x·+()=()-,(x+)=,(x+
2a2a2aa2a2a
)=-
?2a?
2
-?b
2
-4 ac?
[].
?2a?
2
-?b
2
-4ac?i
b
±-?b
2
-4ac?·
由于是正实数,我们可以得到x+=.
2a2a
?2a?
2
所以当b
2
-4ac<0时,实系数一元二次方 程ax
2
+bx+c=0在复数集C内有



-b± -?b
2
-4ac?·i
2
且只有两个根x=?b-4ac<0?.
2a
显然,它们是一对共轭复数.
复数的乘法法则是:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 复数的代数式相乘,
可按多项式类似的办法进行,不必去记公式.
a?biac?bdbc? ad
?
2
?
2
复数的除法法则是:i(c+di≠0).
2
c?dic?dc?d
2
两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式, 然后把分子与分
母都乘以分母的共轭复数,再把结果化简
本节课是新课标,我将本节课 设计为竞赛、导入、个人探究、互动交流、协
作探究和讨论及完成练习。我充分发挥学生的主观能动性, 使本课节的内容更加
充实,容量更多。既贯通了所要学的知识,又拓展了课外知识,使得本节课学生在学习过程中兴趣更加浓厚,积极主动探究问题。

















高中数学概念变式教学设计-高中数学经典二级结论doc


高中数学导数教案ppt-2020年高中数学教资资料


高中数学关于零点-高中数学必修5正弦定理难题


2016高中数学竞赛二试-高中数学渣能考研不


高中数学建模大赛优秀获奖论文-江西高中数学联赛一式题


高中数学选择填空错题-济南山大高中数学竞赛辅导班


高中数学课本电子版百度云-高中数学线性相关概念


仿射变换在高中数学-高中数学教学设计简要



本文更新与2020-09-17 13:48,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/401067.html

重点高中数学复数教学案例的相关文章

  • 爱心与尊严的高中作文题库

    1.关于爱心和尊严的作文八百字 我们不必怀疑富翁的捐助,毕竟普施爱心,善莫大焉,它是一 种美;我们也不必指责苛求受捐者的冷漠的拒绝,因为人总是有尊 严的,这也是一种美。

    小学作文
  • 爱心与尊严高中作文题库

    1.关于爱心和尊严的作文八百字 我们不必怀疑富翁的捐助,毕竟普施爱心,善莫大焉,它是一 种美;我们也不必指责苛求受捐者的冷漠的拒绝,因为人总是有尊 严的,这也是一种美。

    小学作文
  • 爱心与尊重的作文题库

    1.作文关爱与尊重议论文 如果说没有爱就没有教育的话,那么离开了尊重同样也谈不上教育。 因为每一位孩子都渴望得到他人的尊重,尤其是教师的尊重。可是在现实生活中,不时会有

    小学作文
  • 爱心责任100字作文题库

    1.有关爱心,坚持,责任的作文题库各三个 一则150字左右 (要事例) “胜不骄,败不馁”这句话我常听外婆说起。 这句名言的意思是说胜利了抄不骄傲,失败了不气馁。我真正体会到它

    小学作文
  • 爱心责任心的作文题库

    1.有关爱心,坚持,责任的作文题库各三个 一则150字左右 (要事例) “胜不骄,败不馁”这句话我常听外婆说起。 这句名言的意思是说胜利了抄不骄傲,失败了不气馁。我真正体会到它

    小学作文
  • 爱心责任作文题库

    1.有关爱心,坚持,责任的作文题库各三个 一则150字左右 (要事例) “胜不骄,败不馁”这句话我常听外婆说起。 这句名言的意思是说胜利了抄不骄傲,失败了不气馁。我真正体会到它

    小学作文