高中数学 对数的概念教学案

3. 2.1 对数的概念
教学目标
1． 理解对数的概念；
2． 能够说明对数与指数的关系；
3． 掌握对数式与指数式的相互转化；
4． 了解常用对数与自然对数以及这两种对数的记法；
5． 了解对数恒等式．
教学重点与难点
本节课的重点是对数的概念，对数式与指数式的相互转化；难点是对数概念的理
解．
教学过程
一、 创设情境

(对数的起源)介绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性；

二、 学生活动、建构数学

探究：在第2.2.2节的例4中，我们研究了一种放 射性物质不断变化为其他物质的过
程．设该物质最初的质量是1，则经过
x
年后，该物 质的残留量
y?0.84
x
，由此，知道
了经过的时间
x
， 就能求出该物质的残留量
y
；反过来，知道了该物质的残留量
y
，怎
样求出所经过的时间
x
呢？特别地，经过多少年这种物质的残留量为原来的一半？

三、 数学理论、数学运用
1． 对数的概念
上述问题也就是求满足
0. 84
x
?0.5
中的
x
，此时问题就转化为已知底数和幂的指求指数的问题．
一般地，若
a(a?0,a?1)
的
b
次幂等于
N
，即
a
b
?N
，则就称
b
是以
a
为底
N
的对
数(logarithm)，记作
log
a< br>N?b
，其中，
a
叫做对数的底数(base of logarithm)，
N
第 1 页 共 7 页

叫做真数(proper number)．
log
a
N
的意义：
a
的多少次方是
N
？
说明：①．注意底数的限制
a?0
，且
a?1
；
②．
a
x
?N?log
a
N?x
；
③．注意对数的书写格式．

思考：①为什么对数的定义中要求底数
a?0
，且
a?1
；
②是否是所有的实数都有对数呢？
设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备．

2．对数的性质
⑴．零和负数没有对数，即
log
a
N
中
N
必须大于零；
⑵．1的对数为0，即
log
a
1?0
;
⑶．底数的对数为1，即
log
a
a?1
．

3. 常用对数：通常将以10为底的对数称为常用对数(common logarithm) 如
log
10
2，log
10
12
等，为了方便起见， 对数
log
10
N
简记为
lgN
，如
lg2，lg 12
等．
自然对数：在科学技术中，常常使用以e为底的对数，称之为自然对数(natural
logarithm)，e =2.71828…是一个无理数．正数N的自然对数
loge
N
一般简记为
lnN
，
如
log
e
2
，
log
e
15
分别记为
ln2
，
ln 15
等．
1．对数的概念
【例1】将下列指数式改写成对数式：
⑴．
2
4
?16
； ⑵．
3
?3
?
11
； ⑶．
5
a
?20
； ⑷．
()
b
?0.45
．
272
log
a
N
【练习1】将下列对数式改写成指数式：
⑴．
log
5
125?3
； ⑵．
log
1
3??2
； ⑶．
lga??1.699
； ⑷．
lna?5
．
3

【例2】求下列各式的值：
第 2 页 共 7 页

⑴．
log
2
64
； ⑵．
log
9
27
； ⑶．
lg
【练习2】⑴．填空：
题号
⑴
⑵
⑶
指数式
2
4
?16

3
?3
?
1

27
1
．
100
对数式



log
5
25?a

2
⑵．①．已知
a?0,a? 1,N?0,b?R
．则
lo
a
ag?
_____________ __，
1
5
…，
log
a
a?
_________ ______，
log
a
a?
_______________，
l og
a
a?
_______________，
一般地，
loga
a
b
?
_______________，请证明这个结论；
②．证明：
a
log
a
N
?N
．
2．对数式的化简与求值
【例3】求值：⑴．若
log
2
(log
x
9)?1
，则
x?
_______________；
⑵．已知
log
2
[log
3
(log
4
x)]? 0
，且
log
4
(log
2
y)?1
，求
y?x
的值．
【练习3】已知
log
a
b?log
ba(a?0,a?1,b?0,b?1)
，求证：
a?b
或
a?

四、 回顾反思
本节课学习了对数的概念、常用对数的概念，了解了对数恒等式，通过阅读材 料，
了解对数的发展历史及其对简化运算的作用．

课后作业
课本P58练习
1． 3． 4． 5．
【例4】若
log
a



第 3 页 共 7 页
3
4
5?3
1
．
b
22
?1
，则
a
的取值范围为_______________．
0?a?
或
a?1

33

3．2．1 对数的运算性质
教学目标
6． 能灵活准确地运用对数的运算性质进行对数式的化简与计算；
7． 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，会用换底公式进行一些
简单的化简和证明．
教学重点与难点
本节课的重点是对数的运算性质及用换底公式将一般对数转化成自然对数或常 用
对数；难点是对数的运算性质和换底公式的熟练运用．
教学过程
一．问题情境
我们知道，指数幂运算有以下性质：
第 4 页 共 7 页

mnm?n
⑴．
aa?a
；
a
m
m?n
?a
n
⑵．
a
；
mnmn
(a)?a
⑶．；
⑷．
(ab)
m
?a
m
b
m
；
a
m
a
m
⑸．
()?
m
．
bb
根据对数的定义，有
log
a
N?b?a
b< br>?N(a?0,a?1,N?0)
，那么，对数运算也有
相应的性质吗？
二． 数学理论、数学运用
2． 对数的运算性质
如果
a?0，且
a?1
，
M?0
，
N?0
，那么：
< br>①．
log
a
(M
·
N)?
log
a
M
＋
log
a
N
；
②．
log
aM
?
log
a
M
－
log
a
N
；
N
③．
log
a
M
n
?n
log< br>a
M

(n?R)
．
证明：设
log
a< br>M?p
，
log
a
N?q
，由对数的定义得，
M?a
p
，
N?a
q
，故
pq
MN?aa?
?p q
a
，则
ogl(
a
)MNp?q?ogl?ogMl
a< br>?N
a
，即
ogl(
a
)MNogl?oglM
a< br>?
a
N
．
仿照性质①的证明方法证明性质②，③(引导学生用自然语言叙述上面的三个运算性
质)
例1．求下列各式的值：
⑴．
log
2
(2
3
?4
5
)
； ⑵．
log
5
125
．
【练习1】已知
lg2?0.30 10
，
lg3?0.4771
，求下列各式的值(结果保留4位小数)：
⑴．
lg12
； ⑵．
lg
27
．
16
200 9
2009)
4
，1．已知函数
f(x)?alog
2
x? blog
3
x?3
，若
f(
1
)?
则
f(
的值为 ．2
第 5 页 共 7 页

【例2 】求值：⑴．
(lg5)
2
?lg2?lg50
；⑵．
2lg2?l g3
．
2?lg0.36?2lg2
【练习2】设
a
表示
解方程：
1
的小数部分，则
log
2a
(2a?1)?
_________ _____．
3?5
⑴．若
lgx?lgy?2lg(x?2y)
，则x
?
______________．
y
⑵．求方程
lgx?lg(x?3)?1
的解．
【例2】试用常用对数表示
log
3
5
．
说明：由例3引入对数的换底公式．
3． 换底公式
一般地，我们有
lo g
a
N?
log
c
N
，其中
a?0,a?1,N? 0,c?0,c?1
这个公式称为对
log
c
a
数的换底公式(ch ange of base formula)．
说明：通常换成常用对数或自然对数．
【练习2】求
log
8
9?log
3
32
的值．

11
111
2．⑴．已知2
a
?5
b
? 10，求
?
的值；⑵．已知2
x
?5
y
?10
z< br>，求证：
??
．
ab
xyz
3．已知
log
2
3?a
，
3
b
?7
，试用
a
，
b
表示
log
12
56
．
已知
log
8
a?log
4
b
2
?5
，
log
8b?log
4
a
2
?7
，
a?0
，
b ?0
，求
log
2
(ab)
的值．
xx
?blo g
3
?2,若f(
2、（2009淮安3月调研）已知函数
f(x)?alo g
2
1
)?4.则f(2009)
的
2009
值为 0

例5：2000年我国国内生产总值(GDP)为89442亿元．如果我国GDP年均 增长7．8%左
右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP才能实现< br>比2000年翻两番的目标？

课内练习（课本P62练习1、3）
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三． 回顾反思
1． 对数的运算性质；
2． 换底公式的推导与应用，在教学中应用多给学生创造尝试、思考、交流、讨论、表
达的机会．
课后作业
课本P60练习3、5
课本P62练习2、4
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