高中数学复数教学案例

《
复数代数形式的乘除运算》

案例分析
尉氏县第三高级中学
姚翠玲
一、案例背景
1、教材分析 < br>本节课是《复数代数形式的四则运算》的第二课时，是四则运算的重点，也
是本章的重点．复数的 乘法法则是规定的，其合理性表现在：这种规定与实数乘
法的法则是一致的，而且实数乘法的有关运算律 在这里仍然成立．由除法是乘法
的逆运算的这种规定，可以得到复数除法的运算法则．
教材 在内容编排上使用问题探究式的方法，引导学生能够自己探究新知，发
现新知，理解新知．学生不仅学到 了知识，而且培养了学习兴趣，提高了学习积
极性．
2、学情分析
高二的学生
3、教学目标设计：
知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理 解
它是乘法运算的逆运算
过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无
味，学生不易接受， 教学时，我们采用讲解或体验已学过的数
集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积< br>极主动地建构知识体系。教材内容及重点、难点分析
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我 们就说这两个复数
相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di
?
a= c，b=d，只
有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

4、教学思路①本 节课的教学以建构主义学习理论为指导，以学生为中心，以问
题为出发点，使课堂教学过程成为学生自主 地进行信息加工、知
识意义构建、创新能力发展的。教师在教学过程中则适时介入，
引导、启发 、组织、帮助、促进。②设计创造性思维问题。所谓
创造性思维问题即是指利于学生创造性思维发展的问 题。创造性
思维问题的设计应遵循这样几个原则：题型具有开放性、解题富
有挑战性。
5、教学手段①互动法：老师提出问题，由学生回答，并从知识中获得启迪，从
而解决问题。②任务驱 动教学法：将所要学习的新知识隐含在一
个或向个问题之中，学生通过对所提的任务进行分析、讨论，并
在老师的指导、帮助下找出解决问题的方法，最后通过任务的完
成而实现对所学知识的意义建构 。
二、案例描述
1、新课导入
提出问题：试计算5(2＋i)．
活动设计：先由学生独立思考，然后交流看法．
学情预测：学生可能类比单项式与多项式的乘法来计算．
活动成果：(板书)
5(2＋i)＝(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＝10＋5i.
2、讲解新课
设计意图⑴
通过比较分别运用实数集中乘法的意义和复数的加法法则 计算所得的结果，
得到结论：m(a＋bi)＝ma＋mbi，其中m，a，b∈R.引出新课．两个复 数相乘又
该如何计算

探究新知


提出问题：如何计算(2＋i)(3＋2i)
活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学
生交流．
学情预测：学生可能类比两个多项式的乘法来计算．

活动成果：(板书)
(1)规定，复数的乘法法则：
设z
1
＝a＋bi，z
2
＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积：
(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋b di
2
＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)(2＋i)(3＋2i)＝6＋3i＋4i＋2i
2
＝4＋7i.
设计意图⑵
遇到问题就得解决问题，但是复数又是一个全新的知识，它是实数集的扩充，所以在不违背原有知识的基础上规定了复数的乘法法则，使学生体会知识的创新
与发展的过程．

理解新知


提出问题1：怎样理解复数的乘法法则它可能满足哪些运算律
活动设计：学生独立思考，然后同学间交流．
学情预测：学生可以独立理解复数的乘法法则，并写出它满足的运算律．
活动成果：
(1)可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果
中把i
2
换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
两个复数的积是一个确定的复数．
(2)实数集上的乘法满足的运算律，可以直接推广到复数集上的乘法运算中：
对于任意z< br>1
，z
2
，z
3
∈C，有z
1
·z
2
＝z
2
·z
1
，
(z
1
·z
2
)·z
3
＝z
1
·(z
2
·z
3
)，
z
1
(z
2
＋z
3
)＝z
1z
2
＋z
1
z
3
.
设计意图⑶
准确地把握法则及其满足的运算律，为正确熟练地运用打下良好的基础．
提出问题2：计算 i
5
，i
6
，i
7
，i
8
的值，你能推测 i
n
(n∈N
*
)的值有什么规律吗
活动设计：学生独立思考，然后同学间交流结果，教师巡视指导．
学情预测：学生能够计算出四个值，并说出周期性．
活动成果：i
5
＝i， i
6
＝－1，i
7
＝－i，i
8
＝1，推测i
4n
＋
1
＝i，i
4n
＋
2
＝－1，i
4n< br>＋
3
＝－i，i
4n
＋
4
＝1(n∈N
*< br>)．
设计意图⑷

了解i的幂的周期性，培养学生的观察和归纳能力．

运用新知


例1计算：
(1)(1－i)
2
；(2)(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)．
思 路分析：第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法
公式计算；第(2)题可以按 从左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算．
解：(1)解法一：(1－i)
2＝(1－i)(1－i)＝1－i－i＋i
2
＝－2i；
解法二：(1－i)
2
＝1－2i＋i
2
＝－2i.
(2 )解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i－6i－8i
2
)(1＋2i )
＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i＝15＋20i；
解法 二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝[(1－2i)(1＋2i)](3＋4i)＝5(3＋4i)＝ 15＋20i.
点评：此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特
别要提醒其中(－2i)·4i＝8，而不是－8.

探究新知


提出问题1：在例1中1－2i与1＋2i的积恰好是一个实数，观察这两个复
数之间有何联系
活动设计：学生独立思考，然后交流．
学情预测：在教师的引导下，学生能够得出两个复数的异同．
活动成果：一般地，当两个复数 的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复
数叫做互为共轭复数．虚部为0的两个共轭复数也叫共轭虚数 ．
注意：z的共轭复数常用z表示．即：若z＝a＋bi，则z＝a－bi.
设计意图⑸
例1(2)为引出共轭复数的概念提供了实例支持，从而得出共轭复数的定义，
使学生对知识的 接受变得自然．
提出问题2：类比实数的除法，联系复数减法法则的引入过程，探求复数除
法的法则．
活动设计：引导学生运用乘法法则以及复数相等的概念来得到除法法则．
活动成果：(1)规 定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足(c＋di)(x＋yi)＝a

＋bi(c＋d i≠0)的复数x＋yi，叫做复数a＋bi除以c＋di的商．
(2)经计算可得(cx－dy)＋(dx＋cy)i＝a＋bi.
根据复数相等的定义，有cx－dy＝a，dx＋cy＝b.
ac＋bdbc－ad
由此得x＝
2
，y＝
2
.
c＋d
2
c＋d
2
于是得到复数除法的法则是：(a＋bi)÷(c＋di) ＝
ac＋bdbc－ad
＋i.
c
2
＋d
2
c< br>2
＋d
2
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数 ．


理解新知


提出问题1：若z
1
，z
2
是共轭复数，那么
(1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系
(2)z
1
·z
2
是一个怎样的数
(3)若z
1
是实数，则它的共轭复数是怎样的数
活动设计：学生独立探究，然后再小组交流．教师巡视指导．
学情预测：学生通过独立思考，然后与同学交流看法，最后能够得出正确的
结论．
活动成果：(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称；
(2)z
1
·z< br>2
＝|z
1
|
2
＝|z
2
|
2；(即z·z＝|z|
2
＝|z|
2
)
(3)z
1
的共轭复数仍是z
1
，即实数的共轭复数是它本身．
设计意图⑹
使学生加深对共轭复数概念的了解．
提出问题2：在实际进行复数运 算时，每次都按照乘法逆运算的办法来求商，
这是十分麻烦的．如何简化求商的过程这种简化的求商过程 与实数系中作何种运
算的过程相类似
活动设计：起初学生会无从下手，可以提示他们观察商的 实部和虚部的分母
与除数的关系，从而得解．
学情预测：学生在教师的指导下，基本上能发现规律．

活动结果：(1)在进 行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成
a＋bi
的
c＋di< br>形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c－di，化简整理后即可．
(2)这种求商过程 与作根式除法时的处理是很类似的．在作根式除法时，分
子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使 分母“有理化”．这里分子和分母都
乘以分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”．
设计意图⑺
简化求解过程，有利于熟练运用法则．

运用新知


例2计算(1＋2i)÷(3－4i)．
思路分析：先把(1＋2i)÷(3－4i)写成
＋4i，计算整理即可．
1＋2i
解：(1＋2i)÷(3－4i)＝＝
3－4i
1＋2i
3－4i
3 ＋4i

3＋4i
1＋2i
的形式，然后分子、分母都乘以3
3－4 i
3－8＋6i＋4i－5＋10i
12
＝＝＝－
255
＋
5
i.
3
2
＋4
2
点评：例2是复数除法的计算题，目的 是让学生熟练操作上述作除法的简便
过程．
巩固练习
7＋i
计算：(1) ；(2)(3＋2i)(－3＋2i)；(3)
3＋4i
7＋i
解：(1)＝
3＋4i
7＋i
3＋4i
－1＋i2＋i
.
－i
3－4i25－25i
＝
25
＝1－i；
3－4i< br>(2)(3＋2i)(－3＋2i)＝(2i)
2
－(3)
2
＝2i< br>2
－3＝－2－3＝－5；
－1＋i2＋i－2－i＋2i＋i
2
－ 3＋i
(3)＝＝＝
－i－i－i
变练演编
1．已知：________÷ ________＝1＋2i，则横线上可以填的条件是什么(可以
－3＋i
－i·i
i
＝－1－3i.

多写几种)
2．计算：
3＋4i
；并自己编制一道类似的题目．
4－3i
答案 ：＋2i，3－4i或5,1－2i等等．(先写出被除数或除数中的一个，然后求
另一个)
2．解法一：
3＋4i
＝
4－3i
3＋4i
4－3i
4＋3 i
25i
＝
25
＝i；
4＋3i
3＋4ii
＝i.
3＋4i
3＋4i3＋4ii
解法二：＝＝
4－3i4－3ii
5＋3i－5i＋6
编制的题目：，(编制的原则设 分子是z
1
＝a＋bi，则分母为z
2
3－5i
－6i－5
＝b－ai，即分母与i的乘积就是分子，可直接约分，从而达到分母实数化)．
设计意图⑻
第一个题目的设计不仅是为了训练学生灵活处理问题，熟练运用知识的能
力，而且可以培养学生发散思 维与集中思维的能力，还可以考查学生对知识、问
题理解的深刻性和思维的深刻性、全面性．题型的新颖 性、开放性更是不言而
喻．第二个题的目的是使学生更深刻理解复数的除法就是分母的实数化．
3、拓展延伸
1．复数a＋bi与c＋di的积是实数的充要条件是( )
A．ad＋bc＝0 B．ac＋bd＝0
C．ac＝bd D．ad＝bc
2．已知(1＋2i)z＝4＋3i，求z.
3．计算
－23＋i
2
2 010
＋().
1－i
1＋23i
解析：1.若(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i是实数，则 只需虚部ad＋bc
＝0.故答案为A.
2．由已知可得z＝
＋i.
4＋ 3i
＝
1＋2i
4＋3i
1＋2i
1－2i
1－2i
＝
10－5i
5
＝2－i，所以z＝2

2
2 010
i1＋23i
＋()＝
1－i
1＋23i
2
21 005
2
1 005
＋[()]＝i＋()
1－i－2i
＝i＋i
1 005
＝i＋i
4×251
＋
1
＝i＋i＝2i.
4、高考连线
复数在高考中占有很重要的地位。高考中多以选择题形式出现，属易得分题型，要求学生必须掌握。
5、课堂小结
对给定的三个复数z
1
＝a< br>1
＋b
1
i，z
2
＝a
2
＋b
2< br>i，z
3
＝a
3
＋b
3
i，你能研究些什么
用什么样的方法来研究(数系的扩充，当复数的虚部为0时，复数也就是特殊的
实数；复数的分类；复数 相等的概念；复数的几何意义；复数的模；复数的运算；
复数的运算律；任一个复数的共轭复数及性质等 本章所学的所有知识．用类比、
转化、数形结合、化虚为实等思想方法来研究．)
6、布置作业
习题 A组4、5题．
7、补充练习
基础练习
⑴复数(15＋8i)(－1－2i)的值为________．
⑵已知复数z
1< br>＝3＋4i，z
2
＝t＋i，且z
1
·z
2
是实数， 则实数t等于( )
43
C．－
3
D．－
4

m－2i
⑶复数z＝在复平面上对应的点不可能位于( )
1＋2i
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
z
1
⑷ 若z
1
＝a＋2i，z
2
＝3－4i且
z
为纯虚数，则实数 a的值为__________．
2
111
⑸已知z
1
＝5＋10 i，z
2
＝3－4i，
z
＝
z
＋
z
，求z .
12
5
答案：－38i －
2
i.
拓展练习
⑹已知2i－3是关于x的方程2x
2
＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．

思路分析：2i－3是方程的根，代入方程后根据复数相等的定义，化虚为实，
即可求得．
解：由已知得：2(2i－3)
2
＋p(2i－3)＋q＝0，
?
10－3p＋q＝0，
从而(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0.于是，有
?
解得p＝12，q
?
2p－24＝0，
＝26.
点评：解决复 数问题的关键就是转化为实数问题来处理，复数相等就是实现
这一转化的很好的工具．

三、案例反思
本节课是本章的重点内容，同时复数乘、除法的法则的理解更是难点．故在本节课的设计上多次采取类比的方法，使知识在不失其本质的情况下，更易于理
解．同时这种处理方 法可以使新知识与所学知识建立联系性，有利于知识的网络
化和系统化．
在整个设计上突出了 问题驱动式的教学方法，以问题为主线，以学生为主体，
随着问题的提出与解决，教学内容也被随之很好 地学习与理解．
在例题和习题的设计环节上，力求突出本节课的重点：熟练掌握复数的乘除
法 运算以及数学思维方式与技能形成的培养．例题的选题目的有三：一是巩固所
学法则及运算律；二是通过 一题多解培养学生的发散思维能力；三是培养计算能
力，以形成技能．变练演编的第1题考查学生灵活运 用知识、发散思维及逆向思
维的能力；第2题则是使学生更加深刻地体会复数除法的实质就是“分母实数 化”，
培养学生问题理解的深刻性、全面性．为了进一步巩固所学，又设计了巩固练习、
达标检 测和补充练习等环节．在补充练习中为学有余力的同学安排了拓展练习，
增加思维量的同时也开阔了视野 ．
我们知道，对于实系数一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0，如果b
2< br>－4ac<0，那么
它在实数集R内没有实根．现在把实数集R扩充为复数集C，再来考察这一问
题．经过变形，原方程可以化为
∴x
2
＋2·x·
x
2＋
bc
a
x＝－
a
，
bb
2
b2
cb
2
b
2
－4ac
b
2
＋()＝ ()－，(x＋)＝，(x＋
2a2a2aa2a2a
2
2a
)＝－