高中数学立体几何三视图和体积视频-南昌高中数学大学生家教时薪

曲线的参数方程
教材
上海教育出版社高中三年级(理科)第十七章第一节
教学目标
1、理解曲线参数方程的概念,能选取适当的参数建立参数方程;
2、通过对圆和直线的参数方程的研究,了解某些参数的几何意义和物理意义;
3、初步了解如
何应用参数方程来解决某些具体问题,在问题解决的过程中,
形成数学抽象思维能力,初步体验参数的基
本思想。
教学重点
曲线参数方程的概念。
教学难点
曲线参数方程的探求。
教学过程
(一)曲线的参数方程概念的引入
引例:
2002年5月1日,中国第一座身高108米的摩天轮,在上海锦江乐园正式
对外运
营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列,居亚洲第一。
已知该摩天轮半径为51.5米,逆时
针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示,
某游客现在
P
0
点(其中
P
0
点和转轴
O
的连线与水平面平行)。问:经过
t
秒,该
游客的位置在何处?
引导学生建立平面直角坐标系,把实际问题抽象到数学问题,并加以解决
(1、通过生活中的
实例,引发学生研究的兴趣;2、通过引例明确学习参数
方程的现实意义;3、通过对问题的解决,使学
生体会到仅仅运用一种方程来研
究往往难以获得满意的结果,从而了解学习曲线的参数方程的必要性;4
、通过
具体的问题,让学生找到解决问题的途径,为研究圆的参数方程作准备。)
(二)曲线的参数方程
1、圆的参数方程的推导
(1)一般的,设⊙
O<
br>的圆心为原点,半径为
r
,
OP
0
所在
直线为
x
轴,如图,以
OP
0
为始边绕着点
O
按逆时针方向绕原
点以匀角速度
?
作圆周运动,则质点
P
的坐标与时刻
t的关系
该如何建立呢?(其中
r
与
?
为常数,
t
为变数)
结合图形,由任意角三角函数的定义可知:
?
x?rcos
?
t
t?[0,??)
t
为参数 ①
?
y?rsin
?
t?
(2)点
P
的角速度为
?
,运动所用的时间为
t,则角位移
?
?
?
t
,那么方程
第1页 共5页
组①可以改写为何种形式?
?
x?rcos
?
结合匀速圆周运动的物理意义可得:
?
?
?[0,??)
?
为参数 ②
?
y?rsin
?
(在引例的基础上,
把原先具体的数据一般化,为圆的参数方程概念的形成作
准备,同时也培养了学生数学抽象思维能力)
(3)方程①、②是否是圆心在原点,半径为
r
的圆方程?为什么?
由上述
推导过程可知:对于⊙
O
上的每一个点
P(x,y)
都存在变数
t<
br>(或
?
)的值,
使
x?rcos
?
t
,y?rsin
?
t
(或
y?rsin
?
,
x?
rcos
?
)都成立。
对于变数
t
(或
?
)的每
一个允许值,由方程组所确定的点
P(x,y)
都在圆上;
(1、对曲线的方
程以及方程的曲线的定义进行必要的复习;2、学生从曲线
的方程以及方程的曲线的定义出发,可以说明
以上由变数
t
(或
?
)建立起来的
方程是圆的方程;)
(
4)若要表示一个完整的圆,则
t
与
?
的最小的取值范围是什么呢?
?
x?rcos
?
t
?
x?rcos
?
2
?
?
?
t?[0,
)
,
?
?
?[0,2
?
)
y?rsin
?<
br>ty?rsin
?
?
??
(5)圆的参数方程及参数的定义
我们把方程①(或②)叫做⊙
O
的参数方程,变数
t
(或
?
)叫做参
数。
(6)圆的参数方程的理解与认识
?
x?3cos
?
?
x?3cos
?
?
(ⅰ)参数方程
?
?
?[0,2
?
)
与
?
?
?[0,]
是否表
2
?
y?3sin
?
?
y?3sin
?
示同一曲
线?为什么?
(ⅱ)根据下列要求,分别写出圆心在原点、半径为
r
的圆的部分圆弧
的参
数方程:
①在
y
轴左侧的半圆(不包括
y
轴上的点);
②在第四象限的圆弧。
(通过具体问题的解决,加深对圆的参数方程的理解与认识,体会到参
数的
取值范围也是圆的参数方程的重要组成部分;并为曲线的参数方程的定义及其理
解与认识作
铺垫。)
(7)曲线的参数方程的定义
(ⅰ)一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C
上任意一点的坐标
x
、
y
?
x?f(t)
都
是某个变数
t
的函数
?
(t?D)
③,并且对于
t<
br>的每一个允许值,
y?g(t)
?
由方程组③所确定的点
P(x,y)
都在这条曲线
C
上,那么方程组③就叫做这条曲
线的参数方程。变数
t
叫做参变量或参变数,简称参数。
(ⅱ)相对于参数方程来说,直接给出曲线上点的坐标<
br>x
、
y
间关系的方
程
F(x,y)?0
叫做曲线的普
通方程。
(8)曲线的参数方程的理解与认识
(ⅰ)参数方程的形式;
(横、纵坐标
x
、
y
都是变量
t
的函数,给出一个
t
能唯一的求出对应的
x
、
y
的
值,因而得出唯一的对应点;但横、纵坐标
x
、
y
之间的关系并不
一定是函数
关系。)
第2页 共5页
(ⅱ)参数的取值范围;
(在表述曲线的参数方程时,必须指明参数的取值范围;取值范围的
不同,
所表示的曲线也可能会有所不同。)
(ⅲ)参数方程与普通方程的统一性;
(普通方程是相对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变量
x
与
y
之间的<
br>直接联系,而参数方程是通过变数反映坐标变量
x
与
y
之间的间接联系
;普通方
程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式;参数方程可以与普通方程进行互
化。)
(ⅳ)参数的作用;
(参数作为间接地建立横、纵坐标
x
、
y之间的关系的中间变量,起到了桥
梁的作用。)
(ⅴ)参数的意义。
(如果参
数选择适当,参数在参数方程中可以有明确的几何意义,也可以有
明确的物理意义,可以给问题的解决带
来方便。即使是同一条曲线,也可以用不
同的变数作为参数。)
(三)巩固曲线的参数方程的概念
例题1:
(1)质点
P
开始位
于坐标平面内的点
P
0
(3,1)
处,沿某一方向作匀速直线运
动
。水平分速度
v
x
?3
厘米秒,铅锤分速度
v
y
?
1
厘米秒,
(ⅰ)求此质点
P
的坐标与时刻
t
(秒)的关系;
(ⅱ)问5秒时质点
P
所处的位置。
?
(2)写出经过定点
P(3,1)
,且倾斜角为的直线
l
的参数方程。
6
问题:作出
例题1中两小题的直线图像,判断它们的位置关系;从中你能得到
什么启示呢?
(第一
小题通过运动质点的位置与时间有关建立表现质点位置的参数方程;
第二小题通过选取适当的参数建立直
线的参数方程;从而使学生了解参数的选取
有多种方法,同一曲线可以由不同的参数方程来表示。) <
br>例题2:已知点
A(x,y)
在圆
C
:
x
2
?y
2
?4
上运动,求
x?y
的最大值。
(通过普通方程化为参数方程求得函数的最值,使学生初步体验参数方程的
作用与意义。)
(四)课堂小结
1、知识内容:知道圆的参数方程以及曲线参数方程的概念;能选取适当的参
数建立参数方程;通过对圆和直线的参数方程的研究,理解其中参数的意义。
2、思想与方法:参数思想。
(引导学生回顾本节课的学习过程,小结与交流学习体会,包括
数学知识的获
得,数学思想方法的领悟。)
(五)作业
课本
P
7
,练习17.1(1),第2、3题。
(六)思考
(1)若圆的一般方程为
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
,你能写出它的一个参数方程
吗?
(2)针对引例中的实际情况,游客总是从摩天轮的最低点登上转盘。若某游
第3页
共5页
客登上转盘的时刻记为
t
0
,则经过时间
t
该游客的位置在何处?在引例所建立的
坐标系下,你能否通过建立相对应的参数方程
,并得到游客的具体位置呢?
教学设计说明
一、教材分析
本节课所用的教材是由上海教育出版社出版的上海市高中三年级(理科)数
学课本,内容为第十
七章第一节,第一课时。
“参数方程和极坐标方程”这一章节内容是在“圆锥曲线”这一章的基础上<
br>进一步展开研究曲线的方程。学习曲线的参数方程是为了进一步探讨直线、圆锥
曲线的性质,也是
进一步学习数学、运动学的基础,它在生产实践中有很多实际
的应用。本章主要学习参数方程的基本概念
、基本原理、基本方法,因此在教学
中要求应适当,难度要控制,基本应以课本例题与习题为主。 通过本章节的教学应使学生感悟到现实世界的问题是多种多样的,仅用一种
坐标系,一种方程来研究
各种不同的问题是不适合的,有时难以获得满意的效果。
参数方程有其自身的优越性,学习参数方程有其
必要性。通过学习参数方程的有
关概念,以及方程之间、坐标之间的互化,使学生感悟到坐标系及各种方
程的表
示方法是可以视实际需要,主观能动的加以选择的。
“曲线的参数方程”为本章节的第
一部分。主要让学生了解参数方程的有关
概念,通过探索圆锥曲线的参数方程初步掌握求曲线的参数方程
的方法,并且在
此基础上进行参数方程与普通方程的互化及其简单应用。
二、教学目标设计
根据以上分析,本节课设置的教学目标为:
1、理解曲线参数方程的概念,能选取适当的参数建立参数方程。
2、通过对圆和直线的参数方程的研究,了解某些参数的几何意义和物理意义。
3、初步了解如
何应用参数方程来解决某些具体问题,在问题解决的过程中,
培养数学抽象思维能力,初步体验参数的基
本思想。
三、教学过程设计
我校是上海市示范型高中,我校的学生数学基础良好,思维活跃
,具备一定
的分析问题和自主探究能力。因此在教学设计中强调学生的自主探究,强调数学
思想
方法的渗透与运用,希望加深学生对知识本质的理解。
本课设置如下教学环节以体现重点,突破难点,实现教学目标。
1、作为曲线的参数方程的概
念课,一味的灌输是不可取的。而是要让学生
体会到为什么要建立曲线的参数方程,感受其产生的必要性
、合理性以及可行性。
因此,由“摩天轮”这一生活中的实例引入,一方面使学生了解参数方程是基于<
br>生产、生活发展的实际需要而产生的,在引发学生研究的兴趣时,通过对问题的
解决,使学生体会
到仅仅运用一种方程来研究不同的问题不一定方便,往往难以
获得满意的结果,从而了解研究曲线的参数
方程的必要性;另一方面通过具体问
题的解决,找到解决问题的途径,也为圆的参数方程的研究作必要的
准备。
2、由特殊到一般,从具体到抽象。以“引导设问”为主线,学生通过对问
题的思考
和解答,体验学习过程,自主探索和获取知识,从而得到圆的参数方程。
同时在探索的过程中也提高学生
的数学抽象思维能力。
3、作为一堂概念课,学生对于概念的理解必须精确,深入,为后续课程打<
br>下扎实的基础,教师必须在这一环节进行深入的分析。
因此,在圆以及曲线的参数方程的概念引入之后,针对参数方程的形式、
第4页 共5页
参数的取值范围、参数方程与普通方程的统一性、参数的作用以及参数的意义
进
行深入的理解与探讨。通过这一环节,学生活跃的思维逐步从感性上升到理性;
同时,对于概
念的理解得到巩固与深化。
通过加强师生交流、关注学生思维,把握课堂教学重点,让学生体验知识产
生的原因,发展的过程及其应用的价值。
4、在本节课中,设计了适当的练习与例题。一方面
可以巩固学生对曲线的参
数方程概念的理解认识;另一方面通过简单的应用,使学生体会曲线的参数方<
br>程的作用及意义。
教学中通过教师的适当引导、启发,同时大胆地放手由学生自主探究、及时<
br>激励学生以体验问题解决的成功喜悦。
5、 本节课的小结并不是由教师代为整理归纳,而是引
导学生自主回顾本节
课的学习过程,交流学习体会,包括数学知识的获得,数学思想方法的领悟,对学会学习、学会思考的感想等。一方面可以在学生交流的过程中及时发现问题并
加以纠正;另一方面
也锻炼了学生对知识的梳理和概括能力。
6、作为课堂教学的延续,两道思考题可让学生在课后进行自
主探究,同时也
为后续的参数方程与普通方程的互化以及参数方程的应用作准备。
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