高中数学郭化楠-高中数学必修一二数学题
《基本不等式》教学设计
一．教学内容解析
基本不等式是选自人教A版数学必修5第三章第4节第1课时，是
在学习了
“不等关系与不等式”，“一元二次不等式及其解法”和“二元一次不等式（组）
与简
单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究，是不等式的延续与拓
展，为后面选修中不等式的学
习打下了坚实的基础，在不等式的证明和求最值过
程中有着广泛的应用。
本节课内容属于概念
性知识，课程标准对它的要求是：探索并了解基本不
等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（
小）值问题。因此，根据以
上课标和学生实际我确定本节课的教学重点是：探索基本不等式的形成与正明
，
会利用基本不等式求解简单的最值问题。在本节课中，学生通过观察，试验等方
法抽象概括，
归纳出基本不等式，其中渗透了数形结合的思想。
二．教学目标设置
本章的课程目标是：不
等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是
数学研究的重要内容，也是数学本质的体现。根据本
节课内容特点和以上分析，
我确定了以下教学目标：
知识与技能目标：
了解基本不
等式的几何背景和证明方法，理解基本不等式的几何意义，会利
用基本不等式求解简单的最大（小）值问
题；
过程与方法目标：
了解基本不等式的形成与证明过程，初步认识分析法证明问题的思路
，体会
利用基本不等式求解最值的方法；
情感态度与价值观目标：
通过实际背景抽
象推导出基本不等式，又利用它解决实际生活中的问题，体
现了数学来源于生活，又应用于生活；同时培
养学生分析问题，解决问题的能力，
充分激发学生学习数学的兴趣和勇于探索的精神。
基本不
等式可以与函数，三角函数，数列等知识相结合，在求解取值范围和
最值等问题时有着广泛的应用，时培
养学生思维品质的重要途径。
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三．学生学情分析
在
此之前，学生已经学习了完全平方差公式，圆，三角形以及比较法证明不
等式等相关知识，具备了初步的
观察能力，分析能力；但由于数学基础相对比较
薄弱，还缺乏一定的探究归纳能力以及分析问题和解决问
题的能力。
课堂上，教师问题逐步引导带领学生探究，归纳基本不等式与证明，由于数
学学习
是一个长期的过程，分析和解决问题的能力需要逐步提高。
四．教学策略分析
学习知识的结
果固然重要，但探索知识形成的过程同样重要。因此，在课堂
上，教师主要利用多媒体课件，几何画板的
动态演示，课堂例题规范书写等方式
启发引导学生自主探究，合作学习，以便于学生学会甚至会学。 <
br>由于学生个体之间存在着差异，因此，对于不同学生，学习目标达成的效果
是有差距的。在课堂上
，对于不同程度学生给予相应的评价和鼓励，激发学生的
学习兴趣和信心。
五．教学过程
（一）创设情境
如图是在北京召开的第24国际数学家大会的会标，会标是根
据中国
古代数学家赵爽的弦图设计的颜色的明暗使它看上去像一
个风车，代表中国人民热情好客。
【设计意图】：以会标图案引入，贴近生活，有利于充分激发学生
的学习兴趣。
（二）探索发现，形成新知识
下面请同学们思考以下问题。
问题1：会标中ABCD是什么形状吗？还有哪些图形？
问题2：它们的面积之间存在着怎样的大小关系？如何
用
a,b
表示？
问题3：中间的正方形是怎样产生的？能消失吗？（几
何画板展示）
学生们开动脑筋，找到很多相等关系与不等关系。
2
S
大正方形
?4S
直角三角形
，得
a
2
?b
2
?2ab
。
【设计意图】：问题的设计，可以给学生提供更多独立思
考的机会，启发引导学生得出不等关系。
进一步深化问题，思考等号成立的条件，几何画板演
示，润物细无声地引导学生体会极限思想。
问题4：你能用代数方法证明吗？上式对正实数是成立的，那么对任意实数
a,b
，
上式都成立吗？
（学生回答，学生比较自然的想到用“比较法”证明。教师利用投影仪展示
学
生的完整证明过程。强调
a?b
和
a?b
两种情况，说明“当且仅当”的含义
。）
1. 重要不等式：
对任意实数
a、b
，有
a
2<
br>?b
2
?2ab
，当且仅当
a?b
时，等号成立。
【设计意图】：思考变量取值范围和不等式证明过程，为后面基本不等式的条件
和证明方法作铺垫。 <
br>问题5：对于上式，如果
a?0,b?0
,用
a,b
代替
a,
b
可得到什么结论？
ab?
a?b
，当且仅当
a=b
时，等号成立。
2
a?b
(a?0,b?0)
，当且仅当
a?b
时等号成立。
2
2.基本不等式
通常我们把不等式
ab?
称为基本不等式。
我们把
a?b
叫做正数
a,b
的算术平均数，
ab
叫做正数a,b
的几何平均数。
2
基本不等式文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
由于基本不等式中含有两个平均数，因此，我们又把基本不等式叫均值不等式（均
值定理）
基本不等式实质反映的是两个正数的和与积之间的不等关系。
【设计意图】：演绎变换，得出本节课的核心内容。其中，渗透a,b的取值范围
为正数。
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【过渡】实际上，在许多几何图形中也都蕴含着基本不等式，下
面就让我们回归
到直观图形进一步理解基本不等式
【问题6】动手操作
现在我们来
做一个实验，请拿出准备好的两个正方形纸张，记一张面积为
a
，
另一张面积为
b
.
步骤一：把两张纸张沿对角线对折，把对折后的两部分纸张沿对角线靠拢，
则
两部分的总面积为
a?b
；
2
步骤二：此时靠拢的两张纸张的下半部分可看
成一个
矩形（见下图），则其中一个边长为
a
，另一边为
b
，
故矩形的面积为
ab
；
步骤三：由图显然可得基本不等式：矩形面积不大于整个面
积，即
ab?
a?b
2
其实，用我们初中所学过的平面几何的知识也可以解释基本不等式。
【问题7】你能用这个图得出基本不等式的几何解释
吗?
如图,点C是AB上一点,
AC=a，BC=b， 以AB为
直径作圆,
O为圆心，过点C作垂直于AB的弦DC,连
接AD、BD、OD。
①如何用a,
b表示OD?
②如何用a, b表示CD?
③OD与CD的大小关系怎样?
(教师问题引导，学生观察图形回答问题，教师用几何画板展示说明）
【设计意图】：根据所
学过的圆和三角形相似的知识，结合图形得出几何解释，
几何画板的动态演示，既使学生从数和形的角度
感受等号成立的条件，又在同时
激发着他们对数学的无限兴趣。
刚才我们从几何方面体会了基
本不等式。数缺形时少直观，形少数时难入微。
因此，代数证明是不可缺少的。你可以想到哪些方法呢？
（学生回答作差法，这
个问题留作课下自己推导）今天我们尝试一种新的证明方法
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