高中数学教师资格笔试应该怎么准备-江西高中数学一共有必修几
《函数的概念》的教学设计
【教材分析】
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A版）》的第一章1.2.1函 <
br>数的概念。函数是中学数学中最重要的基本概念之一，它贯穿在中学代数的始终，从初一字
母表示
数开始引进了变量，使数学从静止的数的计算变成量的变化，而且变量之间也是相互
联系、相互依存、相
互制约的，变量间的这种依存性就引出了函数。在初中已初步探讨了函
数概念、函数关系的表示法以及函
数图象的绘制。到了高一再次学习函数，是对函数概念的
再认识，是利用集合与对应的思想来理解函数的
定义，从而加深对函数概念的理解。函数与
数学中的其他知识紧密联系，与方程、不等式等知识都互相关
联、互相转化。函数的学习也
是今后继续研究数学的基础。在中学不仅学习函数的概念、性质、图象等知
识，尤为重要的
是函数的思想要更广泛地渗透到数学研究的全过程。
函数是中学数学的主体内
容，起着承上启下的作用。函数又是初等数学和高等数学衔接
的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，
函数的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又
互有制约的关系。因此对函数概念的再认识，既有着不可
替代的重要位置，又有着重要的现
实意义。本节的内容较多，分二课时。本课时的内容为：函数的概念、
函数的三要素、简单
函数的定义域及值域的求法、区间表示等。（第二课时内容为：函数概念的复习、较
复杂函
数的定义域及值域的求法、分段函数、函数图象等）
【学情分析】
学生在学
习本节内容之前，已经在初中学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变
量之间的依赖关系。然而，
函数概念本身的表述较为抽象，学生对于动态与静态的认识尚为
薄弱，对函数概念的本质缺乏一定的认识
，对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难
度。初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这
种定义较为直观，但并未完全揭示出
函数概念的本质。例如，对于函数
?
1,当x是有理数时
如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强
。但
f(x)?
?
?
0,当x是无理数时
如果用集合与对应的观点来
解释，就十分自然。因此，用集合与对应的思想来理解函数，对
函数概念的再认识，就很有必要。由于数
学符号的抽象性，学生因此会望而却步，从而影响
了学生学习数学的积极性。高一学生虽然在初中已接触
了函数的概念，但在重新学习它时还
是存在一定的障碍，其中一个原因就是对新引进的函数符号“y=f
(x)”不甚其解。教师应在
教学中有意识地挖掘函数符号的审美因素，以美启真。在本节课的教学过程
中，教师应该给
学生提供实践动手的机会，为学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察、计算、思考，从
而
理解问题的本质，归纳总结出结论。
【学法指导】
本节内容的学习要注
意运动变化观和集合对应观两个观念下函数定义的对比研究；注意
借助熟悉的一次函数、二次函数、反比
例函数加深对函数这一抽象概念的理解；要重视符号
f(x)的学习，借助具体函数来理解符号y=f(
x)的含义，由具体到抽象，克服由抽象的数学符
号带来的理解困难，从而提高理解和运用数学符号的能
力。
【教学目标】
知识目标
—— 通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之
间的依赖关系的重要数
学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素及函
数
符号的深刻含义；会求一些简单函数的定义域及值域。
能力目标
—— 培养学生观察、类比、
推理的能力；培养学生分析、判断、抽象、归纳
概括的逻辑思维能力；培养学生联系、对应、转化的辩证
思想；强化“形”
与“数”结合并相互转化的数学思想。
情感目标
—— 渗透数学思
想和文化，激发学生观察、分析、探求的兴趣和热情；强化
学生参与意识，培养学生严谨
的学习态度，获得积极的情感体验；体会在
探究过程中由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联
系、相互制
约、相互转化的辩证唯物主义观点；感受数学的简洁美、对称美、数与形
的和谐统一
美；树立“数学源于实践，又服务于实践”的数学应用意识。
【教学重点】
函数的概念及y=f(x)的理解与深化。
【教学难点】
函数的概念及函数符号f(x)的理解。
【教学关键】
在集合与对应的基础上理解函数的概念。
【教学方法】
以建构主义理论为指导，辅以多媒体手段，采用着重于学生探索研究的
启发式教学为主，变式教学为辅
，及引导、探究、讲解、演练相结合。在
教学过程中，多一点情境和归纳，多一点探索和发现，多一点思
考和回顾。
通过不同形式的自主学习、探究活动，丰富和改善教与学的方式，体验数
学发现和创
造的历程，发展创新意识和实践能力。
在课堂结构上，设计“创设情境——引入课题；引导探求——形
成知识；
变式训练——巩固知识；讨论研究——深化知识；总结反思——提高认识；
任务后延—
—自主探究”这样几个主要环节，环环相扣，层层深入，以期
达到教学目标。
设计思想
设计
环节
一、
创设
问题
情境
，
引出
课题
。
设计意图
以实际问题为背景，以学<
br>生熟悉的情境入手激活学生
的原有知识，形成学生的“再
创造”欲望，让学生在熟悉的<
br>环境中发现新知识，使新知识
和原知识形成联系，同时也体
现了数学的应用价值。通过问
题2这两个用已有概念不太
容易回答的问题，引发学生的
认知冲突，有着承上启下的作
用。既是对初中已学的函数概
念的进一步深入，又是为下一
步用集合语言来刻画函数的
本质做好伏笔。
以实际问题为载体，以信
息技术的作图功能为辅助。在
三个
实例的教学中，重点在于
引导学生体会函数概念中的
对应关系。通过实例1，体会
用解
析式刻画变量之间的对
应关系，关注t和h的范围；
通过实例2体会用图象刻画
变量之
间的对应关系，关注t
和S的范围；通过实例3体
会用表格刻画变量之间的对
师生活动
教师提出问题1：
我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的
呢？在初中已经学
过哪些函数？（在学生回答的基
础上出示投影）
我们已经学习了一些具体的函数，那么为什么
还要
学习函数呢？先请同学们思考下面的两个问题：
问题2：由上述定义你能判断“y=1”
是否表示一个
2
函数？函数y=x与函数
y?
x
表示同一个函数x
吗？
学生思考、讨论后，教师点拨：仅用上述函数概念
很难回答这些问题，我
们需要从新的角度来认识函
数概念。这就是今天我们要学习的课题：函数的概
念（板书） 师：（实例1）演示动画，用《几何画板》动态地显
示炮弹高度h关于炮弹发射时间t的函数。启发
学
生观察、思考、讨论，尝试用集合与对应的语言描
述变量之间的依赖关系：在t的变化范围内
，任给
一个t，按照给定的解析式，都有唯一的一个高度h
与之相对应。
生：用计算器计算，然后用集合与对应的语言描述
变量之间的依赖关系。
师：（实例
2）引导学生看图，并启发：在t的变化
范围内，任给一个t，按照给定的图象，都有唯一的
一
个臭氧空洞面积S与之相对应。
二、
借助
信息
技术
，
讨论
归纳
。
应关系。
为了更好地
使学生尝试
用集合与对应的语言进行描
述，可以利用信息技术设置教
学情境。通过学生
的观察、思
考、讨论来归纳结论，体现了
学生自主探究的学习方式。让
他们通过实践来
进一步体验
到在集合对应观下的函数内
涵，也为学生应用信息技术解
决数学问题提供了
一种新的
途径和方法。
三、
从特
殊到
一般
，
引出
函数
概念
。
从特殊到一般，揭示数学
通常的发现过程，给学生“数
学创造”的体验。这种引出概
念的方式自然而又易于学生
接受和形成概念。
注重双语，规范数学概念
的理解。在涉及的每一个数学
概念其后注
明英语，有利于教
师实施双语教学，也有利于教
师和学生阅读外文数学材料，
这也是体
现新课标实验教材
的创新之处。
函数y=f(x)是学生学习
的难点，这是一个抽象
的数学
符号。教学时首先要强调符号
“y=f(x)”为“y是x的函数”
这句话的数
学表示，它仅仅是
数学符号，而不是表示“y等
于f与x的乘积”。在有些问
题中，对
应关系f可用一个解
析式表示，但在不少问题中，
对应关系f不便用或不可能
用解析式
表示，而用其他方式
（如图象、列表）来表示。所
以教师应向学生明确指出，
y=f(
x)不一定就是解析式，函
数的表示方式除了解析式外，
还有其它表示方法，如实例2
的图象法，实例3的列表法。
生：动手测量，然后用集合与对应的语言描述变量
之间的依赖关系。
师生：（实例3）共同读表，然后用集合与对应的语
言描述变量之间的依赖关系。
问题3：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同
特点？
生：分组讨论三个实例的共同特点，然后归纳出函
数定义，并在全班交流。
师生：由学生概括，教师补充，引导学生归纳出三
个实例中变量之间的关系均可描述为： 对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在
数集B中都有唯一确定的y与它对应，记作f:
A→B
问题4：函数能否看做是两个集合之间的一种对应
呢？如果能，怎样给函数重新下一个
定义呢？（在
学生回答的基础上教师归纳总结）
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的
对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在数
集B中都有唯一确定的f(x)和它对应，
那么就称f:A
→B为从集合A到集合B的一个函数（function）.
记作y=f(x)
．x∈A．自变量x的取值范围A叫做函
数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）．
在函数概念得出后，教师强调指
出“y=f(x)”仅
仅是数学符号。为了更好地理解函数符号y=f(x)的
含义，教师提出
下一个问题：
问题5：y=f(x)一定就是函数的解析式吗？
师生：函数的解析式、图象、表格都是表示函数的
方法。
补充练习：下列图象中不能作为函数
y?f(x)
的图
象的是（ ）
yyyy
2
2
22
o
xxxx
ooo
?2
?2
?2?2
（A） （B） （C） （D）
启发并引导学生思考、讨论、交流，教师归纳总结
出函数的要点：
1．函数是一种特殊的对应——非空数集到非空数集
的对应；
2．函数的核心是对应
法则，通常用记号f表示函数
的对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样。
函数记号y
=f(x)表明，对于定义域A的任意一个x
在“对应法则f”的作用下，即在B中可得唯一的
y.当x在定义域中取一个确定的a，对应的函数值即
为f(a).集合B中并非所有的
元素在定义域A中都有
元素和它对应；值域
C?B
；
3．函数符号y=f(x)的说明：
（1）“y=f(x)”即为“y是x的函数”的符号表示；
（2）y=f(x)不一定能用解析式表示；
（3）f(x)与f(a)是不同的，通常，f(a)表示函数f(x)
当x=a时的函数；
（4）在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号
表示不同的函数，除用符号f(x)外，还
常用g(x)、
F(x)、φ(x)等符号来表示。
4．定义域是函数的重要组成部分，如f
(x)=x(x∈R)
与g(x)=x(x≥0)是不同的两个函数。
四、
借助
熟悉
函数
平台
，
加深
对函
数概
念的
理解
。
设置问题6这个情境
，目
的是用函数的定义去解释学
过的一次函数、反比例函数、
二次函数，使得对函数的
描述
性定义上升到集合与对应语
言刻画的定义。同时利用信息
技术工具画出函数的图象
，是
让学生进一步体会“数”与
“形”结合在理解函数中的作
用，更好地帮助理解上述
函数
的三个要素，从而加强学生对
函数概念的理解，进一步挖掘
函数概念中集合与函数
的联
系。明确定义域、值域和对应
关系是决定函数的三要素，这
是一个整体，以此更好
地培养
学生深层次思考问题的习惯。
问题6：集合A（A=R）到集合B（B=R
）的对应：
f:A→B，使得集合B中的元素
y?ax?b(a?0)
与
集合
A中的元素x对应，如何表示这个函数？定义
域和值域各是什么？函数
y?
k
(k?0)
呢？函数
x
y?ax
2
?bx?c?0(a?0)
呢？
教师演示动画，用《几何画板》显示这三种函数的
动态图象，启发学生观察、分析，并
请同学们思考
之后填写下表：
函数
对应
关系
定义
域
值域
一次
函数
反比例
函数
二次函数
a?0a?0
问题7：函数的三要素是什么？
教师引导学生归纳总结：函数的三要素是定义域、
值
域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两
要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如
当函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域
也就确定了。
五、
再创
情境
，
引导
探究
函数
问题8利用学生思维
的
空白处设置问题，能引起学生
探究的欲望，从而自然引出以
形求数的思想。接着，通
过“引
导”，给学生解决后续问题的
方法，即观察图象的方法。
问题9引导学生对问
题2
问题8：比较函数的近代定义与传统定义的异同点，
你对函数有什么新的认识？
学生思考、讨论，教师点拨：
函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个
定义
中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义
中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点
不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定
概念
进行反思和总结，并将之
一般
的新
化，利用数学语言来表达，培
认识
养学生反思问题、总结归纳的
。
习惯和善于运用数学语言抽
象所发现的结论的能力。
义的对应法则是从集合与对应的观点出发。
问题9：学生在前面学习的基础上，反思对问题2
的解答，重新思考问题2，谈谈自己的认识。
教师启发、引导学生画图，以形求数。
yyy
x
2
2
22
y?
y?x
y?1
x
?
o
xxx
oo
?2
?2
?2
师生：
y?1(x?R)
是函数；
x
2
y?x
与
y?
不是同一个函数。
x
六、
师生
释疑
，
深入
研究
。
问
题10以学生已解决的
问题出发创设情境，引起学生
的学习兴趣，再次引发学生在
构建
自身基础上的“再创造”，
并通过独立思考后的讨论，培
养学生分析解决问题、用数学
语言交流沟通的能力。
设置问题11这个情境，
是因为“区间概念”这段内容
并不难
理解，所以可以先让学
生自已阅读，然后进行不等
式、区间与数轴表示的互相转
化，以
此熟悉区间的概念。问
题11此情境的设置是为学生
提供了自主探究的平台，从阅
读学
习中发现问题、分析问
题、解决问题，既符合了学生
的心理特点，又注重了学生的
思维
过程。
问题10：如何判断两个函数是否相同？
引导学生对问题2进行抽象概括并归纳总结：
当两个函数的定义域、对应关系完全一致时，
我们就称这两个函数相等。
问题11：研读课本，叙述区间的概念。请同学们在
阅读后填写下表：
定义
{
x|a?x?b}
{
x|a?x?b}
{
x|a?x?b}
{
x|a?x?b}
名称
闭区间
开区间
半开半
闭区间
符号 数轴表示
[
a,b]
(a,b)
?
a
?
b
a,b)[
?
a
?
b
{x|x?a}
{x|x?a}
{x|x?b}
{x|x?b}
七、
举例
应用
，
深化
目标
。
例题是为了使学生
更好
地理解函数定义而设置的，既
考虑了数学思维的严谨性，也
体现了数学知识的应用
性。
通过例1，使学生学会求
简单函数的定义域，以此更好
地突出重点。例1表明当
对应
法则确定后，对于定义域内的
一个数，只要将它代入解析
教师指导学生自学，解决
学生提出的问题，并指出
说明：
（1）区间是集合；
（2）区间的左端点必小于右端点；
（3）无穷大是一个符号，不是一个数；
（4）以“-∞”或“+∞”为区间的一端时，这一端
必须是小括号。
例1．已知函数
f(x)?x?3?
1
x?2
（1）求函数
f(x)
的定义域；
（2）求
f(?3),f()
的值；
（3）当
a?0
时，求
f(a),f(a?1)
的值。
让学生思考，并提问个别学生。
2
3
师问：怎样求函数的定义域？
追问：
f(x)
与
f(a)
有何区别与联系？
式，就可求出它所对应的函数
值，进一步体会函数记号的含
义。 例2表明判定两个函数
是否相同，不仅要看对应关系
是否一样，还要看定义域是否
相同。通过判断函数的相等使
学生认识到函数的整体性，进
一步加深学生对函数概念的
理解。
例3的设置补充，其目的
既是第22页练习3与习题3
的伏笔，也是为了让学
生体会
到从特殊到一般的思想方法，
同时也后面研究函数的性质
（奇函数）作准备。变
式训练
的设计以一个问题为背景，一
题多用，一题多变，由浅入深，
体现梯度，使不同
程度的学生
都有发展。通过一组精心设计
的问题链来引导和激发学生
的参与意识、创新
意识，培养
学生探究问题的能力，从而提
升学生的思维品质。借助三个
变式层层深入，
是理论到实践
的升华，使概念深化、强化、
类化！f的作用与含义印入心
底，得到再次
认同，初步掌握
与应用能力也就自然形成了。
八、
利用课堂练习巩固所学
练习
的知识内容、数学思想和方
交流
法，以求达到教学目标。本环
反馈
节以个别指导为主，体现面对
巩固
全体学生的课改理念。
九、
关注学生学习的主动性，
学生
培养学
生的合作意识，培养学
归纳
生表达交流数学的能力。自主
小结
小结的形式将课堂还给学生，
，
教师
既是对一节课的简单回顾与
也是对所学内容的再次
评价
梳理，
。
巩固。
作业分为三种形式，体现
十、 作业的巩固性和发展性原则。
课后
阅读作业中的问题思考是后
点拨：
f(
a)
表示当自变量
x?a
时函数
f(x)
的值，
是一个常量
，而
f(x)
是自变量
x
的函数，它是一个
变量，
f(a)
是
f(x)
的一个特殊值。
例2．下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1）
y?(x)
2
（2）
y?
3
x
3
x
2
（3）
y?x
（4）
y?
x
2
师问：判断函数相等的依据是什么？
变式：若改（2）为
y?
3
t
3
呢？
思考：你能举出一些函数相等的具体例子吗？
例3．已知函数
f(x)?2x(x?R)
（1）画出函数
f(x)
的图象；
（2）求
f(a),f(?a),f(a)?f(?a)
的值；
（3）你从（2）中发现了什么结论？
（4）求函数
f(x)
的值域。
教师引导学生解决此题的关键点，并进行变式：
变式1：已知
f(x)?2x(x?R)
①
当
0?x?2
时，求函数的值域；
②
当
x?{?2,?1,0,1,2}
时，求函数的值域。
变式2：已知
f(x)?2x(x?R)
①
当函数值域为
[2,4]
时，求函数定义域；
②
当函数值域为
{4,8,?2}
时，求函数定义域。
变式3：（1）已知
f(x)?2x(x?R)
求
f(a?1),f(2x?1)
的值。
变式3：（2）已知
f(a?1)?a?1(a?R)
求函数
f(x)
.
课堂练习：
课本第22页练习1．2．3．
以学生回答、板演的形式进行，充分发挥师与
生、生与生的互动，以教师、学生相互交流来巩固
本节课的学习。
以同桌之间一人小结一人倾听的方式，以四人
为一小组进行小组讨论
，对本节课所学的内容进行
自主小结，教师及时进行归纳总结：
1．函数的近代定义与传统定义的异同点；
2．集合与函数的联系、区别；
3．函数的三要素；
4．数形结合的思想。
1．阅读作业：通读教材，复习巩固，
并思考表示函
数有哪些方法？从例3(2)中你能发现更一般性的结
论吗？
2
作业
续课堂的铺垫，而弹性作业不
作统一要求，供学有余
力的学
生课后研究，它也是新课程标
准里研究性学习的一部分。
2．书面作业：课本第28页习题1．2．3．4．5．
3．弹性作业：比较函数
的近代定义与传统定义的异
同点，你对函数有什么新的认识？请同学们举出几
个具体函数例子，
用传统定义不好解释，而用近代
定义容易理解。
教学流程：
创设问题情境，借助信息技术，从特殊到一般，
引出问题 讨论归纳 引出函数概念
再创情境，引导探究函师生释疑，
借助熟悉函数的平台，
数概念的新认识 深入研究
加深对函数概念理解
举例应用，练习、交流、学生归纳小
课后作业
深化目标 反馈、巩固 结，教师评价
知识结构：
函数的概念
集合与函数的关系 函数的三要素 近代定义与传统定义
定义域 对应关系 值域
问题探讨：
本章教学内容的要求与现行高考的要求距离较
远，而学生知识现状与课本要求较高之间
的矛盾也较突出。学生原有的运算能力、分析问题的能力直接制
约着本章的学习。这不仅与
初中数学内容的衔接、学习方法有较大变化有关，而且与知识更新力度较大有
关，使大部分
学生不太适应本章的学习。新大纲中提出能运用函数性质解决某些简单的实际问题，在本章
中很难达到预期要求。用计算机绘制函数图象，收集数据并建立函数模型，但在信息技术与
课程
的整合上还有待加强。
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