高中数学 基本不等式及其应用教案

高中数学-基本不等式及其应用教案

基本不等式及其应用教案
教学目的

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≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b (1)使学生掌握基本不等式a时取“＋b=”号)

，当且仅当a=b=c时取“=”号) 及其推论，并能3abc(a≥、b、c∈和a＋bR＋c应用它们证明
333+
一些不等式．
(2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力．
教学过程

一、引入新课

师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？
生：求差比较法，即



师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学 习一些有关不等式的定理及证
明不等式的方法．

2
属于什么数集？为什么？ －b)∈R，那么(ab 如果a、
222
≥0．即(a，所以=0(a－b)－b)b生： 当
∈b)

∪{0}R ．

∪{0}R这一性质，来推导一些重要的不等式，同b)(a师： 下面我们根据－∈时学习一些证
a≠时，(a－，当＞0a=b时，(ab)－

2
+
2+
明不等式的方法．
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1

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二、推导公式

1．奠基
师：如果a、b∈R，那么有

2
≥0．－b) (a①
≥0b，a －2ab＋
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≥2ab．∴a ＋b②
把①左边展开，得

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②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是 一个很
重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的
应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？

师：充要条件通常用“当且仅当”来表达． “当”表示条件是充分的，“仅
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≥2ab(当，那么a
＋b∈当”表示条件是必要 的．所以②式可表述为：如果a、bR且仅当a=b时取“=”号)．
以公式①为基础，运用不 等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的
证明方法通常叫做综合法．以公式 ②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同
来探索．
2．探索
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2

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师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能
得到的结果 ．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有

22
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≥2ab；a ＋b
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≥2bc；b＋c

≥2ca．＋a c 把以上三式叠加，得

≥ab＋bc＋＋bca＋c a③
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(当且仅当a=b=c时取“=”号)．
以此类推：如果a∈R，i=1，2，…，n，那么有
i


④
(当且仅当a=a=…=a时取“=”号)．
n21
④式是②式的一种推广 式，②式就是④式中n=2时
的特殊情况．③和④式不必当作公式去记，但从它们的推导过程中可以学到 一种处理两项以上的
和式问题的数学思想与方法——迭代与叠加．
3．再探索
师：考察两个以上实数的更高次幂的和，又能得到什么有趣的结果呢？先考查两个实数的立方
和．由于

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)，＋abb b)(aba＋=(a＋－ 启示我们把②式变成
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3

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≥ab，＋ba －ab 两边同乘以a＋b，为了得到同向不等式，这里要求a、b∈R+，得到

． bb＋≥aaab＋⑤
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考查三个正实数的立方和又具有什么性质呢？
生：由③式的推导方法，再增加一个正实数c，对b、c，c、a迭代⑤式，得到

3322
，bc ≥bbc＋c＋
3322
．cac ca＋a＋≥ 三式叠加，并应用公式②，得

) ＋ac(a)c)≥a(b＋＋c＋)b(cb2(a＋ ＋b＋≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc．
333222222
333
≥3abc ＋c∴a＋b⑥
(当且仅当a=b=c时取“=”号)．
师：这是课本中的不等式定理2，即三个正实数的立方 和不小于它们的积的3倍．同学们可能

想到n个正实数的立方和会有什么结果，进一步还 会想到4个正数的4次方的和会有什么结果，
直至n个正数的n次方的和会有什么结果．这些问题留给同 学们课外去研究．
4．推论
师：直接应用公式②和⑥可以得到两个重要的不等式．
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4

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⑦ ) (当且仅当a=b时取“=”号．
的推论． 这就是课本中定理 1











⑧ )的推论．．这就是课本中定理2 ”号时取“当且仅当 (a=b=c=
+
当(时，有下面的推广公式，…，
2，R∈a(i=1n) )在中学不讲它的证明9
i
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⑨ ．)时取“=”号= (当且仅当a=a…=a
n21



个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这n 何平均数．⑨式表明：时的两个公式，即
3n=2、是一个著名的平均数不等式定理．现在只要求同学掌 握 ⑦和⑧．
三、小结
我们从公式①出发，运用综合法，得到许多不等式公式，其中要求同学熟(1)
练掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它们之间的关系可图示如下：

上述公式的证法不止综合法一种．比如公式②和⑥，在课本上是用比较法 (2)
证明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦还可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出 ②、⑥．但是
不论哪种推导系统，其理论基础都是实数的平方是非负数． 四个公式中，②、⑦是基础，最重
要．它们还可以用几何法或三角法证明．
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6

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+
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，则R)AC=b(a、b∈ 几何法：构造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，
c=ca为边的正方形的面积．而＋b表示以斜边







如上左图所示，显然有



(当且仅当a=b时取“=”号，这时Rt△ABC等腰，如上右图)．这个图是我国古代数学家赵 爽
证明勾股定理时所用过的“勾股方圆图”，同学们在初中已经见过．
三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°， AB=c， BC=a，AC=b，则
222222

cA· c sin B=2csinAcos A=c≤·sin· 2ab=2c sin A (∵sin2Ab＋≤1) =a

A=1，A=45°，即 a=b时取“=”号sin( 当且仅当)．



2

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三、应用公式练习
．判断正误：下列问题的解法对吗？为什么？如果不对请予以改正． 1

++

是第一、三象限的α∈R．解法就对了．这时需令αtg a、b∈R．若α、ctg
角．]







22+
．]2ababR∈；②改变证法．a＋＋b≥＋ab=3abba 改条件使、解题时，要根据题目的条件选
用公式，特别注意公式中字母应满足的条师：
事件．只有公式①、②对任何实数都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正实数( )实上对非负
实数也成立． 2．填空：9
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(1)当a________时，a＋a－n≥________；
n


；≥_________lg2x＋1 (3)当x________时，



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α≥________；α＋ctg (5)tg (6)sinxcosx≤________；






师：从上述解题中，我们可以看到：(1)对公式中的字母应作广义的理解，可以 代表数，也可

以代表式子．公式可以顺用，也可以逆用．总之要灵活运用公式．(2)上 述题目中右边是常数的，
说明左边的式子有最大或最小值．因此，在一定条件下应用重要不等式也可以求 一些函数的最大
(小)值．(3)重要不等式还可以用于数值估计．如



表明任何自然数的算术平方根不大于该数加1之半．


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