人教版高中数学《圆的标准方程》教学设计

课题：
“圆的标准方程”

教材：
高中数学 第二册（上册）第七章《直线和圆的方程》中的第六节“圆的方程”
的第一课时


一、 教材分析

在学习了“曲线与方程“之后，作为一般曲线典型的例子，安排了本节的“圆的方
程”
圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中
所学知识及前几节内容的 基础上，进一步运用解析法研究圆的方程，圆与其他图形的
位置关系及其应用
同时，由于圆也 是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为
后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础
也 就是说，本节内容在教材体系中起到承上
启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的 应用
同时，
由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程和一般方程
的要求层次是“掌握”。遵循从特殊到一般的原则，只有把圆的标准方程学透了，再过
渡到学圆 的一般方程也就不难了，它们可以通过形式上的互相转化而解决。可见圆的
标准方程在“圆的方程”一节 中非常重要。
依照大纲，本节分为三个课时进行教学
第一课时讲解圆的标准方程 结合本节 的
内容的特点，和对学生的初步了解，我准备将这个课时分解为两个课时来完成。第一
课时主要 是以轨迹思想探讨圆的标准方程，再以待定系数法求解圆方程为核心，让学
生从中去体会数与形之间的关 系，强化数形结合思想的运用。


二、学情分析
此前，学生已经学习 了“曲线的方程”和“方程的曲线”、直线方程等内容，对运
用代数的方法来解决几何的问题（即解析法 ）有了一定的了解。现在要运用解析法来
研究另一种（学生熟悉的）几何图形——圆，自然是水到渠成， 对学生而言难度不会
太大。因此老师在教学中可以大胆的引导学生独立自主的去探索、发现所要学习的知
识。学生对待定系数法的运用会感到困难，因为圆的标准方程中的三个参数a，b，r
（尤其是 r）的给出形式变化很多，再加上学生对圆的许多几何性质可能都忘记了，不
能灵活运用几何性质优化运 算，所以通过对“待定系数法”的讲解，一方面可以复习
圆的一些主要性质；另一方面还可以对代数法与 几何法进行比较，使学生从中数与形
的和谐美。

三、教学目标
根据以上分析，制定以下教学目标：
知识目标：
1．在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；
2．会由圆的方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程.
能力目标：
1．通过圆的标准方程的探究过程使学生对用代数方法解决几何问题的一般思维过
程与模式加深 认识；
2．通过例题分析和练习巩固对用待定系数法求解曲线方程的基本步骤与思维过程
王新 敞
王新敞
王新敞
王新敞
王新敞王新敞

的理解和运用。
3.通过运用多种方法对例题进行分析使学生掌握几何性质（切线性质）对优化计算
的作用，加 深对数形结合思想和待定系数法的理解；
情感目标：
1、通过对圆的标准方程的学习，让学生感受数学的美（形态美、和谐美）；
2、通过运用圆的知识解决实际问题的学习，让学生体会理论来源于实践。

四、教学重点．难点
教学重点：圆的标准方程模型的探索、标准方程的求解及其应用.
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程

五、教法分析
为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，
本节内容可 采用“引导探究”型教学模式进行教学设计
所谓“引导探究”是教师把教
学内容设计为若干问 题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，
主要着眼于“引”，启发学生“探”， 把“引”和“探”有机的结合起来。教师的每项
教学措施，都是给学生创造一种思维情景，一种动脑、动 手、动口并主动参与的学习
机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题
其基本教学模式是：
王新敞
王新敞


本节课的难点是运用待定 系数法求圆的标准方程，对学生而言最难的地方就在于方
法的选择。所以我准备在例题的讲解让学生对几 种方法进行对比，然后让他们通过自
己的亲身感受来体会各中的优劣，他们根据自己的实际情况来选择适 合自己的方法。


六、学法分析
基础教育课程改革要求加强学习方式的 改变，提倡学习方式的多样化，各学科课程
通过引导学生主动参与，亲身实践，独立思考，合作探究，发 展学生搜集处理信息的
能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，以及交流合作的能力，基于此 ，
本节课从复习引入→情景创设→深入研究→获得新知→具体应用→作业中的研究性问
题的思考 ，始终让学生主动参与，亲身实践，独立思考，与合作探究相结合，在生生
合作，师生互动中，使学生真 正成为知识的发现者和知识的研究者。



动画
引入
创设
情境

提出
问题
探究
模型
例题
示范
探求
方法
反馈
练习
学会
应用
点评
矫正
总结
交流
王新敞
七、教学活动设计
（一）动画引入，创设情境
【设计意图】
由我国古老而神秘的太极图引入课题
让学生感受圆优美的几何属性和我国
博大精深的古代文化，激发学生的学

习热情。

师：太极 八卦图是中国古老的文化科学遗产，是中国古代劳动人民智慧文明的结晶。
它不但在古代为人民建树了不 可磨灭的功勋，就是在现代也做出极重大的贡献。
1930年一月美国天文学家汤保发现了太阳系的第九 颗行星冥王星。旋即有人提
出，太阳系有没有第十颗行星呢？由于冥王星发现不久，观测数据还不精确， 预
测第十颗行星的努力接连遭到了失败。当时在法国勤工俭学的只有二十七岁的中
国人刘子华， 他发现太阳系的各星体与八卦的卦位，存在着对应关系。他依据这
个关系，利用天文参数进行计算，算出 了第十颗行星的平均轨道运行速度为每秒
二公里，离太阳的平均距离为74亿公里，按照希腊神话命名原 则，在冥王星后面
的叫做“木王星”。刘子华把自己的预测，写成了题为“八卦宇宙论与现代天文”的论
文，交给了法国巴黎大学，作为考取博士学位的论文。论文获得了一致的赞赏，
1938年正式 授予刘子华法国国家博士学位。这是中国科学家在现代运用太极八卦
图，做出的震动世界的伟大贡献。
师：今天老师就将和同学一起用代数
的方法来研究圆这种优美的曲线。
【给出标题】圆的标准方程

（二）
提出问题，尝试探究

问题一： 已知一个圆的圆心在原点，半径为5，求这个圆的方程。
师：清同学们利用所学方法解决问题一。
【学生活动】探求圆的方程
【教师预设】
方案一：学生处理得很好，让学生来讲。
方案二：学生不能处理，则将题目变一下，再让学生处理
问题变式：一个动点到原点的距离等于5，求这个点的轨迹方程。
【设计意图】
充 分调动学生的积极性和主动性，从这里也可以进一步了解学生的实际情况，对后续
内容的处理会更贴切。

师：同学们是用什么方法求出圆的方程的呢？
生：用的是解析法
师：这个方法的一般步骤是：建系、设点、列式、化简四步曲。
【设计意图】回顾复习用轨迹思想求曲线方程的一般步骤。

师：若半径发生变化，如半径为6，圆心在原点则圆的方程又是怎样的？
生：x
2
+y
2
=36
师：一般的，半径为r，圆心在原点的圆的方程形式是怎样的？
生：x
2
+y
2
=r
2
.
师：x
2
+y
2
=r
2
表示是特殊位置的圆，称 为原点圆，那么一般地，圆心在任意一点C（a,b）
点，半径为r圆的方程又是怎样的？
【设计意图】遵循循序渐进的原则，从特殊到一般，逐步将问题深入。

（三）特殊到一般，建立方程模型
问题二：设圆心为C
(a,b)
，半径为
r
，求圆的方程。
【学生活动】 探究圆的方程。
【教师预设】
解：设M（x,y）是圆上任意一点 ，根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以圆
C
就是
集合P={M||MC|=r}
由两点间的距离公式，点
M
适合的条件可表示为
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
①
把①式两边平方，得(x―a)2
＋(y―b)
2
＝r
2

【设计说明】 再次熟练解析法，得出一般的圆的标准方程

师：方程（x-a）
2
+(y-b)
2
= r
2
叫做圆的标准方程。特别地，当圆心在原点，半径为r
时，圆的标准方程为：x
2
+y
2
=r
2
。
从这种形式中可直接得到圆心和半径的信息，反之知道 圆心和半径也就可以直接
写出圆的标准方程，所以我们在求圆的标准方程时，可先设出圆的标准方程，再
想办法求出未知系数，这种方法就是待定系数法。

（四）应用举例
例1、根据圆的方程写出圆心和半径
（1）
(x?2)
2
?(y?3)
2
?5
； （2）
(x?2)
2
?y
2
?(?2)
2
．
圆心(2,3)，半径
5
圆心(-2,0)，半径2
例2、写出下列各圆的方程
（1）圆心在原点，半径为3；

x
2
+y
2
=9
(x-3)
2
+(y-4)
2
=5 （2）圆心在
C(3,4)
，半径为
5
；
（3）经过点
P(5,1)
，圆心在点
C(8,?3)
． (x-8)
2
+(y＋3)
2
=25
【练习】已知点A(-4，- 5），B(6，-1)，求以AB为直径的圆的方程.(x-1)
2
+(y+3)
2< br>=29
【设计意图】基础练习，巩固、加深对圆的标准方程的理解。

例题 3、求以
C(1,3)
为圆心，并且和直线
3x?4y?7?0
相切的圆的标 准方程.
【学生活动】探求圆的方程
【教师预设】
方法一：设所求圆的方程为( x-1)
2
+(y-3)
2
=r
2

因为圆C和 直线
3x?4y?7?0
相切，所以半径
r
就等于
圆心C到这条直线 的距离
根据点到直线的距离公式，
y
C(1,3)
r
O
王 新敞
M
3x-4y-7=0
x

得
r?
|3? 1?4?3?7|
3
2
?(?4)
2
?
16
5
王新敞
因此，所求的圆的方程是
(x?1)
2
?(y?3)< br>2
?
256

25
王新敞

方法二：设所求 圆的方程为(x-1)
2
+(y-3)
2
=r
2

由直线3x-4y-7=0与圆相切，所以联列方程组有且只有一组解
即联列方程组消去y得 ：25x
2
-146x+377-16r
2
=0
16
由△ ＝146
2
－4×25×(377-16r
2
)＝0，解得：r＝
5
256
因此，所求的圆的方程是
(x?1)
2
?(y?3)
2
?

25
【学生可能出现问题】确定半径有困难，注意引导学生观察图象，
【设计意图】 熟悉待定系数法，初步体会运用圆的几何性质（切线性质）对优化计算
的作用，借此强化数形结合思想。


例题4．已知圆的方程为
x
2
?y
2
?25
，设直线
l
与圆相切于点
M(3,4)
，求直线
l< br>的方程．
师：你打算怎样求过M的切线方程？
生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求。
师：这仍然是待定系数法的思想，关键是斜率怎样求？
【学生活动】探求切线方程
【教师预设】
方法一：设所求直线的方程为y－4＝k（x－3）即
kx－y－3k＋4＝0
由题知：圆心到切线的距离等于半径，即
|?3k?4|
k
2
?1
?5
y
M
r
O
x
3
k??
，解得：
4

3
y?4??(x?3)
，即
3x?4y?25

∴过点M的切线方程为：
4
王新敞

方法二：∵点M（3，4）在圆x
2
＋y
2
＝25上，
∴ 半径OM与切线l垂直，即
∵
k
OM
?
4
3

k
OM
?k
l
??1

∴
k
l
??
3
4

3
y?4?? (x?3)
3x?4y?25
∴过点M的切线方程为：，即

4
【设计意图】运用圆的标准方程解决切线问题，进一步的运用圆的性质和待定系数法。

【备用】

圆的方程是x
2
+y
2
= 13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。
王新敞

答案：2x+3y=13 即：2x+3y－13＝0
师：注意观察，在切点坐标与切线方程之间存在密切的关系，你发现了吗？
（学生纷纷举手回答）
生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。
师： 若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点（x
o
,y
o
）,则结论将 会发生怎样
的变化？大胆地猜一猜！
生：x
o
x+y
o
y=r
2
.
师：这个猜想太迷人了，那么可否给出证明？
生：。。。。。。【思考】
师：这个问题作为思考题留给同学们下课后独立思考解决好吗？
生：好
【设计意图 】让学生从特例中观测、总结出一般化的结论，培养学生观察概括的能力，
让学生体验发现规律的成功感 觉，有利于激发学习热情。

【根据实际情况选用】
例题5：如图是某圆拱桥的一 孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在
建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求 支柱
A
2
P
2
的长度（精确到0.01m）．
【设计说明 】引导学生分析，共同完成解答。师生分析：建系；设圆的标准方程（待
定系数）；求系数（求出圆的标 准方程）；利用方程求A
2
P
2
的长度。
解：以AB所在直线为X 轴，O为坐标原点，建立坐标系。则圆心在Y轴上，设为（0，
b）,半径为r，那么圆的方程是x2
+(y-b)
2
=r
2
.
下面用待定系数法求b和r的值：
?
0
2
?(4?b)
2
?r
2
P(0,4),B(10,0)都在圆上，于是得到方程组：
?
10
2
?(0?b)
2
?r
2

?
解得：b=-10.5 ,r
2
=14.5
2

圆的方程为 x
2
+(y＋10.5)
2
=14.5
2
.
将P
2
的横坐标x=-2代入圆的标准方程 且取y>0 得：
y?14.5
2
?(?2)
2
?10.5

≈14.36-10.5=3.86 (m)
答：支柱A
2
P
2
的长度约为3.86m。
【设计意图】 将所学的知识用来解决实际问题，提高知识的运用能力，让学生体会数
学源于生活，又反过来为我们解决 许多生活中的问题，提高他们对数学的认识和兴趣。

（五）反馈训练
1．求圆x
2
＋
y
2
＝13过点（-2，3）的切线方程.-2x+3y=13
2．求以C（－1，－5）为圆心，并且和y轴相切的圆的方程。(x+1)
2
+(y +5)
2
=1
3．求圆心在直线
2x?y?0
上，且与直线
x?y?1?0
切于点（2，-1）的圆的标准方程

解：设所求圆方程为( x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
∵圆与直线
x ?y?1?0
相切，并切于点
M
（2，-1），则圆心必在过点
M
（ 2，-1）
且垂直于
x?y?1?0
的直线
l
：
y?x?3
上，
?
y?x?3
?
x?1
，即圆心为
由?
?
?
2x?y?0y??2
??
C
（1，-2），< br>r
=
(2?1)
2
?(?1?2)
2
?2
,
∴所求圆的方程为：
(x?1)
2
?(y?2)
2
?2
王新敞
【设计意图】巩固、测试本节课的目标。

【备用题】
求圆心在y
＝－
x上且过两点（2，0），（0，-4）的圆的标准方程。
解：设圆心坐标为(
a,b
)，则所求圆的方程为
(x?a)
2
?( y?b)
2
?r
2
,
∵圆心在
y??x
上，∴
b??a

①
又∵ 圆过（2，0），（0，-4）∴
(2?a)
2
?(0?b)
2
?r
2
②
(0?a)
2
?(?4?b)
2
?r
2
③
由①②③联立方程组，可得
a?3,b??3,r
2
?10

∴所求圆的方程为
(x?3)?(y?3)?10

22
王新敞【设计意图】如果学生的基础很好、时间允许的情况可以使用，以备不时之需。

（六）课堂小结
本堂课我们利用解析法探索了圆的标准方程，进而用待定系数法求解 圆的标准方
程，在这个过程中我们得到了以下结论：
(1)圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为：
(x?a)
2
?(y?a)
2
?r
2< br>
当圆心在原点时，圆的标准方程为：
x
2
?y
2
?r
2

(2)求圆的标准方程的方法：①待定系数法；②找出圆心和半径
(3)已知圆的方程是
x
2
?y
2
?r
2
，经过圆 上一点
M(x
0
,y
0
)
的切线的方程是：
x0
x?y
0
y?r
2


（七）课后作业：
巩固型作业：课本P81-82：（习题7.6）1．2．4
思维拓展型作业：
1、把圆的标准方程展开后是什么形式？

2、方程：
x
2< br>?y
2
?6x?8y?20?0
的曲线是什么图形？
3、已知一曲线 是与两个定点
O
（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲
线的方程并 画出曲线。
分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般
步 骤先将曲线方程求出

1
2
王新敞
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)
是曲线上的任意一点，也就是点
M(x,y)
属
于集合P?{M|
x
2
?y
2
OM
1
?}

AM2
王新敞
y
M
1
x
2
?y
2
1
?
,即
?
22
22
2
(x?3)?y
4
(x?3)?y
O
A(3,0)
x
整理得：
x< br>2
?y
2
?2x?3?0

所求曲线方程即为：
x
2
?y
2
?2x?3?0

王新敞
将其左边配方，得
(x?1)
2
?y
2
?4

王新敞
∴此曲线是以点
C
（-1，0）为圆心，2为半径的圆.如右上图所示

王新敞


（八）板书设计
圆的标准方程
x
-
a
）+(
y
-
b
)=
r
叫做圆的标准方程。
特别：当圆心在原点，半径为
r
时， 圆的标准方程为：
x
+
y
=
r
。
方程（
222
222
问题一、………… 例2、…………
注意： 问题二、………… 例3、…………
①从标准方程中我们可以直接得出圆心坐标和半径
②要确定圆的标准方程只需要确定
小结：
a
，
b
，
r
三个独立变量就可以了
2
问题三、………… 例4、
①圆心为C(
a
,
b
)，半径为
r
的圆的标准方 程为：
(x?a)
x
2
?y
2
?r
2

?(y?a)
2
?r
2

练习

当圆心在原点时，圆的标准方程为： 例1、………… 作业
②求圆的方程的方法：待定系数法（找出圆心和半径）。
八、教学（后）反思

1、教学设计说明
圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研 究，因
此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用（待定系数法求圆的
标准 方程）。.首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，从特殊?一般
引导学生探究获得圆 的标准方程，让学生体会这种数学的探究方法。在问题的设计中，

我用一题多解的探究， 纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，让学生自己体会
各种方法的优劣，这样的设计不但突出了重 点，更使难点的突破水到渠成.
本节课的设计了五个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生 在问题的指引
下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生
为主体的指导思想。应用“引导探究”型教学模式把学生学习知识的过程转变为学生
观察问题、发现问 题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼了思维．感
受了数学的美、培养了兴趣、增强了 信心。
2、教学预设与生成的差距与原因
本节课上下来基本上完成了我所预设的教学内容 ，当然有些地方未能完全实现自己
的想法。如：过圆上定点的切线方程的猜想的证明，本来准备让学生自 己完成的；例
题的设计本来是准备围绕待定系数法这一重要的数学思想方法展开，但因为时间关系
只能一带而过；最后的课堂小结本来准备让学生自己将本节课的探究过程进行及所得
结论回顾等都没有 得以实现。我反思整节课发现问题出在前面的几个环节的节奏把握
上，具体的说：引入部分说得太多，实 际上可以用多媒体演示出来让学生看，老师只
提一下就行了；圆的标准方程的探索过程比较简单，不需要 举这么多的例子，实际上
可以将四个例子浓缩为两个：“圆心确定（0，0）、半径确定2”；“圆心任 意（a，b），
半径任意r”即可。我想如果前面紧凑一点，那么后面自己的很多想法就能得以体现，< br>这堂课的效果会更理想的。
3、感受最深事件（成功与失败）的缘由与启示
在这次 课堂大赛中让我学习到了许多东西，如：如何写教学设计。让我感受最深的
是“向课堂40分钟要效率的 关键在于课堂节奏的把握”，一节课你在课前准备得再怎
么充分，如果课堂上你没有把握好节奏，那么所 有的准备可能都是在做无用功。
4、对某些问题的进一步认识与总结
结合这次赛课的自身 体会和听另一位老师的课的感受，我想自己对“学法指导”有
了进一步的认识，我感到“学法指导”应该 融入课堂的各个环节，如：课堂上该怎么
过手训练；怎么与同学、老师进行交流；该怎么去探索发现新知 ；一堂课所学知识与
方法该怎么来总结记忆等。在课堂上给予学生好的“学法指导”可以大大提高课堂效
率。
5、有价值的待研究的问题
结合准备阶段的想法、上课的感受及效果、课后 评委老师的指导，我认为“如何发
挥例习题的作用，以使教学目标得以达成”是一个有价值的待研究的问 题。关于这个
问题我会在今后的教学中不断总结、提炼，我想一定会的我的教学带来很大的帮助的。
就本节课为例，因为圆的标准方程的概念不难，所以本节课的重点应该放在夯实基
础上。为此 目的，我们可以在原例1的前面再加一个判定方程是否为圆的标准方程，
然后再用例1，例2，……。这 样可以更好的让学生理解和掌握圆的标准方程的结构特
征、性质特征及其运用。