高中数学人教版必修一教案

高一数学必修1教案
第一课时
2.1.1 指数与指数幂的运算
教学要求：了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的
概念．
教学重点：掌握n次方根的求解.
教学难点：理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？（
a
2
、
a
3
）
2. 回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a， 那么这个数叫做a的平方根；如果一
个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根. → 记法：
a,
3
a

二. 讲授新课:
1. 教学指数函数模型应用背景：
① 探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.
实例1.某市人口平均年 增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少
万？
实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次）
计算：若报纸长50cm，宽34cm，厚0.01mm，进行对折x次后，问对折后的面积与厚度？
② 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年< br>平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP为2000年的多少倍？
问题2. 生物死 亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t年后体内碳
t
1
57 30
14的含量P与死亡时碳14的关系为
P?()
. 探究该式意义？
2
③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然
科学 .
2. 教学根式的概念及运算：
① 复习实例蕴含的概念：
(?2)
2
?4
,
?2
就叫4的平方根；
3
3
?27
，3就叫27的立方根.
探究：
(?3)
4
?81
,
?3
就叫做
81
的？次方根, 依此类推,若
x
n
?a
,那么
x
叫做
a
的
n
次方
根.
② 定 义n次方根：一般地，若
x
n
?a
,那么
x
叫做
a
的
n
次方根.(
n
th root ),其中
n?1
,
n??
?

简记：
n
a
. 例如：
2
3
?8
，则
3
8?2

③ 讨论：当n为奇数时, n次方根情况如何？, 例如:
3
27?3
,
3
?27??3
, 记：
x?
n
a

当n为偶数时，正数的n次方根情况？ 例如: < br>(?3)
4
?81
,
81
的4次方根就是
?3
, 记：
?
n
a

强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即.
n
0?0

④ 练习：
b
4
?a
,则
a
的4次方根为 ；
b
3
?a
, 则
a
的3次方根为 .
⑤ 定义根式：像
n
a
的式子就叫做根式（radical）, 这里n叫做根指数（radical exponent）,
a叫做被开方数（radicand）.
3
n
n
⑥ 计算
(
2
3)
2
、
4
3
、
n
(?2)
n
→ 探究：
(
n
a)
n
、
a
的意义及结果？ （特殊到一般）
?
a(a?0)
n
结论：
(
n
a)
n?a
. 当
n
是奇数时，
n
a?a
；当
n是偶数时，
n
a
n
?|a|?
?

?a(a?0)
?
(?a)
3
；
4
(?7)
4
；
6
(3?
?
)
6
；
2
(a?b)
2
（
a?b
）
（师生共练2个 → 学生试练其余2个 → 订正 → 变指数训练 → 小结：性质运用）
⑦ 出示例1.求值化简：
3

3. 小结：n次方根, 根式的概念； 根式运算性质.
三、巩固练习： 1. 计算或化简：
5
?32
；
3
a
6
（推广：
np
a
mp
?
n
a
m
， a
?
0）.
2. 化简：
5?26?7?43?6?42
；
23?
3
1.5?
6
12

3. 作业：.
第二课时
2.1.1 指数与指数幂的运算
教学要求：使学生正确理解分数指数幂 的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数
指数幂的运算.
教学重点：有理数指数幂的运算.
教学难点：有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：什么叫根式？ →根式运算性质：
(
n
a)
n
=？、
n
a
n
=？、
2. 计算下列各式的值：
(
2
?b)
2
；
(
3
?5)
3
；
2
3
4
，
5
a10
，
3
7
9

二、讲授新课：
1. 教学分数指数幂概念及运算性质:
① 引例：a>0时，
5
a
10
?
5
(a
2
)
5
?a
2
?a
→
10
5
3
np
a
mp
=？
a
12
??
；
m
n
3
a
2
?(a)?a
→
3
2
3
3
2
3
a??
.
② < br>m
n
定义分数指数幂：规定
a?
n
a
m
(a ?0,m,n?N
*
,n?1)
；
a
?
?
1
a
m
n
?
1
n
a
m
(a?0,m,n? N
*
,n?1)

③ 练习：A.将下列根式写成分数指数幂形式：
n
a
m
(a?0,m,n?N
?
n?1)
；
23
5
；
3
5
4

B. 求值
27
；
5
；
6
；
a
.
④ 讨论：0的正分数指数幂？ 0的负分数指数幂？
⑤ 指出：规定了分数指数幂的意义后 ，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那
么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指 数幂．
指数幂的运算性质：
a?0,b?0,r,s?Q

2
3< br>2
5
?
4
3
?
5
2
a
r< br>·
a
r
?a
r?s
；
(a
r
)
s
?a
rs
；
(ab)
r
?a
r
a
s
．
2. 教学例题：
25
?
3
① 出示例1. 求值:
27
;
16
;
()
?3
;
()
3

49
5
（学生试练 →订正→变式：化根式）
?
2
3
4
3
2
② 出示例2. 用分数指数幂的形式表示下列各式
(b?0)
：
b
2
gb
;
b
3
g
5
b
3
;
3
b
4
b
;
（师生共练前2个 → 学生口答最后一个 →小结：运算性质的运用）
③ 出示例3. 计算（式中字母均正）：
(3ab)(?8ab)?(?6ab)
；
(mn)
.
（师生共练前1个 → 学生口答最后一个 →小结：单项式运算）
3
1
?
a
3
210
(a?0)
，
(2mn
5
)?(?m
2
n
?3
)
6

(m,n?N
?
)
; ④ 出示例4. 计算：
ag
3a
4
2
3
1
2
1
2
1
31
6
5
6
1
4
3
8
16
(< br>4
16?
3
32)?
4
64

（学生试练前2个 → 订正 → 讨论：根式运算？分数指数幂运算？ →师生共练第3个）
⑤ 讨 论：
3
2
的结果？→定义：无理指数幂.（结合教材P
58
利用逼近 的思想理解无理指数幂

意义）
无理数指数幂
a(a?0,
?
是无理数)
是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质？
3. 小结：分数指数幂的意义，分数指数幂与根式的互化，有理指数幂的运算性质.
三、巩固练习：
1. 练习：课本练习
2. 作业：
?
第三课时
2.1.1 指数与指数幂的运算 练习课
教学要求： n次方根的求解,会用分数指数幂表示根式, 掌握根式与分数指数幂的运算.
教学重点：掌握根式与指数幂的运算.
教学难点：准确运用性质进行计算.
教学过程：
一、复习提问: （学生回答,老师板演）
1. 提问：什么叫做根式? 运算性质？
2. 提问：分数指数幂如何定义？运算性质？
3. 基础习题练习： （口答下列基础题）
(x?0)
?
n
① n为 时，
x
n
?|x|?
?
...........
.
(x?0)
?
② 求下列各式的值：
二、教学典型例题：
1．出示例1.
1
已知
a
2
?1
3
2
6
;
?
1
2
4
16
;
6
81
；
6
(?2)
2
；
15
?32
；
4
x
8
；
6
a
2
b
4
.
?a
=3，求下列各式的值: （注意：补充立方的乘法公式）
2?2
（１）
a?a
； （２）
a?a
； （３）3
a
2
1
a
2
?a
?
3
2< br>1
?
?a
2
．
讨论方法 → 教师示范 → 学生试练 （答案：（１）７；（２）４７；（３）８．）
小结：平方法；乘法公式； 根式的基本性质
np
a
mp
?
n
a
m
（a≥0）等；
注意， a≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如，
6
(?8)
2
?
3
?8
.
2. 出示例2. 从盛满1升纯酒精的容器中倒出
11
升，然后用水填满，再倒出升，又用水填33
满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？
讨论：题目含义？ （用图形示范） → 两次之间的关系？
师生共练 → 变式训练：n次后？
小结方法：摘要→审题； 探究 → 结论； 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答
三、巩固练习：
1. 化简：
(x?y)?(x?y)
.
2. 已知
f(x)?
?
x
,x
1
?x
2
?0< br>，试求
3.
2
1
?
用根式表示
(m
4n
3
)
，
1
2
1
2
1
4< br>1
4
f(x
1
)?f(x
2
)
的值.
其中
m,n?0
.
1
2
?
1
2
4. 已知x+x
-1
=3,求下列各式的值：
(1)x?x
5. 求值：
25
3
2
,(2)x?x.

3
3
2
?
3
2
2
3
36
;
27
3
;
()
2
49
4
25
?
;
()
2
;
81?9
2
;
23?
3
1.5?
6
12

4
3
6. 已知
x?a
?3
?b
?2
, 求
4
x
2
?2a
?3
x?a
?6
的值.

7. 探究：
n
a
n
?(
n
a)?2a
时, 实数
a
和整数
n
所应满足的条件.
第四课时
2.1.2 指数函数及其性质
教学要求：使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的 联系；
理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质.
教学重点：掌握指数函数的的性质．
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的？
2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？
二、讲授新课：
1.教学指数函数模型思想及指数函数概念：
① 探究两个实例：
A．细胞分裂 时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分
裂成8个，如此下去，如果第 x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系
式是什么？
B．一种放射性物质 不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时
间x年为自变量，残留量y的函数 关系式是什么？
② 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？
③ 定义：一般地，函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
叫做指数函数（expo nential function），其中x
是自变量，函数的定义域为R.
④讨论：为什么规定
a
＞0且
a
≠1呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中其它指数
模型？
2. 教学指数函数的图象和性质：
① 讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？
② 回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
1
③ 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：
y?()
x
，
y?2
x
（师生共作→小结作法）
2
11
④ 探讨：函 数
y?2
x
与
y?()
x
的图象有什么关系？如何由
y?2
x
的图象画出
y?()
x
的图
22
象？根 据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或13
等后？
⑤ 根据图象归纳：指数函数的性质 (书P62)
⑥ 出示例1. 函数
f(x)?a
x
（
a?0,且a?1
）的图象经过点（2，
?
），求
f( 0)
,
f(?1)
,
f(1)
的值.
（讨论方法→学生口答→变式→讨论：确定指数函数重要要素是什么？→小结：待定系
数法）
⑦ 出示例2. 比较下列各组中两个值的大小：
2
0.6
,2
0.5
；
0.9
?2
,0.9
?1.5
；
2.1
0.5
,0.5
2.1
；
与1

（讨论：利用什么性质？ → 师生共练，注意格式 → 小结：单调性；利用中间数）
⑧ 练习：A. 比较大小：
(?2.5)
,
(?2.5)

2
3
4
5
?
2?3
22
B. 已知下列不等式，试比较m、n的大小：
()
m
?()
n
；
1.1
m
?1.1
n

33
3.小结：指数函数模型应用思想；指数函数概念；指数函数的图象与性质；单调法
三、 巩固练习： 1. 函数
y?(a
2
?3a?3)a
x
是指数函数，则
a
的值为 .

2. 比较大小：
a?0.8
0.7
,b?0.8
0.9
,c?1.2
0.8
；
1
0
,
0.4
?2.5
,
2
? 0.2
,
2.5
1.6
.
3．探究：在[m，n]上，
f (x)?a
x
(a?0且a?1)
值域？
4. 练习：
第五课时
2.1.2 指数函数及其性质
教学要求：熟练掌握指数函数概念、图象、性质；掌握指数形 式的函数定义域、值域，判断
其单调性；培养学生数学应用意识
教学重点：掌握指数函数的性质及应用．
教学难点：理解指数函数的简单应用模型．
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问： 指数函数的定义？底数a可否为负值？为什么？为什么不取a=1？指数函数的图
11
象是2. 在同一坐标系中，作出函数图象的草图：
y?2
x
，
y?()
x，
y?5
x
，
y?()
x
,
25
1
y?10
x
,
y?()
x

10
3. 提问：指数函数具有哪些性质？
二、讲授新课：
1.教学指数函数的应用模型：
① 出示例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界 7%的国土上，却养育着22%的
世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五 次人口普查，中国人口
已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育 成为我国
一项基本国策．
(Ⅰ)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我 国的人口将达到2000年的多
少倍？
(Ⅱ)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？
（师生共同读题摘要→ 讨论方法 → 师生共练→ 小结：从特殊到一般的归纳法）
② 练习： 2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后
的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？
③ 小结指数函数增长模型：原有量N，平均最长率p，则经过时间x后的总量y=？ →一般
形式：
2. 教学指数形式的函数定义域、值域：
① 讨论：在[m，n]上，
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域？
② 出示例1. 求下列函数的定义域、值域：
y?2?1
;
y?3
;
y?0.4
.
讨论方法 → 师生共练 → 小结：方法（单调法、基本函数法、图象法、观察法）
x
5x?1
1
x?1
1
的定义域和值域.
2
讨论：求定义域如何列式？ 求值域先从那里开始研究？
3. 练习：
2x?1
① 求指数函数
y?2
的定义域和值域
② 已知下列不等式，比较
m,n
的大小
② 出示例2. 求函数
y?2
?x
?
mnmn
3
m
?3
n
；
0.6
m
?0.6
n
；
a?a(a?1)
；
a?a(0?a?1)
.
4. 小结：指数函数应用模型
y?ka
x
(k?R,a?0且a?1)
；定义域与值域；单调性应用.
三、巩固练习：
1. 一片树林中现有木材30000m
3
，如果每年增长5%，经过x年树林中有木 材ym
3
，写出x
，
y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可 以增加到40000m
3

3
?
2
?
1
3
0.76?0.75
2. 比较下列各组数的大小：
()
2
与（0.4）
2
；
（）
.
与（3）
5
3
2
x
?1
*3. 求函数
y?
x
的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.
2?1
4. 课堂作业：教材习题
第六课时
课 型：新授课
教学目标：
理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互化．
教学重点：掌握对数式与指数式的相互转化.
教学难点：对数概念的理解.
教学过程：
一、复习准备：
1.问题1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭
11
（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？ （得到：
( )
4
＝？，
()
x
＝
22
0.125
?< br>x=?）
2.问题2：假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那 么经过多少
年国民生产 是2002年的2倍？ （ 得到：
(1?8%)
x
=2
?
x=? ）

课题：对数与对数运算
问题共性：已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：课本实例由
1.01
x
?m
求x
二、讲授新课：
1. 教学对数的概念：
① 定义：一般地，如果
a
x
?N
(a?0,a?1)
，那么数 x叫做以a为底 N的对数（logarithm）.
记作
x?log
a
N
，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 → 探究问题1、2的指化对
② 定义：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把常用对数
log
10
N
简记为lgN 在科学 技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的
对数叫自然对数，并把自然对数
log
e
N
简记作lnN → 认识：lg5 lg3.5； ln10； ln3
③ 讨论：指数与对数间的关系 （
a?0,a?1
时，a
x
?N
?
x?log
a
N
）
负数与零是否有对数？ （原因：在指数式中 N > 0 ）
log
a
1??
，
log
a
a??

n
log
a
N
loga?n

a?N
④：对数公式，
a

2. 教学指数式与对数式的互化：
1
；
3
a
?27
；
10
?2
?0.01

128
（学生试练 → 订正→ 注意：对数符号的书写，与真数才能构成整体）
② 出示例2. 将下列对数式写成指数式：
log
1
32??5
； lg0.001=-3； ln100=4.606
① 出示例1. 将下列指数式写成对数式：
5
3
?125
；
2
?7
?
2
（学生试练 → 订正 → 变式：
log
1
32??
lg0.001=？ ）
2
3、例题讲解
例1（课本例1）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
11
m
（3）
()?5.73

643
（4）
log
1
16??4
（5）
log
10
0.01??2
（6）
log
e
10?2.303

（1）5
4
=645 （2）
2
?6
?< br>2

例2：（课本例2）求下列各式中x的值
（1）
log
64
x??
2
2
（2）
log
x
8?6
（3）
lg100?x
（4）
?lne?x

3


三、巩固练习：
1. 课本练习

2．计算：
log
9
27
；
log
3
243
；
log
3
81
；
log
(2?
4
3)
(2?3)
；
log
3
4
625
.
5
3．求
a
log
a
b?log
b
c?log
c
N
的值(a ,b,c?R
+
,
且不等于1，N＞0）.
log
3
1< br>5
4．计算
3
log
3
5
?3
的值.

四. 小结：
bN
对数的定义：
a?N?b?log
a
(a
＞0且
a
≠1）
1的对数是零，负数和零没有对数
对数的性质 ：
log
a
a?1

a
＞0且
a
≠1



五．作业：课本习题
a
log
a
N
?N

第七课时
课题：对数与对数运算
课 型：新授课
教学目标：
掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；能较熟练地运用法则解决
问题.
教学重点：运用对数运算性质解决问题
教学难点：对数运算性质的证明方法
教学过程：
一、复习准备：
1． 提问：对数是如何定义的？ → 指数式与对数 式的互化：
a
x
?N
?
x?log
a
N

2． 提问：指数幂的运算性质？
二、讲授新课：
1. 教学对数运算性质及推导：

① 引例： 由
a
p
a
q< br>?a
p?q
，如何探讨
log
a
MN
和
lo g
a
M
、
log
a
N
之间的关系？
设
log
a
M?p
,
log
a
N?q< br>，由对数的定义可得：M=
a
，N=
a

pq
∴MN=
aa
=
a

∴
log
a
MN=p +q，即得
log
a
MN=
log
a
M +
log
a
N
pq
p?q

② 探讨：根据上面的证明，能否得出以下式子？
如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 ，则
M
log
a
(MN)=log
a
M+log
a
N
;
log
a
=log
a
M-log
a
N
；
log
a
M
n
=nlog
a
M(n?R)

N

① 讨论：自然语言如何叙述三条性质？ 性质的证明思路？（运用转化思想，先 通过假设，
将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式
化成对数式）
1
n
④ 运用换底公式推导下列结论：
log
a< br>m
b
n
?log
a
b
；
log
a< br>b?

log
b
a
m
1. 教学例题：
例1. 判断下列式子是否正确，（
a
＞0且
a
≠1，
x< br>＞0且
a
≠1，
x
＞0，
x
＞
y
） ，
（1）
log
a
x?log
a
y?log
a< br>(x?y)
（2）
log
a
x?log
a
y ?log
a
(x?y)

（3）
log
a
x
?log
a
x?log
a
y
（4）
log< br>a
xy?log
a
x?log
a
y

y
1

x
n
（5）
(log
a
x )?nlog
a
x
（6）
log
a
x?? log
a
（7）
n
log
a
x?


1
log
a
x

n
例2（ 课本例3例4）：用< br>log
a
x
，
log
a
y
，
log
a
z
表示出（1）（2）小题，并求出（3）、
（4）小题的值.
x
2
y
xy
（1）
log
a
（2）
log
a
（3）
log
z
(4
7
?2
5
)
（4）
lg
5
100

3
z
8


三、巩固练习：
1、课本练习


2. 设
lg2?a
,
lg3?b
，试用
a
、
b
表示
log< br>5
12
.
变式：已知lg２＝0.3010，lg３＝0.4771，求lg ６、lg12、lg
3
的值.

lg27?lg8?3lg10
l g243
7
3、计算：
lg14?2lg?lg7?lg18
； ； .
lg1.2
lg9
3
4. 试求
lg
2
2?lg2?lg5?lg5
的值

111
5. 设
a
、
b
、
c
为正数，且< br>3
a
?4
b
?6
c
，求证：
??

ca2b

四 、小结：
对数运算性质及推导；运用对数运算性质；换底公式.

五、作业：课本习题
后记：
第八课时

课题：对数与对数运算
课 型：新授课
教学目标：
能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题，加强数学应用意识的训 练，提高解决应用
问题的能力．
教学重点：用对数运算解决实践问题.
教学难点：如何转化为数学问题
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：对数的运算性质及换底公式？
2. 已知
log
2
3 = a，
log
3
7 = b, 用 a, b 表示
log
42
56
3. 问题：1995年我国人口总数是12亿，如果 人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年
7
我国人口总数将超过14亿？ （答案：
12?(1?0.0125)
x
?14
→
1.0125
x
?
→
6
lg7?lg6
x??12.4
）
lg1.0125
二、讲授新课：
1.教学对数运算的实践应用：让学生自己阅读思 考P
67
~P
68
的例5，例6的题目，教师
点拨思考：
① 出示例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使
用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就
是我们常 说的里氏震级M，其计算公式为：
M?lgA?lgA
0
，其中A是被测地震的最大振
幅，
A
0
是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际 震中距离造成
的偏差）.
（Ⅰ）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的 地震最大振幅是20,此
时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；
（Ⅱ）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的
多少 倍？（精确到1）
② 分析解答：读题摘要 → 数量关系 → 数量计算 → 如何利用对数知识？
③ 出示例2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730
年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量
P与生物 死亡年数t之间的关系．回答下列问题：
（Ⅰ）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函 数的观点来解释P和t之间
的关系，指出是我们所学过的何种函数？
（Ⅱ）已知一生物体内碳 14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点
来解释P和t之间的关系，指出是我们所 学过的何种函数？
（Ⅲ）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？
④分析解答：读题摘要 → 寻找数量关系 → 强调数学应用思想
⑤探究训练：讨论展示并分析自己的结果，试分析归纳，能总结概括得出什么结论？
结论：P 和t之间的对应关系是一一对应；P关于t的指数函数
P?(
5730
1、 例题选讲
b
例1、已知：
log
18
8?a,18?5,求log
3 6
45
（用含a，b的式子表示）


1
x
)
；
2

例2、计算
log
2


例3，
已lgx?lgy?2lg(x?2y)
求
log



三、巩固练习：
1. 计算：
5
1?log
0.2
3
；
log
4
3? log
9
2?log
1
4
32

111
?log
3
?log
5

2589
x
的值
y
2
2


2. 我国的GDP年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP在1999年的基础上翻
两翻？

四、小结：
初步建模思想（审题→设未知数→建立x与y之间的关系→）； 用数学结果解释现象
五、作业习题
后记：

第九课时
课题：对数函数及其性质
课 型：新授课
教学目标：
通过具体实 例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，
体会对数函数是一类重要的函 数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据对数函数的
图象和性质进行值的大小比较.培养学生 数形结合的意识.用联系的观点分析问题.
教学重点：对数函数的图象和性质
教学难点：对数函数的图象和性质及应用
教学过程：
一、复习准备：
1
1. 画出
y?2
x
、
y? ()
x
的图像，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质.
2
2. 根据教材P
73
例，用计算器可以完成下表：
碳14的含量P
生物死亡年数t
0.5

0.3

0.1

0.01

0.001

讨论：t与P的关系？（对每一个 碳14的含量P的取值，通过对应关系
t?log
5730
1
2
P< br>，
生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数）
二、讲授新课：

1.教学对数函数的图象和性质：

① 定义：一般地，当a＞0且a≠ 1时，函数
y=log
a
x
叫做对数函数(logarithmic function).
自变量是x； 函数的定义域是（0，+∞）
② 辨析： 对数函数 定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：
y?2log
2
x
，< /p>

而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制
(a?0
，
y?log
5
(5x)
都不是对数函数，
且
a?1)
．

③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

④ 练习：同一坐标系中画出下列对数函数的图象
y?log
2
x
；
y?log
0.5
x


⑤ 讨论：根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？
列表归纳：分类 → 图象 → 由图象观察（定义域、值域、单调性、定点）
引申：图象的分布规律？


2、总结出的表格

图象的特征 函数的性质
（1）图象都在
y
轴的右边
（1）定义域是（0，+∞）
（2）函数图象都经过（1，0）点 （2）1的对数是0
（3）从左往右看，当
a
＞1时，图
象逐渐上升，当0＜
a
＜1时，图象
逐渐下降 .
（3）当
a
＞1时，
y?log
a
是增函数，
当
0＜
a
＜1时，
y?log
a
x
是减函数.
（4）当
a
＞1时

x
x
＞1，则
log
a
x
＞0
（4）当
a
＞1时，函数图象在（1，
0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，
0＜
x
＜1，
log
a
x
＜0
0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜
当0＜
a
＜1时
a
＜1时，图象正好相反，在（1，0）
点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）

x
＞1，则
log
a
x
＜0
点左边的纵坐标都大于0 .
0＜
x
＜1，
log
a
x
＜0


1. 教学例题
例1：（课本例7）求下列函数的定义域
（1）
y?log
a
x
2
（2）
y?log
a
(4?x)
（
a
＞0且
a
≠1）
例2. （课本例8）比较下列各组数中的两个值大小
（1）
log
2
3.4,（2）
log
0.3
1.8,
（3）
log
a
5.1,
log
2
8.5

log
0.3
2.7

log
a
5.9
（
a
＞0，且
a
≠1）

三．巩固练习：
1、课本练习3、4题


2．求下列函数的定义域：
y?log
0.2
(?x?6)
；
y?
3
log
2
x
.


3．比较下列各题中两个数值的大小：
log
2
3和log
2
3.5
；
log
0.3
4和log
0.2
0.7
；
log
0.7
1 .6和log
0.7
1.8
；
log
2
3和log
3
2
．


4. 已知下列不等式，比较正数m、n的大小：
log
3
m＜
log
3
n ；
log
0.3
m＞
log
0.3
n ；
log
a
m＞
log
a
n (a＞1)


5. 探究：求定义域
y?log
2
(3x?5)
；y?log
0.5
4x?3
.


四.小结：
对数函数的概念、图象和性质; 求定义域；利用单调性比大小.
五、作业习题

第十课时
对数函数及其性质
课 型：新授课
教学目标：
了解对数函数在生产实际中的简单应用.进一步理解对数函数的图象和性质;学习反函
数的概念,理解 对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个
函数的图象性质.
教学重点与难点：理解反函数的概念
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：对数函数
y?log
a
x(a?0,且a?1)
的图象和性质？
2. 比较两个对数的大小：
log
10
7
与
log
10
12
；
log
0.5
0.7
与
log< br>0.5
0.8

3. 求函数的定义域
y?
?
1?log
3
2x
?
；
y?log
a
(2x?8)

二、讲授新课：
1. 教学对数函数模型思想及应用:
① 出示例题（课本例9）：溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH 的计算公式
pH??lg[H
?
]
，其中
[H
?
]
表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升.
（Ⅰ）分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系？
（Ⅱ）纯净水
[H
?
]?10
?7
摩尔升，计算纯净水的酸碱度.
②讨论：抽象出的函数模型？ 如何应用函数模型解决问题？ → 强调数学应用思想
2．反函数的教学:
① 引言:当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而
把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function）
② 探究：如何由
y?2
x
求出x？
?1

③ 分析： 函数
x?log
2
y
由
y?2
x
解出，是把指数函 数
y?2
x
中的自变量与因变量对调位置
而得出的. 习惯上我们通常用x表示自变量，y表示函数，即写为
y?log
2
x
. < br>那么我们就说指数函数
y?2
x
与对数函数
y?log
2x
互为反函数
④ 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数
y?2
x< br>及其反函数
y?log
2
x
图象，发现什么性
质？
⑤ 分析：取
y?2
x
图象上的几个点，说出它们关于直线
y?x< br>的对称点的坐标，并判断它
们是否在
y?log
2
x
的图象上 ，为什么？
⑥ 探究：如果
P
0
(x
0
,y
0< br>)
在函数
y?2
x
的图象上，那么P
0
关于直线y?x
的对称点在函数
y?log
2
x
的图象上吗，为什么？
由上述过程可以得到什么结论？(互为反函数的两个函数的图象关于直线
y?x
对称)

3、例题讲解
例1、求下列函数的反函数
（1）
y?5
（2）
y?log
0.5
x



2
例2 、求函数
log
1
(x?6x?17)
的定义域、值域和单调区间
2
x



三、巩固练习：

1练习：求下列函数的反函数：
y?3
x
；
y?log
6
x

（师生共练 → 小结步骤：解x ；习惯表示；定义域）


x
2.求下列函数的反函数： y=
(2)
x
(x∈R)； y=
log
a
(a＞0,a≠1,x＞0)
2

x
-1
1． 己知函数
f(x)?a?k
的图象过点（1，3）其反函数
y?f
?
x
?的图象过（2，0）点，
求
f
?
x
?
的表达式.


四、小结：
函数模型应用思想；反函数概念；阅读材料

五、作业习题




第十一课时

教学过程与操作设计：

环节 教学内容设计
阅读教材的具体实例（1）~（5），思考下列问题：
师生双边互动
创

设

情

境
生：独立思考完成引
例．

1．它们的对应法则分别是什么？

2．以上问题中的函数有什么共同特征？
师：引导学生分析归纳
概括得出结论．
（答案）

1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）

师生：共同辨析这种新
开方；（5）取倒数（或求－1次方）．
函数与指数函数的异
?
2．上述问题中涉及到的函数，都是形如
y?x
同．
的函数，其中
x
是自变量，是
?
常数．
材料一：幂函数定义及其图象．
一般地，形如
师：说明：
幂函数的定义 来
自于实践，它同指数函
数、对数函数一样，也
是基本初等函数，同样
也是一 种“形式定义”
的函数，引导学生注意
辨析．

生：利用所学知识和方法尝试作出五个具体
幂函数的图象，观察所
图象，体会幂函数的变
化规律．


师：引导学生应用画函
数的性质画图象，如：
定义域、奇偶性．


师生共同分析，强调画
图象易犯的错误．
y?x
?
(a?R)

的函数称为幂函数，其中
?
为常数．
下面我们举例学习这类函数的一些性质．
作出下列函数的图象：
组


织


探


究
（1）
y?x
；（2）
y?x
?1
1
2
；（3）
3
y?x
2
；
（4）
y?x
；（5）
y?x
．

1
列表（略） [解] ○
2
图象 ○


环节 教学内容设计 师生双边互动

材料二：幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并
且图象都过点（1，1）；
（2）
?
?0
时，幂函数的图象通过原点，并且
师：引导学生观察图
象，归 纳概括幂函数的
的性质及图象变化规
律．

在区间
[0,??)< br>上是增函数．特别地，当
?
?1
时，

幂函数的图象下凸；当
0?
?
?1
时，幂函数的图象
生：观察图象，分组讨
上凸； 论，探究幂函数的性质
和图象的变化规律，并
（3）幂函数的图象在区间
(0,??)
上
?
?0
时，
展示各自的结论进行
是减函数．在第一象限内 ，当
x
从右边趋向原点时，交流评析，并填表．
图象在
y
轴右方无 限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于
??
时，图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴．

材料三：观察与思考

观察图象，总结填写下表：


定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
组


织


探


究
y?x

y?x
2

y?x
3

y?x

1
2
y?x
?1


























师：引导学生回顾讨论
函数性质的方法，规范
解题格式与步骤．
并指出函数单调
性是判别大小的重要
工具，幂函数的图象可
以在单调性、奇偶性基1.5
1.5
（1）
(a?1)
，
a

础上较快描出．
2
2

?
?
2
3
3
（2）
(2?a)
，
2



2
生：独立思考，给出解
3
[例3] 讨论函数
y?x
的定义域、奇偶性，作
答，共同讨论、评析．
出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．


环节 呈现教学材料 师生互动设计
材料五：例题
[例1]
（教材例题）

[例2]
比较下列两个代数值的大小：

1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂
的值的大小：
（1）
2.3
，
2.4
；
（2）
0.31
，
0.35
；
（3）
(2)（4）
1.1
?
1
2
6
5
3
4


3
4
6
5
?
3
2
尝
试
练
习
，
(3)
?
1
2
?
3
2
；
，
0.9
．
3
2
2．作出函数
y?x
的 图象，根据图象讨论这
个函数有哪些性质，并给出证明．
?2
3．作出函数
y?x
和函数
y?(x?3)
的图
?2
象，求这两个函数的定义域和 单调区间．
4．用图象法解方程：
32
（1）
x?x?1
； （2）
x?x?3
．


1．如图所示，曲线是幂
函数< br>y?x
在第一象限内的
图象，已知
探
究
与
发
现
?

规律1：在第一象限，
作直线
x?a(a?1)< br>，
它同各幂函数图象相
交，按交点从下到上的
顺序，幂指数按从小到
大 的顺序排列．


规律2：幂指数互为倒
数的幂函数在第一象
限内 的图象关于直线
?
分别取
1
?1,1,,2
四个值，则相应图
2
象依次为： ．


2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你
能发现什么规律？
（1）
y?x
（2）
y?x

?3
和
y?x
?
1
3
；
5
4
和
y?x
．
4
5
y?x
对称．
1．在函数
y?
作业
回馈
1

22
,y?2x,y?x?x,y?1
x
2
中，幂函数的个数为：
A．0 B．1 C．2 D．3

呈现教学材料 师生互动设计 环节

2．已知幂函数
y?f(x)
的图象过点
(2,2)
，
试求出这个函数的解析式．
3．在固定压力差（压力差为常数）下， 当气体
通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四
次方成正比．
（1）写出函数解析式；
（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速
率为400 cm
3
s，求该气体通过半径为r的管道时，
其流量速率R的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，
计算该气体的流量速率．
4． 1992年底世界人口达到54．8亿，若人口
的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为（y亿 ），
写出：
（1）1993年底、1994年底、2000年底的世界
人口数；
（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解
析式．
利用图形计算器探索一般幂 函数
y?x
的图
象随
?
的变化规律．
1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数
的奇偶性、单调性之间的关系？

2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些
方面？
?

课
外
活
动
收
获
与
体
会



第十二课时
2.3 幂函数

教学要求：
通过具体实例了解幂函数的图象和性质，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称 性并能进
行简单的应用.

教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.

教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质.

教学过程：
一、新课引入：
（1）边长为
a
的正方形面积
S?a
，这 里
S
是
a
的函数；
2

（2）面积为
S
的正方形边长
a?S
，这里
a
是
S
的函数；
（3）边长为
a
的立方体体积
V?a
，这里
V
是< br>a
的函数；
（4）某人
ts
内骑车行进了1
km
， 则他骑车的平均速度
v?tkms
，这里
v
是
t
的函数；
（5）购买每本1元的练习本
w
本，则需支付
p?w
元，这里
p
是
w
的函数.
观察上述五个函数，有什么共同特征？（指数定，底变）

二、讲授新课：
1、教学幂函数的图象与性质
① 给出定义：一般地，形如
y?x
(a?R )
的函数称为幂函数，其中
?
为常数.
?
?1
3
1
2
1
② 练：判断在函数
y? ,y?2x
2
,y?x
3
?x,y?1
中，哪几个函数是幂函数？
x
③ 作出下列函数的图象：（1）
y?x
；（2）
y?x
；（3）
y?x
；（4）
y?x
；（5）
y?x
．
④ 引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：
（Ⅰ）所有的幂函数在（ 0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（Ⅱ）
?
?0
时，幂函数 的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是增
函数．特别地，当
?
?1
时，幂函数的图象下凸；当
0?
?
?1
时，幂
函数的 图象上凸；
（Ⅲ）
?
?0
时，幂函数的图象在区间
(0,??)< br>上是减函数．在第一象
限内，当
x
从右边趋向原点时，图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于
??
时，
图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴．
2、教学例题：
① 出示例1：讨论
f(x)?x
在
[0,??)
的单调性.
（复习单调性的定义→ 师生共练 → 变式训练：
f(x)?
1.53
1
2
2?13
x
）
?
1
2
② 出示例2. 比较大小：
(a?1)
与
a
；
(2?a)
与
2
；
1.1
与
0.9< br>.
（教师示范 → 学生板演 → 小结：单调性比大小）
3、小结：幂函数的的性质及图象变化规律，利用幂函数的单调性来比较大小.

三、巩固练习：
1. 练习：教材 1、2题.
2. 讨论函数
y?x
的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．
3. 比较下列各题中幂值的大小：
2.3
与
2.4
；
0. 31
与
0.35
；
(2)
4. 作业：

34
1.5
2
?
2
3
?
2
3
?
1
2
2
3
3
4
6
5
6
5
?
3
2
与
(3)
?
3
2
.
第十三课时
§2.3 幂函数
一．教学目标：
1．知识技能
（1）理解幂函数的概念；
（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.
2．过程与方法
类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.

3．情感、态度、价值观
（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；
（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.
二．重点、难点
重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质
难点：从幂函数的图象中概括其性质
5．学法与教具
（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质
（2）教学用具：多媒体
三．教学过程：
引入新知
阅读教材的具体实例（1）~（5），思考下列问题.
（1）它们的对应法则分别是什么？
（2）以上问题中的函数有什么共同特征？
让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论
答：1、（1）乘以1 （2）求平方 （3）求立方
（4）求算术平方根 （5）求－1次方
2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：
y?x
，其中
x
是自变量，
?
是常数.
探究新知
1．幂函数的定义
一般地，形如
y?x
（
x?
R）的函数称为幂孙函数，其中
x
是自变量，
?
是常数.
如
y?x,y?x,y?x
本初等函数.
2．研究函数的图像
2
（1）
y?x
（2）
y?x
（3）
y?x

?
?
2
1
3
?< br>1
4
等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基
1
2< br>（4）
y?x
（5）
y?x

一．提问：如何画出以上五个函数图像
引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性， 定义域等，画出函数图像，最
后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.
?13
y?x
2

y?x

4
y?x

2
1
2
y=x
3

y=x
-1

0
51015-5
-2
-4
-6

让学生通过观察图像，分组 讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引
导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究 幂函数的性质.
通过观察图像，填P
91
探究中的表格

-8
-10

定义域
奇偶性
y?x

R
奇
y?x

R
奇
在第Ⅰ象限
单调递增
（1，1）
2
y?x

R
奇
在第Ⅰ象限
单调递增
（1，1）
3
y?x

1
2
y?x
?1

?
x|x?0
?

?
x|x?0
?

非奇非偶
在第Ⅰ象限
单调递增
（1，1）
奇
在第Ⅰ象限
单调递减
（1，1）
在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限
单调增减性 单调递增
定点


3．幂函数性质
（1，1）
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：
1?1
）；
（2）
x
＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞)上，是增函 数（从左往右看，
函数图象逐渐上升）.
2
特别地，当
x
＞1，
x
＞1时，
x
∈（0，1），
y?x
的图象都在y?x
图象的下方，形
x
状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）
2
当∠α＜1时，
x
∈（0，1），
y?x
的图象 都在
y?x
的图象上方，形状向上凸，α
越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
在第一家 限内，当
x
向原点靠近时，图象在
y
轴的右方无限逼近
y
轴 正半轴，当
x
慢慢
地变大时，图象在
x
轴上方并无限逼近
x
轴的正半轴.
例题：
1．证明幂函数
f(x)?x在[0,??]
上是增函数

证 ：任取
x
1
,x
2
?[0,??),且x
1
＜x
2
则

f(x
1
)?f(x
2
)?
=
x
1
?x
2


(x
1
?x< br>2
)(x
1
?x
2
)
x
1
?x2
=
x
1
?x
2

x
1
?x
2
因
x
1
?x
2
＜0，
x
1
?x
2
＞0
所以
f(x
1
)?f(x
2
)
，即
f(x)?
思考：
我们知道，若
y?f(x)?0,若
x在[0,??]
上是增函数.
f(x
1
)
?1
得
f(x
1
)?f(x
2
)
，你能否用这种作比的方法
f(x
2
)
来证明
f(x)?x在[0,??]
上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？
2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小
（1）
2,
1
6
3
（2）
(x?1),x
1
6
3
2
3
2
(x?0)
（3）
(a?4),4

2
?
2
4
?
2< br>4
分析：利用幂函数的单调性来比较大小.
5．课堂练习
画出
y?x
的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性.
6．归纳小结：提问方式
（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？
（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？
作业：
2
3
第十四课时
函数图象及其应用
一．教学内容分析：
本堂课安排在人教版必修1第二章结束之后，第三章教学之前，对所学常见
函数模型及其图像进行归纳 总结，使学生对函数图像有个系统的认识，在此基础
上，一方面加强学生的看图识图能力，探究函数模型 的广泛应用，另一方面，着
重探讨函数图像与方程的联系，渗透函数与方程的思想及数形结合思想，为第 三
章作了很好的铺垫，承上启下，衔接自然，水到渠成。
学生对函数与方程的关系有一个逐步 认识的过程，应遵循由浅入深、循序渐
进的原则．从学生认为较简单的问题入手，由具体到一般，建立方 程的根与函数
图像的联系。另外，函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，

一个“局部”，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研
究，将 静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等
其它知识的联系奠定了坚实的基 础。
二．学生学习情况分析：
学生在学完了第一章《集合与函数概念》、第二章《基本初等 函数》后，
对函数的性质和基本初等函数及其图像有了一定的了解和把握，但学生素质
参差不齐 ，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距
很大。因此进行本堂课的教学，应首先 有意识地让学生归纳总结旧知识，提
高综合能力，对新知识的传授，即如何利用函数图像解决方程的根的 问题，
则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化
繁为简，突破 难点。
高中数学与初中数学相比，数学语言在抽象程度上突变，思维方法向理性层
次跃迁，知 识内容的整体数量剧增，以上这三点在函数这一章中得到了充分的体
现，本章的特点是具有高度的抽象性 、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。
因此，在教学中应多考虑初高中的衔接，更好地帮助学生借 由形象的手段理解抽
象的概念，在函数这一章，函数的图像就显得尤其重要而且直观。
三．设计思想：

1．尽管我们的教材为学生提供了精心选择的课程资源，但教材仅是 教师在
教学设计时所思考的依据，在具体实施中，我们需要根据自己学生数学学习的特
点，联系 学生的学习实际，对教材内容进行灵活处理，比如调整教学进度、整合
教学内容等，本节课是必修1第二 章与第三章的过渡课，既巩固了第二章所学知
识，又为第三章学习埋下伏笔，对教材做了一次成功的加工 整合，正所谓磨刀不
误砍材功。
2．树立以学生为主体的意识，实现有效教学。现代教学论认 为，学生的数
学学习过程是一个学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，只有学生主
动 参与到学习活动中，才是有效的教学。在本节课的设计中，首先设计一些能够
启发学生思维的活动，学生 通过观察、试验、思考、表述，体现学生的自主性和
活动性；其次，设计一些问题情境，而解决问题所需 要的信息均来自学生的真实
水平，要么定位在学生已有的知识基础，要么定位在一些学生很容易掌握的知 识
上，保证课堂上大部分学生都能够轻松地解决问题。随着学生的知识和信息不断
丰富，可以向 学生介绍更多类型的问题情境或更难的应用问题情境，渗透数学思
想，使学生学会问题解决的一般规律。
3．凡事预则立，不预则废。预设是数学课堂教学的基本要求，但课堂教学
不能过分拘泥于预设 的固定不变的程序，应当开放地纳入弹性灵活的成分以及始
料不及的体验。一堂好数学课应该是一节不完 全预设的课，在课堂中有教师和学
生真实的情感、智慧的交流，这个过程既有资源的生成，又有过程状态 的生成，
内容丰富，多方互动，给人以启发。
四．教学目标：

1．通过复 习所学函数模型及其图像特征，使学生对函数有一个较直观的把
握和较形象的理解，缓解因函数语言的抽 象性引起的学生的心理不适应及不自觉
的排斥情绪。

2．通过练习的设置，从 解决简单实际问题的过程中，让学生体会函数模型
的广泛适用性，贯穿理论联系实际、学以致用的观点， 充分体现数学的应用价值，
加强学生的看图识图能力，激发学习兴趣，引导学生自觉自主参与课堂教学活 动。
3．通过对所给问题（例题1、2）的自主探究和合作交流，使学生理解动与
静，整体与 局部的辨证统一关系，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的
核心作用。
4．结合具体 的问题，并从特殊推广到一般，使学生领会函数与方程之间的
内在联系，体验函数与方程思想、数形结合 思想及等价转化思想的意义和价值。
五．教学重点和难点：
教学重点：常见函数模型的图像 特征和实际应用。通过课堂师生互动交流，
共同完成对相关知识的系统归纳，借助多媒体课件演示，增加 学生的直观体验，
深化认识，突破重点。
教学难点：利用函数图像研究方程问题的思想和方法 。在教学过程中，通过
学生自主探究学习，在实际问题的解决中学习将抽象的数学语言与直观的图像结< br>合起来，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，实现
难点突破。
六．教学过程设计：
环节设置
（一）目
标设疑，
学生解
疑，温故
知新（约
8分钟）
问题驱动
提问1：我们学过哪
些基本初等函数？
对它们的大致图像
还有印象吗？
试回忆所学并完成
表格（后附）
练习1．（后附）
提问2：若将“
a?1
”
改为“
a?0
且
，又该如何选
a?1
”
择？
学情预设
回顾常数函数、一次函
数、二次函数、反比例
函数 、指数函数、对数
函数、幂函数
1
（
a?1,2,3,?1,)
的图
2
像。（板书结合多媒体
演示、实物投影）
设计意图
所有的知识 只有
通过学生自身的“再
创造”活动，才能纳入
其认知结构中，才可能
成为下 一个有效的知
识。教师必需尊重学生
的主体性，让学生自主
参与探究，切实掌握本节课的重点。辅以多媒
体直观演示能使教学
更富趣味性和生动性。

试回忆所学并完成表格：
函数名称
常数函数
一次函数
二次函数
函数解析式
y?k(k
为常数）
函数大致图像
平行与x轴的一条直线
一条直线
一条抛物线
y?kx?b(k,b
为常数）
y?ax
2
?bx?c(a,b,c
为常数，
a?0
）
反比例函数
y?
k
(k?0,k
为常数）
x
一条双曲线

指数函数
对数函数
幂函数
y?a
x
(a?0,a?1)

y?log
a
x(a?0,a?1)

y?x
a
(a?0,a
为常数）
（多媒体演示）
（多媒体演示）
（多媒体演示）
练习1．如图6-1当
a?1
时 ，在同一坐标系中，函数
y?a
?x
与
y?log
a
x的图像
是（ D ）



y
y y y



O
x
O O O
x x
x


(A)
(B) (C)
(D)


图6-1



提问2：若将“
a?1
”改为“< br>a?0
且
a?1
”，又该如何选择？
环节设置 问题驱动 学情预设 设计意图
（二）演练练习2．（后附） 以问题为驱动，讲练结合，（1）新教材为引
巩固， 深化提问3：你能否写引入对具体实例的详细剖导学生自主发现、
理解，学以出通话收费S析，循序渐进 ，由浅入深，探索留有比较充
致用（约35（元）关于通话探讨函数模型的广泛应用分的空间，在教学< br>分钟） 时间t（分）的函和函数与方程的等价转化，中我们应充分利
数表达式？这样渗透数形结合思想。（板书用这些空白空间，
的函数称为什么结合多媒体演示） 目标问题化，问题
函数？ 练习2：借助具体实例，了设疑化，过程探讨
例1．（后附） 解简 单的分段函数，这是很化，再给予学生发
师：从函数图像重要的一类函数模型，在实挥的空间，促进他< br>上可以分析函数际问题中有较广泛的应用。们主动地学习和
的性质（如定义本题要求写出函数解析 式，发展，让空白的地
域、值域、单调大约5分钟可完成。 方丰富多彩也是
性、奇偶性等）， 例1：借由函数图像解决函学习方式丰富的
除此之外，函数数性质（值域）是函数图像表现。
图像还有什么妙的重要应用，以概念定义方（2）对于学生来
用吗？请看例2。 式呈现，以分段函数的形式说，学习数学的一
例2．（后附） 考察，足见题目设计的新个重要目的是要
适当引导，点拨，颖，对学生较有吸引力和挑学会数学地思考，
引发认知冲突，战性，给足学生 思维、探究、数学能力的提高
学生探究解决。 讨论的时间，大约10分钟离不开解题，解题
变式一：若方程方可完成。 教学重点是向学
例2 ：恰当的问题情境，能生暴露思维过程

x
2
?2x?3?k
有 解，k取何范
围？
提问：一定要画
出具体的函数图
像吗？不画图有
没有办法直接给
出k的取值范围
呢？
师：数和形是数
x
2
?2x?3?k
的根的个数
学的两种表达形
式，在本例中，判断，真的要解方程吗？有
我们借由函数图其他办法吗？
像（形）解决方认知冲突二：如何作函数
程的根的个数 判
y?x
2
?2x?3
与
y?k
的
断（数），以形 辅
数，这种思想方图像？
法称为数形结结合多媒体辅助演示，作函
合。
数
y?x
2
?2x?3
与
y?k
变式二：依照这
样的 解题方法，的图像，利用函数图像交点
你能否判断方程个数判断方程根的个数。
lnx?x?4
的根
的个数？
练习2．某地区电信资费调整后，市话费标准 为：通话时间不超过3分钟收费0.2
元，超过3分钟后，每增加1分钟多收费0.1元（不足1分钟按 1分钟收费）。
通话收费S（元）与通话时间t（分）的函数图像可表示为（ B ）

S S S

0.6
0.6
0.6

0.4
0.4
0.4

0.4

0.2 0.2
0.2 0.2

O O
3
6 t 3 6 t 3 6 t

O
3 6 t
O

(A) (B) (D)
(C)


图6-2

引发学生的认知冲突， 使学
生产生明显的意识倾向和
情感共鸣，激发他们的求知
欲和探索精神，引导学生主< br>动思考。这个问题涉及本课
题的核心内容，给学生充足
的探究时间，大约20分钟
可完成。
具体可能的认知冲突有二：
认知冲突一：方程
和展示学生的思
维过程。例题的设
计以阶梯式呈现，
给学生较为充分
的时间，自主探究
和解决 问题，教师
在评讲时，有意识
地渗透数形结合
的思想方法，从而
达到传授知识 、培
养能力的目的，实
现难点的化解与
突破。
（3）学习函数和
方 程的相互等价
转化，注意相关内
容的前后联系，使
学生加深对所学
知识的系统 认识，
促进思维的深刻
性。在潜移默化中
培养了学生的科
学态度和理性精神。
提问3：你能否写出通话收费S（元）关于通话时间t（分）
(0?t?6)
的函数表
达式？这样的函数称为什么函数？
?
b(a?b)
例1．若定义 运算
a?b?
?
，则函数
f(x)?3
x
?3
?x
的值域为（ A ）
?
a(a?b)

(A)(0,1] (B)[1,??)C.(0,??)D.(??,??)

例2．当
k?
环节设置
（三）理
论升华，
思维拓
展，总结
评价（约
2分钟）

时，方程
x
2
?2x?3?k
有两解？有三解？有四解呢？无解呢？
问题驱动 学情预设 设计意图
提问：这节课我们学习了那总结学习内容，归提纲挈领，理清 基
些内容？哪些方法？哪些纳学习方法，提升本内容，形成知识
数学思想？（课堂小结后数学思 想，拓展学体系，提升数学思
附） 生思维，完成总结想，使本节内容不
课后作业：（后附） 评价。 再浮于表面。
1．写下本节课的学习心得
体会。
2．完成三道课后习题
课堂小结：
本节课复习了常见函数模型及其图像特征，体会到利用函数图像解决函数性
质的形象和直观，学习函数和方程的相互等价转化，体会函数方程思想与数形结
合思想的意义和价值。
正如华罗庚所说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔
裂分家万事休。
课后作业：
1．总结本节课的学习心得体会。
波利亚（G·Polya）先生曾指 出“一个重大的发现可以解决一道重大的题目，
但是在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现”。 可见，习题在数学学习
中具有非常重要的作用。
学莫贵于自得，请你写下本节课的学习心得体会。




2．课后习题：
1．某工厂八年来产品总产量C（即前t年年产量之和）与时间t（年）的函 数如
图6-3，下列四种说法：
C
（1）前三年中，产量增长的速度越来越快；
（2）前三年中，产量增长的速度越来越慢；
（3）第三年后，这种产品停止生产；
（4）第三年后，年产量保持不变；
3 8 t

O
图
6-3
其中，说法正确的是（ A ）
（A）（2）与（3） （B）（2）与（4） （C）（1）与（3） （D）（1）与（4）
2．若关于x的方程x
2
?6x?8?k?0
有且只有两个不同的实根，则（ ）
(A)k?0(B)k?1(C)0?k?1(D)k?1或k?0

3．如图6-4，函数的图像由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数
f(x)
的解
析式。
变式：讨论方程
f(x)?a
的根的个数。







附：板书设计
函数名称
常数函数
一次函数
二次函数
函数解析式
y?k(k
为常数）
y?kx?b(k,b
为常数）
2
1
y
O
1 2 3 4
x
图6-4

函数大致图像
……
……
……
y?ax
2
?bx?c(a?0,a,b,c,
为
常数）
反比例函数
指数函数
对数函数
幂函数
1.常见函数模型
2．分段函数
练习2：……
例1．……
例2．……

k
y?(k?0,k
为常数）
x
y?a
x
(a?0,a?1)

y?log
a
x(a?0,a?1)

y?x
a
(a?0,a
为常数）
……
……
……
……

















七．教学反思

1．对教学内容的反思：
对于数学教师来说，他要从“教” 的角度去看数学去挖掘数学，不仅要能“做”、
“会理解”，还应当能够教会别人去“做”、去“理解” ，因此教师对教学概念的
反思应当从逻辑的、历史的、关系、辨证等方面去展开。
从逻辑的 角度看，函数概念主要包含定义域、值域、对应法则三要素，以及

函数的单调性、奇偶性 、对称性等性质和一些具体的特殊函数，如：指数函数、
对数函数等这些内容是函数教学的基础，但不是 函数的全部。
从关系的角度来看，不仅函数的主要内容之间存在着种种实质性的联系，函
数 与其他中学数学内容也有着密切的联系，其中就包括方程的根与函数的图象之
间的等价转化问题。
2．对学生数学学习活动的反思：
师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活 阅历等方面存在
很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。学生
的数学学习只有通过自身的操作和主动的参与才可能是有效的，更为进一步的是
学生的数学学习只有通过 自身的情感体验，树立坚定的自信心才可能是成功的。
为此，本节课在教学中着力于为学生提供丰富多彩 的问题情境，关注学生的情感
和情绪体验，让学生投入到现实的、充满探索的数学学习过程中，从而提高 数学
学习的水平，养成正确的学习态度和习惯。
3．对数学教学活动的反思：
教学 设计的难点在于教师把学术形态的知识转化为适合学生探究的认知形态的
知识。学生的认知结构具有个性 化特点，教学内容具有普遍性要求。如何在一节
课中把二者较好地结合起来，是提高课堂教学效率的关键 。本节课致力于提高课
堂教学的有效性，其一，有明确的教学目标，其二，能突出重点、化解难点，其< br>三，善于运用现代化教学手段，其四，根据具体内容，选择恰当的教学方法，其
五，关注学生，及 时鼓励，其六，充分发挥学生主体作用，调动学生的学习积极
性，其七，切实重视基础知识、基本技能和 基本方法，其八，渗透数学思想方法，
提高综合运用能力。在实际教学中应因材施教，用不一样的标准衡 量学生，尽量
做到让不同的学生得到不同的发展。

第十五课时

第二章 基本初等函数（Ⅰ） 小结与复习

一.教学目标
1.知识与技能
（1）理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系.
（2）能更加熟练地解决与指数函数,对数函数有关的问题.
2.过程与方法
通过提问,分析点评,让学生更能熟悉指数函数,对数函数的性质.
3.情感、态度、价值观
（1）提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构.
（2）培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力.

二.重点、难点
重点：指数函数与对数函数的性质。
难点：灵活运用函数性质解决有关问题。
三、学法与教具
1、学法：讲授法、讨论法。
2、教具：投影仪。
四、教学设想
1、回顾本章的知识结构















2、指数与对数

指数式与对数式的互化
幂值 真数

图象与性质
定义
定义
指数函数 对数函数
图象与性质
无理数指数幂
有理数指数幂
指数
对数
运算性质
整数指数幂
定义
a
b
＝ N
?
log
a
N
＝ b

底数

指数←→对数值
提问：在对数式中，a，N，b的取值范围是什么？
例1：已知
log
54
27
＝
a
，54
b
＝3，用
a,b表示log108
81
的值
解法1：由
54
＝3得
log
54
3
＝b
∴
log
108
81
＝
b
log
54
8 1
log
54
27?log
54
3
a?ba?b
? ?
＝
log
54
108
log
54
2?12?l og
54
272?a

解法2：由
log
54
27?a得54?27

x
设
x?log
108
81,则108?81

所以
(54?27)?3?27

即：
(54?54)?54?54

2?axba
2?1x
?54
a?b
,即2x?ax?a?b

a?b
因此得：
x?

2?a
所以
54
（ 1）法1是通过指数化成对数，再由对数的运算性质和换底公式计算结果.
法2是通过对数化成指数，再由指数的运算性质计算出结果，但法2运算的技巧性较
大。
2．指数函数与对数函数
xx
问题1：函数
y?a与y?log
a
中,a与x
分别必须满足什么条件.
xx
问题2：在同一直角坐标系中画出 函数
y?a与log
a
的图象，并说明两者之间的关系.
2x?ax
问题3：根据图象说出指数函数与对数函数的性质.
例2：已知函数y(x)
的图象沿
x
轴方向向左平移1个单位后与
f(x)?3
的图象关于直
线
y?x
对称，且
g(19)?a?2
，则函数
y?3(0?x?1)
的值域为 .
分析：函数
y?3
关于直线
y?x
对称的函数为
y?log
3
(x?1)

∴
g(19)?log
3
18?2?log
3
2

ax
∴
a?log
3
2,?y?3?(3
log
3
2
x
x
ax
x
)?2x

∵
x?(0,1],则y?(1,2]

小结：底数相同的指数函数与对数函 数关于
y?x
对称，它们之间还有一个关系式子：
a
log
a
N
?N(a?1,a?0,N?0)

1?x
例3：已知
f(x)?log
a
(a?0且a?1)

1?x
（1）求
f(x)
的定义域
（2）求使
f(x)?0
的
x
的取值范围
分析：（1）要 求
f(x)?log
a
则应有
1?x
的定义域，
1?x
?
1?x?0
?
1?x?0
1?x

?0?
?
或
?
1?x
?
1?x?0
?
1 ?x?0
（2）注意考虑不等号右边的0化为
log
a
1
，则（2） 小题变为
log
a
1?x
1?x1?x
?1和0??1
.
?log
a
1,再分a>1和0两种情况分别求出
1?x1 ?x
1?x
建议：通过提问由学生作答
课堂小结：
1．指数与对数实质上 只是同一数量关系的两种不同的形式，它们之间可以互化，这种
等价互化也是指数运算和对数运算的常用 方法.
2．底数相同的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于
y?x
对称 ，它们在

各自的定义域内增减性是一致的，通过函数图象，利用数形结合，记作指数函数 与对数函数
的性质.
作业：课本习题


第十六课时
§3.1.1 方程的根与函数的零点
一、教学目标
1． 知识与技能
①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌
握零点存在的判定条件 ．
②培养学生的观察能力．
③培养学生的抽象概括能力．
2． 过程与方法 < br>①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连
续函数在某个区 间上存在零点的判断方法．
②让学生归纳整理本节所学知识．
3． 情感、态度与价值观
在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
二、教学重点、难点
重点 零点的概念及存在性的判定．
难点 零点的确定．
三、学法与教学用具
1． 学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，
从而 完成本节课的教学目标。
2． 教学用具：投影仪。
四、教学设想
(一)创设情景，揭示课题
1、提出问题：一元二次方程 ax+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数
y=ax+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：
（用投影仪给出）
2
①方程
x?2x?3?0
与函数
y?x?2x?3
2
2
2
2
②方程
x?2x?1?0
与函数
y? x?2x?1

2
③方程
x?2x?3?0
与函数
y?x?2x?3

2
2

1．师：引导 学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和
x
轴交点坐标的关系，
引出零点的概 念．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．
师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？
（二） 互动交流 研讨新知
函数零点的概念：
对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x )?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的
零 点．
函数零点的意义：
函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x )?0
实数根，亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点
的 横坐标．
即：
方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)< br>有零
点．
函数零点的求法：
求函数
y?f(x)
的零点：
①（代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
②（几何法）对于不能用求根 公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系
起来，并利用函数的性质找出零 点．

1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．
生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：
①代数法；
②几何法．
2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结
论．
二次函数的零点：
二次函数

y?ax?bx?c(a?0)
．
（１）△＞０，方程
ax?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的图象与
x
轴有两个交
2
2

点，二次函数有两个零点．
（２）△＝０，方程
ax?bx?c?0
有两相 等实根（二重根），二次函数的图象与
x
轴
有一个交点，二次函数有一个二重零点或二 阶零点．
（３）△＜０，方程
ax?bx?c?0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二次函
数无零点．
3．零点存在性的探索：
（Ⅰ）观察二次函数
f(x)?x?2x?3
的图象：
① 在区间
[?2,1]
上有零点______；
2
2
2
f( ?2)?
_______，
f(1)?
_______,
f(?2)
·
f(1)
_____0（＜或＞＝）．
② 在区间
[2,4]
上有零点______；
f(2)
·
f(4)
____0（＜或＞＝）．
（Ⅱ）观察下面函数
y?f(x)
的图象

① 在区间
[a,b]
上______(有无)零点；
f(a)
·
f(b)
_____0（＜或＞＝）．
② 在区间
[b,c]
上______(有无)零点；
f(b)
·
f(c)
_____0（＜或＞＝）．
③ 在区间
[c,d]
上______(有无)零点；
f(c)
·
f(d)
_____0（＜或＞＝）．
由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？
怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？
4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．
师：引导学生结合函数图象，分析 函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点
是否存在之间的关系．

生 ：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评
析．
师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．
（三）、巩固深化，发展思维
1．学生在教师指导下完成下列例题
例1． 求函数f(x)=㏑x＋2x －6的零点个数。
问题：
（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？
例2．求函数
y?x?2x?x?2
，并画出它的大致图象．
师：引导学生 探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数
的图象，结合图象对函数有一个零点形 成直观的认识．
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后
利用函数单调性判断零点的个数．
（四）、归纳整理，整体认识
1． 请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些；
2． 在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请向老师提出。
（五）、布置作业

32
第十七课时
§3.1.2用二分法求方程的近似解
一、 教学目标
1． 知识与技能
（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；
（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。
2． 过程与方法
（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分法思想；
（2）让学生归纳整理本节所学的知识。
3． 情感、态度与价值观
①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱
数学；
②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。
二、 教学重点、难点
重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。
难点：为何由︱a － b ︳＜
?
便可判断零点的近似值为a(或b)?
三、 学法与教学用具
1． 想－想。
2． 教学用具：计算器。
四、教学设想
（一）、创设情景，揭示课题
提出问题：
（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解方程 ㏑x＋ 2x－6=0
的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？ < /p>

（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的 问题
是，如何找到这个零点呢？
（二）、研讨新知
一个直观的想法是：如果能够 将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的
要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便， 我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点
所在的范围。
取区间（2，3）的中点2.5，用 计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所
以零点在区间（2.5 ，3）内；
再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因 为f(2.75)*f(2.5)
＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；
由于（2，3 ），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；
重复上述步 骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的
精确度下，将所得到的零 点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的
端点作为零点的近似值。例如，当精确 度为0.01时，由于∣2.5390625－2.53125∣
=0.0078125＜0.01，所 以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=㏑x＋2x－6零点的近似值，也
就是方程㏑x＋2x－ 6=0近似值。
这种求零点近似值的方法叫做二分法。
1．师：引导学生仔细体会上边的这段文字，结合课本上的相关部分，感悟其中的思想
方法．
生：认真理解二分法的函数思想，并根据课本上二分法的一般步骤，探索其求法。
2．为什么由︱a － b ︳＜
?
便可判断零点的近似值为a（或b）？
先由学生思考几分钟，然后作如下说明：
设函数零点为x
0
，则a＜x
0
＜b，则：
0＜x
0
－a＜b－a，a－b＜x
0
－b＜0；
由于︱a － b ︳＜
?
，所以
︱x
0
－ a ︳＜b－a＜
?
,︱x
0
－ b ︳＜∣ a－b∣＜
?
,
即a或b 作为零点x
0
的近似值都达到了给定的精确度
?
。
㈢
、巩固深化，发展思维
1． 学生在老师引导启发下完成下面的例题
x
例2．借助计算器用二分法求方程2＋3x＝7的近似解（精确到0.01）
问题：原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？
师：引导学生在方程右边的常数移到左边 ，把左边的式子令为f(x),则原方程的解就是
f（x）的零点。
生：借助计算机或计算器 画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二
分法求解．
（四）、归纳整理，整体认识
在师生的互动中，让学生了解或体会下列问题：
（1） 本节我们学过哪些知识内容？
（2） 你认为学习“二分法”有什么意义？
（3） 在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方？
（五）、布置作业