人教版高中数学全套教案导学案1.1.3

1．1．3解三角形的进一步讨论
（一）教学目标
1．知识与技能:掌握在 已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无
解等情形；三角形各种类型的判定方 法；三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会 综合运用正、余弦定理，
三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值： 通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数
的关系，反映了事物之间的必 然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事
物之间的内在联系。
（二）教学重、难点
重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
（三）学法与教学用具
学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。
教学用具：教学多媒体设备
（四）教学设想
[创设情景]
思考：在?
ABC中，已知
a
?22
cm
，
b
?25< br>cm
，
A
?133
0
，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边 的对角解三角形时，在某些条
件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
[探索研究]
例1．在
?
ABC中，已知
a
,
b
,
A
，讨论三角形解的情况
分析：先由
sin
B
?
则
C
?180
0
?(
A
?
B
)

从而
c
?
b
sin
A
可进一步求出B；
a
a
sin
C

A
1．当A为钝角或直角时，必须
a
?
b
才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果
a
≥
b
，那么只有一解；
如果
a
?
b
，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若
a
?
b
sin
A
，则有两解；
（2）若
a
?
b
sin
A
，则只有一解；
（3）若
a
?
b
sin
A
，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
b
sin
A
?
a
?
b
时，有两解；其它情况时则只有一解或无 解。
[随堂练习1]
（1）在
?
ABC中，已知
a
?8 0
，
b
?100
，
?
A
?45
0
，试判断此三角形的解的情况。

（2）在
?
ABC中，若
a
?1
，
c
?
1
，
?
C
?400
，则符合题意的b的值有
_____个。

2
（3）在
?
ABC中，
a
?
xcm
，
b
?2
cm
，
?
B
?45
0
，如果利用正弦定理解三角形有两解，求< br>x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）
2?
x
?22
）
例2．在
?
ABC中，已知
a
?7
，
b
?5，
c
?3
，判断
?
ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是直角??ABC是直角三角形
a
2
?b
2
?
c
2
?
A
是钝角??ABC是钝角三角 形

a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是锐角??ABC是锐角三角形
（注意：
A
是锐角??ABC是 锐角三角形
）
解：
7
2
?5
2
?3
2< br>，即
a
2
?
b
2
?
c
2
，
∴
?ABC是钝角三角形
。
[随堂练习2]
（1）在
?
ABC中，已知
sin
A
:sin
B
:sin
C< br>?1:2:3
，判断
?
ABC的类型。
（2）已知
?ABC满足条件
a
cos
A
?
b
cos
B，判断
?
ABC的类型。
（答案：（1）
?ABC是钝角三角形；（2）
?
ABC是等腰或直角三角形）
例3．在
?
ABC中 ，
A
?60
0
，
b
?1
，面积为
3
a
?
b
?
c
，求的值
2
sin
A?sin
B
?sin
C
111
分析：可利用三角形面积定理S
?
ab
sin
C
?
ac
sin
B< br>?
bc
sin
A
以及正弦定理
222
a
s in
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
?
a
?
b
?
c

sin
A?sin
B
?sin
C
13
解：由
S
?
bc
sin
A
?
得
c
?2
，
22则
a
2
?
b
2
?
c
2
?2< br>bc
cos
A
=3，即
a
?3
，
从而
a
?
b
?
c
a
??2
sin
A
?sin
B
?sin
C
sin
A[随堂练习3]
（1）在
?
ABC中，若
a
?55
，
b
?16
，且此三角形的面积
S
?2203
，求角C （2）在
?
ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积
S
?< br>（答案：（1）
60
0
或
120
0
；（2）
45
0
）
[课堂小结]
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。
a
2
?
b
2
?
c
2
4
，求角C

（五）评价设计（课时作业）
（1）在
?
ABC中，已知< br>b
?4
，
c
?10
，
B
?30
0< br>，试判断此三角形的解的情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3）在
?
ABC中，
A
?60
0
，
a
?1
，< br>b
?
c
?2
，判断
?
ABC的形状。
（4 ）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程
5
x
2
? 7
x
?6?0
的根，
求这个三角形的面积。