高中数学《指数函数(一)》教学设计

指数函数（一）
教学目标：
知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用.
能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类
讨论的思想以及从特殊到一般的数学讨论的方法 ，增强识图用图的能力.
情感目标:通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐
的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质.
教学重点：指数函数的图象、性质及其简单运用.
教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图象与底的关系.
教学方法：探究式教学法.
教学手段：采用多媒体辅助教学.
教学过程：
一、创设情景，引出课题
前面我们学习过函数的概念、函数的有关性质及指数的运算，今天我 们将在此基础上
学习一类新的基本函数.
问题1：我们来考虑一个与医学有关的例子：大家对 “非典”应该并不陌生，它与其
它的传染病一样，有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁 殖，病原体的繁
殖方式有很多种，分裂就是其中的一种。我们来看一种球菌的分裂过程：
动画 演示：某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------.一个这样的
球菌分裂
x
次后,得到的球菌的个数
y
与
x
的关系式是：
y?2< br>.
问题2：某种机器设备每年按
6%
的折旧率折旧，设机器的原来价值为1， 经过
x
年后，
机器的价值为原来的
y
倍，则
y
与< br>x
的关系为
y?0.94
.
思考：你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？
共同点：变量
x
与
y
构成函数关系式，是指数的形式，自变量在指数位置，底数是常数；
x
x

不同点：底数的取值不同.
大家能给这样的函数起个名字吗？（想让学生对数学的形式化有一认识）
（指数函数）
这就是我们今天所要研究的一个新的基本函数——指数函数.（引出课题）
二、探索研究
(一)指数函数的概念：
函数
y?a
x
(a?0,且a?1)< br>叫做指数函数.其中
x
是自变量.函数的定义域为
R
.
在以 前我们学过的函数中，一次函数用形如
y?kx?b(k?0)
的形式表示，反比例函
数用形如
y?
k
(k?0)
的形式表示，二次函数用
y?ax
2
?bx?c(a?0)
的形式表示．这
x
些函数对其一般形式上的系数都 有相应的限制．给定一个函数要注意它的实际意义与研究价
值.
思考：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？
xx
若
a?0
，当
x?0
时，
a
恒等于0，没有研究价值；当
x?0
时，a
无意义；
若
a?0
,例如当
a??2,x?
1
时，
?2
无意义，没有研究价值；
2
x
x
若
a? 1
，则
1?1
,
a
是一个常量，也没有研究的必要.
很好，所以有规定
a?0且a?1
（对指数函数有一初步的认识）.
（二）对数函数的图象与性质：
学习函数的一个很重要的目标就是应用，那么首先要对函数作 一研究，研究函数的图
象及性质，然后利用其图象和性质去解决数学问题和实际问题.
思考1：你能类比前面讨论函数性质的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、图象、单调性、奇偶性.
思考2：如何来画指数函数的图象呢?
画函数图象通常采用：列表、描点、连线．有时，也可以利用函数的有关性质画图.

< br>思考3：画出指数函数
y?2
x
、
y?()
的图象并观察图象 有什么特征？
函数
y?2
x
的图象位于
x
轴的上方，向左 无限接近
x
轴，向上无限延伸, 从左向右
看，图象是上升的,与
y
轴交于(0,1)点.
函数
y? ()
的图象位于
x
轴的上方，向右无限接近
x
轴，向上无限延伸，从 左向
x
1
2
x
1
2
右看，图象是下降的，与
y
轴交于(0,1)点.
思考4：函数
y?2与y?()的图象有什么关系?能否由
y?2
x
的图象得到
y?()
的图象？
关于< br>y
轴对称.所以可以先画其中一个函数的图象，利用轴对称的性质可以得到另一
个函数的 图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有用.
思考5：选取底数
a的若干个不同的值，在同一平面坐标系内作出相应的指数函数的图
象．观察图象，你能发现他们有哪 些共同特征？
教师演示课件，以不同的底，作出函数的图象，描绘出其几何特征，将函数的图象
和性质对应起来．利用几何画板，通过改变
a
的值，让学生观察图象的变化规律．
思考6：通过你们画的图象以及老师的演示，你们能发现怎样的规律呢？
底数分
a?1
和
0?a?1
两种情况．
很好，那么，你们能否归纳总结一下它们的性质吗？
引导学生观察函数
y?2
的图象特征，并总结函数
y?2
的性质．
思考7：从特殊到一般，指数函数
y?a
x
xx
x
1
2
x
1
2
x
(a?1)
有哪些性质？并类比得出
y?a
x

(0?a?1)
的性质．
师生共同归纳：
指数函数
y?a(a?0且a?1)
的图象与性质：

x

a?1

0?a?1

图


象

性

质
（3）过定点
(0,1)
，即当
x?0
时，
y?1

（4）在
(??,??)
上是增函数


强调：利用函数 图象研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联
想它的图象，记住性质的关键在 于要脑中有图．
三、应用举例：
数学源于生活，还要服务于生活．学习函数的一个重要目 标是应用．指数函数是生产
生活中常见的一类函数，指数函数一直是科学工作者，特别是工程技术人员必 备的工具．这
节课我们先来了解一下它的简单应用．
利用单调性比较大小．
例1. 比较下列各组数中各个值的大小：
（1）
1.7
1
（3 ）
a
3
,
2.5

（1）定义域：
(??,??)

（2）值域：
(0,??)

（4）在
(??,??)
上是减函数
，
1.7
； （2）
0.8
3?0. 1
，
0.8
，
0.9
?0.2
；
1
a
2
(a?0,且a?1)
； （4）
1.7
0.3
3.1
，
1
．
分析：对于这样两个 数比大小，学生可能会觉得困难，提示学生观察两个数的形式特征（底
数相同，指数不同），联想指数函 数，提出构造函数法，即把这两个数看作某个函数的函
数值，利用函数的单调性比较大小．
说明：
1. 当底数相同且明确底数
a
与1的大小关系时：直接用函数的单调性来解．
2．当底数相同但不明确底数
a
与1的大小关系时： 要分情况讨论．
3．当底数不同不能直接比较时：可借助中间数，间接比较上述两个数的大小．

四、反馈练习：
比较下列各组数中两个值的大小：

1（ ）3.1
0.5
，3.1
2.3
；
2
?0.3
2< br>?0.24
（）（）,（）；

2
33

（3）2.3
?0.5
，0.2
?0.1
.

五、归纳小结，强化思想:
本小节的目的要求是掌握指数函数的概念、图象和性质．在理解指 数函数的定义的基
础上，掌握指数函数的图象和性质是本小节的重点．
1．数学知识点：指数函数的概念、图象和性质．
2．研究函数的一般步骤：定义→图象→性质→应用.
3．数学思想方法：数形结合，分类讨论的数学思想.
六、布置作业：
作业：教材
P
59
习题2.1第5、6、7、8．
思考：1．函数
y?a
x?2

?1(a?0,且a?1)
的图象必经过点___________．
x?1
2．解不等式：
()



1
2
?1
．