高中数学课堂教学视频-高中数学名师工作室工作三年规划
正弦定理
一、 教学内容分析
本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科
书??数学必修5（人
教A版）》第一章1.1.1正弦定理，是在学生已经学习了三角函数，
向量基础知识之后，对这些知识的应用，同时也是对初中解直角三角
形内容的直接延伸。
本节
课时“正弦定理”教学的第一课时，主要任务是引入并证明
正弦定理，同时在这个过程中，复习巩固旧知
识，让学生掌握新知识，
体会知识间的联系。教学过程中，应发挥学生的主观能动性，通过探
究
，引导学生提出猜想，进而证明猜想的正确性。培养学生敢于猜想，
善于思考的品质。
二、
学生情况分析
学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，又学习了三角函数
的基础知识与平
面向量的有关内容，但前后知识间的联系，理解，应
用有一定的困难，因此教师应恰当的引导，调动学生
的学习积极性，
重视定理的探究过程，让学生体会到成功的喜悦。
我校学生多数来自山区少数
民族，学生的动手和探究能力相对较
弱，在教学中教师要多加引导，否则很容易学生什么也探究不到，以
致原先的设计无法得到体现。
三、 设计思想
本节课是定理的探究课，重点是定理
的发现与证明，因此以问题
为导向设计教学情境，为学生提供自由表达，质疑和探究的机会，让
- 1 -
学生在一定的情况下，运用自己已有的知识和经验，并通过与他人
的
协作，而主动的获取知识。体会知识的发生和发展的过程。
四、 教学目标
1.
让学生从已有的知识和经验出发，逐步理解和掌握正弦定理的内
容及其证明方法。
2.
通过探究，培养学生合理猜想，探索数学知识和规律的能力和方
法，体会数学知识发生和创造的过程。
3. 通过学生之间，师生之间的交流与合作，增强学生的交流和协作
能力。
五、
重点和难点
重点：正弦定理的发现和证明
难点：正弦定理的证明
六、
教学过程设计
㈠创设情景，提出问题
问题1：一般三角形全等的判断方法有哪些？
学生可以回答得出SSS，SAS，AAS，ASA这四种。
师：这四种方法有什么特点？这说明什么样的条件可以确定一个三角
形？
生1：都有3个条件。
生2：三个边的条件。
生3：两条边一个角。
生4：两个角一条边。
- 2 -
师：也就是说，如果
有一个三角形，一部分角和一部分边已知，这个
三角形的其他边和角也就随之确定了，因此三角形的边和
角之间一定
存在某种联系吧。
【设计意图】复习旧知识，同时引出新知识。
问题2
：在江河上修建大桥前，往往需要预先测量出大桥的长度
AB(如图)，于是在江边取了一个测量点C.
A A
B
图1
C
B
图2
C
(1) 如图1，若CB=1000m,
∠ACB=45
0
,∠ABC=90
0
,由以上数据，
能算出AB的长吗？
(2) 如图2，若CB=1000m,
∠ACB=45
0
,∠ABC=75
0
,由以上数据，
能算出AB的长吗？
对于情形1，学生很容易想到解直角三角形的方法，得出
AB=BC=1000m。
对于情形2，就会有很多不同的表达。但因为有了情形1的
铺垫，不难想到转化为解直角三角形的方法。
生：过Ａ作AD⊥BC于点D（如图3）,则BD=ABcos75
0
，
CD=AD=ABsin75
0
,从而BC=BD+CD=
ABcos75
0
+ ABsin75
0
∴AB=
BC1000
6
(m)
=
00
3
cos75?sin75
- 3 -
A
A
D
B
D
C
图3
B C
图4
师：非常好，那可不可以作其他的高线呢？
生：如图4，过,B作BD⊥AC于点D,则BD
=BCsin45
0
=ABsin60
0
,
BCsin45
=
0
sin60
0
AB=
1000?
2
2
=
1000
6(m)
3
3
2
师：对学生加以赞赏，并适时引导在刚才的推理过程中，若把已知的
BC写成
a
,要求的AB写成
c
，你能发现
a
，
c
和∠A，∠C之间有
什么关系吗？
生：
asinC?csinA
。
师:
这个式子为了便于记忆，往往写成
也等于
b
呢？
sinB
ac?
，那么，他们是否
sinAsinC
生：等于。
师：那么这个结果是否对一切的三角形都成立呢？
【设计意图】从实际问题入手，提高学生的
学习兴趣，激发学生的求
知欲，引导学生把新问题转化成用已有的知识来解决。在解决问题后，
对特殊问题一般化，大胆提出猜想，培养学生的创造性思维能力。
㈡数学实验，验证猜想。
请学生用三角板，计算器，量角器为工具，对上述猜想加以验
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证，进而得出：在任意三角形中，
abc
??
。
sinAsinBsinC
【设计意图】培养学生的动手实践能力。
㈢证明探究
1. 特殊入手。
在Rt△ABC中，
AB?c,AC?b,BC?a,?C?90
0
，
如何证明？
生：
sinA?,sinB?,则
abcc
?c,?c,??c
，
sinAsinBsinC
sin90
0
abc
??
从而在
Rt△ABC中， 。
sinAsinBsinC
a
c
b
c
B
C
A
2. 推广与扩展
问题1：在锐角△ABC中，如何证明？
受上面的启发，学生比较容易想到以下方法。
生：过Ａ作AD⊥BC于点D，则
csinB?AD?bsinC
，
bcab
??
，同理可得，
sinBsinCsinAsinB
abc
??
因此，。
sinAsinBsinC
从而
问题2：在钝角△ABC中，如何证明？
可不可以仍然过A作BC的垂线呢（如图）？让学生进行小
组讨论，找出规律。
-
5 -
bc
?
，得证。
sinBsinC
生：AD=
bsinC
?csin(180?B)?csinB
,从而
师：非常好。这样我们就可以通过把锐角和钝角
三角形转化成直角三
角形处理，非常容易的证明出上述结果了。这条性质我们称之为
正弦定理，
也就是在一个三角形中，每一边和它所对的角的正弦
的比相等。即
abc
??
。
sinAsinBsinC
【设计意图】根据“化归“的思想，把锐角三角形和钝角三角形
问题
转化为直角三角形问题是很自然的，学生易于接受，并且由于有上面
的铺垫，学生不难想到
上述的方法。
问题3：既然
abc
??
都等于同一个比值，那么这个比sinAsinBsinC
值有什么特殊的意义吗？
引导学生回顾前面正弦定理的证明过程，从中发现规律。
生：在Rt△ABC中，
abc
??
?c
。
sinAsinBsinC
师：斜边c的长度在直角三角形中还反映什么？
生：外接圆的直径。
师：很好，外接圆的直径2R ，因此
abc
??=2R，那么，
sinAsinBsinC
对于一般的三角形又是不是这样的呢？我们又该
如何证明?
生：作出△ABC的外接圆O看看。
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C
D
Ｏ
A
B
ABABBDc
???2R,所以?2R
，
sin?ACBsi
n?ADBsin?DABsinC
abc
??
同理可得=2R。
sinA
sinBsinC
abc
??
【设计意图】进一步探究“=2R”，一方面加深了学<
br>sinAsinBsinC
生对正弦定理的理解和记忆；另一方面，学生在学了正弦定理后也会<
br>很好奇的想知道这个值为什么总相等，通过外接圆就把不同的三角形
类型之间的共同点给揭示出来
了，让学生体会发现的快乐。
问题4：今天我们通过“作高法”，“作外接圆法”证明了正弦定
理
abc
??
=2R。前面我们刚刚学了平面向量，在平面向量
sinAs
inBsinC
中，数量积就在向量的长度和夹角之间建立了联系，这和正弦定理是
很相像的。
那么，我们可不可以用向量的方法来证明正弦定理呢?
学生小组讨论，教师适时引导，让学生与前面用的平面几何的方
法对比。
生：在锐角三角形中，可以作
BC
的法向量
i
（如图）。则
BC
·
i
=0，
BC
·
i
=
(
BA?AC)
·
i
=
BC
·
i
+
AC·
i
????
?
?
- 7 -
=
|i|c?cos(90?B)?|i|b?cos(90
0
?C)
0
??
=
|i|(c?sinB?b?sinC)
从而，
c?sinB?b?sinC
因此
同理可得：
bc
?
sinBsinC
?
abc
??
sinAsinBsinC
?
i
A
?
i
?
i
B C
对于直角三角形和钝角三角形的情形，请同学们在课后去探究一下。
【设计意图】向量，把数和形融为
一体，是很重要的数学工具，但学
生对如何用向量法证明几何问题相对比较生疏，通过前面几何法的铺<
br>垫，学生感受起来就轻松多了。而且向量法证明简便快捷，也可以体
会到向量法的优点，从而在今
后会主动去尝试和学习用向量的方法分
析和解决问题，为后续知识（余弦定理等）的学习打下了基础。
㈣定理的简单应用
现在请同学们利用正弦定理解决一开始提出的问题。
生：在△ABC中，∠Ａ＝180
0
－∠B－∠C=60
0
ABBCBCsinC1000sin45
0
1000
?,AB???6
（
m） ∴
0
sinCsinAsinA3
sin60
【设计意图】利用正弦定
理解决一开始提出的问题，既简单又快捷，
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让学生体会
到正弦定理的重要性，认识到正弦定理是今后处理三角形
问题的有力的武器。
㈤尝试小结
引导学生总结本节课的内容,让学生思考交流,归纳总结,教师及
时补充。这里面要体现以下几点。
⑴正弦定理的内容和证明方法。
⑵分类讨论的数学思想，强调分类要全面，不可以重复和遗漏。
⑶可以让学生思考并归纳可以
用正弦定理解决什么样的问题，为下一
节课（正弦定理的应用）打下基础。
【设计意图】通过
学生的归纳，培养学生的归纳总结的能力，以及用
数学语言来叙述相关数学问题的能力。
㈥作业布置（略）
2013年6月
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