高中数学教案——函数的连续性

高中数学教案 (选修Ⅱ)第2章极限（第10课时）
课 题：
2.5函数的连续性

教学目的：
1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一
点是否连续.
2.要会说明函数在一点不连续的理由.
3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义.
4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理
教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件．
教学难点： 借助几何图象得出最大值最小值定理．
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节教学知识点有函数在一 点连续满足的三个条件，函数在一点连续概念，
函数在开区间和闭区间连续的定义，函数在闭区间上有最 大、最小值的定义，
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高中数学教案 (选修Ⅱ)第2章极限（第10课时）
最大最小值定理 函数的连续性是建立 在极限概念基础上的，又为以后微积
分的学习做铺垫，它是承上启下的.函数在一点连续必须满足三个条 件，这是要
学生重点掌握的内容.函数在区间连续的定义也是建立在一点连续的基础上的.
借助 函数的几何图象得到闭区间上连续函数的一个性质，即最大值最小值定理.
函数在一点连续必须满足三 个条件，缺一不可.如何得出这三个条件，可以借助
函数图象，让学生观察、总结出来.同样借助几何图 象得出最大值最小值定理.
在学生已掌握极限概念的基础上，并通过分析函数图象，让学生主动地总< br>结出函数在一点连续的三个条件及概念.以及通过区间是由点组成的，进行概念
的顺应，得出函数 在区间上连续的概念.让学生主动地学习.
教学过程：
一、复习引入：
1.< br>limf(x)?a?lim
?
f(x)?lim
?
f(x)?a
x?x
0
x?x
0
x?x
0
f(x)?a< br>表示当
x
从左侧趋近于
x
0
时的左极限，
lim?
f(x)?a
表其中
lim
?
x?x
0
x? x
0
示当
x
从右侧趋近于
x
0
时的右极限
2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函
数，不同的是函数的 定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个
一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰 到这种情况.比如温度计的水银柱高
度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况 ；再比如
邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是
8毛 钱邮票，21克~30克是1元，31克~40克是1.2元)等等.这就要求我们去研
究函数的连续与 不连续问题
二、讲解新课：
1.观察图像 如果我们给出一个函数的图象，从直观上看， 一个函数在一点
x=x
0
处连续，就是说图象在点x=x
0
处是不中 断的.下面我们一起来看一下几张函
数图象，并观察一下，它们在x=x
0
处的连续情 况，以及极限情况.

分析图，第一，看函数在x
0
是否连续.第二，在x
0
是否有极限，若有与f(x
0
)
的值关系如何：
图(1 )，函数在x
0
连续，在x
0
处有极限，并且极限就等于f(x
0< br>).
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高中数学教案 (选修Ⅱ)第2章极限（第10课时）
图(2)，函数在x
0
不连续，在x
0
处有极限，但极限不等于f(x
0
)，因为函数在
x
0
处没有定义.
图(3)，函数在x
0
不连续，在x
0
处没有极限.
图( 4)，函数在x
0
处不连续，在x
0
处有极限，但极限不等于f(x
0
)的值.
函数在点x=x
0
处要有定义，是根据图(2)得到的，根据图 (3)，函数在x=x
0
处要有极限，根据图(4)，函数在x=x
0
处的极 限要等于函数在x=x
0
处的函数值即
f(x
0
). 函数在一点连续必须满足刚才的三个条件.
.函数f(x)在点x=x
0
处连续必须满足下面三个条件.
(1)函数f(x)在点x=x
0
处有定义；
(2)
lim
f(x)存在；
x?x
0
(3)
l im
f(x)=f(x
0
)，即函数f(x)在点x
0
处的极限值等 于这一点的函数值.
x?x
0
如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f( x)在点x
0
处不连续.那
根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义．
lim
f(x)存在，2. 函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在点x=x
0
处有定义，
x?x
0
且
lim
f(x)=f(x
0
)，那么函数f(x)在点x=x
0
处连续.
x?x
0
由第三个条件，
lim
f(x)=f(x
0
)就可以知道
limf(x)是存在的，所以我们下定
x?x
0
x?x
0
义时可以再 简洁一点. 函数f(x)在点x
0
处连续的定义.
如果函数y=f(x)在点x= x
0
处及其附近有定义，并且
lim
f(x)=f(x
0
) ，就说函
x?x
0
数f(x)在点x
0
处连续.
那怎么根据在一点连续的定义来定义在一个开区间(a，b)内连续的定
义． 区间是由点构成的，只要函数f(x)在开区间内的每一个点都连续，那么它
在开区间内也就连续了.
3.函数f(x)在(a，b)内连续的定义：
如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内 每一点处连续，就说函数f(x)在开区间
(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续 函数.
f(x)在开区间(a，b)内的每一点以及在a、b两点都连续，现在函数f(x)的定义域是［a，b］，若在a点连续，则f(x)在a点的极限存在并且等于f(a)，即在a
点的左 、右极限都存在，且都等于f(a)， f(x)在(a，b)内的每一点处连续，在a
点处右极限存在 等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b).
4.函数f(x)在［a，b］上连续的定义：
如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有
lim
f(x)=f( a)，在右端
?
x?a
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高中数学教案 (选修Ⅱ)第2章极限（第10课时）
点x=b处有
lim
f (x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间
?
x? b
［a，b］上的连续函数.
如果函数f(x)在闭区间［a，b］上是连续函数，那它的图象肯定是一条连续
曲线.

我们来看这张图，它是连续的，在a、b两点的值都是取到，所以它一定
有一个最高 点和一个最低点，假设在x
1
这点最高；那么它的函数值最大，就是
说［a，b］区间 上的各个点的值都不大于x
1
处的值，用数学语言表示就是f(x
1
)
≥f(x)，x∈［a，b］，同理，设x
2
是最低点，f(x
2
)≤f( x)，x∈［a，b］.
5.最大值
f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于 任意x∈［a，b］，
f(x
1
)≥f(x)，那么f(x)在点x
1
处有最大值f(x
1
).
6.最小值
f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，

f(x
2
)≤f(x)，那么f(x)在点x
2
处有最小值f(x
2
).
由图我们可以知道，函数f(x)在［a，b］上连续，则一定有最大最小值，这
是闭 区间上连续函数的一个性质.最大，最小值可以在(a，b)内的点取到，也可
以在a，b两个端点上取 到.
7.最大值最小值定理
如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x) 在闭区间［a，b］上有
最大值和最小值
我们现在已经学习了函数在一点连续的定义，和需 要满足的三个条件，下
面看两个例子，看在给定点处是否连续，都要说明理由的
三、讲解范例：
例1 讨论下列函数在给定点处的连续性.
(1)f(x)=
1
，点x=0. (2)g(x)=sinx，点x=0.
x
分析：我们如果要很直观地看在给定点是否连续，画图方法最方便．
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高中数学教案 (选修Ⅱ)第2章极限（第10课时）

我们已经画出了两个函数的图象了.从图中，我们可以直接看出在x=0处函
数连续的情况，
函数f(x)=
11
在点x=0处不连续，因为函数f(x)=在点x=0处没有定义 .
xx
函数g(x)=sinx在点x=0处连续，因为函数g(x)=sinx，在x=0 及附近都有定
义，
lim
sinx存在且
lim
sinx=0而si n0=0.
x?0x?0
解：(1)∵函数f(x)=
1
在点x=0处没有定义 ∴它在点x=0处不连续.
x
解：(2)∵
lim
sinx=0=sin0 ，∴函数g(x)=sinx在点x=0处是连续的.
n?0
点评：写g(x)=sinx在 点x=0处连续只要把第三个条件写一下就可以，因为
它已经包含前两个条件了，我们已经知道函数在一 点连续的定义了．
例2 求f(x)=x x∈［－1，1］的最大值和最小值．
解：最大值 f(1)=1；最小值 f(－1)=－1．
四、课堂练习：
1．下面我们直接从图中，观察函数x=a处是否连续，并说出理由.

（1） （2） （3） （4）
（1）连续.因为函数在点x=a处有定义，极限存在， 并且极限值等于在
a点的函数值.(如图(1))
(2)不连续.因为函数在x=a处的极限值不等于在x=a处的函数值.(如图(2))
(3)连续.因为函数在点x=a处，有定义，有极限，极限值等于函数值.(如图(3))
(4)不连续.因为函数在x=a处没有极限.(如图(4))
(5)不连续.因为函数在x=a处没有定义.(如图(5))
（5）

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高中数学教案 (选修Ⅱ)第2章极限（第10课时）
2.利用下列函数的图象，说明函数在给定点处是否连续.
(1)f(x)=
1
，点x=0
2
x
解：∵f(x)在x=0处没有定义. ∴f(x)在x=0处不连续.
(2)f(x)=|x|.点x=0
解：∵
lim
f(x)=0=f(0) ,
∴
f(x)在x=0处连续.
x?0

?
1
?
3
(x?5) ?4?x??1
?
3.已知函数
f(x)?
?
|x| ?1?x?2

?
x
2
?4x?6 2?x?3.5
?
?
(1)求f(x)的定义域；(2)作出f(x)的图形；(3)判断f(x)是否处处连 续.
解：(1)f(x)的定义域是［－4，3.5］.
(2)f(x)的图象如图所示.


(3)由f(x)的图象可知，在定义域［－4，3.5］上，f(x)在点x= －1处不连续，因
为f(x)在x=－1处没有极限.
点评：分段函数的定义域是其各段定义 域的并集，易知基本初等函数在其
定义域内都是连续的，因此分段函数在其各段内也是连续的，重点应判 断各段
的交界处是否连续，对这些点应用连续的定义判断，凡其图象在某点处断开，
则函数在该 点处不连续.
4.利用函数的连续性求下列极限.
3
x?1
1?e
x
lim
(1)
lim
(lgx+3lgx+4)；(2)
lim
，(3)
x?1
x?10
x?0
1?e
x
x?1
2
初等函数(比如x;α常数，指数函数、对数函数、正弦函数等等)在其定义
域里每 一点处的极限值等于该点的函数值，因为初等函数在其定义域内是连续
的，这样就可以求初等函数的极限 了.(1)(2)可以用此法求解，(3)中，由于在x=1
处不连续，所以不能直接用
lim
f(x)=f(x
0
)来求极限，可以设法约去分子、分母的
x?x
0
α
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高中数学教案 (选修Ⅱ)第2章极限（第10课时）
公因式，再求极限.
解：(1 )由于lg
2
x+3lgx+4在x=10处连续.因此
lim
(1g
2
x+3lgx+4)=lg
2
10+3lg10+4=8.
x?10< br>1?e
x
1?e
x
1?e
0
1?1
(2)由 于在x=0处连续，因此
lim???0
．
x?0
1?e
x
1?e
x
1?e
0
1?1
3
(3)由于
x?1< br>在x=1处不连续.
x?1
36
x?1(
6
x?1)(6
x?1)x?1
?lim?lim
因此
lim

22
6
x?1
x?1
6
x?1
6
66
x?1< br>(x?1)(x?x?1)x?x?1
(x=1点为此函数的连续点)
?
6
1?12

?
6
1?1?1
3
6
五、小结 ：这节课主要学习了函数在 一点连续的定义，以及必须满足的三个条
件：①函数f(x)在点x=x
0
处有定义. ②
lim
f(x)存在.③
lim
f(x)=f(x
0
). 还有函数在开
x?x
0
x?x
0
区间，闭区间上连续的定义.以及闭 区间上连续函数有最大值.最小值的定义和最
大值最小值定理
六、课后作业：
1.
七、板书设计（略）
八、课后记：
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