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高一数学指数函数教案教学设计

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 13:59
tags:高中数学教案

同步学练测高中数学必修1答案-高中数学球的接切问题教学设计















8
7
6
5
4
3
2
1
-4-3-2-11234
1
x
y=( )
2
y=2
x







一、教材分析
1.教材背景
指数函数是在学习了函数的 现代定义及其图象、性质,掌握了研究函数的一般思路,
并将幂指数从整数扩充到实数范围之后,学习的 第一个重要的基本初等函数,是《函数》
一章的重要内容。本节内容分三课时完成,第一课时学习指数函 数的概念、图象、性质;
第二、三课时为指数函数性质的应用,本课为第一课时。

2.本课的地位和作用
本节内容既是函数内容的深化,又是今后学习对数函数的基础,具有非 常高的实用价
值,在教材中起到了承上启下的关键作用。在指数函数的研究过程中蕴含了数形结合、分< br>类讨论、归纳推理、演绎推理等数学思想方法,通过学习可以帮助学生进一步理解函数,
培养学生 的函数应用意识,增强学生对数学的兴趣。
二、重难点分析
根据新课程标准及对教材的分析,确定本节课重难点如下:
重点:
本节课是围绕指 数函数的概念和图象,并依据图象特征归纳其性质展开的。
因此本节课的教学重点是掌握指数函数的图象 和性质。
难点:
1、对于
a?1

0?a?1
时函数图 象的不同特征,学生不容易归纳认识清楚。
因此,弄清楚底数a对函数图象的影响是本节的难点之一。
2、底数相同的两个函数图象间的关系。
三、目标分析
1.知识技能目标
掌握指数函数的概念、图象和性质。
2.过程性目标
通过自主探索,让学生经历“ 特殊→一般→特殊”的认知过程,完善认知结构,领会
数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法。

3.情感、价值观目标
让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦,体会数学的 理性、严谨及数与形的和
谐统一美,展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。

四、学情分析
1.有利因素
学生刚刚学习了函数的定义、图象、性质, 已经掌握了研究函数的一般思路,对于本
节课的学习会有很大帮助。
2.不利因素
本节内容思维量较大,对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求,学
生学习起来有一定难 度。

第1页



五、教法学法
根据对教材、重 难点、目标及学生情况的分析,本着教法为学法服务的宗旨,确定以
下教法、学法:
探究发现 式教学法、类比学习法,并利用多媒体辅助教学。遵循“以学生为主体、教
师是数学课堂活动的组织者、 引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的
特点,类比学习函数的一般思路,以问题的提 出、问题的解决为主线,始终在学生知识的
“最近发展区”设置问题,倡导学生主动参与,通过不断探究 、发现,在师生互动、生生
互动中,让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。

六、教学过程设计

复习旧知

新课引入

探索 新知

知识扩展

课堂练习

课堂小结

课后作业

七、教学过程
1.复习旧知
函数的三要素是什么?函数的单调性反映了函数哪方面的特征?
答:函数的三要素包括:定义 域、值域、对应法则。函数的单调性反映了函数值随自
变量变化而发生变化的一种趋势,例如:某个函数 当自变量取值增大时对应的函数值也增
大则表明此函数为增函数,图象上反应出来越往右图象上的点越高 。
2.新课引入
观看视频解答下面两个问题:
问题1:某种细胞分裂时,由一 个分裂成2个,2个分裂成4个……,这样的细胞分
裂x次后,细胞个数y与x的函数关系式为:y=2
x
(x∈N
*

问题2:铀核裂变能产生巨大的能量,它的裂变方式称为链式反应,假定1个中子击
打1个铀 核,此中子被吸收产生能量并释放出3个中子,这3个中子又打中另外3个铀
核产生3倍的能量并释放出 9个中子,这9个中子又击中9个铀核……这样的击打进行
了x次后释放出的中子数y与x的关系是:y =3
x
(x∈N
*

提问:y=2
x
与y=3
x
这类函数的解析式有何共同特征?
答:函数解析式都是指数形式,底数为定值且自变量在指数位置。
(若用a代换两个式子中的底数,并将自变量的取值范围扩展到实数集则得到……)
3.探索新知
〈一〉指数函数的定义
一般地,函数y=a
x(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域
是R。

第2页


提问:在本定义中要注意哪些要点?
1
2
3
4
自变量
定义域
a的范围
定义的形式(对应法则)
x
R
a>0,且a≠1
y=a
x

进一步提问:为什么规定定义中
a?0且a?1

将a如数轴所示分为:< br>a?0
,
a?0

0?a?1
,
a?1
和< br>a?1
五部分进行讨论:


(1)如果
a?0
, 比如
y?(?4)
x
,这时对于x?
x
?
?
当x?0时,a?0
(2)如果
a?0
?

x
?
?
当x?0时,a无意义
11在实数范围内函数值不存在;
,x?
等,
42
(3)如果
a? 1

y
?1
x
?1
,是个常值函数,没有研究的必要; < br>(4)如果
0?a?1

a?1

a?0且a?1

x
可以是任意实数。
* 因为指数概念已经扩充到整个实数范围,所以在
a ?0且a?1
的前提下,
x
可以是任
意实数,即指数函数的定义域为R。

〈二〉指数函数图象
指数函数的图象是怎样的呢?先看特殊例子(将同学们分两组 用描点法分别画出下列
函数的图象)
11
第一组:画出
y?2
x< br>,
y?()
x
的图象;第二组:画出
y?3
x
y?()
x
的图象。
23







第3页


(及时指导学生作图,然后播放已经做好的函数 图象,让学生比较与自己所画出
来的有哪些异同点。)
提问:此两组图象有何共同特征?当底 数
0?a?1

a?1
时图象有何区别?
〈三〉指数函数性质
根据指数函数的图象特征,由特殊到一般的推理方法提炼指数函数的性质,完成下表:















(1)定义域:R
(2)值 域:(0,+∞)
(3)过点(0,1),即x=0时,y=1
(4)在R上是增函数 (4)在R上是减函数
a>1

0(说明:教材对于指数函数 性质的处理,仅是观察图象发现的,其正确性理应严
格证明,但教材不做要求)
〈四〉指数函数性质的简单应用
例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩 留的这种物质上原来的
84%。画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年, 剩留
量是原来的一半(保留一个有效数字)
解:设这种物质最初的质量是1,
经过
x
年后,剩留量是
y

经过1年,剩留量
y?1?84%?0.84
1

经过2年,剩留量
y?84%?84%?0.84
2

…………
一般地,经过
x
年,剩留量
y?0.84
x

根据这个函数关系可以列表如下:
x

y

0
1
1
0.84
2
0.71
3
0.59
4
0.50
5
0.42
6
0.35
画 出指数函数
y?
0.84
x
的图象。从图上看出
y?0.5
只需
x?4

答:约经过4年,剩留量是原来的一半。

第4页


例2 说明下列函数的图象与指数函数
y?2
x
的图象的关系,并画出它们的示意图。

y?2
x?1
; ⑵
y?2
x?2

解:⑴比较函数
y?2
x?1

y?2
x
的关系:
y?2
?3?1

y?2
?2
相等,
y?2
?2?1

y?2
?1
相等,
y?2
2?1

y?2
3
相等,
…………
由此可以知道,将指数函数
y?
2
x

图象向左平行移动1个单位长度,就得到
函数
y?2
x?1
的图象。
⑵比较函数
y?2
x?2

y?2
x
的关系:
y?2
?1?2

y?2
?3
相等,
y?2
0?2

y?2
?2
相等,
y?2
3?2

y?2
1
相等,
………… 由此可以知道,将指数函数
y?
2
x
的图象向右平行移动2个单位长度, 就得到函数
y?2
x?2
的图象。
4、知识扩展

〈一〉考古中的指数函数
14
C
是具有放射性的碳同位素,能够自发地进行
?
衰变,变成氮,半衰期为5730
14
年,活的植物通过光合作用和呼吸作 用与环境交换碳元素,体内
C
的比例与大气中的
14
相同。植物枯死后,遗体 内的
C
仍在进行衰变,不断减少,但是不再得到补充。因此,
根据放射性强度减小的情 况就可以算出植物死亡的时间。
测年方法进入考古学研究被誉为考古学发展史上的一次革命,它将考古 学研究中
得到的相对年代转变为绝对年代,给考古学带来了质的飞跃,使研究更加科学化,促
x
1
5730
进了考古学研究的深入。其中测算公式是一个指数式
y?()< br>。
2
〈二〉音乐中的指数函数
钢琴是一种用琴槌击弦而振动发声键盘乐器。 从左往右逐个试弹所有琴键,我们
听到琴声逐渐由低到高,这是因为琴声的高低与琴弦振动的频率有关, 而琴弦振动的
频率又与琴弦的长度有关。粗略地说,琴弦长则振动慢,频率小,故发出的声音低;
琴弦短,则振动快,频率大,故发出的声音高。

第5页


音域宽 度自大字二组
的A
2
至小字五组的
c
5
。根
据“十 二平均律”的法则,
任何两个相邻的键所发出
的音相差半音阶(100音
分),它们的 振动频率之比
是一个常数Q,设最低的第
一个音A
2
的频率是
a,则
第二个音
#
A
2
的频率是
a
Q,
第三个音B
2
的频率是
a
Q
2
,……另外,音高每提高八度 (如A
2
到A
1
)频率增大为原来的2倍,而八度音域
内包含12个 半音(连续的7个白键和5个黑键),所以,第十三个音(A
1
)的频率是
第一个音( A
2
)的频率的2倍。故
aQ
12
?a?2
,即
Q
12
?2

另一方面,弦振动的频率与弦长成反比。所以,从左向右,相邻 两弦的长度之比
是常数q=1Q,从而有q
12
=12。
设左边第一根弦的 长度为
l
,则第二根弦的长度为
l?q
,第三根弦的长度为
l?q< br>2
,……
如图,取第一根弦所在直线为
y
轴,各弦靠近键盘的端点所在 直线为
x
轴建立坐标系,
相邻两弦间的距离为长度单位。这时,将弦的另一端点(上部 )连成光滑曲线,那么
曲线上任意点的坐标
(x,y)
都满足函数关系
y?l q
x

若令
c?
log
q
l
,则
y?l?q
x
,可化为
y?q
x?c

经过适当平移,就可知道光滑曲线是指数函数
y?q
x
的图象——指数曲线。
生活中到处都有数学,我们要学会用数学的眼光观察世界,用数学发现自然界的
奥秘。
5、课堂练习
1、求下列函数的定义域:
(1)y?3
1
x
(2)y?5
x?1

2、函数y=a
2x-3
+3恒过定点 。
3 、作出函数
y?2
x?1

y?2
x
?1
的图象, 并说明
这两个函数图象与
y?
2
x
图象的关系。
4、如 图是指数函数①
y?a
x
,②
y?b
x
,③
y?c
x


y?d
x
的图象,则
a,b,c,d
的大小关系是( )
A.
a?b?1?c?d

B.
b?a?1?d?c

C.
1?a?b?c?d

D.
a?b?1?d?c


第6页


6.课堂小结
设问:本课我们主要学习了哪些内容?应当注意些什么? 本节课主要学习了指数函数的定义、图象和性质。弄清楚底数
a?1

0?a?1
时函数
图象的不同特征及性质是学好本节课的关键所在。
7.课后作业
①课本第73页习题2.6 1、2
②收集关于指数函数应用的相关资料,通过分析整理,写一篇800字左右的报告。
八、课后反思
〈一〉在教学过程中有几个问题值得注意:
1.学生可能把自变量在指数上的函数都认为是指数函数,应予以及时纠正。
2.若学生质疑 指数函数单调性结论的正确性,应先肯定质疑是正确的,因为用图象
观察归纳出来的结论,必须经过严格 证明才是可靠的!但由于教材对此不作要求,因此,
鼓励学有余力的同学可自己尝试证明。
〈二〉本课设计有以下几点值得借鉴:

1.本课设计在注重引导学生学习书本知识的 同时,还进行了知识的扩展,让学生感
受到数学的实用价值。
2.本课设计时考虑了学生在学习中最可能出现的各种情况,并采用合理方式进行引
导、解决。
3.教学过程中充分发挥学生主体作用,始终以问题的形式引导学生主动参与,在师
生互动、生 生互动中让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程,做到了把握重点、突
破难点。

附:板书设计













第7页


附:
教 案 设 计 说 明

此教学方案是依据新课程标准、教材及本人的教学风格并 考虑学生的学习兴趣来设计
的,下面就本课教案做以下几点说明:
一、选材:本节课选取的内 容为数学发展中具有代表性的知识。指数函数既是函数的
深化,又是学习对数函数的必备,通过本节内容 的学习,让学生在掌握知识的同时感受到
数学的实用价值。
二、理念:本节课的教案设计体现 了“以学生为主体,教师是课堂活动的组织者、引
导者和参与者”的现代教育理念。在教学的每一个环节 中均设计了问题,始终以教师提出
问题,引导学生解决问题的方式进行,让课堂活动变得生动而愉悦。
三、注重知识扩展,本课设计时有意识的选取了“细胞分裂”、“铀核裂变”、“指数函
数在考 古中的应用”、“指数函数在音乐中的应用”等知识,让学生感受到生活中到处都有
数学,要学会用数学 的眼光观察世界,发现自然界的奥秘。
四、课堂教学中的例题、习题和课后作业具有代表性、实用性和 可操作性,均围绕着
教学的重点、难点选取,选取题目数字简单易于操作注重知识的运用。选题时注重知 识的
延续性,为以后的学习奠定了基础,同时考虑到了学生学习过程中可能出现的各种错误,
预 先准备好了解决的方案。
五、课堂教学模式:“特殊引例探求→一般知识探索→特殊练习题求解”符合 学生认
知习惯,易于学生接受。


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第8页

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