高中数学知识网络框架pdf下载-高中数学原式
课 题:
2.4.1 反函数(一)
教学目的:掌握反函数的概念和表示法,会求一个函数的反函数
教学重点:反函数的定义和求法
教学难点:反函数的定义和求法
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
教材分析:
反函
数是数学中的一个很重要的概念,它是我们以后进一步研究具体函
数类即五大类基本初等函数的一个不可
缺少的重要组成部分
本节是一节概念课,关键在于反函数概念的建立反函数是函数中的一
个特
殊现象,对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的
进一步深化和提高反函数概念的建
立,关键在于让学生能从两个函数关系
的角度去认识它,从而深化对函数概念的认识
本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开
由于函数是一种对应关系,
这个概念本身不好理解,而反函数又是函数
中的一种特殊现象,它是两个函数之间的关系所以弄清函数与
其反函数的
关系,是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中,通过对具
体例子的求
解,不但使学生掌握求反函数的方法步骤,并有意识地阐明函数
与反函数的关系深化了对概念的理解和掌
握
教学过程:
一、复习引入:
我们知道,物体作匀速直线运动的位移s是时间
t的函数,即s=vt,其中
速度v是常量,定义域t
?
0,值域s
?<
br>0;反过来,也可以由位移s和速度v
(常量)确定物体作匀速直线运动的时间,即
t?
s
,这时,位移s是自变
v
量,时间t是位移s的函数,定义域s
?
0,值域t
?
0.
又如,在函数
y?2x?6
中,x是自变量,y是x的函数,定义域x
?
R,
值域y
?
R.
我们从函数
y?2x?6
中解出x,就可以得到式子
x?
样,对于y在R中任
何一个值,通过式子
x?
y
?3
.
这
2
y
?3
,x在R中都有唯一的
2
值和它对应. 因此,
它也确定了一个函数:y为自变量,x为y的函数,定
义域是y
?
R,值域是x
?
R.
综合上述,我们由函数s=vt得出了函数
t?
s
;由函
数
y?2x?6
得出
v
第 1页(共5页)
了函数
x?
y
?3
,不难看出
,这两对函数中,每一对中两函数之间都存在
2
着必然的联系:①它们的对应法则是互逆的;②
它们的定义域和值域相反:
即前者的值域是后者的定义域,而前者的定义域是后者的值域.
我们称这样
的每一对函数是互为反函数.
二、讲解新课:
反函数的定义
一般地,设函数
y?f(x)(x?A)
的值域是C,根据这个函数中x,y
的关
系,用y把x表示出,得到x=
?
(y). 若对于y在C中的任何一个值,通过
x=
?
(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=
?
(y
)就表示y是自变
量,x是自变量y的函数,这样的函数x=
?
(y) (y
?
C)叫做函数
y?f(x)(x?A)
的反函数,记作
x?f
?1
(y)
,习惯上改写成
y?f
?1
(x)
开始的
两个例子:s=vt记为
f(t)?vt
,则它的反函数就可以写为
f
?1<
br>(t)?
t
,同样
y?2x?6
记为
f(x)?2x?6,则它的反函数为:
v
f
?1
(x)?
x
?3
.
2
探讨1:所有函数都有反函数吗?为什么?
反函数也是函数,因为它符合函数
的定义,从反函数的定义可知,对于
任意一个函数
y?f(x)
来说,不一定有反函数
,如
y?x
2
,只有“一一映射”
确定的函数才有反函数,
y?x<
br>2
,
x?[0,??)
有反函数是
y?x
探讨2:互为反函数定义域、值域的关系
从映射的定义可知,函数
y?f(x)是定义域A到值域C的映射,而它
的反函数
y?f
?1
(x)
是
集合C到集合A的映射,因此,函数
y?f(x)
的定
?1
义域正好是它的反
函数
y?f
反函数
y?f
定义域
值 域
?1
函数
y?f(x)
的值域正好是它的
(x)
的值域;
?1<
br>(x)
的定义域
f[f
函数
y?f(x)
A
C
?1
(x)]?x,f
?1
[f(x)]?x
(如下表):
反函数
y?f
C
A
?1
(x)
探讨3:
y?f(x)
的反函数是?
第 2页(共5页)
若函数
y?f(x)
有反函数
y?f<
br>?1
(x)
,那么函数
y?f
?1
(x)
的反函数就
?1
是
y?f(x)
,这就是说,函数
y?f(x)
与y?f
三、讲解例题:
例1.求下列函数的反函数:
(x)
互为反函数
①
y?3x?1(x?R)
;
②
y?x?1(x?R)
;
③
y?
3
x?1(x?0)
;
④
y?
2x?3
(x?R,且x?1)
.
x?1
解:①由
y?3x?1
解得
x?
y?1
3
x?1
(x?R)
,
3
∴函数
y?3x?1(
x?R)
的反函数是
y?
②由
y?x?1(x?R)
解得x=
3
y?1
,
3
∴函数
y?x?1(x?R)
的反函数是
y?
3
x?1(x?R)
2
③由y=
x
+1解得x=
(y?1)
,
3
∵x
?
0,∴y
?
1.
∴函数
y?
④由
y?
x?1(x?0)
的反函数是x=
(y?1)
2<
br> (x
?
1);
y?3
2x?3
解得
x?
y?2
x?1
∵x?{x
?
R|x
?
1},∴y<
br>?
{y
?
R|y
?
2}
∴函数
y?
2x?3x?3
(x?R,且x?1)
的反函数是
y?(x?R,x?2)
x?1x?2
小结:⑴求反函数的一般步骤分三步,一解、二换、三注明
⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到,而不能由反函数的解析式得到
⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数,即判断映射是否是一
一映射
例
2.求函数
y?3x?2
(
x?R
)的反函数,并画出原来的函数和它
的反函数的图像
解:由
y?3x?2
解得
x?
y?2
3
第
3页(共5页)
∴函数
y?3x?2(x?R)
的反函数
是
y?
4
x?2
(x?R)
,
3
-4-2
y=3x-2
3
2
1
它们的图像为:
例3求函数
y?1?1?x
(?1
y=
3
46
2
y=x
2
-1
-2
-3
解:∵ ?1
<1 ∴0<1
?
x
< 1
∴ 0 <
1?x
2
< 1
∴0 < y <1
由:
y?1?1?x
2
解得:
x??2y?y
(∵ ?1< x < 0 )
∴
y?1?1?x
2
(?1
2
(0
例4
已知
f(x)
=
x
-2x(x≥2),求
f
?1
2
2
(x)
.
2?4?4y
解法1:⑴令y=
x
-2x,解此关于x的方程得
x?
,
2
2
∵x≥2,∴
x
?
2?4?4y
,即x=1+
1?y
--①,
2
⑵∵x≥2,由①式知
1?y
≥1,∴y≥0--②,
⑶由①②
得
f
?1
(x)
=1+
1?x
(x≥0,x∈R); 2
22
解法2:⑴令y=
x
-2x=
(x?1)
-1,
∴
(x?1)
=1+y,
∵x≥2,∴x-1≥1,∴x-1=
1?y--①,即x=1+
1?y
,
⑵∵x≥2,由①式知
1?y
≥1,∴y≥0,
2
⑶∴函数
f(x)
=
x
-2x(x≥2)的反函数是<
br>f
?1
(x)
=1+
1?x
(x≥0);
说明:二
次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x,也可以
用配方法求x,但开方时必须注意原来函数
的定义域.
第
4页(共5页)
四、课堂练习:课本P63练习:已知函数
y?f(x),求它的反函数
y?f
(1)
y??2x?3
(x∈R)
(2)
y??
(3)
y?x
4
?1
(x)
2
(x∈R,且x≠0)
x
x
5
(x≥0) (4)
y?
(x∈R,且x≠
?
)
3x?53
五、小结
本节课学习了以下内容:
反函数的定义及其注意点、求法步骤
六、课后作业:课本第64习题2.4:1
七、板书设计(略)
八、课后记:
第 5页(共5页)
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