高中数学必修一：函数的概念及其表示教案

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年级：高一 教学课题

函数的概念及其表示
计划课时
第（ ）次课
共（ ）次课
学科: 数学 任课教师：周老师 授课时间： 年 月 日(星期 ) -
姓名
阶段
基础（ ） 提高（√） 巩固（ ）
知识点：
方法：
教学
考点：

目标
重点
重点：
难点

难点：
课前
检查
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________

一、函数的基本概念
1.映射:设
A、B
是两个非空的集合,如果按照某种 对应关系
f
,对于集合
A
的任何一个元素,在集
合
B
中都有唯一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合
A
到集合
B
的映射,记 作
f：A?B
.(包
括集合
A，B
及
A
到
B
的对应法则)
对映射概念的认识
教
学
内
容
与
教
学
过
程

(1)
f：A? B
与
f：B?A
是不同的,即
A
与
B
上有序的.或 者说：映射是有方向的.
(2)集合
A、B
可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合.
(3)集 合
A
中每一个输入值,在集合
B
中必定存在唯一输出值.输出值的集合是集合
B
的子集.即集
合
B
中可能有元素在集合
A
中找不 到对应的输入值.
即：(i)不允许集合
A
中有空余元素； (ii)允许集合
B
中有剩留元素；
(iii)允许多对一，不允许一对多.
2.函数：设
A、B
是两个非空数集,如果 按照某种确定的对应关系
f
,使对于集合
A
中的任意一个数
x
,在集合
B
中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应。称
f： A?B
为从集合
A
到集合
B
的一个函数,
记作：
y ?f(x),x?A

(1)函数的定义域、值域：
在函数
y?f (x),x?A
中，
x
叫做自变量,
x
的取值范围
A
叫做函数的定义域；与
x
的值相对
应的
y
值叫做函数值,函数值< br>f(x)x?A
的集合
B
叫做函数的值域.
注意:(i)函数符号< br>y?f(x)
与
f(x)
的含义是一样的；都表示
y
是
x
的函数,其中
x
是自变
量,
f(x)
是函数值,连接的 纽带是法则
f
。
f
是单值对应。
(ii)定义中的集合
A，B
都是非空的数集,而不能是其他集合；
(2)一个函数的构成要素：定义域、值域和对应关系
??
1

(3)相等函数：两函数定义域相同,且对应关系一致,则这两函数为相等函数。
注: 两个函数的定义域与值域相同,这两函数不一定是相等函数。
如:函数
y?x
和
y?x?1
,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；

y?sinx
与
y?cosx
，其定义域为
R< br>，值域都为[-1,1]，显然不是相等函数。
因此判断两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系
(4)函数的表示方法：表示函数的常用解析法、图象法和列表法。
(5)分段函数:若函数 在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，
这种函数称为分段函数。
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函< br>数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数。
(6)复合函数:设
y?f(u)，u ?g(x)
,当
x
在
u?g(x)
的定义域中变化时,
u? g(x)
的值在
y?f(u)
的定义域
Df
内变化,因此变量
x
与
y
之间通过变量
u
形成的一种函数关系,记为：
y? f(u)?f[g(x)]
称为复合函数,其中
x
称为自变量,
u
为 中间变量，
y
为因变量(即函数)。
如：设
f(x)?2x?3，g(x) ?x?2
则称
f[g(x)](或g[f(x)])
为复合函数。
2
f[g(x)]?2(x
2
?2)?3?2x
2
?1；g[f(x)]?( 2x?3)
2
?2?4x
2
?12x?11


例1、下列各对函数中，相同的是（ ）
x
2
3
3
A、
f(x)?x,g(x)?
B、
f(x)?x,g(x)?x

x
C、
f(x)?x,g(x)?(x)
2
D、
f(x)?

x
2
，g(x)?x


例2、
M?{x|0?x ?2},N?{y|0?y?3}
给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N
的函数关系 的有（ ）
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
y
2
1
O
y
2
1
1
2
x
O
y
3
2
1
2
1
1
2 x
O
y
1 2
x
O
1 2 x

例3、下列图象中不能作为函数图象的是（ ）





2

二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；

例1：求下列函数的定义域。
(1) f(x)=



2、求函数定义域的两个难点问题
复合函数的定义域求法：
（1）已 知
f(x)
的定义域为
(a,b)
，求
f[g(x)]
的定 义域；
求法：由
a?x?b
，知
a?g(x)?b
，解得的
x
的取值范围即是
f[g(x)]
的定义域。
（2）已知
f [g(x)]
的定义域为
(a,b)
，求
f(x)
的定义域； 求法：由
a?x?b
，得
g(x)
的取值范围即是
f(x)的定义域。
例2：已知
f(x)
的定义域为[0,1]，求
f(x?1 )
的定义域。


例3、
已知f(x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。




例4、
已知f(2x－1)的定义域是[-1,3],求f(x)的定义域
。




例5．已知
f(x?1)
的定义域为[- 1,0]，求
f(x?1)
的定义域。



x?3
x
2
?2
； (2) f(x)=
2x?9
； (3) f(x)=
x?1
－
x
；
2?x
【变式训练】
（ 1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求
f(x
2
?1)
的定义域；


（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域




3

三、函数值域求法：
1.直接观察法:对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,等等, 其值域可通过观察直
接得到。
2.配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；
3.换元法（无理函数，部分三角函数；形如
y?af(x)?bf(x)?c
的函数）
4.分离常数法
5.变量反表示法（利用变量及已学过函数的有界性，来确定函数的值域。）
2
a
1
x
2
?b
1
x?c
1(a
1
,a
2
不同时为0)
分式函数） 6.判别式法（ 形如
y?
a
2
x
2
?b
2
x?c
2< br>7.函数的单调性法：
a.形如
y?ax?b?cx?d
，若
ac? 0
用单调性法，
ac?0
用换元法；
b.形如
y?x?
注
y?x?
kk
k
(k?0)
若
x与
不能相等，用单调性法，
x与
能相等，用不等式法（特别关
xx
x
k
(k?0)
的图象及性质）
x
k
k
(k? 0)
型函数，当
x与
不能相等时必须
x
x
8.不等式法（利 用基本不等式，尤其注意形如
y?x?
用函数单调性）
9.数形结合法
例
．（直接法）
y?




1
2
f(x)?2?24?2x?x
2．（直接法）
2
x?2x?3
3．（换元法）
y??x?




5. （Δ法）
y?





2x?1
4. （Δ法）
y?
3x

2
x?4
x
2
?1
x
2
?1
6. (分离常数法) ①
y?
x3x?1
(?2?x?4)
②
y?
x?12x?1
4

7. (单调性)
y?x?


8.①
y?




3
(x?[?1,3])

2x
1
，②
y?x?1?x?1
(结合分子分母有理化的数学方法)
x?1?x?1
9．（数形结合)
y?3?2x?x(?1?x?2)






2

四、求函数的解析式：
常见的求函数解析式的方法有待定系数法、换元法、消去法。
例1．已知f(x)是一次函数 ，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。（待定系数法）







例2．已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（换元法）







例3．已知函数f(x)满足
f(x) ?2f()?x
，求函数f(x)的解析式。（消去法）






5
1
x

【巩固练习】
一、选择题
1. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）
A．
y?
x
与y?1

x
0
B．
y?x与y?
2
2
?
x
?

2
C．
y?x与y?1

?
?
xx?0
D．
y?x与y?
?

?
?
?xx?0
2. 下列图形中，是函数的图象的有（ ）

y y




x
x
O O


A B
2
y y
O x
O
x
C D
3. 已知函数
y?x?2x
的定义域为
?
0,1,2,3?
，那么其值域为（ ）
A．
?
?1,0,3
?
B．
?
0,1,2,3
?
C．
y?1?y?3
D．
y0?y?3

????
4. 设
f:A?B
是集合< br>A
到
B
的映射，那么下列命题中是真命题的是（ ）
A．
A
中任何两个不同的元素必有不同的象
B．
A
中任何一个元素在
B
中的象是唯一的
C．
B
中任何一个元素在
A
中必有原象
D．
B
中一定存在元素在
A
中没有原象
5. 已知函数
f(x )?x?ax?bx?8,
且
f(?2)?10
,那么
f(2)
等于 （ ）
A．
?18
B．
6
C．
?10
D．
10

53
?
x
2
,x?0,
?
6. 已知函数
f(x)?
?
?
,x?0,
那么
ff
?
?
f
?
?3
?
?
?
的值等于（ ）
?
0,x?0,
?
??
A．
0

C．
?


二、填空题
7. 函数
y?
2










B．
?

D．
9

x?5
的定义域为___________．
x?3
2
8. 已 知函数
f(x)?2x
，则
f(?x)
=___________，
f(1?x)
=__________.
6

9. 若
f(x)?
?
x?0,
?
x,
则
f(3)?
，
f[f(1)]?
______．
?
1?2x, x?0,
10. 已知
f(x)?[x?1]
，求
f(3.2)
= ，
f(?5.1)
= ．
注：[x]表示不超过x的最大整数，如：[4.1]=4；[3]=3；[-2.1]=-3
三、解答题
11. 已知
f(x)
是一次函数，且满足
3f(x? 1)?2f(x?1)?2x?17
,求
f(x)
．




12. 已知函数
f(x?2)?x
，求
f(x)
．




13 . 已知
f(x)
是二次函数，且
f(x?1)?f(x?1)?2x?4x
,求
f(x)
．





能力题
14. （1）已知函数
y?f (x)
的定义域为
?
0,4
?
，则函数
y?f(x)
的定义域为___________．
2
2
2
（2）已知函数y?f(x)
的定义域为
?
0,4
?
，则
y?f(x)
的定义域为____________．
2
15. 若
f(x)
的 定义域为
{x|x?0,x?R}
，且
f(x?y)?f(x)?f(y)
， 若
f(3)?1
，则
f(9)
=________．
课后
作业________________________________; 巩固复习_______________________________;
巩固
预习布置____________________________

签字 学科组长签字： 学习管理师:
老师
老师最欣赏的地方：
课后

赏识
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评价
备注



7