人教A版高中数学教案选修2-22.3数学归纳法数学归纳法

数学归纳法教学设计
周村区实验中学 申臻臻
【教学目标】
（1）知识与技能：
①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；
②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题；
③能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证明结论。
（2）过程与方法： < br>努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴
趣和课堂效 率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。
（3）情感态度与价值观：
通 过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，
提高学生学习的兴 趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问
题的数学能力。
【教学重点】
借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证 明一些
简单的与正整数
n
有关的数学命题；
【教学难点】
数学归纳法中递推关系的应用。
【辅助教学】
多媒体技术辅助课堂教学。
【教学过程】
一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性）
（情景一）问题1：大球中有
5
个小球，如何证明它们都是绿色的？
问题2: 如果
?
a
n
?
是一个等差数列，怎样得到
an
?a
1
?
?
n?1
?
d
?
（情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例。
【设计意图：】以上两个情境 分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不
同，而这里实际上体现了数学中的归纳思 想。归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体
成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完 全归纳法（验证每个个体都成立，得到
一般性结论，其结论一定正确）”。
（情景三）问题：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？

二、搜索生活实例，激发学生兴趣
展示多米诺骨牌的动画，探究多米诺骨牌如何才能全部倒下？
（由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境三的问题。）
① 第一块骨牌必须要倒下 ②任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则后一块也倒下


相当于能推倒第一块骨牌 相当于第
k
块骨牌能推倒第
k?1
块骨牌
三、师生合作，形成概念。
一般地，证明一个与正整数
n
有关的命题，可以按照以下步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当
n
取第一个值
n
0
n
0
?N
*
时命题成立；
（2）（归纳递推）假设
n?k k? n
0
, k?N
*
时命题成立，证明当
n?k?1
命题也成立.
完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从
n
0
开始的所有正整数
n
都成立。
上述这种证明方法叫做数学归纳法。
四、讲练结合，巩固概念
类型一 用数学归纳法证明等式
例1：用数学归纳法证明：
1
2
?2
2?3
2
?
??
??
?n
2
?
n(n? 1)(2n?1)

6
证明：（1）当
n?1
时，左边：
1?1
，右边：
*
2
1?(1?1)?(2?1)

?1
，左边=右边，等式成立。
6
（2）假设当
n?k(k?N)
时等式成立，
即
1
2
?2
2
?3
2
?...?k
2
?
k(k?1)(2k? 1)
(k?N
*
)

6
则当
n?k?1 k?N
*
时，
左边
?1?2?3?

?
222
??
?k
2
?
?
k?1
?
?
2
k
?
k?1
??
2k?1
?
2
?
?
k?1
?

6
(k?1)(k?2)(2k?3)
=
右边
6
n(n?1)(2n?1)
成立
6
即当
n?k?1
时，等式也成立。
由(1)，(2) 得：对
?n?N
*
，等式
1
2
?2
2
?3
2
?
【方法技巧】证明中的几个注意问题：
（1）在第一步中的初始值不一定从
1
取起, 证明应根据具体情况而定.（找准起点，奠基要稳）
（2）在第二步中,证明
n?k?1命题成立时,必须用到
n?k
命题成立这一归纳假设，否则就打
破数学归纳法步骤 之间的逻辑严密关系,造成推理无效. （用上假设，递推才真）

?n
2
?

（3）明确变形目标（写明结论，才算完整）
变式训练：用数学归纳法证明：
1?2?2?3?3?4?
证明： （1）当
n?1
时，左边
?1?2?2
，右边
?
（2）假设当
n?k
时，等式成立，
即
1?2?2?3?3?4?
则当
n?k?1
时
1
?n(n?1)?n(n?1)(n?2)

3
1
?1?2?3?2
，左边=右边，等式成立；
3
1< br>?k
?
k?1
?
?k
?
k?1
??
k?2
?
，
3
1?2?2?3?3?4??k
?
k?1< br>?
?
?
k?1
??
k?2
?

1< br>?k
?
k?1
??
k?2
?
?
?
k ?1
??
k?2
?

3
?
1
?
?
?
k?1
?
?
k?1
??
k?2
?

?
3
?
1

?
?
k?1
?< br>??
?
k?1
?
?1
?
?
k?1
?
?2
?
????
3
所以
n?k?1
，公式成立，
由（1）（2）可知，当
n?N
*
时，
公式
1?2?2?3?3?4?
类型二 归纳——猜想——证明
例2：已知数列
1
?n(n?1)?n(n?1)(n?2)
成立.
3
111
,,,
1?44?77?10
,
1
?
3 n?2
??
3n?1
?
,

S
n
为该数列的前
n
项和，
计算
S
1< br>,S
2
,S
3
,S
4
，根据计算结果，猜想
S
n
的表达式，并用数学归纳法进行证明.
解：
S
1
?
11182
?
，
S
2
?S
1
???

1?444?7287
1213131404
??
，
S
4
?S
3
?????

7?10701010? 131010?1313013
S
3
?S
2
?
根据上述结果 ，猜想
S
n
?
n
.
3n?1
111
，右边
??
，猜想成立，
43?1?14
证明：（1）当
n?1
时，左边
?S
1
?
（2）假 设当
n?k k?N
*
时猜想成立，即
??
S
k
?
111
???
1?44?77?10
?
1
?
3k ?2
??
3k?1
?
?
k
，
3k?1
那么，当
n?k?1
时，

< br>S
k?1
?
111
???
1?44?77?10
?< br>1
?
3k?2
??
3k?1
?
?
1

3k?1?23k?1?1
????
?
??
??
??
?
k
?
3k?4
?
?1
k1
3k
2?4k?1
??

??
3k?1
?
3k?1
? ?
3k?4
?
?
3k?1
??
3k?4
??
3k?1
??
3k?4
?
?
?
k?1
??
3k?1
?
?
k?1
?
k?1
，
?
3 k?1
??
3k?4
??
3k?4
?
3
?
k?1
?
?1
n

3n?1
所以，
n?k?1
时，猜想成立，
由（1）（2）可知，对于
n?N
，猜想成立，即，
?n?N
*
,S
n
?
【方法技巧】 “归纳—猜想—证明”的一般环节
学生总结 课件展示 框图呈现
变式训练：设
a?0,f(x)?
ax
?
，令
a
1
?1,a
n?1
?f(a
n
),n?N
，
a?x
(1)写出
a
1
,a
2
, a
3
，并猜想出数列
?
a
n
?
的通项公式；(2) 用数学归纳法证明你的结论.
五、课堂小结
1.归纳法：完全归纳法和不完全归纳法；
2.用数学归纳法证明等式：
①找准基础，奠基要稳。②用上假设，递推才真。③写明结论，才算完整
3.归纳——猜想——证明
六、当堂检测
1.用数学归纳法证明
1?2?2?
计算所得的项为( C )
A.
1
B.
1?2
C.
1?2?2
D.
1?2?2?2

2.用数学归纳法证明
2
23
2
?2
n?1
?2
n?2
?1(n?N
*
)
的过程中，在验证
n?1
时，左端
(n?1)(n?2)
为
（

22k?1）
(n? n)?2
n
?1?3??(2n?1)(n?N
*
)
，“从
k
到
k?1
”左端增乘的代数式
2
3.已知数列
?
a
n
?
的前n项和
S
n
?na
n
(n? 2)
，而
a
1
?1
，通过计算
a
2
,a< br>3
,a
4
，猜想
a
n
?
( B )
A.
22
22
B. C. D.
2
n
(n?1)n(n?1)
2?12n?1
设计意图：检 测学生对本节课内容的掌握程度，锻炼实际应用能力.
拓展训练（延伸提高，课下思考）
1.用数学归纳法证明
2?n (n?5,n?N)
.
2. (2014·石家庄高 二检测)求证：
n2?
11
??
n?1n?2
?
15
? (n?2,n?N
*
)
.
3n6