高中数学教案——函数的三要素

1.2.2函数的三要素
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解函 数三要素的含义，掌握根据函数的三要素判定两个函数是否为同一个函数
的方法.
（2）会求简 单函数的定义域和函数值.
2．过程与方法
通过示例分析，让学生掌握求函数定义域的基本题型 及方法，进一步加深对函数概念的
理解.通过求出函数的函数值，加深对应法则的认识.
3．情 感、态度与价值观
通过动手实践研究数学问题，提高分析问题，解决问题能力；体会成功地解答数学问题
的学习乐趣，培养钻研精神.
（二）教学重点与难点
重点：掌握函数定义域的题型及求 法.
难点：理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则.
（三）教学方法
启发 式教学，在老师引导，学生在合作的状态下理解知识、应用知识，提升学生应用知
识和基本技能探究解决 问题的能力.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图

1．老师引导学生分析例1函数
解析式的结构特征. 结合函数的定
义 ，感知函数定义域即使解析式有
1．回顾函数的定义.意义的自变量的取值范围.
2．示例剖析 2．分析例2的题型特点，结合
例1 已知函数f (x) =
x?3
+
函数的定义，阐明确定函数的因素
为定义域和对应法则，并了解值域
1
.
x? 2
由这二要素决定.
（1）求函数的定义域；
例1解：使根式
x?3
有意义的
实数x的集合是{x | x≥–3}，使分式
2
（2）求f (–3)，
f()
的值；
3
1
有意义的实数x的集合是{x | x
（3）当a＞0时，求f (a)，f (a –
x?2
1)的值.≠–2}. 所以，这个函数的定义域就
例2 下列函数中哪个与函数y 是 {x | x≥–3}∩{x|x≠–2}
= x相等？={x|x≥–3，且x≠–2}.
（1）
y?(x)
2
；
（2）
y?
3
x
3
；< br>(2)
f(?3)??3?3?
1
= –1；
?3?2
从回顾 概
念入手，引
（3）
y?x
2
；
333
?
复习回顾入求定义
=.
83
x
2
（4）
y?
.范例分析域的思考
（3）因为a＞0，所以f (a)，f (a – 1)
x
强化概念 方法及求
2．函数定义的理解.有意义.
定义域的
由函数的定义可知，一个函数的构成
1
；
f(a)?a?3?
基本原则.
a?2
要素为：定义域、对应关系和值域.
由于值域是由定义域和对应关系决
f (a–1) =
a?1?3
+
1
1
定的，所以，如果两个函数的定义域
=
a?2
+.
( a?1)?2
a?1
相同，并且对应关系完全一致，我们
就称这两个函数相等.
例2解：（1）
y?(x)
2
= x (x
3．区间的概念：
（1）不等式a≤x≤b，用闭区间≥0)，这个函数与函数y = x (x∈R)
[a，b]表示；虽然对应关系相同，但是定义域不
（2）不等式a＜x＜b，用开 区间相同. 所以，这个函数与函数y = x
(a, b)表示；(x∈R)不相等.
（3）不等式a≤x＜b (或a＜x≤
（2）
y?< br>3
x
3
?x
(x∈R)，这个函数
b)用半开半闭区间[a， b](或(a，b])表
示；与函数y = x(x∈R)不仅对应关系相
（4）x≥a，x＞a，x≤b，x＜b同，而且定义域也相同. 所以，这
分别表示为[a，+∞)，(a, +∞)，(–∞, 个函数与函数y = x(x∈R)相等.
?
x,x?0,
b]，(–∞, b).
（3）
y?x
2
?|x|
=
?
这
2113
1
2
?

?3
+=
f()=
2
38
3
3
?2
3
?
?x,x?0 .
个函数与函数y = x(x∈R)的定义域
都是实数集R，但是当x＜0时，它

的对应关系与函数y = x(x∈R)不相
同. 所以，这个函数与函数y = x(x
∈R)不相等.
x
2
（4）
y?
的定义域是{x | x≠0}，
x
与函数y = x (x∈R)的对应关系相
同但定义域不相同. 所以，这个函
数与函数y = x(x∈R)不相等.
训练题1：求下列函数的定义域.（1）
f(x)?
1
；
x?2
（2）
f(x)?3x? 2
；
（3）
f(x)?x?1?
1
.
2?x
学生合 作交流完成训练题1并
说明解法原理.
老师点评学生的解法及总结、
题型.
师生合作小结求定义域的方法
及求解步骤.
训练题1解：（1）x – 2≠0，即
小结：从上例可以看出，求用解
1
x≠2时，有意义，
x?2
析式y = f (x)表示的函数的定义域，常
有以下几种情况：∴这个函数的定义域是{x | x≠

1．函数的定义域即使函数解析
2}.

式有意义的实数集.
2
（2）3x + 2≥0，即x≥
?
时，

3
2．已知函数y = f (x)

（1）若f (x)为整式，则定义域为
3x?2
有意义，∴函数y =
3x?2
固化定义
R.
2
的定义域是
[?
，+∞ ).
域的求法
3
（2）若f (x)为分式，则定义域是
及求解原
?
x?1?0
?
x??1
使分母不为零的实数的集合；
?
?
（3）
?
，∴
理.
2?x?0x?2
（3）若f (x)是偶次根式，那么函
??

应用举例
数的定义域是根号内的式子不小于这个函数的定义域是{x | x≥–1}∩
强化函数
零的实数的集合； {x | x≠2} = [–1，2)∪(2，+∞).
值的基本
（4）若f (x)是由几个部分的数学注意：函数 的定义域常用二种
求法、加深
式子构成的，那么函数的定义域是使方法表示：集合、区间.
对函数三

各部分式子都有意义的实数的集合
要素含义

（即使每个部分有意义的实数的集
的理解.

合的交集）；


（5）若f (x)是由实际问题列出


的，那么函数的定义域是使解析式本

身有意义且符合实际意义的实数的
集合. 学生自主完成训练题2，体会
训练题2：（1）已知f (x) = 2x + 3，求函数值与对应法则之间的关系.
求f (1)，f (a)，f (m + n)，f [f (x)]. 训练题2解：（1）f (1) = 2×1+3=5.
（2）①已知f (x) = x
2
+ 1，则f (3x f (a) = 2×a + 3 = 2a + 3.
+ 2) = ； f (m + n) = 2×(m + n) + 3
= 2 (m+n) + 3.
②已知f (x) = 2x
3
– 1，则f (–x)
= .
f [f (x)] = 2×f (x) + 3
= 2 (2x + 3) + 3 = 4 x + 9.
（3）已知函数

?
x?1,(x?0)
?
(x?0)
， f (x) =
?
?
,
?
0,(x?0)
?
（2）①9x
2
+ 12x + 5；②–2x
3
–1.
（3）
?
?1
；（4）D.
则f {f [f (–1)]} = .
（4）在函数
?
x?2,(x??1)
?
(?1?x?2)
中，若f (x) =
?
x
2
,
?
2x,(x?2)
?
f (x) = 3，则x的值是（ ）
3
A．1 B．1或
2
C．±
3
D．
3

1．求函数定义域的原理：使函
归纳总结 数解析式有意义的自变量取值范围. 师生合作归纳小结
2．求函数值的方法：代入法.
课后作业 1.2 第二课时习案 学生独立完成
训练归纳
概括能力
固化技能
备选例题
例1 求下列函数的定义域
1
（1）
y??x
2
?1
；
2








（2）
y?
x?2
；
2
x?4
（3）
y?
1
；
x?|x|
（4）
y?x?1?4?x?2
；
（6）
y?ax?3
(a为常数). （5）
y?4?x
2
?
1
；
|x|?3
【解析】（1）x∈R；
（2）要使函数有意义，必须使x
2
– 4≠0，得原函数定义域为{x | x∈R且x≠±2}；
（3）要使函数有意义，必须使x + |x|≠0，得原函数定义域为{x | x＞0}；
（4）要使函数有意义，必须使
?
?
x?1?0,
得原函数的定义域为{x | 1≤x≤4}；
?
4?x?0,
?
4?x< br>2
?0,
（5）要使函数有意义，必须使
?
得原函数定义域为{x | –2≤x≤2}；
|x|?3?0;
?
（6）要使函数有意义，必须使ax – 3≥0，得
当a＞0时，原函数定义域为{x | x≥
当a＜0时，原函数定义域为{x | x≤
3
}；
a
3
}；
a
当a = 0时，ax – 3≥0的解集为
?
，故原函数定义域为
?
.
例2 （1）已知函数f (x)的定义域为(0, 1)，求f (x
2
)的定义域.
（2）已知函数f (2x + 1)的定义域为(0, 1)，求f (x)的定义域.
（3）已知函数f (x + 1)的定义域为[–2, 3]，求f (2x
2
– 2)的定义域.
【解析】（1）∵f (x)的定义域为(0, 1)，

∴要使f (x
2
)有意义，须使0＜x
2
＜1，即 –1＜x＜0或0＜x＜1，∴函数f (x
2
)的定义域为
{x| –1＜x＜0或0＜x＜1}.
（2）∵f (2x + 1)的定义域为(0, 1)，即其中的函数自变量x的取值范围是0＜x＜1，令t =
2x + 1，∴1＜t＜3，∴f (t)的定义域为1＜x＜3，∴函数f (x)的定义域为{x | 1＜x＜3}.
（3）∵f (x + 1)的定义域为–2≤x≤3，
∴–2≤x≤3.
令t = x + 1，∴–1≤t≤4，
∴f (t)的定义域为–1≤t≤4.
即f (x)的定义域为–1≤x≤4，要使f (2x
2
– 2)有意义，须使–1≤2x
2
– 2≤4，
∴
?3
≤x≤?
2
2
或≤x≤
3
.
2
2
2
2
或≤x≤
3
}.
2
2
注意：对于以上（2）（3）中的f (t)与f (x)其实质是相同的.
函数f (2x
2
– 2)的定义域为{x |–
3
≤x≤
?