高中数学三角函数教案

高中数学三角函数教案


【篇一：高中数学必修4第一章三角函数完整教案】

第一章三角函数

4-1.1.1任意角（1）

教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概
念，学会在平面内建立

适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相
同的角”的含义。

教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义

教学难点：“旋转”定义角

课标要求：了解任意角的概念

教学过程：

一、引入

同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时 的运用仅限于计算
一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三
角函数也是 高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现
三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许 多数学问题，在
中学数学中有着非常广泛的应用。

二、新课

1．回忆：初中是任何定义角的？

（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概 念的优点
是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”

师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？

生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个
位置所成的图形。 师：如图1，一条射线由原来的位置oa，绕着它
的端点o按逆

o师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720” （即

转体2周），“转体 1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，
现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟， 又该如何校

正？ 生：逆时针旋转300；顺时针旋转300.

师： （1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第
二周、第三周??，则形成了更大范围内 的角，这些角显然超出了我
们已有的认识范围。本节课将在已掌握 角的范围基础上，重新给出
角的定义，并研究这些角的分类及记法．

2.角的概念的推广：

3．正角、负角、零角概念

师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，
如图2中的角为正角，它

00等于30与750；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，
那么同学们猜猜看，负 角怎么规定呢？零角呢？

生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任
何旋转，我们称它形成了一个零角。

4.象限角

师：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论

角，为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已

经经过预习，请一位同学回答什么叫：象限角？

生：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负

半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象

限，我们就说这个角是第几象限角。

师：很好，从刚才这位同学的回答可以知道，她已经基 本理解了“象
限角”的概念了。下面请大家将书上象限角的定义划好，同时思考这
么三个问题：

1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的
正半轴重合行 不行，为什么？

2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这
四个字？

3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？

处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。

答：1.不行，始边包括端点（原点）； 2．端点在原点上；

3．不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐< br>标轴上，就认为这个角不属于任一象限。

师：同学们一定要学会看数学书，特别是一 些重要的概念、定理、
性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。

师生讨论：好，按照象限角定义，图中的30，390，-330角，都是
第一象限角；30 0，-60角，都是第四象限角；5850角是第三象限角。

师：很好，不过老师还有几事 不明，要请教大家：（1）锐角是第一
象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？

生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；

师：（2）锐角就是小于900的角吗？

生：小于900的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；

00师：（3）锐角就是0～90的角吗？

学生练习（口答） 已知角的顶点与坐标系原点 重合，始边落在x轴
的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？

（1）4200； （2）-750； （3）8550； （4）-5100.

答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）
第三象限角.

5.终边相同的角的表示法

师：观察下列角你有什么发现? 390?-330?30?1470?-1770?

生:终边重合.

师:请同学们思考为什么？能否再举三个与30角同终边的角？

生：图中发现3900，- 3300与300相差3600的整数倍，例如，
3900=3600+300，-3300=-360 0+300；与30角同终边的角还有750，
-690等。

师：好！这位同学发 现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角
相差3600的整数倍。例如：7500=233600+ 300；-6900=-
233600+300。那么除了这些角之外，与300角终边相同的角还有：

333600+300-333600+300

0000

43360+30 00 -43360+30 00

??， ??，

6.例题讲评

例1 设e

={小于90o的角｝ f={锐角｝，g＝{第一象限的角｝，

，那么有（ d）．

（

） d．

a

．

例2用集合表示： b

． c．

（1）各象限的角组成的集合． （2）终边落在

（2）在

后，得

．

说明：一个角按顺、逆时针旋转

内的角，按顺逆时针旋转

例3 （1）如图，终边落在

（

（

）后与原来角终边重合，同样一个“区间”）角后，所得“区间”仍与
原区间重叠． ～

中，

轴右侧的角可记为

，

，故

，同样把该范围“旋转”

轴右侧角的集合为

位置，且在

＝k360o+120o ,k∈z }；终边落在

内的角的集合是_{－45oo终边落在阴影

部分（含边界）的角的集合

练习：

（1）请用集合表示下列各角．

①

～

间的角②第一象限角③锐角④小于

角． oooo

解答（1）①

； ②

；

③

（2）分别写出：

①终边落在

；④

轴负半轴上的角的集合； ②终边落在 轴上的角的集合；③终边落在
第一、三象限角平分线上的角的集合；

解答（2）①

； ②

； ③

； ④

．说明：第一象限角未必是锐角，小于

课本约定它包括

例4在

（1）

～

，但不包含

． 的角不一定是锐角，

～

间的角，根据间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第
几象限角 ；（2）

；（3）

．

解：（1）∵

∴与

（2）∵

∴与

（3）

所以与

角终边相同的角是

终边相同的角是

，它是第四象限的角； 角终边相同的角是

，它是第二象限角． 角，它是第三象限的角；

总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以

，按通常除去进行；负的角度除以

，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以
使余数为正值．

练习：

（1）一角为

，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为__．

a．

c．

（3）设

则相等的角集合为_b＝d，c＝e__．

三.本课小结

本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限 角的概念，要注
意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，本节
课的重点是学 习终边相同的角的表示法。 判断一个角

么

是第几象限角，只要把 改写成

与角

，

适合关系：

，

，那，

，oo轴正半轴上， b

．轴或

轴正半轴上， 轴正半轴或

，

轴上， d． 轴正半轴上

在第几象限， ，则 、

就是第几象限角，若角 与

终边相同；若角 适合关系：

则 、

终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关
系，可首先把

，

这种模式（

），然后只要考查

的相关它们化为：

四.作业: 问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习
本课内容的重要思想方法．

4-1.1.1任意角（2）

教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概
念，学会在平面内建立

适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相
同的角”的含义。

教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义

教学难点：“旋转”定义角

课标要求：了解任意角的概念

教学过程：

一、复习

师：上节课我们学习 了角的概念的推广，推广后的角分为正角、负
角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学叙 述一下
它们的定义。

生：略

【篇二：高中数学必修4第一章三角函数完整教案】


四、作业：

4-1.2.1任意角的三角函数（1）

教学目的：

知识目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义；

能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；

（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；

（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高
学生分析、探究、 解决问题的能力。

德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就
是角度（自变量）与

比值（函数值）的一种联系方式；

（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函
数的定义域和函数值在各

象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小
节的另一个重点。

们的集合形式表示出来.

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学
过程： 一、复习引入：

初中锐角的三角函数是如何定义的？

在rt△abc中，设a对边为a，b对边为b，c对边为c，锐角a的
正弦、余弦、正切依

次为sina=

aba

,cosa=,tana= ． ccb

角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数
重新定义。

它与原点的距离为r(r==

0)，那么

rryy

xxxx

yyrr

xx

（1）比值

（6）比值

2

r

无意义； y

yxyrxr

、、、、、分别是一rxrxyy

个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角
为自变量，一比值为

函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。 2．三角函数的定
义域、值域

注意：

(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.

.

.其余五个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函
数的定义的联系与区别:

锐角三角函 数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于
相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函
数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标
与坐 标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实
质上，由锐角三角函数的定义到任意角 的三角函数的定义是由特殊
到一般的认识和研究过程.

(5)为了便于记忆，我们 可以利用两种三角函数定义的一致性，将直
角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原 点重
合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函
数类比记忆. 3．例题分析

=，于是

rr

x2y3

rr；

x2y3

． 2

例2．求下列各角的六个三角函数值：

sin0=0，cos0=1， tan0=0，cot0不存在， sec0=1，csc0不存在。

2

22

0)，所以r=a|， x=a,y=2a

y ===

==

r5

x==r

；

24．三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：

y

对于第一、二象限为正（y0,r0），对于第三、四象限为负（y0,r0）；
rx

②余弦值对于第一、四象限为正（x0,r0），对于第二、三象限为负
（x0,r0）；

r

①正弦值

③正切值

y

对于第一、三象限为正（x,y同号），对于第二、四象限为负（x,y
异号）． x

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

为正全正

正弦、余割余弦、正割正切、余切

为正为正

5．诱导公式

由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。

即有：

三、巩固与练习

1 确定下列三角函数值的符号： （1）cos250； （2）sin(-2 求函
数y=

4

)； （3）tan(-672 )；（4）tan

． 3

cosxcosx

+

tanx

的值域 tanx

解： 定义域：cosx≠0 ∴x的终边不在x轴上

又∵tanx≠0 ∴x的终边不在y轴上

∴当x是第Ⅰ象限角时，x0,y0 cosx=|cosx| tanx=|tanx|
∴y=2????Ⅱ????,x0,y0|cosx|=-cosx |tanx|=-tanx ∴y=-2

x0,y0

????ⅢⅣ???, x |cosx|=-cosx |tanx|=tanx ∴y=0 0,y0

四、小 结：本节课学习了以下内容： 1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域；

3．三角函数的符号及诱导公式。 五、课后作业：

六、板书设计：

342

4-1.2.1任意角的三角函数（2）

教学目的：

知识目标：1.复 习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导
公式；2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三 角函数值；

3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对
三角函数的定义域、

值域有更深的理解。

德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学
精神； 教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。 教学难点：正弦、
余弦、正切线的利用。 授课类型：新授课 教学模式：讲练结合

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：

1．三角函数的定义及定义域、值域：

的终边上一点p(

4

解：由题设知x=y=

m，所以r2=|op|2=(2+

m2，得r=

=

m2

，解得m=

0或16=6+2m?m= ==

4r当m=

0时，r=x=

xy

rx

当m=

r=x=

xy；

4

x当m=

r=x=

2．三角函数的符号：

终边所在的象限；（3）试判断tan,sincos的符2222

号。

3．诱导公式：

练习3：求下列三角函数的值： （1）cos

)， （3）sin， （2）tan(-．

426

二、讲解新课：

当角的终边上一点p(x,y)=1时，有三角函数正弦、余弦、正切

值的几何表示——三角函数线。

1．单位圆：圆心在圆点o，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：

【篇三：高中数学必修4教学设计1.3三角函数的诱导
公式示范教案】


1.3三角函数的诱导公式

教学目的：

1、牢固掌握五组诱导公式；

2、熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明；

3、能运用化归思想解决与其它知识结合的综合性问题；

4、渗透分类讨论的数学思想，提高分析和解决问题的能力。

教学重点、难点

重点：熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明。

难点：诱导公式的推导、记忆及符号的判断。

教学过程：

一、复习引入：

2．诱导公式一及其用途：

二、讲授新课：

1、诱导公式二：

2、诱导公式三：

②在角度制和弧度制下，公式都成立；

③公式特点：函数名不变，符号看象限；

3

4

②在角度制和弧度制下，公式都成立；

③公式特点：函数名不变，符号看象限；

5

说明：②在角度制和弧度制下，公式都成立；

③公式特点：函数名变化，符号看象限

三、典型例题

解：（1）

sin960 =sin(960 -720 )=sin240 （诱导公式一）

=sin(180 +60 )=-sin60 （诱导公式二）

． =-2

（2）原式=sin(180 -60 )?cos(360 -30 )+sin(720 -690 )cos(720 -
660 )

+tan(675 -720 )+cot(765 -720 )

=sin60 cos30 +sin30 cos60 +tan(-45 )+cot45

11+?-tan45 +1 22

31=+-1+1=1 44

四、课堂练习：

课本第31页练习第1、2、3、4、7题

五、课堂小结

3．记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（k为奇数还是偶数）

4．利用五组诱导公 式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角
函数。其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为 终了”。

六、作业

课本第32页习题b组第1、2题

o