[实用参考]高中数学优秀教案.doc

优质参考文档
的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心．
3.类比联想，解决问题
设等比数列
?
a
n
?
,首项为a
1
,
这时我再顺势引导学生将结论一般化，
公比为q，
如何求前n项和s
n
？
这里，让学生自主完成，并喊一名学
生上黑板，然后对个别学生进行指导．
设计意图：在教师 的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到
未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉 快
a
1
-a
1
q
n
在学生推导完成后,我再问:由 (1-q)s
n
=a
1
-a
1
q
n
得s
n
=
和成就感．
1-q
对不对？这里的q能不能等于1？等比 数列中的公比能不能为1？
q=1时是什么数列？此时s
n
=？（这里引导学生对q进 行分类讨
论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础．）
再次追问：结合等比数列的通项 公式a
n
=a
1
q
n-1
,如何把s
n
用
a
1
、a
n
、q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式） 设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，
完善知识结构，另一方面使学生由简单 地模仿和接受，变为对知
识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力．这一
环节非 常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却
有画龙点睛之妙用．
4.讨论交流，延伸拓展
2
在此基础上，我提出：n项和公式，
s=a+a q+aq
探究等比数列前
++aq
n-1
=a+q(a+aq+
还有 其它
+aq
n-2
)
n11111111
方法吗？我们知道,
优质参考文档

优质参考文档
那么我们能否利用这个关系而求出s< br>n
呢？根据等比数列的定义又
有
a
2
a
3
a
4
===
a
1
a
2
a
3
=
a
n
=q
，能否联想到等比定理从而求出s
n
呢？
a< br>n-1
设计意图：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学
生主动观察、思考、讨 论的氛围. 以上两种方法都可以化归到
s
n
?a
1
?qs
n?1
, 这其实就是关于
s
n
的一个递推式，递推数列有非
常重要 的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源
于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进 作用.
5.变式训练,深化认识

例1: 求等比数列
1
,
1
,
1
,
1
, ???前8项和；
24816

首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯 演示
1
,
1
,
1
,
1
,2、 等比数列???,求第5项到第10项的和.
24816
3、 等比数列
1
,
1
,
1
,
1
,???求前2n项中所有偶数项的和.
他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结．
24816
设计意图：采用变式 教学设计题组，深化学生对公式的认识
和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三< br>个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以
上形式，让全体学生都参与教学， 以此培养学生的参与意识和竞
争意识．
6.例题讲解，形成技能

例2：求和 1+a+a
2
+a
3
++a
n-1
.
63
1、 等比数列
1
,
1
,
1
,
1,???前多少项的和是?
24816
64
设计意图：解题时，以学生分析为主， 教师适时给予点拨，
该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想．
7.总结归纳，加深理解
优质参考文档

优质参考文档
以 问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学
生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方 法两方面总结．
设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力．
8.故事结束，首尾呼应
最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小
麦约为1.84×10
19
粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球
到太阳铺设 一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食
产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺．
设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服
疲倦、继续积极思维．
9.课后作业，分层练习
必做： P129练习1、2、3、4
选作：
思考题(1):求和 x+2x
2
+3x
3
++nx
n
.< br>（2）“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八
十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗 的答案是多少？
设计意图：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让
学有余力的学生有思考的空间．
四、教法分析
对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握
公式的推导 方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联
系．在教学中，我采用“问题――探究”的教学模式 ，把整个课堂分
优质参考文档

优质参考文档
为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．
利用多媒体辅助教学，直观地反映了 教学内容，使学生思维
活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学
效率．
五、评价分析
本节课通过三种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度
掌握了等比 数列前n项和公式．错位相减：变加为减，等价转化；
递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归 定义，自然朴
实．学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养
了学生思维的深刻 性、敏锐性、广阔性、批判性．同时通过精讲
一题，发散一串的变式教学，使学生既巩固了知识，又形成 了技
能．在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学
习、合作交流的学习习惯， 也培养了学生勇于探索、不断创新的
思维品质．
曲线的参数方程
教材 上海教育出版社高中三年级（理科）第十七章第一节
授课教师 上海市建平中学 巢晖
教学目标
1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方
程；
优质参考文档

优质参考文档
2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何
意义和物理意义；
3、初 步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题
解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验 参数的
基本思想。
教学重点
曲线参数方程的概念。
教学难点
曲线参数方程的探求。
教学过程
（一）曲线的参数方程概念的引入
引例：
20GG年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上
海锦江乐园正式对外运 营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，
居亚洲第一。
已知该摩天轮半径为51.5 米，逆时针匀速旋转一周需时20分
钟。如图所示，某游客现在
P
0
点（其中
P
0
点和转轴
O
的连线与水
平面平行）。问：经过
t
秒，该游客的位置在何处?

引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，
并加以解决
优质参考文档

优质参考文档
（1、通过生活中的实例，引发学生研 究的兴趣；2、通过引例
明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体
会到 仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了
解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具 体的问题，让学生找
到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。）
（二）曲线的参数方程
1、圆的参数方程的推导
（1）一般的，设⊙
O< br>的圆心为原点，半径为
r
，
OP
0
所
在直线为
x
轴，如图，以
OP
0
为始边绕着点
O
按逆时针方向绕原点以匀角速度
?
作圆周运动，则质点
P
的坐标与时刻
t的关系
该如何建立呢？（其中
r
与
?
为常数，
t
为变数）
结合图形，由任意角三角函数的定义可知：
?
x?rcos
?
t
t?[0,??)

t
为参数 ①
?
y?rsin
?
t?
（2）点
P
的角速度为
?
，运动所用的时间为
t，则角位移
?
?
?
t
，那么方程组①可以改写为何种形式？
?
x?rcos
?
结合匀速圆周运动的物理意义可得：
?
?
y?rsin
?
为参数 ②
?
?
[0,
??
)

?
（在引例的基 础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程
概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能 力）
（3）方程①、②是否是圆心在原点，半径为
r
的圆方程？为
什么？
优质参考文档

优质参考文档
由上述推导过程可知：对于⊙
O
上的每一个点
P(x,y)
都存在变数
t
（或
?
）的值，使
x?rcos
?
t
，
y?rsin
?
t
（或
y?rsin
?
，
x?rcos
?
）
都成立。
对于变数
t
（或
?
）的每一个允许值，由方程组所确定的 点
P(x,y)
都在圆上；
（1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必 要的复习；2、
学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发，可以说明以上由
变数
t
（或
?
）建立起来的方程是圆的方程；）
（4）若要表示一个完整的圆，则
t
与
?
的最小的取值范围是什
么呢？
st
?
x?rco
?
2
?
?
?t?[0,
)
?
t
?
?
y?rsin
x?rc o
?
s
?
?
?[0,2
?
)

?
?
?
y?rsin
（5）圆的参数方程及参数的定义
，
我们把方程①（或②）叫做⊙
O
的参数方程，变数
t
（或
?
）叫做参数。
（6）圆的参数方程的理解与认识
（ⅰ）参数方程
?
x?3cos
?
?
?
y?3sin
?
（ⅱ）根 据下列要求，分别写出圆心在原点、半径为
r
的圆的
部分圆弧的参数方程：
①在
y
轴左侧的半圆（不包括
y
轴上的点）；
优质参考文档
?
x?3cos
?
?
?
[0,2< br>?
)
?
y?3sin
?
?
?
?
?[ 0,]
是否表示同一曲线？为什么？
2
与

优质参考文档
②在第四象限的圆弧。
（通过具体问题的解决，加深对圆的参数方程的理解与认识，
体会到参数的取值范围也是圆的参数方程的重要组成部分；并为
曲线的参数方程的定义及其理解与认识作 铺垫。）
（7）曲线的参数方程的定义
（ⅰ）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C
上任意一
?
x?f(t)
点的坐标
x
、
y< br>都是某个变数
t
的函数
?
(
t?D
)
③，
y?g(t)
?
并且对于
t
的每一个允许值，由方程组③所确定 的点
P(x,y)
都在这
条曲线
C
上，那么方程组③就叫做这条曲线 的参数方程。变数
t
叫
做参变量或参变数，简称参数。
（ⅱ）相对于参数方 程来说，直接给出曲线上点的坐标
x
、
y
间关系的方程
F(x,y) ?0
叫做曲线的普通方程。
（8）曲线的参数方程的理解与认识
（ⅰ）参数方程的形式；
（横、纵坐标
x
、
y
都是变量
t
的函数，给出一个
t
能唯一的求出
对应的
x
、
y< br> 的值，因而得出唯一的对应点；但横、纵坐标
x
、
）
y
之间的关系并不一定是函数关系。
（ⅱ）参数的取值范围；
（在表述曲线 的参数方程时，必须指明参数的取值范围；取值
范围的不同，所表示的曲线也可能会有所不同。）
（ⅲ）参数方程与普通方程的统一性；
优质参考文档

优质参考文档
（普通方程是相对参数方程而言的，普通方程反映了坐标变量
x
与
y
之间的直接联系，而参数方程是通过变数反映坐标变量
x
与
普通方程和参数方程是同一 曲线的两种不同表
y
之间的间接联系；
达形式；参数方程可以与普通方程进行互化。）
（ⅳ）参数的作用；
（参数作为间接地建立横、纵坐标
x
、
y之间的关系的中间变
量，起到了桥梁的作用。）
（ⅴ）参数的意义。
（如果参 数选择适当，参数在参数方程中可以有明确的几何意
义，也可以有明确的物理意义，可以给问题的解决带 来方便。即
使是同一条曲线，也可以用不同的变数作为参数。）
（三）巩固曲线的参数方程的概念
例题1：
（1）质点
P
开始位 于坐标平面内的点
P
0
(3,1)
处，沿某一方向作
匀速直线运 < br>动。水平分速度
v
x
?3
厘米秒，铅锤分速度
v
y< br>?1
厘米秒，
（ⅰ）求此质点
P
的坐标与时刻
t
（秒）的关系；
（ⅱ）问5秒时质点
P
所处的位置。
（2）写出经过定点
P(3, 1)
，且倾斜角为
?
的直线
l
的参数方程。
6
问 题：作出例题1中两小题的直线图像，判断它们的位置关系；
从中你能得到什么启示呢？
优质参考文档

优质参考文档
（第一小题通过运动质点的位置 与时间有关建立表现质点位
置的参数方程；第二小题通过选取适当的参数建立直线的参数方
程； 从而使学生了解参数的选取有多种方法，同一曲线可以由不
同的参数方程来表示。）
例题2： 已知点
A(x,y)
在圆
C
：
x
2
?y
2
?
4
上运动，求
x?y
的
最大值。
（通过普通方程化为参数方程求得函数的最值，使学生初步
体验参数方程的作用与意义。）
（四）课堂小结
1、知识内容：知道圆的参数方程以及曲线参数方程的概念；能
选取 适当的参数建立参数方程；通过对圆和直线的参数方程的研
究，理解其中参数的意义。
2、思想与方法：参数思想。
（引导学生回顾本节课的学习过程，小结与交流学习体会，包< br>括数学知识的获得，数学思想方法的领悟。）
（五）作业
课本
P
7
，练习17.1（1），第2、3题。
（六）思考
（1）若圆的一般方程为
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
，你能写出它的
一个参数方程吗？
（2）针对引例中的实际情况，游客总是从摩天轮的最低点登
优质参考文档

优质参考文档
上转盘。若某游客登上转盘的时刻记为
t
0< br>，则经过时间
t
该游客的
位置在何处？在引例所建立的坐标系下，你能否通过建 立相对应
的参数方程，并得到游客的具体位置呢？

教学设计说明
一、教材分析
本节课所用的教材是由上海教育出版社出版的上海市高中三
年级（理 科）数学课本，内容为第十七章第一节，第一课时。
“参数方程和极坐标方程”这一章节内容是在“圆 锥曲线”
这一章的基础上进一步展开研究曲线的方程。学习曲线的参数方
程是为了进一步探讨直 线、圆锥曲线的性质，也是进一步学习数
学、运动学的基础，它在生产实践中有很多实际的应用。本章主
要学习参数方程的基本概念、基本原理、基本方法，因此在教学
中要求应适当，难度要控制，基 本应以课本例题与习题为主。
通过本章节的教学应使学生感悟到现实世界的问题是多种多
样的 ，仅用一种坐标系，一种方程来研究各种不同的问题是不适
合的，有时难以获得满意的效果。参数方程有 其自身的优越性，
学习参数方程有其必要性。通过学习参数方程的有关概念，以及
方程之间、坐 标之间的互化，使学生感悟到坐标系及各种方程的
表示方法是可以视实际需要，主观能动的加以选择的。
“曲线的参数方程”为本章节的第一部分。主要让学生了解
优质参考文档

优质参考文档
参数方程的有关概念，通过探索圆锥曲线的参数方程初步掌握求
曲线的参数方程的方法，并且在此基础上进行参数方程与普通方
程的互化及其简单应用。
二、教学目标设计
根据以上分析，本节课设置的教学目标为：
1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方
程。
2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何
意义和物理意义。
3、初 步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题
解决的过程中，培养数学抽象思维能力，初步体验 参数的基本思
想。
三、教学过程设计
我校是上海市示范型高中，我校的学生数学基 础良好，思维
活跃，具备一定的分析问题和自主探究能力。因此在教学设计中
强调学生的自主探 究，强调数学思想方法的渗透与运用，希望加
深学生对知识本质的理解。
本课设置如下教学环节以体现重点，突破难点，实现教学目标。
1、作为曲线的参数方程的概 念课，一味的灌输是不可取的。
而是要让学生体会到为什么要建立曲线的参数方程，感受其产生
的必要性、合理性以及可行性。因此，由“摩天轮”这一生活中
优质参考文档

优质参考文档
的实例引入，一方面使学生了解参数方程是基于生产、生活发展
的实际需要而产生的，在引发学生研究的兴趣时，通过对问题的
解决，使学生体会到仅仅运用一 种方程来研究不同的问题不一定
方便，往往难以获得满意的结果，从而了解研究曲线的参数方程
的必要性；另一方面通过具体问题的解决，找到解决问题的途径，
也为圆的参数方程的研究作必要的准备 。
2、由特殊到一般，从具体到抽象。以“引导设问”为主线，
学生通过对问题的思考和解 答，体验学习过程，自主探索和获取
知识，从而得到圆的参数方程。同时在探索的过程中也提高学生的数学抽象思维能力。
3、作为一堂概念课，学生对于概念的理解必须精确，深入，
为 后续课程打下扎实的基础，教师必须在这一环节进行深入的分
析。
因此，在圆以及曲线的参数 方程的概念引入之后，针对参数
方程的形式、参数的取值范围、参数方程与普通方程的统一性、
参数的作用以及参数的意义进行深入的理解与探讨。通过这一环
节，学生活跃的思维逐步从感性上升到理 性；同时，对于概念的
理解得到巩固与深化。
通过加强师生交流、关注学生思维，把握课堂教 学重点，让
学生体验知识产生的原因，发展的过程及其应用的价值。
4、在本节课中，设计了适当的练习与例题。一方面可以巩固
优质参考文档

优质参考文档
学生对曲线的参数方程概念的理解认识；另一方面通过简单的应
用，使学生体会曲线的参数方程的作用及意义。
教学中通过教师的适当引导、启发，同时大胆 地放手由学生
自主探究、及时激励学生以体验问题解决的成功喜悦。
5、 本节课的小结并不 是由教师代为整理归纳，而是引导学生
自主回顾本节课的学习过程，交流学习体会，包括数学知识的获< br>得，数学思想方法的领悟，对学会学习、学会思考的感想等。一
方面可以在学生交流的过程中及时 发现问题并加以纠正；另一方
面也锻炼了学生对知识的梳理和概括能力。
6、作为课堂教学的 延续，两道思考题可让学生在课后进行自主
探究，同时也为后续的参数方程与普通方程的互化以及参数方 程
的应用作准备。
课题：椭圆及其标准方程
教材：
人教社《全日制普通高级中学教科书》（试验修订本?必修）数学? 第
二册（上）
授课教师：辽宁省盘锦市辽河油田第二高中 宁印光
联系方式：电话：0427—7286160 手机：
邮箱：liaoPounPg@
一、教学目标
（1）知识与能力目标：学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两
优质参考文档

优质参考文档
种形式及其推
导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求
椭圆的标准方程。
（2）过程与方法目标：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的
观察能力和探
索能 力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线
方程的一般方法，提高学生运用坐标法解决几 何问题的能力，并
渗透数形结合和等价转化的数学思想方法。
（3）情感、态度与价值观目标 ：通过让学生大胆探索椭圆的定义
和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣
和创新意识，培养学生勇于探索的精神和渗透辩证唯物主义的方
法论和认识论。
二、教学重点、难点
（1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定
义法求曲线方程。
（2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。
三、教学过程
（一）创设情境，引入概念
1、动画演示，描绘出椭圆轨迹图形。
2、实验演示。
思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？
优质参考文档

优质参考文档
（二）实验探究，形成概念
1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。
实验探究：
保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么
变化？
思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨
迹？
2、 概括椭圆定义
引导学生概括椭圆定义

M
椭圆定义：平面内与两个定点
F
1
,F
F
2
F
2
1
距离的和等 于常数（大于

F
1
F
2
）的点的轨迹叫椭圆。
教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦
距。
思考：焦点为
F
1
,F
2
的椭圆上任一点M，有什么性质？
令椭圆上任一点M，则有
MF
1
?MF
2
?
2a
(2
a?
2
c?F
1
F
2
)

（三）研讨探究，推导方程
1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？
2、研讨探究
问 题：如图已知焦点为
F
1
,F
2
的椭圆，且
F
1< br>F
2
=2c,对椭圆上任
一点M，有
MF
1
?MF
2
?2a
，尝试推导椭圆的方程。
优质参考文档

优质参考文档


M
思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？
F
2
F
1

将各组学生的讨论方案归纳起来评议，选定以下 两种方案，由
各组学生自己完成设点、列式、化简。
方案一 方案二

y
y
按方案一建立坐标系，师生研讨探究得到椭圆标准方程
M
F
2

x
x
2
y
2
O
2
= a
2
－c
2
( b > 0 )；+=1（），其中b
a?b?0
2
2
O x
a
b
F
M
F
21
F
1


选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出

y
2
x
2
+
2
=1，同样也有a
2
－c
2
= b
2
( b > 0 )。
2
b
a
x
2
x
2
y
2
y
2
教师指出：我们所得的两个方程
2
+
2
=1和
2
+
2
=1
ab
ba
（
a?b?0
）都是椭圆的标准方程。
（四）归纳概括，方程特征
1、 观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳
（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标
轴；
（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；
b
2
?a
2
?c
2
(a?b?0)
；
（3）椭圆标准方程中三个参数 a,b,c关系：

（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；
（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a,b的值。
2、 在归纳总结的基础上，填下表
优质参考文档

优质参考文档

标准方
程
x
2
y
2
+=1
(a?b?0)

a2
b
2
y
2
x
2
+=1
(a?b?0 )

a
2
b
2
y

图形
y
M
F
2
F
2



x
F
1

O

x
M
O
F
1

a,b,c关
系
焦点坐
标
焦点位
置
b
2
?a
2
?c
2

b
2
?a
2
?c
2

(?c,0)

(0,?c)

在G轴上 在P轴上
（五）例题研讨，变式精析
例1、 求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）两个 焦点的坐标分别是
(?4,0),(4,0)
，椭圆上一点P到两焦点
距离和等于10 。
35
（2）两焦点坐标分别是
(0,?2),(0,2)
，并且椭圆经过 点
(?,
)
。
22
（3）
a?b?10,c?25
。
例2、（1）若椭圆标准方 程为
16x
2
?
9y
2
?
144,
求a,b
及焦点坐标。
42
（2）若椭圆经过两点
P(5,),Q(22 ,
),
求椭圆标准方程。
33
优质参考文档

优质参考文档
（3）若椭圆
2
kx
2
?k y
2
?
1
的一个焦点是
(0,?4)
，则k的值
为 。
（A）
1
1
（B）8 （C） （D）32
8
32
y
例3、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆
P

上任 意一点P向G轴作垂线段
PP
1
，求线段
PP
1
中点M的轨 迹。
（六）变式训练，探索创新
1、 写出适合下列条件的椭圆标准方程
（1）
a?1,b?1
，焦点在G轴上；
O
M
P
1
x

（2）焦点在G轴上，焦距等于4，并且经过点P
(3,?26)
；
（3）
a?c?10,a?c?4
。
y
2
x
2< br>??
1
表示焦点在P轴上的椭圆，则k的范2、 若方程
2?kk?1
围 。
3、 已知B，C是两个定点，
BC?6,且?ABC
周长为16，求顶点
A的轨迹方程。
4、 已知椭圆
mx
2
?y
2
?
8
与9
x
2
?
25
y
2
?
100
的焦距相等，求实数
m的值。
x
2
y
2
??
1< br>上求一点，使它与两个焦点连线互相垂5、 在椭圆上
4520
直。
y
2
x
2
??
1
上一点，其中
F
1
,F< br>2
为其焦点且
6、 已知P是椭圆
10064
?F
1
PF
2
?60?
，求三解形
F
1
PF
2
面 积。
（七）小结归纳，提高认识
优质参考文档

优质参考文档
师生共同归纳本节所学内容、知识规律以及所学的数学思想和
方法。
（八）作业训练，巩固提高
课本第96页习题§8.1第3题、第5题、第6题。
课后思考题：
x
2
y
2
1、 知
F
1< br>,F
2
是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的 两个焦点，AB是过
F
1
ab
的弦，则
?ABF
1
周长是 。
（A）2a（B）4a（C）8a（D）2a+2b
2、
?ABC
的两个顶点A，B的坐标分别是
(?6,0),(6,0),
边AC，BC
所在直线的斜
率之积等于
?
4
，求顶点C的轨迹方程。
9
2、 与圆
x
2
?y
2
?
6
x ?
5
?
0
外切，同时与圆
x
2
?y
2?6x?91?0
内
切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线？
教学设计说明
椭圆是圆锥曲线中重要的一种，本节内容的学习是后继学习其它圆锥曲线的基础，坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线
方程的很好应用实 例。本节课内容的学习能很好地在课堂教学中展现新课程的理
念，主要采用学生自主探究学习的方式，使 培养学生的探索精神和创新能力的教学
思想贯穿于本节课教学设计的始终。
椭圆是生活中常见 的图形，通过实验演示，创设生动而直观的情境，使学生
亲身体会椭圆与生活联系，有助于激发学生对椭 圆知识的学习兴趣；在椭圆概念引
优质参考文档

优质参考文档
入的 过程中，改变了直接给出椭圆概念和动画画出椭圆的方式，而采用学生动手画
椭圆并合作探究的学习方式 ，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，有利于
培养学生观察分析、抽象概括的能力。
椭圆方程的化简是学生从未经历的问题，方程的推导过程采用学生分组探究，
师生共同研讨方程的化简和 方程的特征，可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体
过程，使学生真正了解椭圆标准方程的来源，并在 这种师生尝试探究、合作讨论的
活动中，使学生体会成功的快乐，提高学生的数学探究能力，培养学生独 立主动获
取知识的能力。
设计例题、习题的研讨探究变式训练，是为了让学生能灵活地运用椭 圆的知
识解决问题，同时也是为了更好地调动、活跃学生的思维，发展学生数学思维能力，
让学 生在解决问题中发展学生的数学应用意识和创新能力，同时培养学生大胆实
践、勇于探索的精神，开阔学 生知识应用视野。
20GG年全国高中青年数学教师优秀课比赛
《点到直线的距离》教案
四川省成都市第七中学数学组 杜晓雯
【课题】 点到直线的距离
【教材】 全日制普通高级中学教科书（必修）第二册（上）
人民教育出版社
【授课教师】杜晓雯
一． 教学目标
1．教材分析
优质参考文档

优质参考文档
⑴ 教学内容
《点到直线的距离》是全日制普通高级 中学教科书（必修·人
民教育出版社）第二册（上），“§7．3两条直线的位置关系”的第
四 节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．
⑵ 地位与作用
本节对“ 点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定
性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学习平台是 学生已掌
握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关
知识．对“点到直线的 距离”的研究，为以后直线与圆的位置关
系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作
用．
2．学情分析
高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具< br>备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．根据我校学生基
础知识较扎实、思维较活跃，但处 理抽象问题的能力还有待进一
步提高的学习现状和认知特点，本课采用类比发现式教学法．
3．教学目标
依据上面的教材分析和学情分析，制定如下教学目标．
⑴ 知识技能
① 理解点到直线的距离公式的推导过程；
② 掌握点到直线的距离公式；
优质参考文档

优质参考文档
③ 掌握点到直线的距离公式的应用．
⑵ 数学思考
① 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思
想；
② 通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培
养学生的数学阅读能力；
③ 通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的
能力．
⑶ 解决问题
① 通过问题获得数学知识，经历“发现问题—提出问题—解决
问题”的过程；
② 由探索点
P
?
2,0
?
到直线
x?y?0
的距离， 推广到探索点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线< br>Ax?By?C?0
?
A
2
?B
2
?0
?< br>的距离的过
程，使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究
方法．
⑷ 情感态度
结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感
受数学的实用性，有效激 发学生的学习兴趣．
二． 教学重点、难点
1．教学重点
⑴ 点到直线的距离公式的推导思路分析；
优质参考文档

优质参考文档
⑵ 点到直线的距离公式的应用．
2．教学难点
点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．
三．教学过程
教学
教 师 活 动

环节





学 生 活 动

活
说
创设情境：以学生熟知的生活图片欣赏现实模型：

新
课
引
入

和一个具体实例：当火车在高速行驶时，周①地 质勘探、铁轨宽度、人模
围会产生负压，如果旅客离铁轨中心的距离离高压电线的安全距离
小于2米5时，就可能被吸入车轮下发生（图片欣赏）
危险．让学生直观感受几何要素——“点②生活实例
到直线的距离”，引发学习好奇心和研究兴（flash动画演示）
趣．

直


探








回顾旧知：在初中，“点到直线的距离”学生：过点
P
作
l
的垂线在
的定义是什么？
1． 点到直线的距离公式的推导过程
垂足为
Q
，垂线段
PQPQ
，
旧
的长度就是点
P
到直线
l< br>的基
索

探

思

索
（由特殊推广到一般、从具体推广到抽象） 距离．
问题1 如何求点
P(2,0)
到直线
x?y?0
的距离？
引
点< br>P
与直线
l
上所有点的课
连线中，垂线段最短． 由
教师：请同学们作出图象后，思考有哪些计问题1
优质参考文档
材
思
考

优质参考文档
算方法，结果是什么？
方法① 利用三角函数
解：过点
P
作
l
的垂线
P Q
，垂足为
Q,

学生作图后，结合图象，于
分组讨论怎样计算
PQ
．
方法① 利用三角函数
直
距
l:x?y?0,??QOP?45,P
?
2, 0
?
,
?OP?2,
?PQ?OPsin45?2?
学生：由于点和 直线的位置式
2
?2

很特殊，可以利用三角函数明
2
教师：由于点和直线的位置比较特殊，直角来解决．
三角形较为明显，并且出现了特殊角，所以
抽
l:x?y?0

y

所
可以利用三角函数来解决问题．但如果直线方法② 利用定义
Q

位置不具特殊性，三角运算将较为繁杂，故（由于前面复习了点到直
·
充
个
此法具有一定的局限性．
方法② 利用定义
解：过点
P
作
l
的垂线
PQ
，设垂足为
Q.

线的距离的定义，
·
所以学生人
O

P
?
2,0
?

x

容易想到利用定义解决问具
题） 题
l:x?y?0,P
?
2,0< br>?
,?PQ:y??
?
x?2
?
,

?y?x
?
x?1
?
?
,?x?2?x,?
?
.

y?2?xy?1
??
22
?Q
?
1,1
?
,?PQ?
?
2?1
?
?
?
0?1
?
?2.

方法③ 利用函数的思想
解：设直线
l
上的点< br>Q(x
0
,y
0
)
，则
学生：利用定义解决问题． 后
方法③ 利用函数的思想 广
（在前面复习中强调了垂般
线段最短，所以可以引导 学作
生，利用二次函数求最小值垫
的方法解决问题．）
d
P?直线l
?
?
QP
?
min
，
x?y?0,?x
0
?y
0
?0,

补
学生：可以利用二次函数求问
最小值的方法解决问题．

?QP ?(x
0
?2)
2
?y
0
2
?x
0
2
?4x
0
?4?x
0
2
?2(x
0
? 1)?2?2.
当
x
0
?1
时，取得等号，即点
Q
?
1,1
?
.

优质参考文档
2
1
y

l:x?y?0

Q

·
于
Q

·

优质参考文档
教 师：我们可将求点到直线的距离转化为两学生的解答中，可能会忽直
点之间的距离，再通过二次函数求最 小值的略取得等号的条件，教师要位
方法解决本题． 引导学生思考，取得等号时常
强调：⑴点
Q(x
0
,y
0
)
在直线
l
上，故
x
0
、y
0
满
点
Q
的坐标，并与前面两种殊足直线方程； 方法所得答案进行对比． 以
⑵当等号成立时，指明此时点
Q
的坐标，并方法④ 利用直角三角形容
与方法②得到的点
Q
的坐标进行比较．
方法④ 利用直角三角形的面积公式
的面积公式
学生：三角形面积公式．
答
师< br>教师：由于
PQ?l
，所以我们还可以想到什学生：过点
P
作
l、x轴
的垂励
么方法来计算呢？
教师：应该如何构造三角形呢？
线
PQ、PR
，构造
Rt?OPR
． 利

y

l:x?y?0

种
R

·
点，教师要强调：由垂直条件可以联想到三对于问题1的四种解法，题
Q

·
角形的高或直角三角形等知识，从而得到辅学生可能回答不完全，教师方
助线的添作方式．
·
要补充完整．
2,0

x

O

P
??
如何添作辅助线是学生的一个思维难 解
利
解：过点P
作
l、x轴
的垂线
PQ、PR
，交点问题2
为点
Q、R.
方法① 利用三角函数

类
归
P
?
2，0
?
，y?x,?R
?
2,2
?
,

y

想
?OP?2,PR?2.
?Rt?OPR中，OR?QP?OP?PR,

?22?QP?2?2,?QP?2.

优质参考文档
l:2x?y?2?

0

后方法②
Q
利用函数的思想

·

y
两
S

·
l
·
:2

x?y?2?0

P
?
4,2
方法③
Q
利用定义
?

直

·
O



Q
·
·
P
?
4,2
?

x

O

x

优质参考文档
问题2如何求点
P(4,2)
到直线
2x?y?2?0
的距离？
y

的
l:2x?y?2?0

方法④
Q


利用直角三角形离
·
（类比问题1的四种解法，让学生独立思的面积公式 化
·
P
?
4,2
?

考问题2．课堂上，只要求学生说明解题思 到
l:2x?y?2?0

R

x

路，而不要求解题过程．） 问题
y
3


O

的
·
y

（以下有关例题2的解题过程仅供资料查 奠
Q

·
P
?
x
0
,y
0
?

础阅，而不在课堂上讲解．） 学生讨论：前面四种证明方
·
S

·
·
P
?
4,2
?

方法① 利用三角函数 法的都可行，但利用三角函强
25
PS?4,tan?QSP?2,?sin? QSP?.
·
x


Q

O
5
数和利用二次函数求最小形
2585
x

?PQ?SP?sin?QSP?4??.
O

方法② 利用函数的思想
5
值的方法，相对要复杂一的
5
l:Ax?By?C?0

2
2
?QP?(x
0
?4)?
?
y
0
?2
?
设点
Q(x
0
,y
改
0
)
在直 线上，则
2x
0
?y
0
?2?0.

些．
?x
0
2
?8x
0
?16?4x
0
2
? 5x
0
2
?8x
0
?16
方法① 利用定义的算法 题< br>4
?
418
?
2
Q
时，取得等号，即点
?< br>，
?
．
46485
?
?
55
?
? 5
?
x
0
5
?
?
??.
5
?55
?
方法③ 利用定义
当
x
0
?
?
学生分析解题思路，整理几
出算法框图．
学生的回答可能会忽略
素
过点
P
作
l
的垂线
PQ
，设垂足为
Q.

l:2x?y?2?0,P
?
4,2
?
,
1
4?
?PQ:y?2??
x?
?
y?2x?2
2
?
x?4
?
,
?
1
??
5

?
?
418
,?2x?2??x?4,?.
?
1
?
??
?
x?4
18
2
y
?Q,
?
,
??
y?
?
?
2
?
55
?
?
5

?
直

k?0
?
即A?0
?
这个条件限< br>位
制，教师要给予纠正并强调引
85
?
4
??
18< br>?
?PQ?
?
?4
?
?
?
?2
?< br>?.
方法④
?
利用直角三角形的面积公式
55
??
5
?
22
直线
l
?
的斜率是否存在，主题
要取决 于分母
k
是否为0，类
过点
P
作
l、x轴
、
y
轴的垂线
PQ、PR
，交这也是对前面知识的巩固． 题
点为点
Q、R
、
S.

优质参考文档
学生：对于
A?0或B?0
的让

优质参考文档
P
?
4，2
?
,
l:2x?y?2?0,

特殊情况，可以结合图象直独
接得出结论．
?R
?
4,10
?
,S
?
0,2
?
,

考
?SP?4,PR?8,

方法② 利用直角三角形2

?Rt?SPR中，SR?QP?SP?PR，
?45?QP?4?8,?QP?
85

.
5
的面积公式的算法 同
学生：先添作辅助线，过点法

探
问题3 如何求点
P
(x
0
,y
0
)
到直线
Ax?By?C?0
的距离（
A
2
?B
2
?0
）？
P
作
x
轴、
y
轴的垂线交
l

堂




于点
S、R
，再利用直角三要
l

索
y

教师：你能否类比问题1、2解决本问？ 角形的面积公式进行计算． 生
P



R
·
思
教师：如果通过定义来计算，你的思路是什
么？
·
·

Q
S

解
路
教师：对于
A?0或B?0
的特殊情况，你可方法③ 利用平面向量的算
x

不

O
以怎样处理？
方法① 利用定义的算法思路


确定直线
l
的斜率
k
?
k?0
?


法
·
考

解
y

程
A
P
?
x
0
,y
0
?

学生：
k??
?
B?
·
在
0

?

B
?

学生容易忽略
B?0
的限直
·
1
Q

x


距方法② 利用直角三角形的面积公式的算法制条件，教师给予纠正．
求与
l
垂直的直线
l
?
的斜率
k
?
??

k
O

Mx,y
?


思路 学生：
n?
?
A,B
·


?
式
?
l:Ax?By?C?0

教师：如果类比问题1、2，通过面积构造 对于法向量
n
的理解是导
求过 点
P
垂直于
l
的直线
l
?
的方程
法来计算，你应该如何添作辅助线？解题思一个难点，同时学生得到的中
路是什么？


求
l
与
l
?
的交点
Q

答案可能不统一．教师引导透
学生从向量共线的角度加的
过点
P
作
x
轴、
y
轴的垂线交
l
于点
R、S

优质参考文档
求点
P
与点
Q
的距离
用
x
0
、y
0
表示点
R、S
的坐标

优质参考文档
探


以分析，从而帮助学生理对
解．



探
索
问
思
题
解
考
决













< br>法
索
教师：根据得到的算法思路，请同学们自学学生：
PM?
?
x?x
0
,y?y
0
?

教
PM?n?PMn? cos
?
教材
P
52
的证明方法．
方法③ 利用平面向量的算法思路
教师：直线
l
的斜率是什么？
教师：若向量
n?l
，你能表达
n
的一个坐标
吗？
?A
?
x?x
0
?
?B
?
y?y
0?
PM?n
学生：
PQ?PM?cos
?
?
n
?
?
x?x
0
,y?y
0
??
A,B
?
只
思
了

?
?
考
2
A,B??
x?x
0
,
A
y
2
?
?
y
B
0
??
Ax
0
?By
0
?Ax?By
2
A
2
0
?
Ax
0
?By?
B< br>C
步
而
?
2
B?0或
当
A?
A? B
2
0
时，以上公了
教师：设点
M
?
x,y
?
是直线
l
上任意一点，式仍然成立．
则
PM
的坐标是多少？
的
学生容易忽略距离是一过
教师： 设
PM与n
的夹角为
?
，则
PM?n
为多个非负数，所以教 师要强调所
少？
教师：结合图象，你能否表示出
PQ
？


PQ?PM?cos
?
应该加上
要
绝对值符号． 生
设点
M
?
x,y
?
是直线
l
上任意 < br>一点得
PM?
?
x?x
0
,y?y
0
?
师生共同总结：对于点到直算
线的距离公式的理解


路
⑴ 从运动的观点来看，点出
求与
l
垂直的向量
n??
A,B
?

?
x?x
0
,y?y
0
??
A,B
?
Ax
0
?By
0
?C
得到d??
22
2．点到直线的距离公式
A?BA
2
?B
2
到直线的距离是直线上的图
点与直线上一点的连线的要
最短距离；
P< br>与
(x
n
y
0
)
到直线
?
?
ByC?
点
的距离
PM
PMn?
?
PMn
0cos
?
设
?
得
Ax
0
,
的夹角为
d?
Ax
0
?By
0
?C
22
明
A?B
PM?n
得到点到的距离
d?PM?cos
?
?
l
P
教师：你能否利用点到直线的距离公式解决式的前提条件，是把直线的
n

（其中
A、B不同时为0
）
⑵ 使用点到直线的距离公程
对
优质参考文档

优质参考文档
问题1和问题2？并比较计算结果．

3．点到直线的距离公式的应用
例1 求点
P
0
(?1,2)
到下列直线的距离：
⑴
2x?y?10?0;
⑵
3x?2;

方程 化成一般式方程．如果法
给出的直线方程不是一般引
式方程，应先将方程化成一生
般式 ；
⑶若点
P
在直线上，则点
P
算
路
⑶
? x?3y?7;
⑷到直线的距离为零，距离公根
知
24
?
?
x?1
?
.

33
分析：⑴
2x?y?10?0;

y?
可能会有学生在代人公式计算时，忘掉绝
式仍然成立； 法
⑷若直线方程中系数图





A?0或B?0
的特殊情况，
导
识
对值符号．教师要给予 纠正，强调距离是一距离公式仍然成立，但一般自
个非负数．
⑵
3x?2;

情况下可以结合图形直接材
得到距离．
运
明
教材上的解法是结合图形直接得到点到师生共同讨论 程
用
直线的距离，也可能会有学生是直接代人公例1 解：⑴根据点到直线养
式计算 ，教师指出对于
A?0
或
B?0
的特殊的距离公式，得
2?(?1) ?2?

10
d?
22
2?1
情况，一般结合图形直接得到结论．
10
??25.
⑶
?x?3y?7;
⑵解法① 因直线
3x?2
5
部分学生可能会对代入公式后计算得平行于
y
轴，所以
0这一结果感到困惑，教师要引导学生思考
d?
25
?(?1)?.

33
的
阅
力
取
的
此时点与直线的位置关系，指出当 点落在直解法② 根据点到直线的力
线上时公式仍然成立．
优质参考文档
5
距离公式，得
d?.

3
补

优质参考文档
⑷
y?
24
?
?
x?1
?
.

33
⑶
l:?x?3y?7,
方
在补充的问题⑷中所给出的直线方 程
??
?
?1
?
?3?2?7.

不是一般式，所 以在代人公式计算前，学生
?点P
?
?1,2
?
落在直线上,

0
必须将直线方程化为一般式，以便确定系数
?d?0.

③
立
生
从而达到强调公式运用前提的目的．
另解：根据点到直线的 距离的
A、B
，
教师：使用点到直线的距离公式的前提条件公式，得
d?0.

是把直线的方程化成一般式方程，如果给出⑷
l:y?
24
??
x?1
?
,

33
向
识
的直线方程 不是一般式方程，应先将方程化
?l:4x?3y?2?0.

础
成一般式，以便确定系数
A、B
的值，这一根据点到直线的距离公式， 课
点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．
d?
4?
?
?1< br>?
?3?2?2
?
12
.

只
2
5
4
2
?
?
?3
?
例2 ⑴已知点
A?
?2,3
?
到直线
y?ax?1
的例2 由学生分析解题思学
距离为
2
，求
a
的值； 路，并按要求用数学语 言表清
⑵已知点
A
?
?2,3
?
到直线
y??x? a
的距离述过程．
为
2
，求
a
的值．
教师：如何求实数
a
的值？
解：⑴
学生：
⑴中
a
表示直线的斜率；
思
而
这
⑵中
a
表示直线在
y
轴上法
的截距．
知
y?ax?1,?ax?y?1?0,
体

识
a
2
?1a
2
?1
?2a?2?2a
2
?2,
?4a
2
?8a?4?2a
2
?2,
?d?
?2a?3 ?1
?
2a?2




?2,
学生：这两个小问的几何意过
义分别是 可
⑴点
A
?
?1,2
?
到两条直线的课
运
所以点
A
在两条考
?2a
2
?8a?2?0,?a?3?2或a??3?2.
距离相等，
优质参考文档
用

优质参考文档
⑵
y? ?x?a,?x?y?a?0,
?d?
?2?3?a
22
?a?1?2,?a ?3或a??1.

?
a?1
?2,
直线所成角的角平分线上； 业
补
方
为
教师：这两问直线方程中参数
a
的几何意义
是什么？
教师：两个小问的几何意义是什么？
（教师利用几何画板进行数学实验）
例3 求平行线
2x?7y?8?0
和
2x?7y?6?0
的距离．
在
几
⑵所得的两条直线互相平中
行且距离为2． 用
算
路
教师：这两条平行直线间的距离是否是固定
的？
教师：如何求这两条平行直线间的距离？
教师：可以选择哪个点？

例3
点
面
离
设
解：在直线
2x?7y?6?0
上任取一 点，例学生：两条平行直线间的距笔
如
P(3,0),
则
P(3,0)
到直线
2x?7y?8?0
的离处处相等；
距离就是两平行线间的距离．因此 < br>d?
2?3?7?0?8
22
前
学生：将两平行直线之间的应
2?(?7)
教师：是否可以在直线
2x?7y?6?0
上取到另一条直线的距离；
?
141453
?.

53
53
距离转化为一直线 上一点学
会
一般的点
P
?
x
0
,y
0?
来求距离？
推广到一般结论：
优质参考文档
学生：选择点
P(3,0)
． 公
学生：可以选择一般的点． 算

优质参考文档
知
例４ 求证：两平行直线
l
1
:Ax?By?C
1
?0,l
2
:Ax?By?C
2
?0,
P(x
0
,y
0
),

便解：设直线上一点
2x
0
?7y
0
?6?0,





识
2 ?
?
?7
?
(A,B?0且C
1
?C
2
)
的距离为
d?
⑶
.
例4 师生共同总结：
226?8
1453
A?B
??.
53
53
证明：设点P(x
0
,y
0
)
是直线
Ax?By?C
2< br>?0
⑴ 应用公式的前提是应先两
?d?
2x
0
?7y
0
?8
2
2
例
C
1
?C
2
运
上任一点，则点
P
到直线
Ax?By?C
1
?0
的
将两直线方程化为一般形题
距离为
d?
Ax
0
?By
0
?C
1
A?B
22
.
式，使对应系数
A、B
化为充
用
Ax
0
?By
0
?C
2
?0,?Ax
0
?By
0
??C
2
,
C
1
?C
2
?d?.

22
A?B
两平行直线的距离公式：
l
1
:Ax?By? C
1
?0,l
2
:Ax?By?C
2
?0,
相等（ 两直线平行），再代容
人公式计算； 的
⑵ 两平行线间的距离可转化
化为其中一条直 线上的一直
A?B
教师：两平行线的距离公式不要求记忆．
(A,B?0且C
1
?C
2
)
的距离为
d?
C
1
?C2
22
.
个特殊点到另一条直线的距
距离． 式
在求两条平行线间的距离时，一般仍利用课堂练习
化归思想转化为直线上一特殊点到另一直学生独立完成
线的距离来处理．
课堂练习 求下列两条平行线的距离：
⑴
2x?3y?8?0,2x?3y?18?0;

⑵
3x?4y?10,3x?4y?0;

⑶
3x?1?2y,6x?4y?2?0.

解：⑴
d?213;

⑵
d?2;

⑶
3x?2y?1?0,
6x?4y?2?0,

用
条例
要
过
将
点
3?2
学生容易解错：
优质参考文档
?d?
?1?1
22
?
2
13;

13
标
公

优质参考文档
3?2
请其他同学分析错误原因． 调

d?
?1?2
22
?
3
13.

13算
的
记
前
件
此
上
浅
深
充2
线
含
数
一
高
难
在
中
于优质参考文档

优质参考文档
方
的
都
明
几
义
以
出
a
后
引
生
其
意
补
例
既
了
对
的
情
优质参考文档

优质参考文档
又
节
究
问
直
问下
笔
由
⑵
何
可
出
的
3
例用
比
的
方
同
优质参考文档

优质参考文档
出
4
例
材
以
的出
的
（
P
补
课
习
目
是
调公
前
件
优质参考文档

优质参考文档
教师引导学生归纳总结本节课所学习的主学生归纳总结
要内容． 本课主要学习了以下内容：
课
堂
小
结
课后作业
⑴
利用向量的方法证明点到直线的距离公
⑴ 点到直线的距离公式的推导






同的算法思路：利用定义的算法
式；
⑵ 教材
P
54
习题7.3
13、14、16
用直角三角形的面积公式的算法
用平面向量的算法；
（通过小结，使学生将本节课所学的知识系⑵ 点到直线的距离公式：
统化，使学生再次巩固知识，明确方法．） 点
P(x
0
,y
0)
到直线
Ax?By?
（其中
A、B不同时为0
）的距离
A?B
说明：对于
A?0或B?0
的特殊
时公式仍然适用．
d?
Ax
0
?By
0
?C
22

⑶ 应用点到直线的距离公式的
条件．
板书设计：

课题：点到直线的距离

1． 问题1
如何求点
P(2,0)
到直线
x?y?0
的距离？
设计说明：
方法① 方法② 方法③ 方法④



点到直线的距离公式

4．典型例题
1．对于这一节内容，有两种不同的处理方法：一种是仅让学生理
2． 问题2
如何求点
P(4,2)
到直线
2x?y?2?0
的距离？
例1
例2
解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的教学不
例3
3．
问题3 如何求点
P
(x
0
,y
0
)
到直线
Ax?By?C?0

例4
优质参考文档

的距离（
A
2
?B
2
?0
）？
5．课堂练习
方法① 利用定义的算法框图
6．课堂小结
方法② 利用直角三角形的面积公式的算法框图
7．课后作业

优质参考文档
利于对学生数学思维的培养；另一种是本课所体现的方式，通过
强调对公式的探索过程，提高学生利用 代数方法处理几何问题的
能力；
2．由于点到直线的距离公式的证明过程含字母运算，比较抽 象．如
果没有整体算法步骤的分析，学生的思路势必会缺乏连贯性，所
以本课重点分析了三种算 法思想：利用定义的算法、利用直角三
角形的面积公式的算法、利用平面向量的算法．让学生在明晰算< br>法步骤的前提下，再进行有效的公式证明和自学阅读；
3．由于平面向量是一种重要的运算工具 ，同时根据我校学生能力
较强、数学思维较活跃的学情特点，本课补充了利用向量的数量
积证明 点到直线的距离公式的方法．实际上，在以后立体几何的
学习中，将利用这种算法思路得到点到平面的距 离公式．但由于
这种方法有一定思维难度，所以可以根据学生的实际情况，提出
分层要求：基本 要求是理解教材所给出的证明方法并能够应用公
式，较高要求是能够利用向量的方法证明点到直线的距离 公式；
4．现代数学认为“几何是可视逻辑”，所以应该重视在补充的例
题中，突出几何直观 和数形结合的思想方法；
5．学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以可将
应 用公式的前提条件等学生容易忽略的环节，设置在补充的例题
练习中，以便达到强化训练的目的．
★ 20GG年全国高中数学优秀课展评教案
优质参考文档

6
5
4
优质参考文档
3
2
人教版全日制高中《数学》第一册(上)P70—74

1
-4-3-2-11234

四川省荣县中学校 刘志刚
20GG年11月
优质参考文档

优质参考文档
一、教材分析
１．教材背景
指数函数是在学习了函数的现代定义及其图象、性质， 掌握了研究函数的一
般思路，并将幂指数从整数扩充到实数范围之后，学习的第一个重要的基本初等函< br>数，是《函数》一章的重要内容。本节内容分三课时完成，第一课时学习指数函数
的概念、图象、 性质；第二、三课时为指数函数性质的应用，本课为第一课时。
２．本课的地位和作用
本节 内容既是函数内容的深化，又是今后学习对数函数的基础，具有非常高
的实用价值，在教材中起到了承上 启下的关键作用。在指数函数的研究过程中蕴含
了数形结合、分类讨论、归纳推理、演绎推理等数学思想 方法，通过学习可以帮助
学生进一步理解函数，培养学生的函数应用意识，增强学生对数学的兴趣。
二、重难点分析
根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：
重点 ：本节课是围绕指数函数的概念和图象，并依据图象特征
归纳其性质展开的。因此本节课的教学重点是掌 握指数函数的图
象和性质。
难点： 1、对于
a?1
和
0?a?1
时函数图象的不同特征，学生不容易归纳
认识清楚。因此，弄清楚底数a对函数图象的影响是本 节的难点之一。
2、底数相同的两个函数图象间的关系。
三、目标分析
１．知识技能目标
优质参考文档

优质参考文档
掌握指数函数的概念、图象和性质。
２．过程性目标
通过自主探索，让学生经历“ 特殊→一般→特殊”的认知过程，完善认知结
构，领会数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法。
３．情感、价值观目标
让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨 及数
与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作
用。
四、学情分析
１．有利因素
学生刚刚学习了函数的定义、图象、性质，已经掌握了 研究函数的一般思路，
对于本节课的学习会有很大帮助。
２．不利因素
本节内容思 维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高
要求，学生学习起来有一定难度。
五、教法学法
根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，< br>确定以下教法、学法：
探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。遵循“以学生 为
主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本
节为概念学 习的特点，类比学习函数的一般思路，以问题的提出、问题的解决为主
优质参考文档

优质参考文档
线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动 参与，通过不断探
究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。
六、教学过程设计
复习旧知→新课引入→探索新知→知识扩展→课堂练
习→课堂小结→课后作业
七、教学过程
１．复习旧知
函数的三要素是什么？函数的单调性反映了函数哪方面的特征？
答：函数的三要素包括：定义 域、值域、对应法则。函数的单
调性反映了函数值随自变量变化而发生变化的一种趋势，例如：
某个函数当自变量取值增大时对应的函数值也增大则表明此函数
为增函数，图象上反应出来越往右图象上 的点越高。
２．新课引入
观看视频解答下面两个问题：
问题1：某种细胞分裂 时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个……，这样的
细胞分裂G次后，细胞个数P与G的函数关系式为 ：P=2
G
（G∈N
G
）
问题2：铀核裂变能产生巨大的能量，它的裂变方式称为链式反应，假定1
个中子击
打1个铀核，此中子被吸收产生能量并释放出3个中子，这3个中子又打中另外3
个铀核产生3倍的能量 并释放出9个中子，这9个中子又击中9个铀核……这样的
优质参考文档

优质参考文档
击打进行了G次后释放出的中子数P与G的关系是：P=3G
（G∈N
G
）
提问：P=2
G
与P=3
G
这类函数的解析式有何共同特征？
答：函数解析式都是指数形式，底数为定值且自变量在指数位置。
（若用a代换两个式子中的底数，并将自变量的取值范围扩展到实数集则得
到……）
３．探索新知
〈一〉指数函数的定义
一般地，函数P=a
G(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中G
是自变量，函数的定义域是R。
提问：在本定义中要注意哪些要点？
1
2
3
4
自变量
定义域
a的范围
定义的形式（对应法则）
G
R
a>0，且a≠1
P=a
G

进一步提问：为什么规定定义中
a?0且a?1
？
将a如数轴所示分为：< br>a?0
,
a?0
，
0?a?1
,
a?1
和< br>a?1
五部分进行讨论：


(1)如果
a?0
, 比如
y?(?4)
x
，这时对于
x?
优质参考文档
11
,x?
等，在实
42

优质参考文档
数范围内函数值不存在；
x
?
?
当x?0时,a?0
(2 )如果
a?0
，
?

x
?
?
当x?0时, a无意义
(3)如果
a?1
，
y
?1
x
?1
，是个常值函数，没有研究的必要；
(4)如果
0?a?1
或
a?1即
a?0且a?1
，
x
可以是任意实数。
G 因为指数概念已 经扩充到整个实数范围，所以在
a?0且a?1
的前提下，
x
可以是任意实数 ,即指数函数的定义域为
R。
〈二〉指数函数图象
指数函数的图象是怎样的呢？先 看特殊例子（将同学们分两
组用描点法分别画出下列函数的图象）
1
第一组：画出< br>y?2
x
，
y?()
x
的图象；第二组：画出
y?3
x
，
2
1
y?()
x
的图象。
3

（及时指导学生作图，然后播放已经做好的函数图象，让
学生比较与自己 所画出来的有哪些异同点。）
提问：此两组图象有何共同特征？当底数
0?a?1
和
a?1
时图象有何区别？
〈三〉指数函数性质
根据指数函数的图象特征，由特殊到一般的推理方法提炼指
数函数的性质，完成下表：
优质参考文档

优质参考文档

图
象



(1)定义域：R
性
质
(2)值 域：(0，+∞)
(3)过点(0,1)，即G=0时，P=1
(4)在R上是增函数 (4)在R上是减函数
a>1

0（说明：教材对于指数函数 性质的处理，仅是观察图象发
现的，其正确性理应严格证明，但教材不做要求）
〈四〉指数函数性质的简单应用
例1 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年< br>剩留的这种物质上原来的84%。画出这种物质的剩留量随时间
变化的图象，并从图象上求出经过 多少年，剩留量是原来的一
半（保留一个有效数字）
解：设这种物质最初的质量是1，
经过
G
年后，剩留量是
P
。
经过1年，剩留量
y?1?84%?0.84
1

经过2年，剩留量
y?84%?84%?0.84
2

…………
优质参考文档

优质参考文档
一般地，经过
G
年，剩留量
y?0.84
x

根据这个函数关系可以列表如下：
G

P

0
1
1
0.84
2
0.71
3
0.59
4
0.50
5
0.42
6
0.35
画 出指数函数
y?
0.84
x
的图象。从图上看出
y?0.5
只
需
x?4
。
答：约经过4年，剩留量是原来的一半。
例2 说 明下列函数的图象与指数函数
y?
2
x
的图象的关
系，并画出它们的 示意图。
⑴
y?2
x?1
； ⑵
y?2
x?2

解：⑴比较函数
y?2
x?1
与
y?2
x
的关系：
y?2
?3?1
与
y?2
?2
相等，
y?2
?2?1
与
y?2
?1
相等，
y?2
2?1
与
y?2
3
相等，
…………
由此可以知道，将指数函数
y?
2
x
的
图象向左平行移动1个单位长度，就得到
函数
y?2
x?1
的图象。
⑵比较函数
y?2
x?2
与
y?2
x
的关系：
y?2
?1?2
与
y?2
?3
相等，
优质参考文档

优质参考文档
y?2
0?2
与
y?2
?2
相等，
y?2
3?2
与
y?2
1
相等，
………… 由此可以知道，将指数函数
y?
2
x
的图象向右平行移动2
个单 位长度，就得到函数
y?2
x?2
的图象。
４、知识扩展
〈一〉考古中的指数函数
14
C
是具有放射性的碳同位素，能够自发地进行
?
衰变，变
成氮，半衰期为5730年，活的植物通过光合作用和呼吸作用
1 4
与环境交换碳元素，体内
C
的比例与大气中的相同。植物枯死
14
后，遗体内的
C
仍在进行衰变，不断减少，但是不再得到补充。
因此，根据放射性强度 减小的情况就可以算出植物死亡的时间。
测年方法进入考古学研究被誉为考古学发展史上的一次革命，它将考古学研究中得到的相对年代转变为绝对年代，给考
古学带来了质的飞跃，使研究更加科学 化，促
进了考古学研究的深入。其中测算公式是一个指数式
x
1
5730< br>y?()
。
2
〈二〉音乐中的指数函数
钢琴是一种用琴槌击弦而振 动发声键盘乐器。从左往右逐
个试弹所有琴键，我们听到琴声逐渐由低到高，这是因为琴声
优质 参考文档

优质参考文档
的高低与琴弦振动的频率有关，而琴弦振动的频率又 与琴弦的
长度有关。粗略地说，琴弦长则振动慢，频率小，故发出的声
音低；琴弦短，则振动快 ，频率大，故发出的声音高。
音域宽度自大字二组
的A
2
至小字五组的c
5
。根
据“十二平均律”的法则，
任何两个相邻的键所发出
的 音相差半音阶（100音
分），它们的振动频率之比
是一个常数Q，设最低的
第一个音 A
2
的频率是
a
，则第二个音
#
A
2
的频 率是
a
Q，第三个
音B
2
的频率是
a
Q
2
，……另外，音高每提高八度（如A
2
到A
1
）
频率增大为 原来的2倍，而八度音域内包含12个半音（连续
的7个白键和5个黑键），所以，第十三个音（A1
）的频率是
第一个音（A
2
）的频率的2倍。故
aQ
12
?a?2
，即
Q
12
?2
。
另一方面，弦振 动的频率与弦长成反比。所以，从左向右，
相邻两弦的长度之比是常数
q=1Q
，从而 有
q
12
=12
。
设左边第一根弦的长度为
l
， 则第二根弦的长度为
l?q
，第
三根弦的长度为
l?q
2
， ……如图，取第一根弦所在直线为
P
轴，
各弦靠近键盘的端点所在直线为
G< br>轴建立坐标系，相邻两弦间
的距离为长度单位。这时，将弦的另一端点（上部）连成光滑
优质参考文档

优质参考文档
曲线，那么曲线上任意点的坐标
(x, y)
都满足函数关系
y?lq
x
。
若令
c?
lo g
q
l
，则
y?l?q
x
，可化为
y?q
x?c
。
经过适当平移，就可知道光滑曲线是指数函数
y?q
x
的 图
象——指数曲线。
生活中到处都有数学，我们要学会用数学的眼光观察世界，
用数学发现自然界的奥秘。
５、课堂练习
1、求下列函数的定义域：
(1)y?3
1
x
(2)y?5
x?1

2、函数P=a
2G-3
+3恒过定点 。
3 、作出函数
y?2
x?1
和
y?2
x
?1
的图象， 并说明
这两个函数图象与
y?
2
x
图象的关系。
4、如 图是指数函数①
y?a
x
，②
y?b
x
，③
y?c
x
，
④
y?d
x
的图象，则
a,b,c,d
的大小关系是（ ）
A．
a?b?1?c?d

B．
b?a?1?d?c

C．
1?a?b?c?d

D．
a?b?1?d?c

６．课堂小结
设问：本课我们主要学习了哪些内容？应当注意些什么？
本节课主要学习了指数函数的定义、 图象和性质。弄清楚底数
a?1
和
优质参考文档

优质参考文档
0?a?1
时函数图象的不同特征及性质是学好本节课的关键所在。
７．课后作业
①课本第73页习题2.6 1、2
②收集关于指数函数应用的相关资料，通过分析整理，写一
篇800字左右的报告。
八、课后反思
〈一〉在教学过程中有几个问题值得注意：
１．学生可能把自变量在指数上的函数都认为是指数函数，
应予以及时纠正。
２．若 学生质疑指数函数单调性结论的正确性，应先肯定质
疑是正确的，因为用图象观察归纳出来的结论，必须 经过严格证
明才是可靠的！但由于教材对此不作要求，因此，鼓励学有余力
的同学可自己尝试证 明。
〈二〉本课设计有以下几点值得借鉴：
１．本课设计在注重引导学生学习书本知识的同 时，还进行
了知识的扩展，让学生感受到数学的实用价值。
２．本课设计时考虑了学生在学习中最可能出现的各种情况，
并采用合理方式进行引导、解决。
３．教学过程中充分发挥学生主体作用，始终以问题的形式
引导学生主动参与，在师生互动、生 生互动中让学习过程成为学
生心灵愉悦的主动认知过程，做到了把握重点、突破难点。
优质参考文档

优质参考文档
附：板书设计

附：
教 案 设 计 说 明
此教学方案是依据新课程标准、教材及本人的教学风 格并考
虑学生的学习兴趣来设计的，下面就本课教案做以下几点说明：
一、选材：本节课选取 的内容为数学发展中具有代表性的知
识。指数函数既是函数的深化，又是学习对数函数的必备，通过本节内容的学习，让学生在掌握知识的同时感受到数学的实用价
值。
二、理念：本节课的 教案设计体现了“以学生为主体，教师
是课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育理念。在教< br>学的每一个环节中均设计了问题，始终以教师提出问题，引导学
生解决问题的方式进行，让课堂活 动变得生动而愉悦。
三、注重知识扩展，本课设计时有意识的选取了“细胞分裂”、
“铀核裂 变”、“指数函数在考古中的应用”、“指数函数在音乐中
的应用”等知识，让学生感受到生活中到处都 有数学，要学会用
数学的眼光观察世界，发现自然界的奥秘。
四、课堂教学中的例题、习题和 课后作业具有代表性、实用
性和可操作性，均围绕着教学的重点、难点选取，选取题目数字
简单 易于操作注重知识的运用。选题时注重知识的延续性，为以
优质参考文档

优质参考文档
后的学习奠定了基础，同时考虑到了学生学习过程中可能出现的
各种错误，预先准备好了解决的方案。
五、课堂教学模式：“特殊引例探求→一般知识探索→ 特殊练
习题求解”符合学生认知习惯，易于学生接受。

圆的方程（第1课时）——圆的标准方程
课题：圆的方程（一）——圆的标准方程
教材：高中数学第二册（上）（人民教育出版社20GG.6第一版）
授课教师：天津四中 杨赫梁
1．教学目标
（1）知识目标： 1．在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的
标准方程；
自贡欢迎您！
盐之都 灯之城 龙之乡
2．会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能
根据条件写出圆的方程.
（2）能力目标： 1．进一步培养学生用解析法研究几何问题
的能力；
2．使学生加深对数形结合思想和待定系数
法的理解；
3．增强学生用数学的意识.
（3）情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，
在 体验数学美的过程中激发学生的学习兴
优质参考文档

优质参考文档
趣.
2．教学重点．难点
（1）教学重点：圆的标准方程的求法及其应用.
（2）教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的
标准方程以及选择恰
当的坐标系解决与圆有关的实际问题.
3．教学过程
（一）创设情境（启迪思维）
问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路
中心线一侧行驶，一辆宽为2. 7m，高为
3m的货车能不能驶入这个隧道？

4
y
[引导]
[学生
A
0
2.7
画图建系
活动]：
B
x
尝
试写出曲线
圆的定义进行提示性复习） < br>的方程（对求曲线的方程的步骤及
解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直 线
为G轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为G
2
＋P
2
＝16（P ≥0）
将G＝2.7代入，得
y
?
16
－
2.7
2
?
8.71
?
3
．
即在离隧道中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货
优质参考文档

优质参考文档
车不能驶入这个隧道。
（二）深入探究（获得新知）
问题二：1．根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为
r
的
圆的方程 ？
答：G
2
＋P
2
＝r
2

2．如果圆心在
(a,b)
，半径为
r
时又如何呢？
[学生活动] 探究圆的方程。
[教师预设] 方法一：坐标法
如图，设M（G, P）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C
的距离等于r,所以圆
C
就是集合P={ M||MC|=r}
由两点间的距离公式，点
M
适合的条件可表示为
0y
r
C(a,b)
x
M(x,y)
y
r
0C< br>M(x,y)
x
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r< br> ①
把①式两边平方，得(G―a)
2
＋(P―b)
2< br>＝r
2

方法二：图形变换法
方法三：向量平移法
（三）应用举例（巩固提高）
I．直接应用（内化新知）
问题三：1．写出下列各圆的方程（课本P77练习1）
（1）圆心在原点，半径为3；
（2）圆心在
C(3,4)
，半径为
5
；
（3）经过点
P(5,1)
，圆心在点
C(8,?3)
．
优质参考文档

优质参考文档
2．根据圆的方程写出圆心和半径 < br>(
x?
2)
2
?
(
y?
3)
2?
5
；
(x?2)
2
?y
2
?(?2)
2
．
（1）
（2）
II．灵活应用（提升能力）
问题四： 1．求以
C(1,3)
为圆心，并且和直线
3x?4y?7?0
相切的
圆的方程.
[教师引导]由问题三知：圆心与半径可以确定圆.
2．已知圆的方程为x
2
?y
2
?
25
，求过圆上一点
A(4,? 3)
的
切线方程．
[学生活动]探究方法
[教师预设]
方法一：待定系数法（利用几何关系求斜率—垂直）
方法二：待定系数法（利用代数关系求斜率—联立方程）
方法三：轨迹法（利用勾股定理列关系式） [多
媒体课件演示]
方法四：轨迹法（利用向量垂直列关系式）
3．你能归纳出具有一般性的结论吗？
已知圆的方程是
x
2
?y
2
?r
2
，经过圆上一 点
M(x
0
,y
0
)
的切线
的方程是：
x
0
x?y
0
y?r
2
．
III．实际应用（回归自然）
问题五：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度< br>AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，
优质参考文档

优质参考文档
求支柱
A
2
P
2
的长度（精确到0.01m）．
[多媒体课件演示创设实际问题情境]
（四）反馈训练（形成方法）
问题六：1．求以C（－1，－5）为圆心，并且和P轴相切的圆的
方程.
2．已知点A（－4，－5），B（6，－1），求以AB为直
径的圆的方程.
3．求圆G
2
＋
P
2
＝13过点（-2，3）的切线方程.
4．已知圆的方程为
x
2
?y
2
?
25
， 求过点
B(?5,2)
的切线
方程.
（五）小结反思（拓展引申）
1．课堂小结：
(1)圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为：
(x? a)
2
?(y?a)
2
?r
2

当圆心在原点时 ，圆的标准方程为：
x
2
?y
2
?r
2

(2) 求圆的方程的方法：①找出圆心和半径；②待定系数法
(3) 已知圆的方程是x
2
?y
2
?r
2
，经过圆上一点
M(x0
,y
0
)
的切线
的方程是：
x
0
x ?y
0
y?r
2

(4) 求解应用问题的一般方法
2．分层作业：（A）巩固型作业：课本P81-82：（习题7.6）1．2．4
（B）思维拓展型作业：
优质参考文档

优质参考文档
试推导过圆
(x?a)
2
?(y?a)
2
?r
2
上 一点
M(x
0
,y
0
)
的切线方程.
3．激发新疑：

问题七：1．把圆的标准方程展开后是什么形式？
2．方 程：
x
2
?y
2
?
6
x?
8
y?
20
?
0
的曲线是什么图形？
教学设计说明
圆是学生比 较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作
了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研 究圆的
标准方程及其简单应用。.首先，在已有圆的定义和求曲线方程的
一般步骤的基础上，用 实际问题引导学生探究获得圆的标准方程，
然后，利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方 程在
实际问题中的应用，增强学生用数学的意识。另外，为了培养学
生的理性思维，我分别在引 例和问题四中，设计了两次由特殊到
一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力。在问题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联
系，培养了学生的创新精神，并且使 学生的有效思维量加大，随
时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，
这 样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成.
本节课的设计了五个环节，以问题为纽带，以探 究活动为载
体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、
步步深入，充分体 现以教师为主导，以学生为主体的指导思想。
优质参考文档

优质参考文档 < br>应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问
题、发现问题、分析问题、解决问 题的过程，在解决问题的同时
锻炼了思维．提高了能力、培养了兴趣、增强了信心。
课题 : § 2.6 指数函数
教材：高中数学第一册（上）
授课教师：天津塘沽一中 阚学雯
一、教材分析：
本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算
的 基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图象与性质，
它一方面可以进一步深化学生对函数概念的 理解与认识，同时也
为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数
列的性质打 下坚实的基础。
二、教学目标 :
(1) 认知目标 : 理解指数函数的定义 , 掌握指数函数的图象、性
质及其简单应用
(2) 能力目标 : 通过指数函数的图象和性质的教学 , 培养学生观
察、分析、
归纳等思维能力和数形结合的数学思想
(3) 情感目标 : 认识事物的普遍联系与相互转化 , 激发学生学习
数学的兴趣 ,努力培养学生的创新意识
三、教学重难点 :
优质参考文档

优质参考文档
重点是指数函数的图像、性质及简单应用;
难点是指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图像与底的
关系。
四、教学方法与手段 : 采用引导—发现式 , 合作-- 讨论式教学方
法，配合多媒体、投影等辅助教学。
五、课前准备 : 上节课后学生完成补充思考题 《指数》思考题
1 ．若
n?R
时 ,
a
n
总有意义 , 求
a
的范围 ?
2 ．计算并完成以下表格

n -3 -2 -1 0 1 2 3
2
n

3
n

n

?
1
?
??

?
2
?
?
1
?
??

?
3
?


n


优质参考文档

优质参考文档
六、教学过程


教学环节与问题设计
学生分成小组，动手折纸 , 观察对折次
设计目的
第一环节：创设数与所得纸的层数的关系。得出折一次设疑激趣，在学生
游戏情境，设疑为 2 层纸，折两次为 2
2
层纸 , 折三次手操作的过程中激发学
激趣

为 2
3
层纸 ...得对折次数G与所得纸的学习热情和探索新知的
层数 P 的关系式为
P =2
G
望。

第二环节：引出
具体定义，探究
条件
定义：
一般地 , 函数
y
=
a
x
(
a?0
且

对a的范围的具体
a?1
) 叫做指数函数 , 其中
x
是自变
析，有利于学生对指数
量 , 定义域为 R.
问题：为何对
a
有这样的要求？
(1) 如果
a
=0 当
x
＞0 时
a
x
恒等于
0; 当
x
〈 0 时 ,
a
x
无意义
(2) 如果
a
〈 0 时,比如：
y??4
对
x?
11
及
x?
等都无意义
24
数一般形式的掌握，同
为后面研究函数的图象
性质埋下了伏笔。
??

，
x
(3) 如果
a
=1, 则原函数变成
y?1
是
一个常数 , 研究价值不大。
第三环节：运用能否判断下列函数哪些是指数函数 打破学生对定义的
优质参考文档
定义，判断具体吗？
函数
视并使学生头脑中不断
善对定义理解 (1)
y?
4
x
(2)
y?x
4

(3)
y??4
x
(4)
y?4
x?1

优质参考文档
(一)创设情境、形成概念
(二) 发现问题、探究新知

优质参考文档

教学环节与问题设计
提出问题：
优质参考文档
设计目的
注重学生思维习
（1）以问题(1) 如何判断一个函数为指数函数 ?
为载体，探求(2) 怎样得到指数函数的图象 ?
新知 (3) 指数函数有哪些性质 ?

学生分成四个小组，分别作出
的养成，即应从哪些
面，那些角度去探索
个具体函数。

（2）合作交（1）
y?2
x
（2）
y?3
x

复习描点画图，
x
?
1
??
1
?
流，动手画图 （3）
y?
??
（4）
y?
??

?
2
??
3
?
教师在多媒体上给予展示

此时教师组织学生讨论，并引导学生观
x
验合作交流。利用多
体，给予学生 直观认识


（3）观察图察图像的特点。进而得出a>1和0像，研究性质 两种情况在图像上的特点。并填写下方
将具体化为抽象
并感受了对底的分类
论的思维方式，通过

a
>1 0<
a
<1
P
0 G
何画板的演示验证学
P
图
像
0


性
G
对底的猜测，从而达
了重点的突破。

定义域 R 值域 （0，+∞）
恒过（0，1）点
质
在R上是增函数 在R上是减函数
优质参考文档
G.>0 ， P>1； G>0 ，
G<0 ， 0

优质参考文档

（三）深入探究，加深理解


（1） 教师设
疑，深入探究
教学环节与问题设计
教师提问：
对于底这个变化量是否与图像之间
存在着联系呢？


y?
?
1
?
??
?
3
?
设计目的

通过问题，让学生
思考进一步深入

x
P
y
（2）观察图像，1.
合作讨论
?
1
?

y?
??
?
3
?

y?3
x
y?2
x
在此环节中，教师
G 不急于给出结论，而是
0
x
学生充分经历知识的 形
2.教师带领学生观察几何画板的动态演过程，从而形成自己对
示 节课难点的理解和解决
3.学生分小组交流探讨，派代表阐述观略，培养学生的直觉和
点

悟能力。
让学生体会数学中
(3) 得出结论，（1）在第一象限中图像越往上底越大；含的规律性和对称美。
加深理解 （2 ）当底互为倒数时，图像关于P轴悟结论的过程中实现本
对称, 课难点的突破。

优质参考文档

优质参考文档

（四）当堂训练，共同提高
例 1： 比较下列各题中两个值的大小 :
(l)1.7
2.5
,17
3
;
(2)0.8
-01
,0.8
-02
;
(3)(0.3)
-0.3
,(0.2)
-0.3

(4)1.7
0.3
,0.9
3.1

解 :(1) 考察指数函数 P=1.7
G
, 由于底数 1.7〉1, 所以指数函数
P=1.7
G
在 R 上是增函数
因为 2.5〈 3 , 所以 1.7
2.5
〈1.7
3

(2) 考察指数函数 P =
0.8
x
, 由于底数0〈0.8〈 l, 所以指数函数
P =
0.8
x
在 R 上是减函数。
因为 -0.1 〉-0.2,
所以 0.8
-0.1
〈 0.8
-0.2

同底数幂比大小时 , 可构造指数函数，利用单调性比大小 .
(3) 观察图像可得，（0.3）
?0.3
〈（ 0.2）
?0.3
不同底数幂在比大小时 ,
可利用多个指数函数图象比大小
(4) 由指数函数的性质知
1.7
03
〉 1.7
0
=1,
09
3.1
〈 0.9
0
=l
即 1.7
0.3
〉0.9
3.1
〈 1,
优质参考文档

优质参考文档
所以 1.7
0.3
〉0.9
3.1

不同底数幂比大小时 , 可利用图象法或利用中间变量 ( 多选0，
1)
例2：已知下列不等式 , 比较
m
和
n
的大小 :
(l )
2
m
〈
2
n

(2)
0.2
m
〉
0.2
n

(3)
a
m
<
a
n
（
a
〉0）
解：
(1) 因为
y?2
x
是一个单调递增函数，所以由题意
m
〈
n

(2) 因为
y?0.2
x
是一个单调递增函数, 所以由题意
m
〈
n

(3) 当
a
〉1时
y?a
x
是一个单调递增函数，所以此时
m
〈
n

当0<
a
<1时
y?a
x
是一个单调递减函数, 所以此时
m
〉
n

（五）小结归纳，拓展深化
（1）通过本节课的学习，你学到了那些知识？



指数函数的图像 a ＞1、0〈 a 〈 1
简单应用
性质及底对图像的影响
指数函数
指数函数的定义
结构特征
（2）你又掌握了哪些学习方法？
（3）你能将指数函数的学习与实际生活联系起来吗？
指数函数的性质
比大小求范围
七、课后作业
（1）必做题：（见后）
优质参考文档

优质参考文档
（2）选做题：（见后）
（3）思考题：
1．我们所学的性质是通过图象观察得到的，这些性质能不能用推
理的方法得到呢 ? 如利用指数函数的值域和数值变化证明指数
函数的单调性等 。
2．探究签合同问题
A先生从今天开始每天给你10万元,而你承担如下任务:
第一天给A先生1元,第二天给 A先生2元,,第三天给A先生4元,
第四天给A先生8元,依次下去,…,A先生要和你签定15天的 合同,
你同意吗?又A先生要和你签定30天的合同,你能签这个合同吗?
答案：15天的合同可以签,而30 天的合同不能签.
必做题：
1 ．函数
y?(a
2
?3a?3)?a
x
是指数函数 ,则
a?

2 ．比较下列各题中两个值的大小 :
（1）3
0.8
,3
0.7
;
（2）0.75
-0.1
，0.75
0.1
（3）1.01
2.7
，1.01
3.5

（4）0.99
3.3
, 0.99
4.5
,
（5）0.6
0.4
,0.4
0.6
．
3、已知
a?
0.8
0.7
,
b?
0.8
0.9
,
c?
1.2
0.8
，则
a
、
b
、
c
的大小关系
是
优质参考文档

优质参考文档
选做题：①比较
5
x
2
?1
与
5
x
2
?2
的大小；
的大小 .
②比较
a
2x
《教学设计说明》
2
?1
与
a
x
2
?2
本节课在新课标理念的指导下，本着“教师的主导地位与学生的主体地位相统一”的教学原则组织本节课的教学。采取引导
发现式的教学方法并配以多媒体辅助 教学，通过教师的点拨，启
发学生主动思考、动手操作来达到对知识的发现和接受。本节课
的教 学过程设计为五个环节： 创设情境，形成概念；发现问题，
探求新知 ； 深入探究，加深理解 ；强化训练，共同提高 ；小
结归纳，拓展深化。在教学过程中我充分遵循学生的认知规律，
在 课前思考题的引领下，进入新知识的学习，而游戏情境又在学
生动手操作的过程中激发学生的学习热情和 探究欲望。在这些环
节的铺垫中指数函数定义呼之欲出。在发现问题，探求新知和深
入探究，加 深理解的两个环节中均以问题为载体，通过学生合作
作图、填写表格、寻求规律等一系列过程，在学生的 探索与交流
中解决问题，形成自己对本节课难点的理解和解决策略，从而实
现重难点的突破。课 堂练习由浅入深，各有侧重，不但突出了本
节课的重点内容，而且让学生体会运用函数及其单调性来解题 的
重要思想。教学中的五个环节层层深入，环环相扣，充分体现了
师生的交流互动，在教师的整 体调控下，学生通过动手操作、动
眼观察、动脑思考、层层递进，学生亲身经历了知识的形成和发
优质参考文档

优质参考文档
展过程。课后思考题又将激发学生兴趣，带领 学生进入对指数函
数更进一步的思考和研究中，达到知识在课堂以外的延伸。
课题：充分条件与必要条件（第二课时）（教案）
教材：人民教育出版社中学教学室编著《全日制普通高级中学教
科书（必修）》第一册(上) 第一章：集合与简易逻辑
授课老师：新疆乌鲁木齐八一中学 王荣
一. 教学目标：
1.使学生初步掌握充要条件
2.培养学生理解、分析、归纳、解决问题的能力
二. 教学重点：关于充要条件的判断
教学难点：关于充要条件的判断
三. 教学过程
（一）复习提问
1.什么叫充分条件？什么叫必要条件？说出“
?
”的含义
2.指出下列各组命题中，“p
?
q”及“q
?
p”是否成立
（1）p：内错角相等 q：两直线平行
（2）p：三角形三边相等 q：三角形三个角相等
（二）授新课
1.（通过复习提问直接引入课题）充要条件定义：
一般地，如果既有p
?
q，又有q
?
p，就记作：p
?q。
这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们说p
优质参考文档

优质参考文档
是q的充分必要条件，简称充要条件
点明思路：判 断p是q的什么条件，不仅要考查p
?
q是否成
立，即若p则q形式命题是否正确，还 得考察q
?
p是否成
立，即若q则p形式命题是否正确。
2.辨析题：（学生讨论并解答，教师引导并归纳）
思考：下列各组命题中，p是q的什么条件：
1) p： G是6的倍数。 q：G是2的倍数
2) p： G是2的倍数。 q：G是6的倍数
3) p： G是2的倍数，也是3的倍数。q：G是6的倍数
4) p： G是4的倍数 q：G是6的倍数
总结：1) p
?
q 且q≠> p 则 p是q的充分而不必要条件
2) q
?
p 且p≠>q 则p 是q 的必要而不充分条件
3) p
?
q 且q
?
p 则q 是p的充要条件
4) p≠>q 且q≠>p则 p是 q的既不充分也不必要条件
强调： 判断p是q的什么条件，不仅要考虑p
?
q是否成立，同
时还要考虑q
?p是否成立。
且p是q的什么条件，以上四种情况必具其一.
3 巩固强化
例一：指出下列各命题中，p是q的什么条件：
1) p：G>1 q：G>2
2) p：G>5 q：G>-1
优质参考文档

优质参考文档
3) p：(G-2)(G-3)=0 q：G-2=0
4) p：G=3 q：
x
2
=9
5) p：G=±1 q：G
2
-1=0
解：1） ∵G>1≠> G>2 但G>2
?
G>1 ∴ p是q的必要
而不充分条件
2) ∵G>5
?
G>-1 但G>-1≠> G>5 ∴p是q的充分而
不必要条件
3) ∵(G-2)(G-3)=0 ≠>G-2=0但 G-2=0
?
(G-2)（G-3）
=0
∴p是q的必要而不充分条件
4) ∵G=3
?
G
2
=9 但G
2
=9 ≠>G=3 ∴ p是q的充分而
不必要条件
5) ∵G= ±1
?
G
2
-1=0 且G
2
=1
?
G=±1 ∴p是q的充
要条件
通过例一引导同学观察归纳：
当p、q分别从集A、B合出现时
若A
?
B但B不包含于A，即A 是B的真子集，则p是q
的充分而不必要条件
若A
?
B 但A不包含于B， 即B是A的真子集，则p是q
的必要而不充分条件
若A
?
B且B
?
A 即A=B 则p是q的充要条件
优质参考文档

优质参考文档
若A不包含于B，且B不包含于A，则p是q的既不充分也
不必要条件
总结判断p是q的什么条件：
方法1：考察p
?
q 及q
?
p 是否成立。即：判断若p则
q形式命题及若q则p形式命题真假.
方法2：集合观点
4拓展联系：
1） 请举例说明：p是q的充分而不必要条件
p是q的必要而不充分条件
p是q的既不充分也不必要条件
p是q的充要条件
2） 从 “充分而不必要条件” “必要而不充分条
件” “充要条件” “既不充分也不必要条件”中选
出适当一种填空：
①“a
?
N”是“a
?
Z”的
②“a≠0”是“ab≠0”的
③“G
2
=3G+4”是“G=
3x?4
”的
④“四边相等”是“四边形是正方形”的
3） 判断下列命题的真假：
①“a>b”是“a
2
>b
2
”的充分条件
②“a>b”是“a
2
>b
2
”的必要条件
优质参考文档

优质参考文档
③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件
④“a>b”是“ac
2
>bc
2
”的充分条件
（点题：举反例在说明p≠>q或q≠>p时应用）
5巩固提高：（学生讨论，师生共同完成）
1） 若甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充 要条
件,丁是丙的必要而不充分条件，问丁是甲的什么条
件？
2） 求证：关于G 的方程aG
2
+bG+c=0(a≠0)有两
个符号相反且不为零的实根充要条件是a c<0
3) 已知 P：
1?
x?1
≤ 2
3
q：G
2
-2G+1-m
2
≤0 (m>0)
且
?
p是
?
q的必要而不充分条件，求实数m的取值范
围
（点题：依据：若p则q命题与其逆否命题若
?
q则
?
p
同 真假，由
?
q
?
?
p且
?
p≠>
?
q，知p
?
q且q≠>p）
6 小结 （学生回顾所学内容并小结,教师补充完善）
1) 充要条件：若p
?
q 且q
?
p则p是q的充要条
件
2） 判断p是q 的什么条件，不仅要考察p
?
q是否
成立，还要考察q
?
p是否成立
3） 判断p
?
q是否成立，
优质参考文档

优质参考文档
思路1： 判断若p则q形式命题真假
思路2： 若p则q形式命题真假难判断时 判断
其逆否命题真假思路3： 集合的观点
7 作业
习题1.8 1、 2、3 做书上
补充练习：
1 已知p是r的充分条件 ，r是q的必要条件，
同时r是s的充分条件， q是s的必要条件 ，
那么：
1） s是p的什么条件?
2） p是q的什么条件?
3) 在p、q、r、s中 哪几对互为充要条
件?
2 求证：关于G的方程 aG
2
+bG+c=0 有一根
为1的充要条件是a+b+c=0
3 已知：p：
3x?4
>2 q：
1
>0 则
2
x?x?2
?
p是
?
q的什么条件?
课题：抛物线及其标准方程
人民教育出版社全日制普通高级中学教科书（必修）
授课教师：乌鲁木齐高级中学马爱军
1、 学生理解并掌握抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程
优质参考文档

优质参考文档
教学目的 及其推导。
2、 明确抛物线标准方程中P的几何意义，能解决简单的求
抛物线标准方程的问题。
教学难点
知识重点
教学过程

情景引入

向学生展示太阳系八大行星运行
图。行星的运行轨道是什么？
抛物线概念的形成
抛物线的标准方程的推导
教学方法和设计意图
计算机辅助教学
用同学们熟悉的天文学知
识引出本节课的主题。

（一）类比联想，提出课题
迁移引导，设置悬念 概念探究 回忆椭圆，双曲线的离心率的范围
（1） 复习椭圆、双曲线的第二定义，实验材料向学生提前布置，
离心率e是什么？ 教师在介绍此画法是先不
（2） 若离心率e=1会是什么图形呢？提抛物线，把重点放在介绍
怎样验证？ 这种画法所满足的条件—向同学们介绍抛物线的画法，然后由学—到定点F的距离等于到
生以同桌为一组，合作完成抛物线的 作定直线L的距离，说明这样
图。

A
画出的曲线满足e=1
大致有三种建系方案
?
F

K
优质参考文档
L

优质参考文档
（二）引导探究，得出方程
（3） 能求出这种曲线的方程吗？
学生讨论建系方法，教师巡视，总结不
①以K为 原点,直线KF为G
轴,学生可推导出方程
y
2
?2px?p
2
?
p?0
?

同的方案，谁才是最恰当的建系方案②以F为原点,直线KF为G
呢？请同学自行验证。
（4） 相比之下,那个方程更为件简洁?
轴,可得方程
y
2
?2px?p
2
?
p?0
?

【探究结论】方案3即为最恰当的建系③以线段KF的中点为原点,
方法,所得方程为这种曲线的标准 方程。 直线KF为G轴,可得方程
（5） 这种曲线是什么，能看出来吗？
y
2< br>?2px
?
p?0
?

如果仍以线段KF的中点为原点，建系 、设点，得到一个形如
直线KF为P轴，坐标系怎样建
立？你能推导出它的方程吗？
y?ax
2
的方程，这确实是
二次函数，从而证明抛物线
【探究结论】此曲线 即为初中学过的二的离心率特征，最终得到抛
次函数
y?
义
1
2
x
，由此得出抛物线的定
物线的定义。
2p
计算机展示图表，总结四种
平面内与一个定点F和一条定直线的距形式抛物线标准方程，使本
离 相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫抛物线的焦点。
直线L叫做抛物线的准线。
明确参数P的几何意义。
（6） 抛物线的开口方向还有几种情
优质参考文档
节的知识系统化。

优质参考文档
况？你能得出它们的方程吗？
在学生探究的基础上，师生共同完成下
表
y
2
?2px

标准方程


图形

焦点

?
p
?
准线

p


x??

?
2
,0
?
2
??
?< br>p?0
?


y
2
??
【注意】图形的位置特征和方程的
2px


x?

形式应结合起来记忆，通过四种标准方
?
?
2
,0
?
2
p
?
p?0
?

?
?
p
?
?
程对比，总结出
x
2
?2py



①方程的一次项决定焦点的位置。
?
0,
?

y??

?
?
p
?
2
?
p

2
②一次项系数的符号决定开口方向。
x??2py

2




?
p?0
?

p
?

?
p
y?

?
0,?
2
?
2
??


巩固四种方程的形式
及曲线特征，熟悉相关公
例题讲解 （三）实践探索，形成能力
【例１】
已知抛物线的标准方程是
y
2
?6x
，
式。注意图形在解题过程中
求它的焦点坐标和准线方程。
【例２】
已知抛物线的焦 点坐标是
F
?
0,?2
?
，
求它的标准方程。
【例３】
已知抛物线焦点到准线的距离为2，
优质参考文档
的作用，渗透数形结合的思
想。

优质参考文档
求它的标准方程。
（四）练习巩固，加深理解
学生板演，师生共同评改。

课堂练习 由学生完成以下题目 A组
1、 根据下列条件写出抛物线的标准方
程
（1） 焦点是F(3，0)
1
（2） 准线方程是
x??

4
2、 求下列抛物线的焦点坐标和准线方
程
?
1
?
y
2
?20x
?
2
?
x
2
?
1
y

2

?
3
?
2y
2
?5x?0
?
4
?
x
2
?8y?0


3、 求抛物线
y?2x
2
的焦点坐标和准线
方程



B组
（1） 设
a?0
,
a?R
,则抛物线
y? 4ax
2
的焦点坐标是（ ）
A.
?
a,0
?
B.
?
0,a
?

1
?
1
???
0,?
C.
?
0,
D.
???

16a16a
????
优质参考文档
此题对学生思维水平要求
较高，针对学生素质的差
异，使学有余力的同学有所
提高 ，从而达到“拔尖”的

优质参考文档
（2） 以抛物线
y
2
?2px
?
p?0
?
的焦半
目的。
径
PF
为直径的圆与P轴的位置
关系是（ ）
A. 相交 B.相离
C. 相切 D.与p的大小有关
小结与作业

课堂
小结
①抛物线的定义是什么？说出P的几何意
义。
②填写下表
标准方程






















计算机出示图表，学生
图形

焦点

准线

填写。
教师鼓励学生积极回


答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学
生的口头表达能力，归纳概
括能力。并用多媒体把学生
的归纳用一张表展示出来，
告诉学生不必死记硬背，而
是掌握其数形结合的基本
原理和 基本步骤。


优质参考文档

优质参考文档

本课
作业

课本P119 1、 2、 4


本节课的教学设计
本节教材是在学生学习了椭圆、双曲线之后，因此在教学中，< br>要时时注意与前两种曲线进行对比，求曲线方程的步骤、建系方
法都是学生已经理解和掌握了的， 我充分调动学生已有的知识，
引导学生把新旧知识有机融合，掌握知识的系统结构。
一、教学理念
在“以学生发展为核心”的理念下，不仅要关注学生“学会”
知识，而且还要特别关
注学生“会学”知识。本节课在实验的基础上，以问题为核心，
创设情景，通过教师适时的引导，生生间 、师生间的交流互动，
启迪学生的思维，使学生通过自己的分析、反思、纠正，不断完
善并形成 抛物线的概念，推导抛物线的方程，建构自己的知识体
系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐， 体验成功的喜
悦。在这一过程中，教师只是一名组织者，引导者，促进者。
二、教学方法
为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，
我采用了“引导探究”
优质参考文档