高中数学复合函数教案

复合函数
教学目标：
使学生掌握与复合函数有关的各类问题.
教学重点：
复合的含义.
教学难点：
复合函数的讨论.
教学过程：
[例1]已知
f
（
x
）＝
x
2
－
x
＋7，求
f
（2
x
－1）
解：< br>f
（2
x
－1）＝（2
x
－1）
2
－（2< br>x
－1）＋7
＝4
x
2
－6
x
＋9 [例2]已知
f
（
x
＋1）＝
x
2
＋3
x
＋4，求
f
（
x
）
解法一：令
t
＝
x
＋1，则
x
＝
t
－1
有：
f
（
t
）＝（
t
－1）
2
＋3（
t
－1）＋ 4
＝
t
2
＋
t
＋2
即：
f
（
x
）＝
x
2
＋
x
＋2
解法二：
f
（
x
＋1）＝（
x
＋1）
2
＋
x
＋3
＝（
x
＋1）
2
＋（
x
＋1）＋2
∴
f
（
x
）＝
x
2
＋
x
＋2
练习：
11
1．已知
f
（
x
＋ ）＝
x
2
＋
2
，求
f
（
x
）
x
2．已知
f
（
x
－1）＝
x
2
－3
x
＋4，求
f
（2
x
－3）
［例3］(1) 已知函数
f
（
x
）的定义域为(0，1)，求
f
（
x
2
）的定义域.
(2)已知函数
f
（2
x
＋1 ）的定义域为(0，1)，求
f
（
x
）的定义域.
(3)已知函数
f
（
x
＋1）的定义域为[－2，3]，求
f
（2
x
2
－2）的定义域.
分析：(1)求函数定义域就是求自变量
x
的取值范围，求
f
（
x
2
）的定义域就是求
x
的范
围，而不是求
x
2
的范围，这里
x
与
x
2
的地位相同，所满足的条件一样.
(2)应由0＜
x
＜1确定出2
x
＋1的范围，即为函数
f
（
x
）的定义域.
(3)应由 －2≤
x
≤3确定出
x
＋1的范围，求出函数
f
（
x
）的定义域进而再求
f
（2
x
2
－2）
的定义域 .它是(1)与(2)的综合应用.
解：(1)∵
f
（
x
）的定义域为(0，1)
∴要使f
（
x
2
）有意义，须使0＜
x
2
＜1，即－ 1＜
x
＜0或0＜
x
＜1∴函数
f
（
x
2
）的定义域
为{
x
｜－1＜
x
＜0或0＜
x
＜1}
(2)∵
f
（2
x
＋1）的定义域为（0，1），即其中 的函数自变量
x
的取值范围是0＜
x
＜1，
令
t
＝ 2
x
＋1，∴1＜
t
＜3，∴
f
（
t
）的 定义域为1＜
x
＜3 ∴函数
f
（
x
）的定义域为{
x
｜1＜
x
＜3}
(3)∵
f
（
x
＋ 1）的定义域为－2≤
x
≤3，∴－2≤
x
≤3
令
t
＝
x
＋1，∴－1≤
t
≤4
∴
f
（
t
）的定义域为－1≤t≤4
即
f
(
x
)的定义域为－1≤
x
≤4，要使
f
（2
x
2
－2）有意义，须使－1≤2
x
2
－2≤4，
∴－3 ≤
x
≤－
22
或≤
x
≤3
22
x

函数
f
（2
x
2
－2）的定义域为{
x
｜－3 ≤
x
≤－
22
或≤
x
≤3 }
22
评述：（1）对于复合函数
f
[
ｇ
（
x）]而言，如果函数
f
（
x
）的定义域为
A
，则
f
[
ｇ
（
x
）]
的定义域是使得函数
ｇ
（
x
）∈
A
的
x
取值范围.
（2）如果
f
[
ｇ
（
x
）]的定义域为
A
，则函数
f
(
x
)的定义域是函数
ｇ
(
x
)的值域.
?
?
2
x
－1
x
≥ 0
[例4]已知
f
（
x
）＝
?
，求
f
（
x
2
－1）
?
?
－
x
＋3
x
＜0
22
?
?
2（
x
－1）－1
x
－1≥0
2
解：
f
（
x
－1）＝
?

22
?
?
－（
x
－1）＋3
x
－1＜0
2
?
?
2
x
－3
x
≥1或
x
≤－1
＝
?
2

?
－
x
＋4
－
1＜
x
＜1
?
[例5]已知
f
（
f
（
x
））＝2
x－1，求一次函数
f
（
x
）
解：设
f
（
x
）＝k
x
＋b，则：
f
（
f
（
x
））＝k
f
（
x< br>）＋b＝k（k
x
＋b）＋b＝k
2
x
＋kb＋b＝2
x
－1
?
k
2
＝2
?
∴
?
得：k＝2 ，b＝1－2 或k＝－2 ，b＝2 ＋1
?
?
kb＋b＝－1
∴
f
（
x
）＝2
x
＋1－2 或
f
（
x
）＝－2
x
＋2 ＋1
1
[例6]已知函数满足2
f
（
x
）＋
f< br>（ ）＝
x
，求
f
（
x
）
x
111
解：令
t
＝ ，则有2
f
（ ）＋
f
（
t
）＝
xtt
11
即：2
f
（ ）＋
f
（
x
）＝
xx
2
x
2
－1
∴
f
（
x
）＝
3
x
课后作业：
1．已知
f
（
x
＋1）＝
x
＋2
x
，求
f
(
x
)的解析式.
分析：此题目中的“
f
”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用.
即：求出
f
及 其定义域.
解：设
t
＝
x
＋1≥1，则
x
＝
t
－1，
∴
x
＝（
t
－1）
2

∴
f（
t
）＝（
t
－1）
2
＋2（
t
－1 ）＝
t
2
－1（
t
≥1）
∴
f
（
x
）＝
x
2
－1（
x
≥1）
2．（1）已知函 数
y
＝
f
（
x
）的定义域为[0，1]，求
f（
x
－1）的定义域.
解：∵
f
（
x
）中0≤
x
≤1
∴0≤
x
－1≤1，即1≤
x
≤2
（2）已知函数
y
＝
f
（
x
－1）的定义域为[0，1]，求
f
（
x
）的定义域.
解：函数
y
＝
f
（
x
－1）中0≤
x
≤1
∴－1≤
x
－1≤0
即：
y
＝
f
（
x
）的定义域为[－1，0]

（3）已知函数
y
＝
f
（
x
－2）的定 义域为[1，2]，求
y
＝
f
（
x
＋3）的定义域. 3．已知函数
f
（
x
）是一次函数，且满足关系式3
f
（
x
＋1）－2
f
（
x
－1）＝2
x
＋1 7，求
f
(
x
)
的解析式.
解：设
f
（
x
）＝
ax
＋
b
则
3
f
（
x
＋1）－2
f
（
x
－1 ）
＝3
ax
＋3
a
＋2
b
＋2
a
－2
b
＝
ax
＋
b
＋5
a
＝2
x
＋17
∴
a
＝2，
b
＝7
∴
f
（
x
）＝2
x
＋7