人教版高中数学优质教案5：3.1.2 导数的概念 教学设计

人教版高中数学选修1-1教学设计
3.1.2导数的概念
教学目标：1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念.
2、会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．
教学重难点：
重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用
难点：导数概念的理解.
教学过程：
情境导入：
高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度
h与起跳后的时间
t
的关系为：
h(t)??4.9t
2
?6. 5t?10
.通过上一节的学习，我们可以求在某时间段的平均速度.这节课
我们将学到如何求 在某一时刻的瞬时速度，例当t=1时的瞬时速度.
合作探究：
探究任务一：瞬时速度
问题1：在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的.
新知：
瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.

探究任务二：导数
问题2：瞬时速度是平均速度
?s
当
?t
趋近于0时的速度. ?t
?x?0
得导数的定义：函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?f
，
?lim
?x?0
?x?x
我们称它为函 数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数，记作
f
?< br>(x
0
)
或
y
?
|
x?x
0
即
f
?
(x
0
)?lim

?x?0
f(x??x)?f(x
0
)

?x
注意：(1)函数应在点
x
0
的附近有定义，否则导数不存在
(2)在定义导数的极限式中，
?x
趋近于0可正、可负、但不为0，而
?y
可以为0
(3)
?y
是函数
y?f(x)
对自变量
x
在
?x
范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线
?x
y?f (x)
上点（
x
0
,f(x
0
)
）及点
( x
0
??x,f(x
0
??x)
）的割线斜率
(4)导数
f(x
0
)?lim

?x?0
f(x
0
? ?x)?f(x
0
)
是函数
y?f(x)
在点
x
0
的处瞬时变化率，
?x
1

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它反映的函数
y?f(x)
在点
x
0
处变化的快慢程度.

小结：由导数定义，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V< br>的导数就是气球的瞬时膨胀率.
精讲精练：
例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果
在 第xh时，原油的温度（单位：
0
c
）为
f(x)?x
2
? 7x?15(0?x?8)
. 计算第2h和第6h
时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
解:在第
2h
时和第
6h
时,原油温度的瞬时变化率就是
f(2)
和
f( 6)

根据导数定义
''
f(2??x)?f(x
0
)?f

?
?x?x
(2??x)
2
?7(2??x)? 15?(2
2
?7?2?15)
???x?3

?x
所以< br>f
?
(2)?lim
?f
?lim(?x?3)??3
同理可 得:
f
?
(6)?5

?x?0
?x
?x?0o
在第
2h
时和第
6h
时,原油温度的瞬时变化率分别为
?3
和
5
,
说明在第
2h
附近,原油温度大约以
3Ch
的速率下降
在第
6h
附近,原油温度大约以
5Ch
的速率上升.
例2 ：已知质点M按规律s=3t
2
+2做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）．
（1）当t=2，△t=0.01时，求．
o
（2）求质点M在t=2时的瞬时速度．
[解析]根据导数的物理意义，求函数的导数即可得到结论．
解：（1）当t=2，△t=0.01时，
（2）∵s=3t
2
+2，
∴s′（t）=6t，
则质点在t=2秒时的瞬时速度为s′（2）=6×2=12． 有效训练：一物体做初速度为0的自由落体运动，运动方程为s=gt
2
（g=10ms< br>2
，位移单
位：m．时间单位：s），求物体在t=2s时的瞬时速度．
解：函数的导数为S′=gt，
则t=2秒时的瞬时速度为S′|
t=2
=2g=10×2=20 ms．
2
==12.03；

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