高中数学圆的标准方程教案

4.1.1 圆的标准方程
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）掌 握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.
（2）会用待定系数法求圆的标准方程.
2．过程与方法
进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方
程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.
3．情感态度与价 值观
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.
（二）教学 重点、难点
重点：圆的标准方程
难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程 .
（三）教学过程
教学环节 教学内容
在直角坐标系中，确定直线的
基本要 素是什么？圆作为平面几
何中的基本图形，确定它的要素又
师生互动 设计意图
复习引入
是什么呢？什么叫圆？在平面直
角坐标系中，任何一条直线都可用
一个二元一次方程来表示，那么圆
是否也可用一个方程来表示呢？
如果能，这个方程具有什么特 征？
确定圆的基本条件为圆心和
由学生回答，然后引入课题
设置情境
引入课题
引导学生自己证明(x –
半径，设圆的圆心坐标为A(a，b)，a)
2
+ (y – b)
2
= r
2
为圆的方程，
半径为r (其中a、b、r都是常数，得出结论.
r＞0)设M (x，y)为这个圆上任意
一点，那么点M满足的条件是(引
概念形成
方程②就是圆心为A (a，
b)半径为r的圆的方程，我们
通过
学生自己< br>证明培养
学生的探
究能力.
导学生自己列出)P = {M|MA| = 把它叫做圆的标准方程.
r}，由两点间的距离公式让学生写
出点的坐标适合的条件
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
①
化简可得：(x – a)
2
+ (y – b)
2
= r
2
②

–5

6

–
–
4

–
–
2

–
–

–
–2 –
–
–4

–
–
–
A

M

5


例1 写出圆心为A (2，–3)引导学生分析探究
半径长等于5的圆的方程，并判断从计 算点到圆心的距离入手.
点M
1
(5，–7)，
M
2
(?5 ,?1)
是否在
这个圆上.
例1 解：圆心是A(2，
–3)，半径长等于5的圆的标
准方程是(x + 3)
2
+ ( y + 3)
2

=25.
分析探求：可 以从计算点到圆
心的距离入手.
探究：点M(x
0
，y
0
) 与圆(x – a)
2

把M
1
(5，–7)，M
2
(
?5
，
(y +3)
2
=25，左右两边相等，
+ (y – b)
2
= r
2
的关系的判断方法：
–1) 的坐标代入方程(x –2)
2
+
（1）(x
0
– a)
2
+ (y
0
– b)
2
＞r
2
，点M
1
的坐标适合圆的方程，
点在 圆外.所以点M
2
在这个圆上；把
22 2
（2）(x
0
– a) + (y
0
– b)= r，
M
2
(
?5
，–1)的坐标代入方
点在圆上.
应用举例
通过
实例引导
学生掌握
求圆的标
准方程的
两种方法.
程(x – 2)
2
+ (y +3)
2
=25，左右
（3）(x
0
– a)
2
+ (y
0
– b)
2
＜r
2
，两边不相等，点M
2
的坐标不
点在圆内. 适合圆的方程，所以M
2
不在
这个圆上

例2 △ABC的三个顶点的坐师生共同分析：从圆的标
标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，– 8). 准方程(x – a)
2
+ (y – b)
2
= r
2
求它的外接圆的方程.可知，要确定圆的标准方程，
可用待定系数法确定a、b、r
三个参数，(学生自己运算解
例2 解：设所求圆的方程是
(x– a)
2
+ (y – b)
2
= r
2
. ①
因为A (5，1)，B (7，–3)，C (2，决)

– 8) 都在圆上，所以它们的坐标
都满足方程①. 于是
?
(5?a)
2
? (1?b)
2
?r
2
?
222
?
(7?a)?(? 3?b)?r
?
222
?
(2?a)?(?8?b)?r
解此方程组 ，得
?
a?2
?
?
b??3
?
2
?
r?25
所以，△ABC的外接圆的方
程是(x– 2)
2
+ (y +3)
2
=25.
例3 已知圆心为C的圆C. 师生共同分析：如图确定
经过点A(1，1)和B(2，–2)，且圆一个图只需确定圆心位置与
心在半径大小.圆心为C的圆 经过
点A(1，1)和B(2，–2)，由于
圆心C与A、B两点的距离相
等，所以圆 心C在线段AB的
垂直平分线m上，又圆心C
在直线l上，因此圆心C是直
l : x – y + 1 = 0上，求圆心为
C的圆的标准方程.
比较例(2)、例（3）可得出△< br>ABC外接圆的标准方程的两种求
法：
①根据题设条件，列出关于a、线l与直线m的 交点，半径长
b、r的方程组，解方程组得到a、等于|CA|或|CB|.(教师板书解
b、 r得值，写出圆的根据确定圆
的要素，以及题设条件，分别求出
圆心坐标和半径大小，然后再写 出
圆的标准方程.
练习：课本P127 第1、3、4
题

例3 解：因为A (1，1)，
B (2，– 2)，所以线段AB的中
点D的坐标为(，
?
)，直
线AB的斜率
k
AB
=
?2?1
= –3，
2?1
3
2
1
2
C
B
A
m
题过程)
因为线段AB的垂直平分

线l′的方程是
y +
113
?(x?)
，
232
即x –3y –3 = 0.
圆心C的坐标是方程组
?
x?3y?3?0
的解.
?
x?y?1?0
?
解此方程组，得
?
x??3

?
y??2
?
所以圆心C的坐标是
(–3，–2) .
圆心为C的圆的半径长
r =|AC|=
(1?3)
2
?(1?2)
2
= 5.
所以，圆心为C的圆的
标准方程是
(x + 3)
2
+ (y +2)
2
=25.
1．圆的标准方程.
2．点与圆的位置关系的判断
归纳总结 方法.
3．根据已知条件求圆的标准
方程的方法.
课外作业
布置作业：见习案4.1第一课
时
学生独立完成 巩固深化
教师启发，学生自己比
较、归纳.
形成知识
体系
备选例题
例1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径
（1）x
2
+ (y + 3)
2
= 2； （2）(x + 2)
2
+ (y – 1)
2
= a
2
(a≠0)
【解析】（1）圆心为(0，–3)，半径为
2
；
（2）圆心为(–2，1)，半径为|a|.
例2 圆心在直线x – 2y – 3 = 0上，且过A(2，–3)，B(–2，–5)，求圆的方程.
解法1：设所求的圆的方程为(x – a)
2
+ (y – b)
2
= r
2

?< br>(2?a)
2
?(?3?b)
2
?r
2
?
由 条件知
?
(?2?a)
2
?(?5?b)
2
?r
2

?
a?2b?3?0
?

?
a??1
?
解方程组得
?
b??2

?
2
?
r?10
即所求的圆的方程为(x + 1)
2
+ (y + 2)
2
= 10
解法2：
k
AB
?
1
，AB的中点是(0，–4)，
2
所以AB的中垂线方程为2x + y + 4 = 0
由
?
?
x?2y?3?0
?
x??1
得
?

?
2x?y?4?0
?
y??2
因为圆心为(–1, –2 )又
r?(2?1)
2
?(?3?2)
2
?10
.
所以所求的圆的方程是(x + 1)
2
+ (y + 2)
2
= 10.
例3 已知三点A(3，2)，B(5，–3)，C(–1，3)，以P(2，–1)为 圆心作一个圆，使A、B、
C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.
【解析】要使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是
|PA|、|P B|、|PC|中的中间值.
|PA|?10,|PB|?13,|PC|?25
.
因为|PA|＜|PB|＜|PC|
所以圆的半径
r?|PB|?13
.
故所求的圆的方程为(x – 2)
2
+ (y + 1)
2
= 13.