高中数学不等式教案(1)

不等式(1)

●知识网络
基本性质
不等式性质
其 他性质
不等式性质
三个重要不等式:
2
≥0
(a∈R)
a
22
a +b ≥2ab
(a、∈bR)
a+b
2
≥< br>ab
(a＞0、b＞0)
比较法
方法
分析法
综合法
a -b＞0
a-b=0
a-b＜0
a＞b
a=b
a＜b
依据< br>不等式证明

●范题精讲
a
2
?
b
2
a
?
b
【例1】 试问:
2
与(a、b＜0)的大小关系，并说明理由.
2
a
?b
a
?
b
分析:两个数(或式)进行大小比较时，通常用作差法，它的一 般步骤是:(1)作差；(2)变形；(3)定号.
作差的依据是:实数大小顺序与实数运算性质间的 关系，即a＞b
?
a－b＞0；a=b
?
a－b=0；a
＜b
?
a－b＜0.
变形的方法是:采用配方法、因式分解 法将差式化为若干个因式连乘积的形式或完全平方式的和的形
式.
定号:由各因式的符号判断差的符号.
a
2
?
b
2
a
?
b
解:
2
－
a
?
b
a< br>?
b
2
(
a
2
?
b
2
)(
a
?
b
)?(
a
?
b
)(
a2
?
b
2
)
=
(
a
2
?< br>b
2
)(
a
?
b
)
(
a
?
b
)(
a
?
b
)
2
?(
a
2
?
b
2
)
=
22
(
a
?< br>b
)(
a
?
b
)
=
??
2
ab
(
a
?
b
)
.
22
(
a< br>?
b
)(
a
?
b
)
由于a＜0,b＜0,∴ ab＞0,a+b＜0,a
2
＞0,b
2
＞0.
∴a
2
+b
2
＞0并且有2ab＞0.
则(a
2
+b
2
)(a+b)＜0.
2
ab(
a
?
b
)
要判断
2
与0的关系，需对a－b 与0的关系分类:
(
a
?
b
2
)(
a
?
b
)
(1)若0＞a＞b，则a－b＞0，则2ab(a－b)＞0，于是
2
ab
(
a
?
b
)
＜0.
(
a< br>2
?
b
2
)(
a
?
b
)
a
2
?
b
2
a
?
b
此时，
2
＜.
a
?
b
a
?
b
2

(2)若0＞b＞a，则a－b＜0，则2ab(a－b)＜0，于是
2
ab
(
a
?
b
)
＞0.
(
a
2
?
b
2
)(
a
?
b
)
a
2
?
b
2
a
?
b
此时，
2
＞.
a
?
b
a
?
b
2
(3)若0＞a=b，则a－b=0,则2ab (a－b)=0,于是
2
ab
(
a
?
b
)
=0.
22
(
a
?
b
)(
a
?
b
)
a
2
?
b
2
a
?
b
此时，
2= .
2
a
?
b
a
?
b
点评:此题 在判断符号时，要分类讨论.分类讨论是重要的数学思想，要知道为什么分类，怎样分类.分
类时，要做 到不重不漏.
【例2】 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆小 时)与汽车的平均
速度v(kmh)之间的函数关系为y=
920
v
(v>0 ).
v
2
?3v?1600
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少 时,车流量最大?最大车流量为多少?(精确到0.1千辆小时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?
分析:本题主要考查函数、不等式等基本知识,考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.
解:(1)依题意,y=
920
920
920
≤=,
16 00
83
3?21600
3
?
(
v?
)
v
当且仅当v=
所以y
max
=
1600
,即v=40时,上 式等号成立.
v
920
≈11.1(千辆小时).
83
920
v
>10,
v
2
?3v?1600< br>整理得v
2
－89v+1600<0,
即(v－25)(v－64)<0.
解得25答:当v=40 kmh时,车流量最大,最大车流量约为11.1千 辆小时.如果要求在该时段内车流量超过10千
辆小时,则汽车的平均速度应大于25 kmh且小于64 kmh.
ab
?
【例3】 求证:≥
a?b
(a＞0,b＞0).
ba
思路一:从结论入手，探求、分析上一步成立的充分条件.
ab
?
证法一:(分析法)要证≥
a?b
，
ba
(2)由条件得
只要证a
a
+b
b
≥a
b
+ba
，
即证
a
3
+
b
3
≥
a b
(
a?b
).
需证(
a?b
)(a－
ab+b)≥
ab
(
a?b
)，
即a－
ab
+b≥
ab
，

也就是要证a+ b≥2
ab
成立.a+b≥2
ab
显然成立，∴原不等式成立.
思路二:从条件入手，利用已知不等式，逐次推理.
证法二:(综合法)∵a、b为正实数，∴a+b≥2
ab
.
又
a
b
+
b
≥2
a
,

























①
②
a
+
b
a
≥2
b
，
①+②得
即
a
b
b
+
b
+
a
+
b
a
≥2
a
+2
b
，
a
ba
证法三:(作差比较法)
ab
()－(
a?b
)
?
ba
ab
a? bb?a
=(－
b
)+(－
a
)=+
ba
ba
=
?
≥
a?b
成立.
(a?b)(a?b)

ab
(
a
?
b
) (
a
?
b
)
2
=.
ab
∵a、b为正实数，
∴
a?b
＞0,
ab
＞ 0,(
a
－
b
)
2
≥0.
(
a
?
b
)(
a
?
b
)
2
于是有≥0.
ab
∴
a
ba
●试题详解

?
b
≥
a?b
.