高中数学 等差数列的教学设计教案

等差数列的教学设计
教学理念： 数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参 与到教学过程中来，
尤其是在思维上深层次的参与，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面
提高素质的关键。数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和
创造性有着非常重要的意 义。
设计思想： 本节借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进
课堂， 保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的
主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与 中学会学习、学
会合作、学会创新。
一、教材分析：
1、教学内容：
高中数学必修第五模块第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一
课时，研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让
学生通过分析、 推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项
公式。
2、教学地位:
本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是
本章的重点内容。在 高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛
的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培 养学生数学能力的良好题材。等差
数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上 ，还是在
方法上都具有积极的意义。
3、教学重点：
理解等差数列概念，探索 并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简
单的问题，体会等差数列与一次函数之间的关系。
4、教学难点：
对等差数列概念的理解及从函数、方程角度理解通项公式，概括通项公式推
导过程中体现出的数学思想方法。
二、学习者分析：
高二学生已经具有一 定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初
步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的 技能，已经熟悉由观察到抽象
的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经 验性
的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽
象的逻辑关 系。
三、教学目标：
1、知识目标：
理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式。
2、能力目标：
培养学生观 察、归纳能力，在学习过程中，体会数形结合思想、归纳思想和
化归思想并加深认识；通过概念的引入与 通项公式的推导，培养学生分析探索能
力，增强运用公式解决实际问题的能力。
3、情感目标:
①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。
②通过师生、生 生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与

他人合作交流的意识。
③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。
四、教法和学法的分析：
1、 通过探究式教学方法充分利用现实情景，尽可能的增加教学过 程的趣味性、实
践性。利用多媒体课件和实例等丰富学生的学习资源，强调学生动手操作试验
和 主动参与，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中
研究和领悟得出的结论，从而 使学生即获得知识又发展智能的目的。
2、 在学法上，引导学生多角度，多层面认识事物，学会探究 。教师是学生的学
习的组织者、促进着、合作者，在本节课的备课和教学过程中，为学生的动手实
践，自主探索与合作交流的机会搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出
问题解决问题，通过恰 当的教学方式让学生学会自我调适，自我选择。
五、教学媒体和教学技术的选用
多媒体计算机和几何画板
通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条< br>件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直
观性原则和可接受 性原则。本节课打破传统的一言堂的格局代之以人为本、民主、
开放、特色和建立在信息网络平台上的现 代教学格局。
六、教学程序：
（一）设置问题，引导发现形成概念
师：看大屏幕。
情景1（播放奥运会女子举重场面）
2008年北京奥运会 ，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数
列（单位：kg）：
48，53，58，63
情景2 水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库 的办法
清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最
低 降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位
组成数列（单位：m）
18，15.5，13，10．5，8，5．5
情景3 我国现行储蓄 制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入
本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和 的公式是：
本利和=本金
?
（1+利率
?
存期） < br>例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末本利
和分别 是：如下表（假设5年既不加存款也不取款，
时间 年初本年末本
且不扣利息税）
金（元） 利和
各年末本利和（单位：元）
（元）
10072，10144，10216，10288，10360
第1年 10000 10072
师：思考上述各组数据反映了什么样的信息？
第2年 10000 10144
每行数有何共同特点？请同学们互相讨论。
第3年 10000 10216
（学生纷纷议论，有的几个人在一起商量）
第4年 10000 10288
（从宏观上 : 情景1 让学生体验成功申办奥运
第5年 10000 10360 < br>会的喜悦心情，激发勇于拼搏的坚强意志；情景2
让学生认识到保护水资源，保护生态平衡的意识 ；情景3 倡导节约意识，纳税

意识。）
从微观上，数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从表格中抽象出一般数
列。
a
1

a
2

a
3

a
4

a
5

a
6

48 53 58 63
18 15.5 13 10.5 8 5.5
10072 10144 10216 10288 10360
师：（启发学生）你能用数学语言来描述上述数列的共同特征吗？
学生1：后一项与它的前一项的差等于常数。
师：反例：1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗？
学生1：不一样，要加上同一个常数。
学生2：每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
师：反例：1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗？
学生2：不一样，必须从第二项开始。
学生3：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
（教师把学生的回答写在黑板上，通过反例，使学生深刻理解几组数列的共同特
征：
①同一个常数；②从第二项起）
师：能不能用数学语言表示？
学生4：
a
n
?a
n?1
?d

师：等价吗？
学生4：应加上（d是常数）,
n?2,n?N
*
.
(让学生充分讨论，注意文字语言与数学符号语言的转化的严谨性)
师：对式子进行变形可得
a
n
?a
n?1
?d(d是常数），n?2,n?N
。
这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个？
学生5：某剧场前8排的座位数分别是
52，50，48，46，44，42，40，38.
学生6：全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是
21，21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25
学生7：马路边的路灯，相邻两盏之间的距离构成的数列。
师：如何用数列表示？
学生8：设相邻两盏之间的距离为a,该数列为
a,a,a,a,……，为常数列，即常数列都具有这种特征。
（让学生举例，加深感性认识）
师：满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？
学生（共同）：等差数列。
师：（学生叙述，板书定义）
一般的，如果一个 数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常
数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a
1
为数列的首相。
*

a
2
?a
1
?d,a
3
?a
2
?d,a
4
?a
3?d,......a
n
?a
n?1
?d(n?2,n?N
*< br>)

提出课题《等差数列》
对定义进行分析，强调：①同一个常数；②从第二项起。注意对概念严谨性的分
析。
师：回到表格中，分别说出它们的公差。
学生9:依次是d=7,d=1,d=8,d=-6,d=5,d=-2.5,d=72.
师 ：在计算年末本利和的问题中求
a
6
,a
8
时，能不能不按本利和= 本金
?
（1+利率
?
存
期）
求而按数列的特征求呢？
学生：若能求得通项公式，问题就很好解决。
（再提出问题，引导发现求通项公式的必要性）
（二）启发、引导推出等差数列的通项公式
师：把问题推广到一般情况。若一个数列
a
1
,a
2
,a
3
,......,a
n
,......
是等差数列，它的
公差是d，那么数列
?
a
n
?
的通项公式是什么？
启发学生：（归纳、猜想）可用首相与公差表示数列中任意一项。
学生10：
a2
?a
1
?d
即：
a
2
?a
1
?d

a
3
?a
2
?d
即：
a
3
?a
2
?d?a
1
?2d

a
4
?a
3
?d
即：
a
4
?a
3
?d?a< br>1
?3d

……
由此可得：
a
n
?a
1
?(n?1)d

师：从第几项开始归纳的？
学生10：第二项，所以n≥2。
师：n=1时呢？
学生10：当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d
（n∈N
*
）
师：很好!
（归纳、猜想，培养学生合理的推理能力）还有没有其他的推导方法？
学生11：还可用下面的方法归纳：
a
n
?a
n?1
?d ?a
n?2
?d?d?a
n?2
?2d?a
n?3
?d?2 d?a
n?3
?3d?......?a
1
?(n?1)d
当n=1 时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d
（n∈N
*
）
师：我们把这种方法称为迭代法。大家按照该同学的思路推导一下。
（把一个学生推导的情况用投影仪投在大屏幕上）还有其他的推导方法吗？
（学生面露难色）

启发：看方法一的第一个式子
a
2
?a
1
?d

a
3
?a
2
?d

a
4
?a
3
?d

a
n
?a
n?1
?d
有何规律？
学生1 2：可以用累加的方法，左边累加后得
a
n
?a
1
，右边累加的d+ d+d+…….+d
共n-1个即
a
n
?a
1
=d+d+d+…….+d ，
a
n
?a
1
=（n-1）d ，
a
n
?a
1
?(n?1)d

师：总结通项公式 的推导方法：递推归纳法；迭代归纳法；累差法。共同特点：
利用观察、归纳、猜想的数学思想方法，它 的合理性在以后学习的数学归纳法中
可以得到证明。注意两点：
1、对通项公式进行分析，通 项公式中含有
a
1
,d,n,a
n
四个量，其中
a
1,
d
为基本量，
当
a
1,
d
确定后，通项公式就 确定了。若已知三个量，可用方程的思想求第四个量（即
知三求一）。
2、对通项公式变形，对任意的p、q∈N
+
。在等差数列中，有
a
p
=a
1
+(p-1)d ①
a
q
=a
1
+(q-1)d ②
①-②有a
p
-a
q
=(p-q)d，
∴a
p
=a
q
+(p-q)d
其中p,q关系可以有p＞q，p=q，p＜q。
通项公式的变形式a
p
= a
q
+(p-q)d，请同学记熟，它在解题过程中经常被应用。
（三）通项公式的应用
大屏幕给出例题，由学生代表讲解
例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项
解：由a
1
=8，d=5-8=-3，n=20，等差数列的通项公式得
a
20
=8+（20-1）×（-3）=-49
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：由
a
1
??5,d??9?(?5)??4

得数列通项公式为：
a
n
??5?4(n?1)

由题意可 知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4（n-1）成立，解之
得n=100，即 -401是这个数列的第100项。（方程思想的运用）
例2、已知数列的通项公式为a
n< br>=pn+q，其中p，q是常数，且p≠0，那么这种数
列是否一定是等差数列？如果是，其首项 与公差是什么？
师：如何分析题意？

学生13：由等差数列定义，要判定{ a
n
}是不是等差数列，只要看a
n
-a
n-1
（n≥2） 是
不是一个与n无关的常数就行了。
（学生叙述，教师板书）
解：取数列{ a
n
}中的任意相邻两项a
n-1
与a
n
（n≥2）。 < br>∴a
n
-a
n-1
=(pn+q)-[p(n-1)+q]=(pn+ q)-(pn-q+q)=p，
它是一个与n无关的常数，所以{a
n
}是等差数列 ，且公差为p。在通项公式中，
令n=1得a
1
=p+q，所以这个等差数列的首项是 p+q，公差是p。
师: 数列的通项公式给出的是a
n
与n之间的一种关系，一个 n都对应着一个a
n
，
这与我们以前学过的什么内容类似？由本例得到什么结论？
（引发学生联想、归纳，学生很自然会想到一次函数）
学生14：与一次函数内容类似，即a
n
与n之间的关系是一次函数的关系；由本例
的结论可知，如果a
n
是关于n的一次函数，那么数列{a
n
}是等差数列。
师:本例题的逆命题，是否 也成立？请同学们课下自己完成证明。它也可以作为证
明数列{a
n
}是等差数列的一 种方法。那么一次函数的图象有什么特点？你能否作出
等差数列的图象？
（四）通项公式的图象
在直角坐标系中作通项公式为a
n
=3n-5的数列 的图像，并观察图像有什么特
点？
用几何画板作图显示为下图：
12
10
8
6
4
2
-20-15-10-5
-2
-4
5101520
-6
-8
-10
-12


师:由图归纳出等差数列通项公式的图象的特点。
学生14：公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的
点。
当p=0时，a
n
=q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行x轴（或x轴）< br>上的均匀公布的一群孤立点。
在大屏幕上打出如下幻灯片：
等差数列a
n
=pn+q与一次函数y=px+q的比较
不同点 关连与相同点

等差数列 p∈R，n∈N
+
，p是公（1）p≠0时 ，数列a
n
=pn+q图象所表示的
a
n
=pn+q 差。 点均匀分布在函数y=px+q图象上。
（2）p＞0时，数列为递增数列，函数为增
一次函数 p≠0，x∈R，p是斜
函数；p＜0时，数列为递减数列，函
y=px+q 率。
数为减函数。
（五）、课时小结
提出问题：这节课你学到了什么？
教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的
口头表达能力，归纳概 括能力。并用多媒体把学生的归纳用一张表展示出来。
学生15：①等差数列定义。
即
a
n
?a
n?1
?d
(n≥2) 或a
n+1
- a
n
= d （n∈N）
②等差数列通项公式
a
n
?
a
1
?(n?1)d
(n∈N
*< br>)
推导出公式： a
p
=a
q
+(p-q)d
③等差数列a
n
=pn+q的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。

(六)、课后作业
（一）阅读作业：通读教材，复习巩固，思考等差数列的通项公式的求法；
（二）书面作业：课本45页习题2.2组A1，2，3，4题
（三）弹性作业：模仿等差数 列的定义，思考有没有“等和数列”.如果有，请探
究它的定义、通项公式和相关的性质.
七、板书设计:

等差数列

一、定义
公式推导过程

1．
a
n
?a
n?1
?d

三、等差数列与一次函

数

（n≥2）


二、 通项公式


1．
a
n
?a
1
?(n?1)d





2．a
p
=a
q
+(p-q)d
八、课后反思：
1、 探究式教学走进课堂为学生的学习提供了多样化的活动方式，激发学生 的兴
趣，让学生积极参与。学生通过观察、猜想、推理等丰富多彩的活动达到了
知识的主动构建 与理解。
2、渗透数学思想方法中在平时
在数学课的教学中应该教会学生遇到具体问题时那 种思考问题的方式，和解决
问题的方法。本节课在探究解决问题的途径，引导学生运用观察归纳、猜想的
数学思想方法。因此在平时教学时，要注意渗透数学思想方法的教学。
3、信息技术走进课堂
充分利用多媒体手段，以轻松愉快的动画演示，化抽象为形象，创设了直观的
课堂教学效果，化 解了知识的难点。
*

4、课堂上教师怎样引导学生是值得我们深思的一个 问题，在完成知识拓展时，课
堂上能不能很好的完成题目的变化，要经教师的指导，学生才能逐渐地掌握 方
法。
5、作业的可选择性使学生能根据自己的能力选择完成。
感悟：轻松愉快的 课堂是学生思维发展的天地，讨论、合作交流的主阵地，思
想品德教育的好场所，因此新教育理念、新课 改下的新课堂需要教师和学生一
起来培育，一起来创造，一起来开拓。