高中数学教案：轨迹与轨迹方程

轨迹与轨迹方程
课程目标
知识点
轨迹与轨迹方程
考试要求
B
具体要求
1.了解轨迹与轨迹方程的对应关
系；
2.能用定义法求出一些简单的轨迹
方程；
3.了解求轨迹方程的其他方法
（如：相关点法、交轨法等）.
考察频率
少考
知识提要
轨迹与轨迹方程
? 求轨迹方程常用的方法
（ 1）定义法（又称待定系数法）：适用于根据题目条件，可以直接判断轨迹是何种曲线，
并且可知其方程 的形式．
（2）直接法（又称直译法）：利用解析几何基本公式直接将题目给出的几何条件“翻译”为
方程式．这种方法适用于给出的条件可以直译成代数方程的形式．
（3）相关点法（又称代入法）：如果轨迹点



依赖于另一点



，而



又
在某已知曲线上，则可以先列出关于 ， ， ， 的方程组，利用 ， 表示出 ， 再代
入已知曲线方程，即可得到动点 的轨迹方程．
（4）参数法：如果轨迹动点



的坐标 ， 之间的关系不易找到，也没有相互可用
时，可先考虑将 ， 用一个或几个参数来表示，再消去参数得轨迹方程．
精选例题
轨迹与轨迹方程
1. 平面内动点 到点



的距离和到直线 的距离相等，则动点 的轨迹方程为
是 ．

【答案】

2. 已知点



，



， 的面积为 ，则动点 的轨迹方程为 ．

【答案】 ，

3. 打开“几何画板”进行如下操作：① 用画图工具在工作区画一个圆 （圆 为圆心）；② 用
取点工具分别在圆 上和圆外各取一点 ， ；③ 用构造菜单下对应命令作出线段 的垂直
平分线；④ 做直线 ；设直线 与 相交于点 ，当 在圆 上运动时，点 的轨迹
是 ．

【答案】 双曲线

【分析】 由题意画出图形，如图，


因为线段 的垂直平分线为 ，
所以



．
所以









定值

．
所以由双曲线的定义知，点 的轨迹是双曲线．

4. 已知点 到双曲线
为 ．

【答案】





【分析】 设点 的坐标为



，由题意得双曲线的左、右焦点分别为



，



，则



















的左、右焦点的距离之比为 ，则点 的轨迹方程


，即







，化简得





．
所以点 的轨迹方程为



．

5. 已知 的两个顶点为



，



，第三个顶点 在直线 上，则
重心 的轨迹方程为 ．

【答案】

，得



，代入 【分析】 设



， 的中点恰好为 ，由




，得



．

6. 点 到



的距离比它到直线 的距离大 ，则 的轨迹方程为 ．


【答案】








【分析】 时， ，
时，





．

7. 如图，在边长为 的正方形 中， 为正方形边上的动点，现将 所在平面沿
折起，使点 在平面 上的射影 在直线 上，当 从点 运动到 ，再从 运动
到 ，则点 所形成轨迹的长度为 ．



【答案】

8. 已知过定点



的动圆与直线 相切，则此动圆圆心轨迹方程是 ．

【答案】



【分析】 设动圆圆心为



，则有









，化简整理后得

．

9. 曲线 是平面内到定点



和定直线 的距离之和等于 的点的轨迹，给出下
列三个结论：
① 曲线 关于 轴对称；
② 若点



在曲线 上，则



；
③ 若点 在曲线 上，则

．
其中，所有正确结论的序号是 ．

【答案】 ①②③

【分析】 设曲线 上的动点为



，则






，整理得


．
对于①：显然



也满足曲线 方程，所以曲线 关于 轴对称；
对于②：当 时，



，所以 ，当 时，



，
所以 ，故 ；
对于③：因为







，且 ，所以 ，
故 ．
综上，①②③均正确．

10. 直线



与 、 轴交点的中点的轨迹方程是 ．

【答案】






【分析】 直线



与 、 轴的交点为







．
设 的中点为



，则





消去 ，得 ．



因为 ，所以 ．



11. 设圆









，则圆 的圆心轨迹方程是 ，若直线
截圆 所得的弦长与 无关，则 ．


【答案】 ； ．


12. 到直线 和 的距离相等的动点的轨迹方程是 ．

【答案】 与


【分析】 设



为任意一点，根据题意，得



，
即 ，两边平方后化简，得





，
故所求的轨迹方程是 与 ．

13. 若 的斜边的两端点 ， 的坐标分别为



和



，则直角顶点 的轨迹方
程为 ．

【答案】

【分析】 线段 的中点为



，因为 为直角三角形， 为直角顶点，所以 到点




的距离为 ，所以点



满足











，即












．








，
14. 已知两点



，



，点 为坐标平面内的动点，满足



则动点



的轨迹方程为 ．

【答案】



15. 与圆






和圆






都外切的圆的圆心 的轨迹方程
为 ．

【答案】



（ ）

【分析】 设圆 的半径为 ，由圆的几何性质，得

则









所以 点的轨迹是以



，



为焦点的双曲线的右支．
由双曲线的定义，得

因此， 点的轨迹方程为












16. 已知动圆 过点



，且与圆 ：






外切，则动圆 的圆心




的轨迹方程为 ．

【答案】





【分析】 因为动圆 过点 ，
所以 是该圆的半径，
又因为动圆 与圆 外切，
所以

，即

．
故点 的轨迹是以 ， 为焦点，实半轴长为

的双曲线的左支．
因为实半轴长

，半焦距 ．
所以虚半轴长





．
从而动圆 的圆心的轨迹方程为


















．
17. 一动点在圆



上移动时，它与定点



连线的中点轨迹方程是 ．

【答案】









18. 已知圆

方程为








，圆

的方程为







切且与

内切，则动圆圆心 的轨迹方程是 ．

【答案】





【分析】 设动圆的圆心为



，则有



















椭圆，所以动圆圆心的轨迹方程是


．






，则动点 的轨迹方程19. 平面上有三个点



、



、



，若















，动圆 与

外
，得


















，所以动圆圆心的轨迹是以



，



为焦点，以

长为长轴的
为 ．

【答案】



20. 已知椭圆







上一动点 ，与圆






上一动点 ，及圆







上一动点 ，则 的最大值为 ．

【答案】

21. 已知点 ， 都在抛物线





上（ ， 不同于原点）， ，
为垂足．
(1)求 的轨迹 的方程；

【解】 设








，








，
因为 ，





，故





所以




．


又因为



，
所以





，



因此




．












从而 的方程为



的方程为

得



由




























．





代入上式可知
即轨迹 的方程为











．
(2)求证：曲线 与抛物线

没有公共点．

【解】 因为 的圆心为



，抛物线上点



满足

，
所以


















，
当且仅当 时，
最小
．
由（1）圆 不过



点且半径为 ，
故曲线与抛物线没有公共点．

22. 已知点



在以原点为圆心，半径为 的圆上运动，求点



的轨迹方程．








【解】 设



，则 解得







由



在圆
上，得点 的轨迹方程为



．








23. 点



，



，



满足




，求点 的坐标满足的二元方程．






，





，





，
【解】 因为







由




，得










，
即






，
化简，得












，




．



， 是 垂心，



，24. 中，



，



， 在 上，
求 的轨迹方程．

【解】 设垂心 坐标为



，且



，




，

，





．
则
因为 为垂心，



，即



．
所以



， 又
因此





，即

，
从而有







．

25. 一个动点到直线 的距离是它到点



的距离的 倍，求动点的轨迹方程．

【解】 设动点



，则依题意得






，
两边平方得



．
这就是动点的轨迹方程．

26. 求平面内到两定点



，



的距离之比等于 的动点 的轨迹方程．

【解】 设



，根据题意可得

27. 已知



，



，求以 为斜边的直角三角形顶点P的轨迹方程．




，
【解】 设 点坐标为



，由已知得点



，即











，整理得





检验： ， ， 三点要构成直角三角形，所以 点不能与 ， 重合，即 ．
综上：点 的轨迹方程为







．

28. 已知直线



， 是直线 上的一个动点，过点 作 轴、 轴的垂线，垂足分别

分成的比 的动点 的轨迹方程． 为 、 ，求把有向线段


【解】 设






，



，则





，




且





．

所成的比 ， 因为 分有向线段















，化简整理得



．

所以 得









代入







即动点 的轨迹方程为 ．

29. 如图所示，圆

与圆

的半径都是 ，



，过动点 分别作圆

、圆

的切线
， （ ， 分别为切点），使得

．试建立适当的坐标系，并求动点 的轨
迹方程．
得







．



【解】 如图所示，以直线



为 轴，线段



的垂直平分线为 轴，建立平面直角
坐标系，则两圆心分别为




，




．


设



，则
















，同理








．
因为

，
所以















，
即



，即






．
这就是动点 的轨迹方程．

30. 已知曲线

与直线 交于两点






和






，且




．记曲线 在点 和点 之间那一段 与线段 所围成的平面区域（含边界）为 ．设
点



是 上的任一点，且点 与点 和点 均不重合．

(1)若点 是线段 的中点，试求线段 的中点 的轨迹方程；

【解】 如图所示，




由题意可得出



，



，





， ．
联立

与 得





设线段 的中点 坐标为



，则








即



又点 在曲线 上，所以




化简可得





又点 是 上的任一点，且不与点 和点 重合，则



即



所以中点 的轨迹方程为






(2)若曲线





与 有公共点，试求 的最小值．


【解】 曲线









即圆

其圆心坐标为



，半径 ．





由图可知，

当

时，曲线







与点 有公共点；
当 时，要使曲线







与点 有公共点，
只需圆心 到直线 的距离







得








则 的最小值为 ．


31. 已知线段 的端点 的坐标是



，端点 在圆






上运动，求线段
的中点 的轨迹方程．

【解】 设点 的坐标是



，点 的坐标是






．
因为点 的坐标是



，且 是线段 的中点，

所以


，


，
解得

，

．
因为点 在圆






上运动，
所以点 的坐标满足方程






，

即








．
把①代入②，得









，
整理，得









．
所以点 的轨迹是以



为圆心， 为半径的圆．















32. 已知直线 与椭圆









有且仅有一个交点 ，且与 轴、 轴分别交于
、 ，求以线段 为对角线的矩形 的一个顶点 的轨迹方程．

【解】 由题意，得直线 不过椭圆的四个顶点，则可设直线 的方程为




．

由

得





























































．
由直线 与椭圆相切，得 ，即







．
在 中，分别令 ， ，可得


，



．



令顶点 的坐标为



，则








代入 并整理，得



．
解得


因此，顶点 的轨迹方程是

33. 已知以原点 为中心的椭圆的一条准线方程为
点．
(1)若 ， 的坐标分别是

，

，求 的最大值；

【解】 由题设条件知焦点在 轴上，故可设椭圆方程为
















设



，由准线方程 得




，离心率












．


， 是椭圆上的动


由


得
















解得
从而

椭圆的方程为






又易知 ， 两点是椭圆



的焦点，所以




从而












当且仅当



，即点 的坐标为 时上式取等号，



的最大值为 ．
(2)如图，点 的坐标为



， 是圆



上的点， 是点 在 轴上的射影，点






，



．求线段 的中点 的轨迹方程． 满足条件：

【解】 设






，






，



．因为





，






故



，



，















，
因为



























所以













记 点的坐标为






，因为 是 的中点，所以
















又因为



，结合①，②得























































故动点 的轨迹方程为








34. 设



（ ）为定点， ， ， 为动点，且 ， 分别在 轴和 轴上，若



，






，求点 的轨迹 的方程．

【解】 设



，



，



，又



（ ），





，





，
则

，所以

，
又因为







又因为

，所以 是 的中点，

所以 ，


代入①可得点 的轨迹 的方程为

．
则






35. 已知










，










，动圆 与

内切，同时与


外切，求动圆圆心 的轨迹方程．

【解】 由已知可得圆

与圆

的圆心坐标与半径分别为




，

；




，


．
设动圆的圆心为 ，其坐标为



，动圆的半径为 ．




由于圆

与圆 相内切，依据两圆内切的充要条件可得








由于圆

与圆 相外切，依据两圆外切的充要条件可得




如图所示，由 可得













．



即点 到两定点

与

的距离之和为 ，且






，可知动点 的轨迹为椭圆，且
以

与

为焦点．
由题意， ， ，






．
椭圆的方程为







．




动圆圆心的轨迹为焦点在 轴上的椭圆，其方程为
．


36. 长为 的线段 在抛物线

上滑动，求 中点的轨迹方程．

【解】 设






，






为抛物线

上两点，那么：

设 中点为



，那么：

有：













































































































已知 ．







所求点 的轨迹方程为


．





37. 过定点



任作互相垂直的两直线

与

，且

与 轴交于 点，

与 轴交于
点，求线段 中点 的轨迹方程．

【解】 设





，




，



，则


















因为



，所以


















，化简得






代入 ，得



．
即中点 的轨迹方程为



．

38. 已知 ：






， 是 轴上的动点， ， 分别切 于 ， 两点，
(1)如果

【解】



，求直线 的方程；



设 和 相交于点 ，又由题意可知 ．
由



可得

由射影定理知

，求得 ，在 中，















故

或

．
所以直线 方程是



或



．
(2)求动弦 的中点 的轨迹方程．

【解】 连接 ，设



，



，


由点 在一直线上，得








由射影定理得

，即
















由



和



消去 ，并注意到 ，可得











39. 已知点



，点 是直线

上的动点，过 作直线

，



，线段 的垂
直平分线与

交于点 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；

【解】 依题意，点 到点



的距离等于它到直线

的距离，
所以点 的轨迹是以点 为焦点，直线

为准线的抛物线．
所以曲线 的方程为

．
(2)若点 ， 是直线

上两个不同的点，且 的内切圆方程为



，直线
的斜率为 ，求


的取值范围．

【解】 解法1：设点






，点



，点



，

直线 方程为：




，
化简得，























．
因为 的内切圆方程为



，
所以圆心



到直线 的距离为 ，

即























故










．




























．
易知

，上式化简得，















．
同理，有















．
所以 ， 是关于 的方程















的两根．
所以





，









．








．










所以

































．

因为



，





，
所以




直线 的斜率
所以









，则











．


























．
因为函数

在



上单调递增，
所以



．
所以


所以
所以






．








．





．



所以

的取值范围为



．
解法2：设点






，点



，点



，
直线 的方程为




，即



，
因为直线 与圆



相切，

所以

．





所以





．



所以直线 的方程为
因为点 在直线 上，
所以









．






．
易知

，上式化简得，















．
同理，有















．
所以 ， 是关于 的方程















的两根．
所以




，










．



所以








因为



，





，















．
所以



























．



直线 的斜率








，则










．

因为函数 在



上单调递增，
所以



．
所以


所以







．









．


所以



．


所以

的取值范围为



．
解法3：设点






，直线 的方程为







，
即







，
令 ，得









，
所以







．
因为直线 与圆



相切，

所以

．







化简得，













．
同理，设直线 的方程为







，



则点







，且













．




所以

，

是关于 的方程









的两根．
所以









依题意，



，
所以










































，



，

．






























直线 的斜率

所以












．







，则










．























．
因为函数

在



上单调递增，
所以


所以


所以
所以
所以







．
．









．





．


解法4：设点






，如图，设直线 ， 与圆 相切的切点分别为 ， ，
依据平面几何性质，得 ，

由














，
得





，
得





．
得









．
的取值范围为


．

故






依题意，

，



．


所以





．




．
直线 的斜率

所以














，则











．


















．
因为函数 在



上单调递增，
所以



．
所以


所以
所以








．








．





．



所以 的取值范围为


．










，经过原点 以

为方向向量的直线

，与经过 40. 已知向量



，






以 为方向向量的直线

，相交于 ，其中 ，求点 的轨迹方程．






，
【解】 设



，则 在

上，且
又因为 为

上一点，

，得 ．


所以由








，
又




，且 为

上一点，




所以由
，得 ．
由 消 ，得



，
因此 的轨迹方程为



．

课后练习
1. 已知圆






，点



， 是圆 上的任意一点，线段 的垂直平分线
和半径 相交于点 ，则动点 的轨迹方程为 ．
2. 与圆



外切，且与 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是 ．
3. 设 为圆






上一动点， 为圆的切线，且

，则 点的轨迹方程
为 ．
4. 如图，直角坐标系 所在的平面为 ，直角坐标系 （其中 轴与 轴重合）所在
的平面为 ，

．
（1）已知平面 内有一点

，则点 在平面 内的射影 的坐标为 ．
（2）已知平面 内的曲线 的方程是




，则曲线 在平面 内的射
影 的方程是 ．



5. 如图，在四棱锥 中， 为正三角形，底面为正方形，且边长均为 ，
平面 平面 ， 为底面内一动点，当 时，点 在底面内的轨迹长度
为 ．

6. 设二面角 的大小为

，在 上选一点 ，以 为原点， 为 轴在两个半
平面内分别建立坐标系 和 ，其中 轴的正半轴和 轴的正半轴分别在半平面 和
内．已知 内的曲线 的方程为

（ ），则曲线 在 内的射影的曲线 的方
程为 ．
7. 已知圆：






， 为原点，作弦 ，则 中点的轨迹方程是 ．

8. 已知 是抛物线

上的动点，定点



，且点 不同于点 ，若点 分
所成的比为 ，则 的轨迹方程是 ．
9. （1）已知点


，点 是圆






上一动点，线段 的垂直平分线
交 于点 ，则动点 的轨迹方程为 ．
（2）在平面直角坐标系中， 、 分别为 轴和 轴上的动点，若以 为直径的圆 与直
线 相切，则动圆圆心 的轨迹为 ．
10. 已知点 与两个定点



，



的距离比为 ，则点 的轨迹方程为 ．




11. 设平面直角坐标系上的点



、点



为定点， 为定直线， 为动点．
（1）若



（ ），则点 的轨迹为 ；
（2）若





，则点 的轨迹为 ；
（3）若 到点 的距离与到直线 的距离之比为 （ ）则点 的轨迹为 ；
（4）若 ， 到点 与到点 的距离之比为 （ ）则点 的轨迹为 ；
（5）若 ， 到点 与到直线 的距离之和为 （ ），则点 的轨迹
为 ；
（6）若 ， 到点 与到直线 的距离之差的绝对值为 （ ），则点 的
轨迹为 ．
12. 在 中，若 的长度为 ，中线 的长度为 ，则点 的轨迹是 ．

13. 给出下列四个命题：
①椭圆









的离心率为

，则 ；
②双曲线



















的焦点到渐近线的距离是 ；
③已知抛物线

上两点






，






，且



（ 为原点），则






；
④动点 到两定点 ， 的距离之比为常数 且 ，则动点 的轨迹是圆．
其中的真命题是 ．（把你认为是真命题的序号都填上）
14. 若

，

是椭圆







的焦点， 为椭圆上不在 轴上的点，则



的重心
的轨迹方程为 ．



，则动15. 长为 的线段 的端点 ， 分别在 ， 轴上移动，动点



满足
点 的轨迹方程是 ．





，其中 ，16. 已知



，



， 为坐标原点，动点 满足
且



，则 的轨迹方程为 ．
17. 如图，正方体







的棱长为 ，点 在 上，且 ，点 在平面


上，且动点 到直线



的距离的平方与 到点 的距离的平方差为 ，在平面直角
坐标系 中，动点 的轨迹方程是 ．


18. 点 在双曲线



左支上运动， 为坐标原点，线段 中点 的轨迹方程
是 ．
19. 在平面直角坐标系 中，点 与点



关于原点 对称， 是动点，且直线 与
的斜率之积为

，则动点 的轨迹方程为 ．
20. 已知点

，点 是圆



圆 上的一个动点，线段 的垂直平
分线交 于点 ，则点 的轨迹方程为



．

21. 已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为

，右顶
点为



，设点



．
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若 是椭圆上的动点，求线段 的中点 的轨迹方程．
22. 已知 中，顶点



，



，另一顶点 在曲线

上移动，求
重心的轨迹方程．
23. 己知



， 为 上动点，过 作 轴于 为 上一点，且





．

(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)若







，过 的直线与曲线 相交于 、 两点，则



是否为定值？
若是，求出该值；若不是，说明理由．
24. 如图，抛物线

，过点



的直线 交抛物线 于 ， 两点，以 ，
为邻边作平行四边形 ．求点 的轨迹方程．



25. 设



，





为两定点，动点 到 点的距离与到 点的距离的比为定值




，求 点的轨迹．








26. 直线 与抛物线

交于 ， 两点，若 使
：

的值； (1)求






的动点 的轨迹方程． (2)求满足








．
27. 已知



，



，点 ， 满足




，

(1)求点 的轨迹方程；
(2)过点 作直线 交以 ， 为焦点的椭圆于 ， 两点，线段 的中点到 轴距离为

，
且直线 与点 的轨迹相切，求该椭圆的方程．

28. 已知焦点在 轴上的双曲线 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点


为圆心， 为半径的圆相切，又知 的一个焦点与 关于直线 对称．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若 是双曲线 上的任一点，



为双曲线 的左、右两个焦点，从

引




的平分线的垂线，垂足为 ，试求点 的轨迹方程．
29. 已知点 分别是射线











上的动点， 为坐标原点，且
的面积为定值 ，求线段 中点 的轨迹 的方程．
30. 已知 ，直线



．
(1)证明：到



的距离的平方和为定值



的点的轨迹是圆或椭圆；
(2)求到



的距离之和为定值



的点的轨迹．
31. 已知抛物线





的焦点为 ，直线 过定点



且与抛物线交于 ， 两
点：
(1)若以 为直径的圆恒过原点 ，求 的值；






，求动点 的轨迹方程． (2)在（1）的条件下，若

32. 求到两条互相垂直的直线的距离之积等于常数



的点的轨迹方程．
33. 已知定点



，



，动点 与 ， 两点的连线 ， 的斜率分别为

，

，
且



，求点 的轨迹方程．
34. 设 的两顶点分别是



和



，求第三个顶点 的轨迹方程，使



．



，



．当35. 如图，已知点



，点 在 轴上，点 在 轴上，且
点 在 轴上移动时，求动点 的轨迹方程．


36. 设圆






，过原点作圆的弦 ，求 的中点 的轨迹方程．
37. 一动圆经过定点



，且与已知圆






相外切，求动圆圆心的轨迹方程．
38. 已知点 是椭圆







上的动点， 为过 且垂直于 轴的直线上的点，



．求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

39. 在平面直角坐标系 中，点





为动点，

，

分别为椭圆






的左右焦点．已知



为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率 ；
(2)设直线

与椭圆相交于 ， 两点， 是直线

上的点，满足




，求点
的轨迹方程．
40. 如图，已知点



与点



， 是圆



上的动点，连结 并延长至 ，
使得 ，求 与 的交点 的轨迹方程．

轨迹与轨迹方程-出门考
姓名 成绩

1. 直线 与直线

的交点轨迹方程是 ．
2. 设



是单位圆



上的动点，则



的轨迹方程是 ．
3. 在平面直角坐标系 上，直线 交 轴于点 ．设 是 上一点， 是线段
的垂直平分线上一点，且满足 ．当点 在 上运动时，则点 的轨迹 的方
程是 ．
4. 在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标为



，



，



，点





，则点 的轨迹方程是 ．


在直线 上运动，动点 满足
5. 已知



， 是圆






为圆心 上一动点，线段 的垂直平分线
交 于点 ，则动点



的坐标 ， 适合的条件为 ．
6. 高为 和 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距 ，如果把两旗杆底部的坐标
分别确定为



、



，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是 ．
7. 到两定点的距离之比等于常数



的点的轨迹是 ．
8. 到 轴距离等于 的点的轨迹方程是 ．

所成的比为 ，则点 9. 已知点 是抛物线

上的动点，定点



，点 分
的轨迹方程为 ．
10. 若动点 到点



的距离等于它到 轴的距离，则动点 的轨迹方程是 ．
11. 在 中，



，



，



，给出 满足的条件，就能得到动点 的轨
迹方程，下表给出了一些条件及方程，则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为 （用
代号

、

、

填入）．
条件
周长为
面积为
中


12. 已知直线



， 是 上一动点，过 作 轴、 轴的垂线，垂足分别为 、 ，



的点 的轨迹方程是 ． 则在 、 连线上，且满足
13. 如图，定点 ， ，定点 ， ， 是 内异于 ， 的一个动点，且
，动点 在 内的轨迹是 ．


方程

，且



，则



的轨迹方程为 ．
14. 已知



，





15. 由动点 向圆



引两条切线 、 ，切点分别为 、 ，

，则动
点 的轨迹方程为 ．
16. 过定点



且在 轴上截得的弦长为 的动圆圆心的轨迹方程为 ．
17. 过抛物线

的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，过原点 作 ，垂足为
，则点 的轨迹方程是 ．
18. 曲线 是平面内与定点



和定直线 的距离的积等于 的点的轨迹．给出下列
四个结论：
①曲线 过坐标原点；
②曲线 关于 轴对称；
③曲线 与 轴有 个交点；
④若点 在曲线 上，则

的最小值为

．
其中，所有正确结论的序号是 ．
19. 已知线段 的长为 ，且端点 ， 分别在 轴与 轴上，则线段 的中点 的轨迹
方程为 ．
20. 有一条长度为 的线段 ，其端点 、 在边长为 的正方形 的四边上滑动，当
绕着正方形的四边滑动一周时， 的中点 所形成的轨迹的长是 ．
21. 点 到直线 的距离比它到点



的距离小 ，求点 的轨迹方程．
22. 求到



，



两点的距离相等的点 的轨迹方程．
23. 底边 ，
，以 为极点， 为极轴，求顶点 的轨迹的极坐标方


程．
24. 已知直线 与曲线

有两个公共点，求 的取值范围．

25. 已知常数 ，向量







．经过原点 以 为方向向量的直线与经过
定点



以 为方向向量的直线相交于点 ，其中 ．试问：是否存在两个定点
，使得 为定值．若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由．
26. 已知两点







以及一条直线 ，设长为

的线段 在直线 上
移动，求直线 和 所在直线的交点 的轨迹方程．
27. 过点



作两条相互垂直的直线



，

交 轴于 点，

交 轴于 点，求线段
的中点 的轨迹方程．
28. 已知 ， 为两定点，动点 到 与到 的距离之比为常数 ，求点 的轨迹方程，并
说明轨迹是什么曲线？
29. 已知



，直线 与 相切，且分别交 轴、 轴正向于
、 两点， 为坐标原点，且

，





．
(1)求线段 中点的轨迹方程；
(2)求 面积的最小值．
30. 已知



，



， 中 边上的高为 ，求 的垂心 的轨迹方程．


31. 设 ，点 的坐标为



，点 在抛物线

上运动，点 满足

经过点 与 轴垂直的直线交抛物线于点 点 满足



，求点 的轨

迹方程．


32. 已知椭圆









的离心率为

，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的
圆与直线 相切．
(1)求 与 ；

(2)设该椭圆的左、右焦点分别为

和

，直线

过

且与 轴垂直，动直线

与 轴
垂直，

交

于点 ．求线段

的垂直平分线与

的交点 的轨迹方程，并指明曲线类
型．
33. 如图，圆 ：



与 轴交于 ， 两点，

，

是分别过点 ， 的 的切
线，过此圆上的另一点 （点 是圆上任一不与 ， 重合的点）作此圆的切线，分别交

，


于点 ， ，且 ， 两直线的交点为 ．当点 运动时，求动点 的轨迹方程．


34. 给定双曲线

点 的轨迹方程．
35. 试画出方程





的曲线，并研究其性质．
36. 设 为坐标原点，动点 在椭圆





． 满足


(1)求点 的轨迹方程；



．证明：过点 且垂直于 的直线 过 的
(2)设点 在直线 上，且
左焦点 ．
37. 已知抛物线

的焦点为 ，平行于 轴的两条直线



分别交 于 两点，
交 的准线于 两点．
(1)若 在线段 上， 是 的中点，证明 ；
(2)若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程．
38. 的顶点 固定，点 的对边 的长是 ，边 上的高的长是 ，边 沿一条
定直线移动，求 外心的轨迹方程．







，过点



的直线与双曲线交于两点

及

，求线段



的中


上，过 作 轴的垂线，垂足为 ，点

39. 已知点 ， 分别在直线 和



上运动，点 是线段 的中点，
且 ，动点 的轨迹是曲线 ．
(1)求曲线 的方程，并讨论方程所表示的曲线类型；
(2)设





时，过点
的直线 与曲线 恰有一个公共点，求直线 的斜率．


40. 如图，已知圆 ：



，若 为圆 外一动点，过 向圆 作切线
， 为切点，设

，求动点 的轨迹方程．