人教版高中数学《数学归纳法》教学案例

《数学归纳法》教学案例（第一课时）

一、设计思想：
根据新课程标准的基本理念-----倡导积极主动、勇于探索的学习方式，设置恰当的
教学情 景，并通过亲自动手做实验（多米诺骨牌实验），感受事实，发现本质，提高数学
的学习兴趣，体会数学 推理的严谨性，发展学生的数学思维能力。
二、教材分析：
本内容在选修2-2模块中的“ 推理与证明”这一章中，它的要求是：了解数学归纳法
的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 。另外,数学归纳法内容抽象,思想新颖,
通过对该部分的学习,对培养学生的逻辑思维能力与创新能力 ,全面提高学生的数学素质
有十分重要的意义.
三、学情分析：
学生在此之前，已了解合情推理和演绎推理，并能用归纳和类比等进行简单的推理 ，
他们虽 然知道从特殊的几个事例推出一般结论不一定合理，但对如何为什么不一定明白。
再就是数学归纳法原理 的理解上有一定困难 ，这就要教师创设教学情景，让学生经历数
学发现、实验、观察，共同交流合作，寻求解决问题的办法。
四、教学目标：
（1）知识与技能：了解“归纳法”和“数学归纳法”的原理；体会用数学归 纳法证
明的合理性；学会用“数学归纳法”证明的“两个步骤一个结论”的书写格式；初步掌握
用“数学归纳法”证明简单的恒等式的方法。
（2）过程与方法：通过列举具体事例，亲自操作并仔 细观察多米诺骨牌实验，发现
数学归纳法的基本原理，将感性认识上升到理性认识，类比归纳出“数学归 纳法”的基本
步骤。

（3）情感、态度与价值观：培养大胆猜想， 严格论证的辩证思维素质，感受数学推
理的严谨性，培养学生对于数学内在美的感悟能力，提高学生学习 数学的兴趣。
五、教学重点与难点：
（1）重点：对“数学归纳法”的原理的理解，明白“ 两步一结论的重要性”，特别是第
一第二步的辨证关系的理解。
（2）难点：如何理解用“数学归纳法”证题的可靠性和有效性。
六、教学策略与手段： < br>数学实验法，引导发现法、感性体验法，学生合作交流、自主探索，再配合教师适
时的引导、点拨 、启发，从而使学生获得知识和能力上的发展。
七、课前准备：
学生看书，复习回忆等差数 列和等比数列通项公式的推导过程；上网查找多米诺骨牌
游戏的有关资料，并拷入优盘有待上课时老师选 用。
教师准备教具：制作幻灯片，多米诺骨牌尽可能多一些，还有各种颜色的乒乓球若干，
一 个有盖纸盒。
八、教学过程设计：
教师提出问题：
大家还记得以前学等差数列的 时候它的通项公式
a
n
?
a
1
?
?
n?1
?
d
是怎样得到的吗?
我现展示给大家看：

a
1
?a
1
?0d


a
2
?a
1
?d?a
1
?1d


a
3
?a
2
?d?a
1
?2d


a
4
?a
3
?d?a
1
?3d

……
由此可知：
a
n
?a
1
?
?n?1
?
d
（
n?N)
（这是书上的写法）
?

师问：它是用什么方法得到的？（学生七嘴八舌议论开）
引入归纳法定义：
像这样，由特殊事例得到一般结论的推理方法叫做归纳法.即“由特殊到一 般”的推理方
法叫归纳法。
提出质疑：
同学们一直在用这通项公式,有没有谁对由这种归纳法得到的这一结论产生过怀疑?
我先给大 家讲一个笑话：“从前，有个财主给他的儿子找了一个老师，第一天老师划
了一横，说这是一个“一”字 ，第二天老师划了两横，说这是一个“二”字，到了第三天，
财主儿子想今天老师一定会教“三”字，就 预先在纸上划了三横，果然这天先生划了三横，
说这是“三”字。于是财主儿子就得出了一个结论：第四 天、第五天、……那一定是四横、
五横……所以就对财主说：“爸爸，你用了着请老师了，我什么都会了 。”于是财主很高兴，
就把老师给辞退了。过了几天，财主要请一个姓万的亲戚吃饭，就叫儿子写请贴， 可是等
了半天，也不见儿子出来，财主就亲自到房间去催，只见儿子趴在地上，满头大汗，一见
到财主就抱怨说：“什么不好姓，干么姓万，从大清早到现在，我才划了五百多横呢？”
这虽然是一则 笑话，可财主的儿子怎么会得出“第四天、第五天、……那一定是四横、
五横……”的结论呢？这里用的 就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误
的。
因此，由归纳法得出的结论有可能是错误的，上面就是一个例子。
请问：现在你们会怀疑由归纳法得出的等差数列通项公式的正确性吗？
思考几个问题：
问题1、我这里有一个有盖纸盒（上有一个只能放进手的孔），里面装了若干10个乒乓球，
第一次拿出一个黄色球展示给学生看，第二次、第三次、第四次都拿出的是黄色球，
于是我说，第五次我拿出的也肯定是黄色球。
问题 2：数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
?(n
2
?5n?5)
2
, 经计算

a
1
?1,a
2
?1,a
3
?1,a
4
?1
，于是，推测数列{
a
n
}的 通项公式为：
a
n
＝(n
2
-5n+5)
2
＝1
问题3：数列为{2,4,8,16}，则它的通项公式为
a
n
=2 (n≤4，n∈
N
n
?
)
问题4：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2?180°，五边形的内 角和
为3?180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) ? 180°。
师问：以上四个结论正确吗？为什么? （1错，2错，3对、4对）
（学法：让学生分小组 （前后四人）展开讨论，三分钟后再请部分小组代表说出讨论
结果。对第3小题，学生说对的，初中学过 。那我问初中证明过吗？它一定正确吗？为什
么？这时候学生茫然了？难道这也会有问题吗？激起了学生 强烈的求知欲望，有的学生就
迫不及待的想知道是怎么证的。我说，且慢，等上完这堂课你们自己就会证 明了。）
得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点？（学生思考并回答）
共同点：它们用的都是归纳法，即“由特殊到一般”的推理方法
不同点：问题1、2仅仅是对
n
的允许值中的部分值进行了验证，问题3则是对
n
的所有
取值进行 了验证。
这样，归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法。(板书两个定义)
请问，你对上 面财主儿子识字所进行的推理方法有何说法？是哪一种归纳法？他的结
论正确吗？是什么导致了他结论不 正确呢？（是因为他用的是不完全归纳法，他只考察了
部分对象，部分不能代替全部。）
问：完全归纳法得到的结论，是否一定是正确的？(正确)
不完全归纳法得到的结论，是否一定是正确的？（不一定）
你们能各举一个例子吗？生活中的，试一试。（大家议论开了）
既然用不完全归纳法得出的一 般性结论不一定是正确的，它只是一种猜想、推测或估
计，所得结论有可能是正确的，也可能是错误的。 如果你说结论是错误的，可举反例去说
明；如果你说结论是正确的，有理论作支持吗？你有什么理由说明 或证明它的正确性？如
上面的等差数列通项公式及三角形内角和公式，我们是由不完全归纳法得出的结论 ，它的

正确与否我们还没有证明。你们说，我们有办法证明它吗？什么办法？ （提出问题，激起
求知欲望，同学们跃跃欲试的样子）
有的同学说用完全归纳法。你说一定可 行吗？如果说考察的对象的个数有限或较少还
可以，，若个数无限呢？你不可能一一去验证。怎么办？问 题出现了，我们就要寻找解决
问题的办法。今天我们能不能通过自己的努力，去探索，去发现解决问题的 办法呢？我们
先从一个实验开始。
多米诺骨牌实验：
请两个同学上来共同操作这个 实验，大家注意他们怎么摆又如何使你只要推倒一块就
能让他们全部倒下。（看得出来学生兴奋，都争着 上来做实验，其余同学仔细观察思考）
大家看到了，他们用手指轻轻一碰，第一块骨牌就倒下了，第一 块倒下碰到第二块，
第二块也随之倒下，第二块碰着第三块，第三块也倒下，……这样呢，一块接着一块 ，正
如我们意料中的一样，所有的骨牌都倒下了。这个实验给我们什么启示？（如果，我不推
倒 第一块，会怎样？如果当中某一块倒下并没有碰倒它后面一块，情形又会怎样？）
同学们想一想：多米诺骨牌实验成功需要满足的条件是什么?（提取本质性的要素）
初始条件:(1)第一张牌被推倒；
递推条件:(2)假设某一张牌倒下,则其后面的一张牌也必定倒下.（要注意牌之间的距
离）
框链图如下：
第一张牌

被推倒
利用(2)
第二张牌
利用(2)
被推倒
第三张牌
被推倒

利用(2)
……
研究性学习：
引导学生用类比的方法将多米诺骨牌成功的原理进行迁移、升华,进而得到数学归
纳法的定义.
这个实验成功的条件让我们想起了什么？能不能与前面想要证的数学命题联系起

来？命题中的正整数
n
的值可以是有限个，也可以是无限个，那这里的牌我们也可以摆 几
张，也可以摆很多很多，见过电视中多米诺骨牌游戏比赛吗？现请大家用类比的思想，把
实验 成功的条件迁移到数学命题的证明上来。看谁能类比成功？）
类比结果为：
(1)当
n
=1时,命题成立;
(2)假设当
n?k
时命题成立,则
n?k?1
时命题也必定成立.
框链图如下：


当时
n
=1时
命题成立
利用(2)
利用(2)
n=2时命题
利用(2)
成立
n=3
时命题
成立
……
（用类比的手法将一张“牌”对应一个“命题”，某张“牌”倒下“对应某个”命题成立,
< br>符合知识的迁移规律,便于学生接受.）如果第（1）、（2）两步都完成后，我们就可以说，
这 个命题对任意正整数
n
都成立。怎么样，我们是不是找到了解决问题的办法了？这种方
法，我们给它取个名字叫数学归纳法。
学生自学：
现请同学们先自学教科书，结合看书，再思考以下问题：
（1）数学归纳法能证明什么样类型的命题？
（2）用数学归纳法证明时有几个步骤？
当两步骤完成后就可以下结论说，命题对一切正整数
n
都成立了，你能理解吗？
（3）这些步骤缺一不可吗？为什么？你能举例说明吗？
（4）你们能领会到数学归纳法的实质吗？
（5）你认为用数学归纳法证明三角形内角和公式时第一个取值
n
0
是多少？
（学生用8分钟的时间看书和思考上述问题）
用数学归纳法证题的步骤： (板书略)
强调这两步缺一不可，让学生来解释为什么。（第一步是归纳的基础，第二步是递推

的依据）。
你们能举出反例吗？书上有反例
2?4?6???2n?n?n? 1
，可以证明此式对第
二步是成立的，但显然
n?1
时就不成立，那它就成了 无本之木，无源之水了，这显然也
是达不到证明目的的。（举反例也是一种能力，它需要适时的培养和锻 炼）
数学归纳法的基本原理：是用递推的思想（通过递推的基础和递推的依据这两步）代替
无 限次的验证过程，它把动态的无限次验证转化为静态的两步，实现了从无限到有限，从
繁杂到简单的转化 。这也是数学归纳法的实质所在。
讨论：现在请同学们写出每行的值，并由此能得出什么结论？能不能猜想一下？
例：由下表






1
1＋3
















2
1＋3＋5
1＋3＋5＋7
……
2

?



猜想：1＋3＋5＋…＋（2n?1）＝n，(n?
N
)
此法是什么方法？ （不完全归纳法），请证明你的猜想。（学生自己先做，然后请一个同学
说老师板书全过程，起示范作用 ）
证明：（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1 ?等式成立
（2）假设当n=k（k ?
N
）时，等式成立，即
1＋3＋5＋…＋（2k?1）＝k
2

?

则当
n
=
k?1
时，左边=1＋3＋5＋…＋（2k?1 ）+2（k+1）
?1

＝k+(2k+1)=(k+1)
22


?



?当n=k+1时，等式也成立
根据（1）（2），可知等式对任意n?
N
都成立。

问 ：把
n
=
k?1
时式子的左边不用归纳假设，而是直接
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)= (k+1)可以吗？
为什么？（归纳假设一定要到，否则，失去了递推的依据，无效。）
注意：证明过程的规范性！
数学归纳法证题的基本步骤是------两步一结论
巩固提高：（1）用数学归纳法证明
?1?3?5?
?
?1
??
2n ?1
?
?
?
?1
?
n,

nn
2
当
n?1
时，左边应为_____________.
（2）证明三角形内角和定理时，n的第一个取值是 ，你们现在认为
自己有能力完成三角形内角和公式的证明吗？试一试！
小结：
1、.本节课的知识建构过程：
归纳法
?
数学归纳法
?
应用数学归法解决问题
2、数学归纳法的基本格式：略写
3、用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题时应注意：
(1) 两步缺一不可；
(2) 在第一步中要找准
n
0
；
(3) 在第二步中要注意明确假设是什么？要证明的是什么？
在证明
n?k?1
时命题正确时，必须利用假设当
n?k
时的结论.

九、板书设计：
数 学 归 纳 法
一．归纳法（特殊?一般）
1、完全归纳法
2、不完全归纳法
二、数学归纳法
重点：两个步骤
一个结论
注意：递推基础不可少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉
十、作业设计：
1、作业：课本习题略
2、思考：数列
?
a
n
?
,
满足
a
1
?1,a< br>n?1
?2a
n
?1,

（1）求
a
1,a
2
,a
3
,a
4
;

（2）归纳出
a
n
；
（3）请给出证明
3、探 索性问题：请比较
2
与
n
（
n?N
）的大小，并证明你的结 论。

参考文献：1、普通高中数学课程标准 人民教育出版社
2、普通高中选课与学习指南（数学） 北京大学出版社
n





2
*