高中数学《函数的单调性》优秀教案

高中数学教案

课题：函数的单调性

课 型 新授课 课 时 1 课时
教学目标
知识目标 理解增函数、减函数的概念；
能力目标 1.掌握判断和证明某些函数增、减性的方法；
2.培养学生观察、比较、分析的能力；
3.增强数形结合的意识与能力；
德育目标 熟悉从感性认识到理性认识，从具体到抽象的研究问题的方法。
教材内容要求分解表
知 识 点
增函数与减函数的概念
单调区间的概念
单调性的判断方法
单调性的证明方法
单调性的初步应用
数形结合的方法意识
学 习 水 平
了解 理解 掌握 灵活运用
























教学重点 函数单调性的相关概念
《教学论》中指出了教科书中现有理论知识，要有应用的技 能、技巧，教材的内容、
要有反映生活、建设上的实际材料。这一准则对数学教学尤其重要。函数的单调 性是
函数的重要性质之一，也有广泛的应用。但因这节课为新授课，不宜过于深入，点到
为止， 因而单调性的相关概念是重点。
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教学难点 利用概念证明或判断函数的单调性
学法指导 1. 理解和掌握函数的单调性的相关概念
2. 由于图象法是认识函数性质的重要方法，也是记忆和掌握函数性质的有效工具。
掌握下表内容，有 助于提高研究函数的能力，特别是有助于数形结合思想与方法融
会贯通。
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函数图象直观显示函数的性质（部分）
图象的特征
关于X轴的覆盖范围
关于Y轴的覆盖范围
上升或下降
函数要素或性质
定 义 域
值 域
单 调 性
教法设想 为了解决难点，提高教学效果。教学过程中力争做到以下几点：
（1）着重注意从实际出发，从感性认识提高到理性认识

（2）注重运用对比的方法和及时利用反馈信息纠错与强化
（3）坚持结合直观图形或函数图象来说明和帮助学生理解概念
（4）充分利用电脑与几何画板等辅助作用，增强教学效果。
教 学 流 程 设 计
开始

师生问好

学生作图观察 教师提出问题

师生对话:单调性定义
不正确
反馈
正确
例1，2，3（阅读、讲评）

师生对话
不正确
反馈
正确
学生练习

教师评讲

引入例4（讲解）
不理解
反馈
理解
分组练习、教师讲评

教师：课堂小结（布置作业）


结束


教学用具 多媒体、实物投影仪、CAI课件、几何画板软件
教学过程
一.新课引入：

日常生活中，我们有过这样的体 验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从从阶梯教室后向
前走，逐步下降；上下楼梯也是一样
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很多函数也具有类似性质。如（学生在电脑上用几何画板画出图象）：
y=3x+2 y=1x (x>0)










图一 图二
从左往右看，函数的图象逐步上升（图一）或逐步下降（图二），这就是我们要研究的函
数的重要性质之一：函数的单调性（电脑给出课题、教学目标）
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二.新授课
1. 先由学生结合图象猜想函数的单调性的定义，然后纠错补充再让学生阅读书 上从P58到
P59的例1以上的部分。
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书上通过两个函数y=x
3（图三）
、y=x
2（图四）
的图象（学生用电脑画出）











图三 图四

说明某些函数在定义域内的某些区间上的 y取值随着x的值增大而增大，进而抽 象出增函
数、减函数的定义（大屏幕显示）：增函数、减函数的定义
jLBHrnAILg < br>如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有
f(x
1
)2
)，那么就说函数 f ( x ) 在这个区间上是增函数。
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如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两 个自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有
f(x
1
)>f(x
2
)，那么就说函数 f ( x ) 在这个区间上是减函数。
LDAYtRyKfE
让学生分析定义的特点：
（1） 自变量属于定义域
（2） 自变量x
1
、x
2
的任意性
（3） 都有f(x
1
)>f(x
2
) 或f(x
1
)2
)成立
（4） 函数的单调性是函数在其某个区间上的局部性质
为了让学生更直观地看出增、减函数定义的内涵，用电脑演示动画。
用《几何画板》演示：在函数y=x
2
、y= x
3
的图象上，当x增大时，y的增、减情况。
其中函数y= x
3
的图象学生比较陌生，所以当堂用《几何画板》画出，并让学生熟悉用描点法
作函数图象的过程。
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从上述过程中概括出单调性、单调区间的概念：
如果函数y=f( x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严
格的）单调性，这一 区间叫做y=f(x)的单调区间 。
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2. 学生阅读书上P59. 例1，回答该函数的单调区间。
思考：该函数在其定义域上有单调性吗？
注意：我们生活中的很多实际问题的函数图象不象函数y=x
2
、y= x
3
的图象一样有规律地
上升或下降，如我国的人口出生率变化曲线（如下图五，教材P.53）， 但是我们可以很方便地
从图象观察函数在哪个区间是递增或递减，从而确定其单调区间。
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图五
要了解函
数在某些区
间上是否具
有单调性， 从
图象上进行
观察是一种
常用而又较
为粗略的方
法，严格的
说，它要根据
单调函数的
定义进行证明。
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阅读书上P59. 例2、例3，然后与学生一起总结出（大屏幕显示）：
（ⅰ）判断函数单调性的方法：

（1）用图象；（2）用定义；（3）其它（后面会学到）。
（ⅱ）证明函数单调性的方法：目前只能用定义，解题步骤如下
（1） 取值
（2） 作差变形（主要是配方或分解因式等）
（3） 定号
（4） 判断结论
分析各个步骤的含义，利用这个结论，学生练习（电脑给出）：
P60练习1、2题
3. 深化提高例选
例4：证明函数f(x)= x
3
在R上是增函数.
证明：设x
1
、x
2
是R上的任意两个实数，且x
1
2
,则
f(x
1
)?f(x
2
)=x1
3
?x
2
3
=(x
1
?x
2
)(x
1
2
+x
1
x
2
+x
2
2
)
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因为 x
1
2
所以 x
1
?x
2
<0
2
又因为 x
1
2
+x
1
x
2
+x
2
2
=（x
1
+
1
2
x
2
）+
3
4
x
2
2
>0
所以 f(x
1
)?f(x
2
)<0
即 f(x
1
)2
)
所以 f(x)= x
3
在R上是增函数.
图六
注：先让学生思考、解 答，然后选有代表性的几种方法，用实物投影仪向学生展示，与学
生一起讨论，判断解法的对错与优劣。
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然后用电脑给出上述示范过程（其中判断x
1
2+x
1
x
2
+x
2
2
的符号还有其它方法）。
思考：能不能说从图六可以看出，函数f(x)= x
3
在R上是增函数 ？
回答：不能，图象只能用来判断函数的单调性，证明目前只能用定义。
4. 学生分组练习书上习题：
A组 P60.3
B组 P64.4(2)
C组 p65.6(1)


思考题（电脑给出）：判断函数f(x) =
x

在（－
?
，０）
?
（０，+
?
）上的单调性。
(参考右图七）
思考：该函数在其定义域上有单调性吗？
图七
5. 单调性在生活中应用举例:
函数的单调性在生活中应用很广泛，如从前 述图五的我国人口出生率曲线，我们可以直观
的看到我国人口出生的变化情况；又如股票价格线性图（电 脑给出图八：春兰股份线性图），
使人对股票价格的涨落情况一目了然。
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1

图八

三．小结：本节课重点要理解函数单调性及相关概念，掌握函数单 调性的判断与证明方法
与步骤；通过学习，增强数形结合的意识与能力，学会从感性到理性，从具体到抽象的研究问题的方法。
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四．作业：书Ｐ６４习题２.３中，第１、２、３、５题
五．板书设计：
单调性定义 1. 判断函数单调性的方法 例４的解题过程

2. 证明函数单调性的解题

步骤

（１）
单调区间定义
（２）
（３）
（４）
六. 教学后记:（略）

参考文献：
全日制普通高级中学教科书（试验修订本 必修），《数学》第一册上P58?P65