高中数学教案 直接证明与间接证明3(理)

§2.2.2反证法
【学情分析】：
前面我们学习了两种直接证 明问题的方法——综合法和分析法。在以前的学习
中，学生已经接触过用反证法证明数学命题，本节课进 一步熟悉运用反证法证明某
些直接证明较难解决的数学问题。
【教学目标】：
（1 ）知识与技能：结合已学过的数学实例，了解间接证明的方法——反证法；了解
反证法的思考过程、特点
（2）过程与方法：能够运用反证法证明数学问题
（3）情感态度与价值观：通过本节课的学 习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中
的作用，养成言之有理，论证有据的习惯
【教学重点】：
了解反证法的思考过程、特点；运用反证法证明数学问题。
【教学难点】：
运用反证法证明数学问题。
【教学过程设计】
：

教学环
教学活动
节
一、 问题1、任找370个人，他们中生日有没有相同的呢？
提出 问题2、将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，
问题 至少有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？
思考：通过以上几个练习，大家已经初步体会到反证法的作用，你能不能总结一下应用反证法的概念及其
步骤？


设计意图

从实际生活的例子出发，使学生对
反证法的基本方法和步骤有一个更
深刻的认识。
二、 1：反证法的概念：
反证假设原命题不成立，经过正确的推理,最后得出矛
法 定盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的
义 证明方法叫反证法．
2：反证法的基本步骤： 1）:假设命题结论不成立，
即假设结论的反面成立；2）:从这个 假设出发，经过推
理论证，得出矛盾；3）:从矛盾判定假设不正确，从而
肯定命题的结论正确.
3：应用反证法的情形：1）：直接证明困难；2）：
需分成很多类进行讨论； 3）：结论为“至少”、“至
多”、“有无穷多个”类命题； 4）：结论为 “唯一”
类命题；

三、
例1、已知直线
a,b
和平面
?
，如果
a?
?
,b?
?
，
直观了解反证 法的证明过程。
应用
且
a||b
，求证
a||
?
。
否定结论，推出矛 盾。提醒学
生：使用反证法进行证明的关
解析：让学生理解
键是在正确的推理下得出矛
反证法的严密性和合理
盾。这个矛盾可以是与已知条
性；
件矛盾，或与假设矛盾，或与
证明：因为
a||b
,
定义、公理、定理、事实矛盾
所以经过直线a , b 确

等。
定一个平面
?
。

因为
a?
?
，而
a?
?
，
进上步熟悉反证法的证题思
路及步骤。

所以
?
与
?
是两个不同的平面．
因为
b?
?
，且
b?
?
，
所以
?
I
?
?b
.
下面用反证法证明直线a与平面
?
没有公共点．假
设直线a 与平面
?
有公共点
P
，则
P?
?
I
?
?b
，即
点
P
是直线 a 与b的公共点，这与
a||b
矛盾．所以
引导学生结合思考题和例
题归纳出反证法所适用的题
型特点和一般步骤。培养学生的归纳能力。
a||
?
.
点评：用反证法的基本步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，
推出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作
的假定不正确，于是原证不等利

例2、求证：
2
不是有理数
解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们 采
用反证法．假设
2
不是无理数，那么它就是有理数．我
们知道，任一有理数 都可以写成形如
m
（
m,n
互质，
n
m?Z,n?N
*
”的形式．下面我们看看能否由此推出矛
盾．
证明：假设
2
不是无理数，那么它就是有理数．于
是，存在互质的正整数m,n
，使得
2?
m
，从而有
n
m?2n
,
22
因此，
m?2n
，
所以 m 为偶数．于是可设
m?2k
( k 是正整数），
从而有
4k
2
?2n
2
，即
n
2
?2k
2

所以n也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！
由上述矛盾可知假设错误，从而
2
是无理数．
点评：反证法是 一种间接证法，它是先提出一个与
命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过
正确的 推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯
定原命题正确的一种方法。

四、 1. 通过思考题和例题，我们发现反证法适用于
归纳 什么样的题目？
（1）要证的结论与条件之间的联系不明显，
直接由条件推出结论的线索不够清晰；
（2）如果从正面证明，需要分成多种情形

进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究
一种或很少的几种情形。
2. 归纳一下反证法的证题一般步骤：
（1）否定命题的结论；
（2）进行合逻辑的推理；

（3）导出任何一种矛盾；
（4）肯定原命题的结论。
五、 1. P91.练习1.2
练习 2. 补充：
巩固 用反证法证明
（1）如果
x?
1
,那么x
2
?2x?1?0
.
2
（2）求证：过直线外一点，有且只有一条
直线和这条直线平行。

六、 反证法的证题步骤：
知识 （1）否定命题的结论；
小结 （2）进行合逻辑的推理；
（3）导出任何一种矛盾；
（4）肯定原命题的结论。
反证法的适宜题型：
（1）对于起始命题、基本命题、特殊命题，
由于可以用到的定 理、公式甚少或不易找出直
接证明的关系，用反证法有时会骤得较好的效通过小结总结所学，突出重果； 点，强调难点
（2）命题的结论中含“不”、无”等（称
为否定形式命题），往往可以考虑反证法；
（3）命题用反面结论较易推出矛盾，适宜
使用反证法；
（4）命题结论中含“至多”、“至少”、“超
过”、“不超过”等词，往往可以考虑反证法；
（5）惟一性的命题，直接证不如反证法更
易于入手。
P102习题2.2 A组1
七、
课后
作业
反证法学生并不陌生，在初中就已有所接触。< br>通过本节课的学习进一步明确其步骤，寻找矛
盾点，哪些题型是适用于反证法证的。感觉学
生应该容易接受。


通过讲评可以及时发现学生
解题中存在的问题，予以更
正。




八、
设计
反思
【练习与测试】：
1． 用反证法证明命题：若整系数一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)有有理根 ,
则a、b、c中至少有
一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
A. 假设a、b、c都是偶数 B. 假设a、b、c都不是偶数

C. 假设a、b、c至多有两个是偶数 D. 假设a、b、c至多有两个是偶数
答案：B
解：反证法的假设，恰好与结论相反，“至少有一个”的否定是“一个也没有”。选B。
< br>2．用反证法证明命题“若整数n的立方是偶数，则n也是偶数”如下：假设n是奇数，则n=2k+1( k
∈Z)，
n
3
?(2k?1)
3
?
______ _______________________________，这与已知
n
3
是偶数矛盾，所以n
是偶数。
答案：
2(4k
3
?6k
2
?3k)?1

解：和的立方公式展开
n
3
?(2k?1)
3
?8 k
3
?12k
2
?6k?1?2(4k
3
?6k
2
?3k)?1

答案为
2(4k
3
?6k
2
?3k)?1
。

3．已知平面
?
和不在这个平面内的直线a都垂直于平面
?
，求证：直线
a∥平面
?
。
证明：假设a不平行
?
，则 a与
?
必有公共点，设为点A，过点A在平面
?
内作直线c⊥b，由
?
⊥
?
知，c⊥
?
，而a⊥
?
，则a∥c。这与a 、c
相交于点A相矛盾，因此，假设错误，即a∥
?
。

4. 已知函数
f(x)?a
x
?
?
a
b
x?2（1）证明：函数
f(x)在(-1,+?)
(a?1)
。
x?1
c
?
上为增函数；（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负根。
x?2x?1?33

??1?
x?1x?1x?1
3

Q
g'(x)?
当x≠-1 时
g'(x)?0
∴在
(?1,??)
上g(x)为增函数。 ∵
2
(x?1)
时，< br>a
x
在
(??,??)
上为增函数，∴
f(x)在(-1,+ ?)
上为增函数。
x?2
（2）设存在
x
0
<0 (x< br>0
?-1)
，满足
f(x
0
)?0
，则
a< br>x
0
=-
0
,且0x
0
<1

x
0
?1
x?2
1
所以
0<-
0
<1,即?x
0
?2
，与假设矛盾，故方程f(x)=0没有负根。
x
0
?12
证明：（1）令
g(x)?

5．设< br>a,b,c?R,且满足a?b?c?2,a
2
?b
2
?c
2
?2
。证明：a,b,c都是不大于
证明：假设结论不正确，可设
c?0或c ?



a>1
4
的非负数。
3
4

3
1
(a?b?c)
2

2
即
a
2
?b
2
?c
2
?2ab?2bc ?2ac又得(a?b)
2
?c
2
?2c(a?b)

（1 ）若c<0，由
a?b?c?2故a
2
?b
2
?c
2
?
∵c<0，由上式可得(a+b)<0，从而a+b+c<0与题设a+b+c=2矛盾。 （2）若
c?
4
。又由
(a?b)
2
?c
2< br>?2c(a?b)?2c(2?c)?4c?2c
2

3
4
∴
(a?b)
2
?4c?3c
2
?0
。这是不可能的，因此< br>c?
也是不可能的。
3
44
综合两种情况知必有
0?c?
。同理可证
0?a,b?

33
1
2
6. 求证：抛物线
y?x?1
上不存在关于直线y+x=0对称的两点。
2
证明 ：假设抛物线上存在关于直线y+x=0对称的两点A(a,b)和B(-b,-a)，（
a??b，且a,b∈R），则

1
2
?
b?a?1
?
1
?
2
，两式相减得
b?a?(a?b)(a?b)
,
?
2
?
? a?
1
(?b)
2
?1
?
2
?
11
2
由于
a??b
，则
a?b?0,所以(a?b)?1,即a?2?b< br>，代入
b?a?1
得
22
b
2
?2b?2?0,因 ??2
2
?4?2??4?0
，故方程无实根，
1
2
这与 b为实数相矛盾，故抛物线
y?x?1
上不存在关于直线y+x=0对称的两点。
2