人教版高中数学导数全部教案

人教版高中数学《导数》全部教案
导数的背景
（5月4日）
教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义
教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本
教学难点 极限思想
教学过程
一、导入新课
1. 瞬时速度
问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？
析： 大家知道，自由落体的运动公式是
s?
1
2
gt
（其中g是重力加速 度）.
2
当时间增量
?t
很小时，从3秒到（3＋
?t
） 秒这段时间内，小球下落的快慢
变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时
的速度.
从3秒到（3＋
?t
）秒这段时间内位移的增量：
?s?s(3??t)? s(3)?4.9(3??t)
2
?4.9?3
2
?29.4?t?4.9( ?t)
2

?s
?29.4?4.9?t
.
?t
?s?s
从上式可以看出，
?t
越小，越接近29.4米秒；当
?t
无限趋近于0时，
?t?t
?s
无限趋近于29.4米秒. 此时我们说，当
?t
趋向于0时，的极限是29.4.
?t
?s
当
?t
趋向于0时，平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做
?t
从 而，
v?
??
瞬时速度.
一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物 体在t到（t＋
?t
）这段时间
?ss(t??t)?s(t)?s
. 如果
?t
无限趋近于0时，无限趋近于
?
?t?t?t
?s
某个 常数a，就说当
?t
趋向于0时，的极限为a，这时a就是物体在时刻t
?t
内的平均速度为
的瞬时速度.
2. 切线的斜率
问题2：P（1,1）是曲线y?x
2
上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点
Q沿曲线逐渐向点P趋近 时割线的斜率的变化情况.
1 36

人教版高中数学《导数》全部教案
析：设点Q的横坐标为1＋
?x
，则点Q的纵坐标为（1＋
?x
）< br>2
，点Q对于点P
的纵坐标的增量（即函数的增量）
?y?(1??x)
2
?1?2?x?(?x)
2
，
所以，割线的斜率
k
P Q
?y2?x?(?x)
2
???2??x
.
?x?x
由 此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，
?x
变得越来越小，
k
PQ
越来
越接近2；当点Q无限接近于点P时，即
?x
无限趋近于0时，
kPQ
无限趋近于
2. 这表明，割线无限趋近于过点P且斜率为2的直线. 我们把这条直线叫做曲
线在点P处的切线. 由点斜式，这条切线的方程为：
y?2x?1
.
一般地，已知函数
y?f( x)
的图象是曲线C，P（
x
0
,y
0
），Q（
x
0
??x,y
0
??y
）
是曲线C上的两点，当点Q沿曲线 逐渐向点P接近时，割线绕着点P转动. 当
点Q沿着曲线无限接近点P，即
?x
趋向 于0时，如果割线无限趋近于一个极限
位置，那么直线叫做曲线在点P处的切线. 此时，割线的斜率< br>k
PQ
?
近于切线的斜率k，也就是说，当
?x
趋向于0时， 割线的斜率
k
PQ
为k.
3. 边际成本
问题3：设成本为C， 产量为q，成本与产量的函数关系式为
C(q)?3q
2
?10
，我
们来研究当q＝50时，产量变化
?q
对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：
? C?C(50??q)?C(50)?3(50??q)
2
?10?(3?50
2?10)?300?q?3(?q)
2
.
?y
无限趋
?x?y
的极限
?
?x
产量变化
?q
对成本的影响可用：< br>?C?C
?300?3?q
来刻划，
?q
越小，越接近
?q? q
300；当
?q
无限趋近于0时，
?C
的极限是300.
?q
?C
无限趋近于300，我们就说当
?q
趋向于0时，
?q< br>我们把
?C
的极限300叫做当q＝50时
C(q)?3q
2
?10
的边际成本.
?q
2 36

人教版高中数学《导数》全部教案
一般地，设C是成本，q是产量，成本 与产量的函数关系式为C＝C（q），
当产量为
q
0
时，产量变化
? q
对成本的影响可用增量比
?C
C(q
0
??q)?C(q
0
)
?
?q?q
刻划. 如果
?q
无限趋近于0时，
?C
无限趋近于常数A，经济学上称A为边际
?q
成本. 它表明当产量为
q
0
时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本
的一个近似值）.
二、小结
瞬时速度是平均速度
切线的斜率是割线斜率
?q
趋近于0时的极限.
?s< br>当
?t
趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，
?t
?C
?y
当
?x
趋近于0时的极限；边际成本是平均成本当
?q
?x三、练习与作业：
1. 某物体的运动方程为
s(t)?5t
2
（位移 单位：m，时间单位：s）求它在t＝2s
时的速度.


2. 判断曲线
y?2x
2
在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.





3. 已知成本C与产量q的函数关系式为C?2q
2
?5
，求当产量q＝80时的边际
成本.





4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（ 单位：m）与时间t（单
位：s）之间的函数关系为
h?t
2
，求t＝4s时 此球在垂直方向的瞬时速度.
3 36

人教版高中数学《导数》全部教案





5. 判断曲线
y?





6. 已知成本C与产量q的函数关系为
C?4q
2
?7
，求当产量q＝30时的边际成
本.
1
2
1
x
在（1，）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.
22
导数的概念
（5月4日）
教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点：导数的概念以及求导数
教学难点：导数的概念
教学过程：
一、导入新课：
上节我们讨论了瞬时 速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函
数角度来看，却是相同的，都是研究函 数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出
下面导数的概念。
二、新授课：
1.设函数
y?f(x)
在
x?x
0
处附近有定义，当自变量在< br>x?x
0
处有增量
?x
时，则函数
Y?f(x)
相应 地有增量
?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)
，
?y
与
?x
的比如果
?x?0
时，
叫函数的平均变化率）有 极限即
?y
（也
?x
?y
无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫 做函数
?x
x?x
0
y?f(x)
在
x?x
0处的导数，记作
y

f

(x
0
)?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x
，即
?x?0
注：1.函数应在点
x
0
的附近有定义，否则导数不存在。
2.在定义导数的极限式中，
?x
趋近于0可正、可负、但不为0，而
?y< br>可能为0。
3.
?y
是函数
y?f(x)
对自变量
x
在
?x
范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线
?x
y?f( x)
上点（
x
0
,f(x
0
)
）及点
(x
0
??x,f(x
0
??x)
）的割线斜率。
4 36

人教版高中数学《导数》全部教案
4.导数
f(x
0
)?lim

?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
是函数
y?f(x)
在点
x
0
的处瞬时变化率，
?x
它反映的函数
y?f(x)
在点
x
0
处变化的快慢程 度，它的几何意义是曲线
y?f(x)
上
点（
x
0
,f(x
0
)
）处的切线的斜率。因此，如果
y?f(x)
在点
x< br>0
可导，则曲线
y?f(x)

在点（
x
0
, f(x
0
)
）处的切线方程为
y?f(x
0
)?f(x0
)(x?x
0
)
。
5.导数是一个局部概念，它只与函数< br>y?f(x)
在
x
0
及其附近的函数值有关，与
?x
无关。
6.在定义式中，设
x?x
0
??x
，则
?x?x ?x
0
，当
?x
趋近于0时，
x
趋近于
x
0
，因
此，导数的定义式可写成
f(x
0
)?lim

?x?o
f(x
0
??x)?f(x
0
)f(x)?f(x
0
)
?lim
。
x?x
0
?xx?x
0
7.若极限
lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
不存在，则称函数
y?f(x)
在点
x
0
处不可 导。
?x
8.若
f(x)
在
x
0
可导，则曲线< br>y?f(x)
在点（
x
0
,f(x
0
)
）有 切线存在。反之不然，若曲
线
y?f(x)
在点（
x
0
,f (x
0
)
）有切线，函数
y?f(x)
在
x
0不一定可导，并且，若函数
y?f(x)
在
x
0
不可导，曲线在 点（
x
0
,f(x
0
)
）也可能有切线。
一般地 ，
?x?0
lim(a?b?x)?a
，其中
a,b
为常数。
特别地，
lima?a
。
?x?0
如果函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
内的每点处都有导数，此时对于每一个
x?(a,b)< br>，都
对应着一个确定的导数
f(x)
，从而构成了一个新的函数
f(x )
。称这个函数
f(x)
为函
数
y?f(x)
在开区间内的 导函数，简称导数，也可记作
y
，即


f

(x)< br>＝
y

＝
lim
?yf(x??x)?f(x)
?li m

?x?0
?x
?x?0
?x

x?x
0
函数
y?f(x)
在
x
0
处的导数
y
数
f(x)
在
x
0
处的函数值，即
y

就是函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)(x?(a,b))
上导
x?x
0

＝
f(x
0
)
。所以函数
y?f (x)
在
x
0
处的导数也记作
f

(x
0< br>)
。
注：1.如果函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)< br>内每一点都有导数，则称函数
y?f(x)
在开区间
5 36

人教版高中数学《导数》全部教案
(a,b)
内可导。
2 .导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一
个函数在给定点的 导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数
y?f(x)
在点
x
0
处
的导数就是导函数
f(x)
在点
x
0
的函数值。 3.求导函数时，只需将求导数式中的
x
0
换成
x
就可，即f(x)
＝
lim
4.由导数的定义可知，求函数
y?f(x)
的导数的一般方法是：
（1）.求函数的改变量
?y?f(x??x)?f(x)
。


?x?0
f(x??x)?f(x)

?x
?yf(x??x)?f(x)
。
?
?x?x
?y< br>
（3）.取极限，得导数
y
＝
lim
。
?x?0< br>?x
（2）.求平均变化率
例1.求
y?2x?1
在
x
＝－3处的导数。





例2.已知函数
y?x?x

（1）求
y
。
（2）求函数
y?x?x
在
x
＝2处的导数。









小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。
练习与作业：
1.求下列函数的导数：
（1）
y?3x?4
； （2）
y?1?2x

2

2
2
6 36

人教版高中数学《导数》全部教案




(3)
y?3x?12x
(3)
y?5?x

23





2.求函数
y?x
2
?1
在－1,0，1处导数。






3.求下列函数在指定点处的导数：
（1）
y?x
2
,x
0
?2
；




（3）
y?(x?2)
2
,x
0
?1





4.求下列函数的导数：
（1）
y?4x?1;





（3）
y?2x
3
?3x;




（2）
y?
1
3
x
2< br>,x
0
?0
；
（4）
y?x
2
?x,x
0
??1
.
（2）
y?10?x
2
；
（4）
y?2x
2
?7
。
7 36

人教版高中数学《导数》全部教案


5.求函数
y?x?2x
在－2,0，2处的导数。

2
导数的概念习题课
（5月6日）
教学目标 理解导数的有关概念，掌握导数的运算法则
教学重点 导数的概念及求导法则
教学难点 导数的概念
一、课前预习
1.
f(x)
在点
x
0
处的导数是函数值的改变量＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿与相应自变量的改变
量＿＿的商当＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿
2.若
f(x)
在开区间（a，b）内每一点都有导数
f( x)
，称
f(x)
为函数
f(x)
的导函数；求
一个函数的 导数，就是求＿＿＿＿＿；求一个函数在给定点的导数，就是求＿＿＿＿＿.函
数
f(x)在点
x
0
处的导数就是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

(x)?_____(n?N)
3.常数函数和幂函数的求导公式：
(c)?___　　　
4.导数运算法则：若＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，则： n*
[f(x)?g(x)]

?f

(x)?g

(x)　　　　[c?f(x)]

?cf

(x)

二、举例
例1.设函数
f(x)?x?1
，求：
（1）当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量
?x
；
（2）当自变量x由1变到1.1时，函数的增量
?y
；
（3）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；
（4）函数在x＝1处的变化率.



例2.生产某种产品q个单位时成本函数为
C(q)?200?0.05q
，求
（1）生产90个单位该产品时的平均成本；
（2）生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率；
（3）生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少.


例3 .已知函数
f(x)?x
，由定义求
f(x)
，并求
f(4)
.
2
2
2
8 36

人教版高中数学《导数》全部教案



例4.已知函数
f(x)?(ax?b)
(为常数)，求
f(x)
.



例5.曲线
y?
2
3
2
x
上哪一点的切线与直线
y?3x?1
平行？
2



三、巩固练习

1.若函数
f(x)?x
，则
[ f(?2)]
＝＿＿＿＿＿＿
3
2.如果函数
y?f(x)
在点< br>x
0
处的导数分别为：

（1）
f(x
0
)?0
（2）
f(x
0
)?1


（3）
f(x
0
)??1
（4）
f(x
0
)?2
，
试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角.


3.已知函数
f(x )?x?2x
，求
f(0)
，
f()
，.
2
1
4



4.求下列函数的导数
（1）
y?
1
2
11
x?3x?2
（2）
y?x
3
?x
2
?5x?1

243
322
（3）
y?x(x?4)
（4）
y?(2x?1)(3x?2)




四、作业
1.若
limf(x)
存在，则
[limf(x)]
＝＿＿＿＿＿
x?0
x?0

2.若
f(x)?x
，则
lim3.求下列函数的导数：
2
x?1
f(x)?f(1)
＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
x?1
1
4
x

6
23
（1）
y?2x?20x?40x?1
（2）
y?3?2x?4x?5x?
42
9 36

人教版高中数学《导数》全部教案
3223
（3）
y?(2x?1)(3x?x)
（4）
y?(x?2)(x?1)





4. 某工厂每日产品的总成本C是日产量x的函数，即
C(x)?1000?7x?5x
，试求：
（1）当日产量为100时的平均成本；
（2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本；
（3）当日产量为100时的边际成本.



5.设电量与时间的函数关系为
Q?2t?3t?1
，求t＝3s时的电流强度.


6.设质点的运动方程是
s?3t?2t?1
，计算从t＝2到 t＝2＋
?t
之间的平均速度，并计算
当
?t
＝0.1时的平均速度 ，再计算t＝2时的瞬时速度.




7.若曲线
y?


8.在抛物线
y?2?x?x
上，哪一点的切线处于下述位置？
（1）与x轴平行
（2）平行于第一象限角的平分线.
（3）与x轴相交成45°角



9.已知曲线
y?2x?x
上有两点A（2,0），B（1,1），求：
（1）割线的斜率
k
AB
； （2）过点A的切线的斜率
k
AT
；
（3）点A处的切线的方程.


10 36
2
2
2
2
2
3
2
x?1
的切线垂直于直线
2x?6y?3?0
，试求这条切线的 方程.
2

人教版高中数学《导数》全部教案

10.在抛 物线
y?x
上依次取M（1,1），N（3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.



11. 已知一气球的半径以10的速度增长，求半径为10时，该气球的体积与表面积的增长速
度.



12.一长方形两边长分别用x与y表示，如果x以0.01的速度减小，y边以 0.02的速度增加，
求在x＝20m，y＝15m时，长方形面积的变化率.



13.（选做）证明：过曲线
xy?a
上的任何一点（
x
0
,y
0
）（
x
0
?0
）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.（提示：
()??
2
2
1
x

1
）
x
2
导数的应用习题课
（5月8日）
教学目标 掌握导数的几何意义，会求多项式函数的单调区间、极值、最值
教学重点 多项式函数的单调区间、极值、最值的求法
教学难点 多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用
一、课前预习
1.设函数
y?f (x)
在某个区间内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则
y?f(x)
是这个区间内的＿＿＿＿＿；如果在这个区间内＿＿＿，则
y?f(x)
是这个区间内的＿＿＿＿ ＿.
2.设函数
y?f(x)
在
x?x
0
及其附近有定义 ，如果
f(x
0
)
的值比
x
0
附近所有各点的值都 大
（小），则称
f(x
0
)
是函数
y?f(x)
的 一个＿＿＿＿＿＿.
3.如果
y?f(x)
在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：
（1）求导数＿＿＿＿＿； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（可能极值点）；
（3）如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数
y?f(x)
在这个根处取得极＿值 ；
如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数
y?f(x)
在这个根处取得极＿ 值.
4.设
y?f(x)
是定义在[a，b]上的函数，
y?f(x)在(a，b)内有导数，可以这样求最值：
11 36

人教版高中数学《导数》全部教案
（1）求出函数在(a，b)内的可能极值 点（即方程
f(x)?0
在(a，b)内的根
x
1
,x
2< br>,
?
,x
n
）；
（2）比较函数值
f(a)
，
f(b)
与
f(x
1
),f(x
2
),?,f (x
n
)
，其中最大的一个为最大值，最
小的一个为最小值.
二、举例
例1.确定函数
f(x)?2x?9x?12x?3
的单调区间.



例2.设一质点的运动速度是
v(t)?
运动速度的改变情况怎样？

例3.求函数
f(x)?




例4.设函数< br>f(x)?
32

3
4
t?7t
3
?15t< br>2
?3
，问：从t＝0到t＝10这段时间内，
4
1
3
x?9x?4
的极值.
3
1
3
1
2
ax?bx ?x
在
x
1
＝1与
x
2
＝2处取得极值，试确定a 和b的值，
32
并问此时函数在
x
1
与
x
2
处是取极大值还是极小值？








例5.求函数
f(x)?3x?9x?5
在[－2,2]上的最大值和最小值.





例6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽 的积成正比例，要将直径为d的圆木锯成强度
最大的横梁，断面的宽和高应为多少？


12 36
3

人教版高中数学《导数》全部教案



例7.求内接于抛物线
y?1?x
与x轴所围图形内的最大矩形的面积.




例8.某种产品的总成本C（单位：万元）是产量x（单位：万件）的 函数：
2
C(x)?100?6x?0.04x
2
?0.02x
3< br>，试问：当生产水平为x＝10万件时，从降低单
位成本角度看，继续提高产量是否得当？





三、巩固练习
1.若函数
f (x)
在区间[a，b]内恒有
f(x)?0
，则此函数在[a，b]上的最小值是＿ ＿＿＿
2.曲线
y?

1
4
1
3
1
2
x?x?x?x?1
的极值点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
432
32
3.设函数
f(x)?ax?(ax)?ax?a
在x＝1处取得极大值－2，则 a＝＿＿＿＿.
4.求下列函数的单调区间：
（1）
y?2x?3x?12x?1
（2）
y?(x?1)(x?2)




5.求下列函数的极值：
（1）
y?x?4x?6
， （2）
y?x?3x?9x?5
，[－4,4]






6.求下列函数的最值：
（1）
y?x?4x?6
，[－3,10] （2）
y?x?3x
，[－1,4]

13 36
232
232
322

人教版高中数学《导数》全部教案



7.设某企业每季度生产某个产品q个单位时，总成本函数为
C(q)?aq?bq?cq
，（其中
a＞0，b＞0，c＞0），求：（1）使平均成本最小 的产量（2）最小平均成本及相应的边际成
本.





8.一个企业生产某种产品，每批生产q单位时的总成本为
C(q)?3?q
（单位： 百元），可
得的总收入为
R(q)?6q?q
（单位：百元），问：每批生产该产品多 少单位时，能使
利润最大？最大利润是多少？





9.在曲线
y?1?x(x?0,y?0)
上找一点（
x
0
,y
0
），过此点作一切线，与x轴、y轴构成
一个三角形，问：
x
0
为何值时，此三角形面积最小？





1 0.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为
C(q)?2.2?10q?8?10
，通过市场 调查，
可以预计这种彩电的年需求量为
q?3.1?10?50p
，其中p（单位：元 ）是彩电售
价，q（单位：台）是需求量. 试求使利润最大的销售量和销售价格.
5
37
2
2
32
多项式函数的导数
（5月6日）
教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数
教学重点：导数运算法则的应用
教学难点：多项式函数的求导
一、复习引入
1、已知函数
f(x)?x
，由定义求
f(x)，并求f(4)



14 36
2

人教版高中数学《导数》全部教案



2、根据导数的定义求下列函数的导数：
（1）常数函数
y?C
（2）函数
y?x(n?N)









二、新课讲授
1、两个常用函数的导数：

nn?1*

(C)?0
(x)?nx(n?N)



2、导数的
运算法则
：
如果函数
f(x)、g(x)
有导数，那么

[f(x)?g(x)]
?f

(x)?g

(x)；




[C?f(x)]?Cf(x)

也就是说，
两个函数的 和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积
的导数，等于常数乘函数的导数
.
例1：求下列函数的导数：
（1）
y?7x
（2）
y??3x
（3）
y?4x?3x

（4）
y?(x?1)(x?2)
（5）
f(x)?(ax?b)(a、b
为常数)
例2：已知曲线
y?22
3453
n*
1
3
8
x
上一点
P (2，)
，求：
33
（1）过点P的切线的斜率； （2）过点P的切线方程.




三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用
四、课堂练习：1、求下列函数的导数：
（1）
y?8x
（2）
y?2x?1
（3）
y?2x?x
（4）
y?3x?4x

（5）
y?(2x?1)(3x?2)
（6）
y?x(x?4)



2
2、已知曲线
y?4x?x
上有两点A（4，0），B（2，4），求：
（1）割线的斜率
k
AB
；（2）过点A处的切线的斜率
k
AT
；（3）点A处的切线的方程.
15 36
23
223

人教版高中数学《导数》全部教案



3、求曲线
y?3x?4x?2
在点M（2，6）处的切线方程.

五、课堂作业
1、求下列函数的导数：
（1）
y?5x?4x?1
（2）
y??5x?3x?7
（3）
y?7x?13x?10

（4）
y?3?x?3x
（5）
y?2x?3x?5x?4
（6）
f(x)?(2?x)(3?x)

（7）
f(x)?3x?23x?40x?10
（8）
f(x)?(x?2)?x

（9）
f(x)?(2x?1)(3x?x)
（10）
y?3(2x?1)?4x

2、求曲线
y?2x?x
在
x??1
处的切线的斜率。

3、求抛物线
y?

4、求曲线
y?x?3x?1
在点P（2，－3）处的切线的方程。
32< br>3
322
432
332
222
2
1
2
x
在
x?2
处及
x??2
处的切线的方程。
4
函数的单调性与极值
（5月10日）
教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
掌握利用导数判断函数单调性的方法；
教学重点：利用导数判断函数单调性；
教学难点：利用导数判断函数单调性
教学过程：
一 引入：
以前，我们 用定义来判断函数的单调性.在假设x
1
2
的前提下，比较f(x
1
)2
)与的大
小，在函数(x)比较复杂的情况下，比较f(x
1
)与f(x
2
)的大小并不很容易.如果利用导数来判断
函数的单 调性就比较简单.
二 新课讲授
1 函数单调性
我们已经知道，曲线( x)的切线的斜率就是函数(x)的导数.从函数
y?x?4x?3
的图像
可以看到： 在区间（2，
??
）内，切线的斜率为正，函数(x)的值随着x的增大而增大，即
2
y

>0时，函数(x) 在区间（2，
??
）内为增函数；在区间（
??
，2）内，切线的斜率为

负，函数(x)的值随着x的增大而减小，即< br>y
?
0时，函数(x) 在区间（
??
，2）内为减函
数.
定义：一般地，设函数(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内
y
>0，那么函数(x) 在
为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内
y
<0，那么函数(x) 在为这个区间内的减函数。
例1 确定函数
y?x?2x?4
在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。
16 36
2

人教版高中数学《导数》全部教案




例2 确定函数
y?2x?6x?7
的单调区间。
y
32
2
0
x

2 极大值与极小值
观察例2的图可以看出，函数在0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说
f(0)是 函数的一个极大值；函数在2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)
是函数的一个极 小值。
一般地，设函数(x)在
x?x
0
及其附近有定义，如果
f (x
0
)
的值比
x
0
附近所有各点的函数值
都大， 我们说f(
x
0
)是函数(x)的一个极大值；如果
f(x
0
)
的值比
x
0
附近所有各点的函数值
都小，我们说f(
x
0
)是函数(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。
在定义中，取得极值的 点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注
意以下几点：
（ⅰ）极值是一 个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比
较是最大或最小。并不意味着它在 函数的整个的定义域内最大或最小。
（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内 极大值或极小值可以
不止一个。
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的 极大值未必大于极小值，
如下图所示，
x
1
是极大值点，
x
4
是极小值点，而
f(x
4
)
>
f(x
1
)
。










y


f(x
4
)
f(x
1
)
o
a
X
1
X
2
X
3
X
4
b
x
17 36

人教版高中数学《导数》全部教案
< br>（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取
得最大值、 最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线 有切线的话，则切线是水平的，从而有
f
?
(x)?0
。但反过来不一定。如 函数
y?x
3
，在
x?0
处，曲线的切线是水平的，但这点
的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设
x
0
使< br>f
?
(x
0
)?0
，那么
x
0
在什 么情况下是的极值点呢？
y

y


f

?

(

x
0

)



f
?
(x)?0


f
?
(x)?0


f
?
(x)?0

f
?
(x)?0

f
?
(x
0
)



o
x

o
a
X
0
a b
X
0
b
x
如上左图所示，若
x
0
是
f(x)
的极大值点，则
x
0
两侧附近点的函数值必须小于
f(x
0
)
。因
此，
x
0
的左侧附近
f( x)
只能是增函数，即
f
?
(x)?0
。
x
0的右侧附近
f(x)
只能是减函数，
即
f
?
(x)?0
，同理，如上右图所示，若
x
0
是极小值点，则在
x
0的左侧附近
f(x)
只能是减
函数，即
f
?
(x)?0
，在
x
0
的右侧附近
f(x)
只能是增函数，即
f
?
(x)?0
，从而我们得出结论：
若
x
0
满足< br>f
?
(x
0
)?0
，且在
x
0
的两 侧
f(x)
的导数异号，则
x
0
是
f(x)
的极值 点，
f(x
0
)
是
极值，并且如果
f
?
( x)
在
x
0
两侧满足“左正右负”，则
x
0
是f(x)
的极大值点，
f(x
0
)
是极
大值；如果f
?
(x)
在
x
0
两侧满足“左负右正”，则
x
0
是
f(x)
的极小值点，
f(x
0
)
是极小值。
例3 求函数
y?










18 36
1
3
x?4x?4
的极值。
3
y
o
x

人教版高中数学《导数》全部教案

三 小结
1求极值常按如下步骤：
① 确定函数的定义域；
② 求导数；
③ 求方程
y
=0的根，这些根也称为可能极值点；
④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)
四 巩固练习
1 确定下列函数的单调区间：
（1）
y?2x?5x?7
（2）
y?3x?x



2 求下列函数的极值
（1）
y?x?7x?6
（2）
y??2x?5x



（3）
y?x?27x
（4）
y?3x?x



五 课堂作业
1 确定下列函数的单调区间：
（1）
y??4x?2
（2）
y?(x?1)

（3）
y??x?2x?5
（4）
y?x?x?x


2 求下列函数的极值
（1）
y?x?4x?10
（2）
y??2x?4x?7


（3）
y?x?3x?1
（4）
y?6?12x?x


（5）
y?4x?3x?6x
（6）
y?2x?x

3224
323
22
232
2
323
22
23

函数的极限
（4月29日）

教学目标：1、使学生掌握当
x?x
0
时函数的极限；
2、了解：
limf(x)?A
的充分必要条件是
lim
?
f(x) ?lim
?
f(x)?A

x?x
0
x?x
0
x?x
0
19 36

人教版高中数学《导数》全部教案
教学重点：掌握当
x?x
0
时函数的极限
教学难点：对“
x?x
0
时，当
x?x
0
时函数的极限的概念”的理解。
教学过程：
一、复习：
（1）
limq
n
?
＿ ＿＿＿＿
q?1
;（2）
lim
n??
1
?
?__ _____.(k?N)

x??
x
k
（3）
limx
2
??

x?2
二、新课
就问题（3）展开讨论：函数
y?x
当
x
无限趋近于2时的变化趋势
当
x
从左侧趋近于2时 （
x?2
）
?
2
x

2

1.1 1.3
1.21
1.5

1.7

1.9

1.99 1.999 1.9999
?

2
?



?
当
x
从右侧趋近于2时 （
x?2
）
x

2

x?2
2.9 2.7 2.5
8.41. 7.29
2
2.3

2.1

2.01 2.001 2.0001
?

2
?



发现
limx?_______

我们再继续看
y?
x?1

x?1
2
2
1
O
。
1
X
当
x
无限趋近于1（
x?1
）时的变化趋势；
函数的极限 有概念：当自变量
x
无限趋近于
x
0
（
x?x
0< br>）时，如果函数
y?f(x)
无限
趋近于一个常数A，就说当
x
趋向
x
0
时，函数
y?f(x)
的极限是A，记作
lim f(x)?A
。
x?x
0
特别地，
limC?C
；
limx?x
0

x?x
0
x?x
0

三、例题

求下列函数在X＝0处的极限
x
x
2
?1
lim
（1）
lim

（2）

（3）
f(x)?

0,x?0

x?0
x
x?0
2x
2
?x?1
1?x
2
,x?0





四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。
20 36
2
x
,x?0

人教版高中数学《导数》全部教案
五、练习及作业：
1、对于函数
y?2x?1
填写下表，并画出函数的图象 ，观察当
x
无限趋近于1时的变化趋势，
说出当
x?1
时函数
y?2x?1
的极限
x

2X＋1

0.1 0.9

1.5 1.1

2
0.99 0.999 0.9999 0.99999
?

1
?


1.01 1.001 1.0001 1.00001
?

1
?



x

2X＋1







2、对于函数
y?x?1< br>填写下表，并画出函数的图象，观察当
x
无限趋近于3时的变化趋势，
说出当< br>x?3
时函数
y?x?1
的极限
2
x

2
－1

2.9 2.99 2.999 2.9999 2.99999 2.999999
?

3
?


3.1 3.01 3.001 3.0001 3.00001 3.000001
?

3
?



x

2
－1







x
2
?1(x?1)
3
?(1?3x)
3
?

lim
2

lim

lim2(sinx?cosx?x
2
)

23
?
x?1
2x?x?1
x?0
x?2x
x?
2

lim
1?2x?3
x?2
x?4

lim
x ?0
a
2
?x?a
1
（
a?0
）
lim

x?0
x
x
函数的最大与最小值
（5月8日）
教学目标： 1、使学生掌握可导函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上所 有点（包括端点
a,b
）
处的函数中的最大（或最小）值；
2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学难点：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力
一、复习：
1、x
n
??

?___________
；2、
?
C?f(x)?g(x)
?

?_____________

3、求
3
—27x的 极值。

二、新课
在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小
观察下面一个 定义在区间
?
a,b
?
上的函数
y?f(x)
的图象

发现图中是极小值，是极大值，在区间
?
a,b
?
上的函 数
y
y?f(x)

的最大值是，最小值是
21 36
a x
1
o
X
2

X
3
b
x

人教版高中数学《导数》全部教案

在区间
?
a,b
?
上求函数
y?f(x)
的最大值与最小值 的步骤：
1、函数
y?f(x)
在
(a,b)
内有导数 ；
．．．．
2、求函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值
3、将函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值与
f(a) ,f(b)
比较，其中最大的一个为最大值 ，最
．
小的一个为最小值
三、 例1、求函数
y?x?2x?5
在区间
?
?2,2
?
上的最 大值与最小值。
42
解：先求导数，得
y?4x?4x


3
令
y
＝0即
4x?4x?0
解得
x
1
? ?1,x
2
?0,x
3
?1

3
导数
y< br>的正负以及
f(?2)
，
f(2)
如下表


X －2
（－2，－1）
－1
（－1，0）

0


（0，1）

1
0
4
（1，2）

2

13

13


0
4
＋

0
5
－

＋
y

从上表知，当
x??2
时，函数有最大值13 ，当
x??1
时，函数有最小值4
在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料 最省，时间最少，效率最
高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。
例2 用边长为60的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一
个小正方形，然后把四边翻转90 °角，再焊接而成，问水箱底边的长取多
少时，水箱容积最大，最大容积是多少？











例 3、已知某商品生产成本C与产量P的函数关系为C＝100＋4P，价格R与
产量P的函数关系为R＝ 25－0.125P，求产量P为何值时，利润L最大。









22 36

人教版高中数学《导数》全部教案

四、小结：
1、闭区 间
?
a,b
?
上的连续函数一定有最值；开区间
(a,b)
内的可导函数
不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。
2、函数在其定 义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止
一个，也可能没有一个。
3 、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间
内只有一个极值点，那么 根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的
函数值进行比较。


五、练习及作业：：
1、函数
y?x?5x?4
在区间
?
?1,1
?
上的最大值与最小值
2





3
2、求函数
y?3x?x
在区间
?3,3
上的 最大值与最小值。
??





3、求函数
y?x?2x?5
在区间
?
?2,2
?
上的最大 值与最小值。
42





4、求函数
y?x?5x?5x?1
在区间
?
?1,4
?
上的最大值与最小值 。
543





5、给出下面四个命题 < br>（1）函数
y?x?5x?4
在区间
?
?1,1
?
上 的最大值为10，最小值为－
2
2
9

4
（2）函数
y?2x?4x?1
（2＜X＜4）上的最大值为17，最小值为1
23 36

人教版高中数学《导数》全部教案
（3）函数
y?x?12x
（－3＜X＜3）上的最大值为16 ， 最小值为－16
（4）函数
y?x?12x
（－2＜X＜2）上 无 最大值 也无 最小值。
其中正确的命题有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

6、把长度为L 的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形的面积最大。





7、把长度为L 的线段分成二段，围成一个正方形，问怎样分法，所围成正方形的面积最小。





8、某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件X元出售，可以卖出( 200)件，应
该如何定价才能使利润L最大？





9、在曲线1—X
2
(X
?
0，Y
?
0)上找一点 了(
x
0
,y
0
)，过此点作一切线，与X、Y轴构成一
个 三角形，问X
0
为何值时，此三角形面积最小？







10、要设计一个容积为V的圆柱形水池，已知底的单位面积造价是侧 面的单位面积造价的
3
3
1
?
1
?
一半，问：如何 设计水池的底半径和高，才能使总造价最少？(提示：
??
??
2
)
x
?
x
?

函数极限的运算法则
（4月30日）
教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限
教学重点：运用函数极限的运算法则求极限
教学难点：函数极限法则的运用
教学过程：
一、引入：
一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如
l im
1
?0,limx?x
o
.若求极限的函数
x??
x< br>x?x
o
比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已 知函数的极
限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极< br>24 36

人教版高中数学《导数》全部教案
限的计算.
二 、新课讲授
对于函数极限有如下的
运算法则
：
如果
limf(x)?A,limg(x)?B
，那么
x?x
o< br>x?x
o
x?x
o
lim[f(x)?g(x)]?A?B

lim[f(x)?g(x)]?A?B

f(x)A
?(B?0)

g(x)B
x?x
o
x?x
o
lim
也就是说，如 果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，
分别等于这两个函数的极限的 和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.
说明
：当C是常数，n是正整数时，< br>lim[Cf(x)]?Climf(x)

x?x
o
x?x
o
x?x
o
lim[f(x)]
n
?[limf(x)]
n

x?x
o
这些法则对于
x??
的情况仍然适用.
三 典例剖析
例1 求
lim(x?3x)

x?2
2





2x
3
?x
2
?1
例2 求
lim

x?1
x?1





x
2
?16
例3 求
lim

x?4
x? 4
分析：当
x?4
时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数
x
2
?16
y?
在定义域
x?4
内，可以将分子、 分母约去公因式
x?4
后变成
x?4
，由此即
x?4
可求出 函数的极限.




25 36

人教版高中数学《导数》全部教案

3x
2
?x?3
例4 求
lim

x??
x
2
?1
分析：当
x??
时，分子、分母都没有极限，不能直接运用 上面的商的极限运算法则.如果
分子、分母都除以
x
，所得到的分子、分母都有极限， 就可以用商的极限运用法则计算。







总结：
limC?C,limx?x
o
(k?N),

x? x
o
x?x
o
kk*
2
limC?C,lim
x? ?
1
*
?0(k?N)

x??
x
k
2x
2
?x?4
例5 求
lim

x??
3x
3
?x
2
?1分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以
x
，就可以运用法则
计算了。



四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）
（1）
lim(2x?3)
； （2）
lim(2x?3x?1)

x?
1
2
3
2
x?2


2x
2
?1
（3）
lim[(2x?1)(x?3)]
； （4）
lim

x?1
3x
2
?4x?1
x?4


x
2
?1x
2
?5x?6
（5）
lim
（6）
lim

2
x??1
x?1
x?3
x?9


26 36

人教版高中数学《导数》全部教案
2x
2
?x?2
2y
2
?y
（7）
lim
（8）
lim
3

x??
3x
3
?3x
2
?1
y??
y?5


五 小结
1 有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；
2 函数的运算法则成立的前提条件是 函数
f(x),g(x)?
的极限存在，在进行极限运算时，
要特别注意这一点.
3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定
不存在.
4 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限.
六 作业（求下列极限）
x
2
?5
2x
（1）
lim(2x?3x?4)
（2）
lim
2
（3）
lim
2

x?2
x?3
x??1
x?1
x?x?1
3



x
2
?3x?1x
2
?33x
3?x
2
?1)
（5）
lim
4
（4）
lim(
（6）
lim
5

x?0x?0
x?3x
4
?2x
2
x?3
x?x
2
?1
x?4



x
3
?3x
2
?2x
x?2x?1
（7 ）
lim
2
（8）
lim
2
（9）
lim

2x??2
x?2
x?4
x??1
x?1
x?x?6



(x?m)
2
?m
2
x
2
? 1
11
（10）
lim
（11）
lim(2??
2
)
（12）
lim
2
x?0x??
x??
x
2x?2x?1
x
x



x
3
?x2x
3
?1
2
3x
2
?11x?6
)
（15）
lim
（13）
lim
4
（14）
lim(
3

x??
x?3x
2
?1x?2
3x?2
x?1
2x
2
?5x?3



27 36

人教版高中数学《导数》全部教案
3x< br>2
?11x?6x?x
2
?6x
3
x?x
2
?6x
3
limlimlim
（16） （17） （18）
x??
2x
2
?5x?3
x?0
2x?5x
2?3x
3
x??
2x?5x
2
?3x
3
极 限 的 概 念
（4月27日）
教学目的：理解数列和函数极限的概念；
教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；
教学难点：数列和函数极限的理解
教学过程：
一、实例引入：
例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用 过一句话：“一尺之棰，日取其
半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的 过程可以无限制地
进行下去。（1）求第
n
天剩余的木棒长度
a
n< br>(尺)，并分析变化趋势；（2）求前
n
天截下的木
棒的总长度
bn
(尺)，并分析变化趋势。







观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数
n
无限增大时，数列的项a
n
无限趋近于
某个常数A（即
a
n
?A
无限 趋近于0）。
a
n
无限趋近于常数A，意指“
a
n
可以任意 地靠近
A，希望它有多近就有多近，只要
n
充分大，就能达到我们所希望的那么近。” 即“动点
a
n
到
A的距离
a
n
?A
可以任 意小。
二、新课讲授
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数
n
无限增大时，无穷数列
{a
n
}
的项
a
n
无限趋近于某个常数A（即
．．．．．
，那么就说数列
{a
n
}< br>的极限是A，记作
a
n
?A
无限趋近于0）

lima
n
?A

n??
注：①上式读作“当
n< br>趋向于无穷大时，
a
n
的极限等于A”。“
n?
∞”表示“< br>n
趋向于无
穷大”，即
n
无限增大的意思。
lima
n
?A
有时也记作当
n?
∞时，
a
n
?
A
n??
②引例中的两个数列的极限可分别表示为，
③思考：是否所有的无穷数列都有极限？
例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由
（1）1，


（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01 ，－0.001，…，
(?0.1)
，…；
（5）－1,1，－1，…，
(?1)
，…；

28 36
n
n
111123n
，，…，，… ；（2），，，…，，…；
23n234n?1

人教版高中数学《导数》全部教案







注：几个重要极限：
（1）
lim
1
?0
（2）
limC?C
（C是常数）
n??
n
n??
n
n
（3）无穷等比数列
{q}
（
q?1
）的极限是0，即 ：
limq?0(q?1)

n??
2、当
x??
时函数的极限
1
的图像，观察当自变 量
x
取正值且无限增大时，函数值的变化情况：
x
1
y
函数值无限趋近于0，这时就说，当
x
趋向于正无穷大时，函数
y?

x
1
的极限是0，记作：
lim?0

x???
x
一般地，当自变量
x
取正值且无限增大时，如果函数
x
（1） 画出函数
y?
O
y?f(x)
的值无限趋近于一个常数A，就说当
x
趋向于正无穷大时，
函数
y?f(x)
的极限是A，记作：
lim f(x)?A

x???
也可以记作，当
x
???
时，f(x)?A

1
的值无限趋
x
11
近于0，这时就说 ，当
x
趋向于负无穷大时，函数
y?
的极限是0，记作：
lim?0

x???
xx
（2）从图中还可以看出，当自变量
x
取负值而
x
无限增大时，函数
y?
一般地，当自变量
x
取 负值而
x
无限增大时，如果函数
y?f(x)
的值无限趋近于一
个常 数A，就说当
x
趋向于负无穷大时，函数
y?f(x)
的极限是A，记作：< br>limf(x)?A

x???
也可以记作，当
x???
时，
f(x)?A
1
的值都无限
x
11
趋近于0，这时就说，当
x
趋向于 无穷大时，函数
y?
的极限是0，记作
lim?0

x??
xx
（3）从上面的讨论可以知道，当自变量
x
的绝对 值无限增大时，函数
y?
一般地，当自变量
x
的绝对值无限增大时，如果函数
y?f(x)
的值无限趋近于一个常
数A，就说当
x
趋向于无穷大时 ，函数
y?f(x)
的极限是A，记作：
limf(x)?A

x??
也可以记作，当
x
??
时，
f(x)?A

29 36

人教版高中数学《导数》全部教案
特例：对于函数< br>f(x)?C
（
C
是常数），当自变量
x
的绝对值无限增大时 ，函数
f(x)?C
的值保持不变，所以当
x
趋向于无穷大时，函数
f(x)?C
的极限就是
C
，即

limC?C

x??
例2：判断下列函数的极限：
1
x
x
x???
x???
2
1
（3）
lim
2
（4）
lim4

x??
x
x??






三、课堂小结
1、数列的极限
2、当
x
??
时函数的极限
四、练习与作业
1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限
（1）1，
（1）
lim()
（2）
lim10

111
，，…，
2
，… ；（2）7，7，7，…，7，…；
49
n
111(?1)
n
,?
； （3）
?,,?,?,
248
2
n
（4）2，4，6，8，…，2n，…；
（5）0.1，0.01，0.001，…，
（6）0，
?
1
，…；
10
n
121
,?,
…，
?1
，…；
23n
1111
n?1
（7）
,?,,
…，
(?1)
，…；
234n?1
n
2
149
（8）
,,,
…，，…；
5
555
（9）－2, 0，－2，…，
(?1)?1
,…，
2、判断下列函数的极限：
（1）
lim0.4
（2）
lim1.2

x???x???
xx
n
1

x??
x
4
x??
1
x
5
x
（5）
lim()
（6）
lim()

x???
10
x???
4
（3）
lim(?1)
（4）
lim
30 36

人教版高中数学《导数》全部教案
（7）
lim
1
（8）
lim5

x??
x
2
?1
x??
补充：3、如图，在四棱锥中，底面是矩形，⊥平面，M、N分别是、的中点。（1）求证：
⊥；
P
（2）若平面与平面所成的二面角为θ，
能否确定θ，使得是异面直线与的公垂线？
若可以确定，试求θ的值；若不能，说明理由。
N

A
D

M

C
B

数列极限的运算法则（5月3日）
教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。
教学重点：运用数列极限的运算法则求极限
教学难点：数列极限法则的运用
教学过程：
一、复习引入：
函数极限的运算法则：如果
limf(x)? A,limg(x)?B,
则
lim
?
f(x)?g(x)
x?x< br>0
x?x
0
x?x
0
?
?
＿＿＿
x?x
0
lim
?
f(x).g(x)
?
?
＿＿＿ ＿，
lim
x?x
0
f(x)
?
＿＿＿＿（B
?0
）
g(x)
二、新授课：
数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似：
如果
lima
n
?A,limb
n
?B,
那么
n??n??
lim(a
n
?b
n
)?A?B

lim(a
n
?b
n
)?A?B

n??n??
lim(a
n
.b
n
)?A.B

lim
n??
a
n
A
?(B?0)

n? ?
bB
n
推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若
?
a
n
．．
则：
lim(a
n
?b
n
?c
n
)?lima
n
?limb
n
?limc
n
n??n??n??n??
?
，
?
b
n
?< br>，
?
c
n
?
有极限，
特别地，如果C是常数，那么< br>二.例题：
lim(C.a
n
)?
n
?CA
< br>n??n??n??
例1.已知
lima
n
?5,
limb< br>n
?3
，求
lim(3a
n
?4b
n
).< br>
n??
n??n??





例2.求下列极限：
31 36

人教版高中数学《导数》全部教案
（1）
lim(5?
n??
41
)
； （2）
lim(?1)
2

n??
nn




例3.求下列有限：
2n?1n
（2）
lim
2

n??
3n?1
n??
n?1< br>分析：（1）（2）当
n
无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有 极限，
（1）
lim
上面的极限运算法则不能直接运用。








例4.求下列极限：
（1）
lim(
n??
3572n?1
???
?
?)
< br>n
2
?1n
2
?1n
2
?1n
2
? 1
1?2?4?
?
?2
n?1
)
（2）
lim(
n??
1?3?9?
?
?3
n?1













说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进 行极限运算
时，要特别注意这一点。 当
n
无限增大时，分式的分子、分母都无限增大 ，分子、分母都
没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。
2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。
3.两个（或几个）函数 （或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极
限不一定不存在。
32 36

人教版高中数学《导数》全部教案
小结：在数列的极限都是存在的前提 下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限
的运算法则是对有限的数列是成立的。
练习与作业：
1.已知
lima
n
?2,
limb
n
??
n??
n??
1
，求下列极限
3
a
n
?b
n

n??
a
n（1）
lim(2a
n
?3b
n
)
； （2）
lim
n??




2.求下列极限：
（1）
lim(4?
n??
1
)
； （2）
lim
n??
n
2
3
?5?
n
。




3.求下列极限
（1）
lim






n?1n
； （2）
lim
；
n??n??
n3n?2
5n?2n
2
3n?2
（3）
lim
； （4）
lim
。
n??
3n
2
?1
n??
1?n
2






4.求下列极限
已知
lim a
n
?3,limb
n
?5,
求下列极限：
n??n??
（1）.
lim(3a
n
?4b
n
).
（2）.
lim
n??
a
n
?b
n

n??
a?b
nn


33 36

人教版高中数学《导数》全部教案

5.求下列极限:
（1）.
lim(7?);
（2）.
lim(
n??n??
2
n
1
?5)

2
n

1
?1
13
（3）.
lim(?4)
(4).
lim
n

n??
nn
n??
1
?1
n



(5).
lim



1?2?3?
?
?n7?5n
(6).
lim
n??n??
6n?11
2n
2
21?4 n
2
n?1
(7).
lim
2
（8）
lim(?)

2
n??
n?9
1?n
n??
n



111
??
?
?
n
24
2
（10）.已知
lima?2,
求
lim
n?a
n
（9）
lim
n
n??
n?a
n??
n??
111
n
1???
?
?
n
39
3
1?


无穷等比数列各项的和
（5月4日）
教学目的：掌握无穷等比数列各项的和公式；
教学重点：无穷等比数列各项的和公式的应用
教学过程：
一、复习引入
1、等比数列的前n项和公式是
2、设是长为 1的一条线段，等分得到分点A
1
，再等分线段A
1
B得到分点A
2
，如此无限继
续下去，线段
1
，A
1
A
2
，…，
－
1
，…的长度构成数列

1111
,,,?,
n
,?
①
248
2
可以看到，随着分点的增多，点越来越接近点B，由此可以猜想，当n无 穷大时，
11
A
2
+…+
－
1
的极限是.下面来验证猜想的正确性，并加以推广


34 36

人教版高中数学《导数》全部教案







二、新课讲授
1、无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小 于1的无穷等比数列前n项的和当n无限增大
时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比 数列
a
1
,a
1
q,a
1
q,?,a
1< br>q
公比
q
的绝对值小于1，则其各项的和S为

S?
2n?1
,?
的
a
1

(q?1)

1?q
例1、求无穷等比数列
0.3， 0.03， 0.003，…
各项的和.



例2、将无限循环小数
0.29
化为分数.


三、课堂小结：
1、无穷等比数列各项的和公式；2、化循环小数为分数的方法
四、练习与作业
1、求下列无穷等比数列各项的和：
（1）
,?
。。
8
9
2132144
（2）
6，,,?,?；1，，，?

328331575
（3）
3 ?1
3?1
，1，
3?1
3?1
，?x,x
2
,? x
3
,?,(x?1)

，?
（4）
1




2、化循环小数为分数：
（1）
0.27
（2）
0.306

（3）
1.328
（4）
?0.4023


3、如图，等边三角形的面积等于1，连结这个三 角形各边的中点得到一个小三角形，又连
结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此无限继 续下去，求
A
所有这些三角形的面积的和.

35 36
B< br>C
。。。
。。
。。

人教版高中数学《导数》全部教案



4、如图，三角形的一条底边是a ,这条边上的高是h
（1）过高的5等分点分别作底边的平行线，并作出相应的4个矩形，求这些矩形面积的和
（2）把高n等分，同样作出n－1个矩形，求这些矩形面积的和；
（3）求证：当n无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积2






36 36
h
a
第4题