初高中数学衔接教案

第一讲 数与式
1.1 数与式的运算 1.
１.1．绝对值 绝对值的代数意义
：正数的绝对值是它的本身，
负数的绝对值是 它的相反数，零的绝对值仍是零．即
绝对值的几何意义
：一个数的绝对值，
是数轴上表示它的点到原点的距离．

两个数的差的绝对值的
几何意义
：表示在数轴上，数和数之间的距离．
1．填空：

（1）若，则x=_________；若，则
b
a
练

习


（2）如果，且，则b＝________；若，则c＝________.
．选择题： 下列叙述正确的是
（ ）

（A）若，则 （B）若，则
则 （D）若，则

（C）若，
－
3．化简：|x－5|－|2x13|（x＞
5）．
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（
1
）平方差公式
；
方公式
．
乘法公式： ；
（
2
）完全平
我们还可以通过证明得到下列一些< br>（
1
）立方和公式

）三数和平方公式



（
4
）两数和立方公式
；
）两数差立方公
（
2
）立方差公式
；
；
（
3
（
式


．
5
对上面列出的五个公式，有兴趣的同
学可以自己去证明．

22
例
1 计算：．

例
2 已知，，求的值．
练 习
1．填空： 111122 （1）； （ ）
（2） ；
(3 ) ．
完全平方式，则等于 （ ）


942322
)2222
．选择题： 12（1）若是一个

2111222
2
（C）
（D） （A） （B）mmmm

416322（2）不论，为何实数，的值
（ ） b
a
（A）总是正数 （B）总是负
数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式

一般地，形如的代数式叫做二次根
式．根号下含有字母、且不能够开
，，等是有理式．

222
得尽方
的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而

2

2

2
1．分母（子）有理化 把分母 （子）中的根号化去，
叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理
化，需要引入有理化因 式的概念．两个含有二次根
式的代数式相乘，如果它们的积不

含有二次根式，< br>我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，
与，
a3a22

式．

与，与，与，等等． 一般地，

与，与互为有理 化因
分母有理化的方法是分母和分子
都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过
程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有

理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的
化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式
乘法进行，运算

中要运用公式；而对于二次根式的
除法，通常先写成分式的形式，然后
通过分母有理化 进行运算；二次根式的加减法与多
项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合
并同类二次 根式．

2
2．二次根式的意义
a 2


2
例1 将下列式子化为最简二次根式：

62
（1）； （2）； （3）．
算：．
－

例2 计
例3 试比较下列各组数的大小： 2

（1）和； （2）和.

例4 化简：．



1

2例 5
化简：（1）； （2）．
求的值 ．
＝__ ___；

例 6 已知，
（1）练 习 1．填空：


2
（2）若，则的取值范围是_


_ ___；
x
（3）__ ___；
（4）若，则______
．选择题：

xx等式成立的条件
（A） （B） （C） （D）
．若，求的值．

__．

是 （ ）

4．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）． 1.1.４．分式
1．分式的意义 AAA形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分
式．当M
≠0
时，分式

BBB具有下列性质： 3

；

．


上述性质被称为分式
像，这样，分子或分母中又含有
例1 若，求常数的
例2 （1）试证：
的基本性质． 2．繁分式 a

分式的分式叫做繁分式．

值．



解得 ．
（其中n是正整数）；

111
（2）计算：；
1111 （3）证明：对任意大于1的正整数


a
n， 有．
2a＝0，求e的值．
()；
（ ）


c
22例3 设，且e＞1，2c－5ac＋
练 习 1．填空题：
11
1对任意的正整数n，

nn
2．选择题： 若，则＝
546
（A）１ （B） （C） （D）

．正数满足，求的值．


455
算．

(1)
1111
4．计
习题1．1 1．解不等式： 4


；
(2)
；
２．已知，求的值．

(3) ． ．填空：

1819（1）＝________；
________；
a
22（2）若，则的取值范围是

（3）________．
．2 分解因式 因式分解的主要方法有：十字
相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法，另外还应了解求根法及
待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式： 22 （1）x－3x＋2；
（2）x＋4x－12； （3）； （4）．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x分解成图中的两个x的积，再将常数
项2分2解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为

－3x ，就是x－3x＋2中的一次项，所以，有 2x－3x＋2＝(x－1)(x－
2)． 1 －2 x x 1 －ay －1 －1

x 1 －2 x 1 6 －by －2 图
1．2－1 图1．2－3 图1．2－4 图1．2－2 说明：今后在分解与本例
类似的二次三项式时，可以 直接将图1．2－1中的两个x用1来表示
（如图1．2－2所示）． （2）由图1．2－3，得 2x＋4x－12＝(x－2)(x＋
6)． （3）由图1．2－4，得 x －1 22 ＝

y 1 （4）＝xy＋(x－y)－1
图1．2－5 ＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 5

2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式：
（1）； （2）．
（2）=
==．
2)(


或 =
=
2
3．关于 =．
x的二次三项式ax+bx+c(a≠0)的因式分解． 若关于x
的方程的两个实数根 是、，则二次三项式
2
就
式分解因式
可
：
分

解
（1
为.
例3 把下列关于x的二次多
项）；
（2）．
个因式为 （ ）
练 习
1．选择题： 22多项式的一
（A） （B） （C） （D）
．分解因式： 233（1）x＋6x＋8； （2）

8a－b； 2（3）x－2x－1； （4）．
习题
1．2
1．分解因式： 342 （1） ； （2）；
13
（4）．
式分解：

2
（4）．
222
3
（1） ； （2）；

（3）；
．在实数范围内因
（3）；
．三边
b
，，满足，试判定的形
状． 4．分解因式：x＋x－(a
－a)．
第二讲 函数与方程

2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式
2我们知道，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将
其变形为 ．

22a4a2因为a≠0，所以，4a
＞0．于是 2（1）当b－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，
原方程有两个不相等的实数根

＝； 12，2a2（2）
当b－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
b x＝x＝－； 12

2ab2
2
（ 3）当b－4ac＜0时，方程①的右端是一
个负数，而方程①的左边一

2a定大于或等于零，因此，原方程没
有实数根． 22由此可知，一元二次方程ax＋bx＋ c＝0（a≠0）的根的情
况可以由b－4ac来判22定，我们把b－4ac叫做一元二次方程ax＋ bx＋
c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 2综上所述，对于一
元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相
等的实数根

ac x＝； 12，2a（2）当Δ＝0时，方程
有两个相等的实数根 b x＝x＝－； 12

2a（3）当Δ＜0时，方程

没有实数根． 例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），
如果方程有实数根，写出方程的实数根． 7

22
（1）x－3x＋3＝0； （2）x－ax－1＝0；
22
（3） x－ax＋(a－1)＝0； （4）x－2x＋a＝0． 说
明 ：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随
着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类
讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非
常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一
方法来解决问题．
2.1.2
根与系数的关系（韦达
定理）
2
若一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有
两个实数根

则有

122a2a2aa

2
12222a2a4a4aa

，，
；
．

122a2a


所以，一元二次方程的根与系数之间存
一
在下列关系：
bc2
如果ax＋bx＋c＝0（a≠0）的两根
分别是x，x，那么x＋x＝，xx＝．这

aa
关系也被称为韦达定理．
2
特别地，对于二次项系
数为1 的一元二次方程x＋px＋q＝0，若x，x是其
两根，
12
由韦达定理可知 x＋x＝－p，xx＝
q，
·1212
即 p＝－(x＋x)，q＝xx，
·121222
所以，方

程x＋px＋q＝0可化为 x－(x＋x)x＋xx＝0，由于x，
x是一元二
·12121222
次方程x＋px＋q＝0的两根，所
以，x，x也是一 元二次方程x－(x＋x)x＋xx＝
0．因
·121212
此有 以两个数x，x为根的一元二次方
程（二次项系数为1）是
根及k的值．
122
x－(x＋x)x＋xx＝
0．
·1212
2
例2 已知方程的一个根是2，求它的另一个
－例3 已知关于x的方程
x＋2(m2)x＋m＝ 0有两个实数根，并且这两个
＋4
实
数根的平方和比两个根的积大21，求m的值． 例4
已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
2
例
5 若x和x分别是一元二次方程2x＋5x－3＝0的两
根．
12
（1）求| x－x|的值；
12 8

11
（2）求的值；

22xx1233
（3）x＋x．
12

2
例
6
若关于x的一元二次方程x－x＋a－4＝0的一根大于零、另一 根小于零，
求实数a的取值范围．
练 习
1．选择题：

22（1）方程的根的情况
是 （ ） （A）有一个实数根 （B）
有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
2（2）若关于x的方程mx＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，
则实数m的取值范围是 （ ） 11 （A）m
＜ （B）m＞－

4411 （C）m＜，且m≠0 （D）m
＞－，且m≠0

442．填空: 112（1）若方程x－3x－1＝0的两根分别
是x和x，则＝ ．

xx

122（2）方程mx＋x－2m＝0（m≠0）的

根的情况是 ．

（3）以－3和1为根的一元二次方程
是 ．

2
2
3．已知，当k取何值时，方程kx＋ax＋b＝0有
两个不相等的实数根？ ．已知方程x－3x－1＝0
的两根为x和x，求(x－3)( x－3)的值． 1212
习题2.1
1．选择
题: 2（1）已知关于x的方程x＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个
根是（ ） （A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2 （2）下列
四个说法： 2 ①方程x＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
2②方程x－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7； 72③方程3 x
－7＝0的两根之和为0，两根之积为；

32④方程3 x＋2x＝0的两根
之和为－2，两根之积为0． 其中正确说法的个数是 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 9

22
（3）关于x的一元二次方程ax－5x＋a＋a＝0的一个根是0，
则a的值是（ ） （A）0 （B）1 （C）－1 （D）
0，或－1 2．填空:
2
（1）方程kx＋4x－1＝0的两根之和为－2，
则k＝ ．

222
（2）方程2x－x－4＝0的两根为α，β，则α
＋β＝ ．

2
（3）已知关于x的方程x－ax－3a＝0的一个
根是－2，则它的另一个根是 ．

2
（4）方程2x＋2x－
1＝0的两根为x和x，则| x－x|＝ ．
1212


22
3．试判定当
m取何值时，关于x的一元二次方程mx－(2m＋1) x＋1＝0有
两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
2
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x－7x－1＝
0各根的相反数．
2．2 二次函数 2 2.2.1 二次函数y＝ax＋bx＋c

的图像和性质 22二次函数y＝ax(a≠0) 的图象可以由y＝x的图象各点的
纵坐标变为原来的a倍得2到．在二次函数y＝ax(a≠0)中，二 次项系数a
决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小． 2二次函数y
＝a(x ＋h)＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定
了二次函数图象的左右平移 ，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次
函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”． 2由上面的结论，我
们可以得到研究二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象的方法： 22bbbb222
由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋)＋c＝a(x＋＋)＋c－ xx


2a4a22
，
所以，y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象可以看 作是将函数y
＝ax的图象作左右平移、2上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax＋bx
＋ c(a≠0)具有下列性质：
（1）当a＞0时，函数y＝ax＋

2a4ab bb
bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线
x＝－；当x＜时，y随着x的增大而 减小；当x＞时，y随着x
的增大
＝．


而增大；当x＝时，函数取最小值y
（2）当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c

2a4abbb
图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；

当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的
2a2a2a 10

2
增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝．

2
a4a
2
－
例1 求二次函数y＝3x－6x＋1图象的 开口方向、对称轴、顶点坐标、
最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减
小）？并画出该函数的图象． 2例2 把二次 函数y＝x＋bx＋

c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数2y＝ x的图
像，求b，c的值． 2例3 已知函数y＝x， －2≤x≤a，其中a≥
－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对
应的自变量x的值． 练 习 1．选择题： （1）下列函数图象中，顶点
不在坐标轴上的是 （ ） 22 （A）y＝2x （B）y＝
2x－4x＋2 22（C）y＝2x－1 （D）y＝2x－4x 22（2）函数y＝
2(x－1)＋2是将函数y＝2x （ ） （A）向左平移1个单位、再
向上平移2个单位得到的 （B）向右平移2个单位、再向上平
移1个单位得到的 （C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到
的 （D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题 2
（1）二次函数y＝2x－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n
＝ ．

2（2）已知二次函数y＝x+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数
图象的顶点在y轴上；当m＝

时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝
时，函数图象经过原点．

2（3）函数y＝－3(x＋2)＋5的图象的开口
向 ，对称轴为 ，顶点坐标

为 ；当x＝ 时，函数取最
值y＝ ；当x 时，

y随着x的增大而减小． 3 ．求下列抛物线的开
口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出
其 图象． 22（1）y＝x－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x． 24．已 知函
数y＝－x－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大
值或最 11

小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：
（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．
2.2.2 二

次函数的三种表示方式 通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可
以表示成以下两种形式： 21．一般式：y＝ax＋bx＋c(a≠0)； 22．顶点式：
y＝a(x＋h)＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)． 3．交点式：y＝a(x－x)
(x－x) (a≠0)，其中x，x是二次函数图象与x轴交点的1212横坐标．
例

1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，
并且图象经过点（3，－1），求二次 函数的解析式． 例2 已知
二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等
于2，求此二次函数的表达式．
例3 已知二次函数的图象过点(－1，
－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 练 习
1．选择
题:
2
（1）函数y＝－x＋x－1图象与x轴的交点个数是
（ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法
确定 1
2
（2）函数y＝－ (x＋1)＋2的顶点坐标是
（ ）

2 （A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2)
（D）(－1，－2) 2．填空： （1 ）已知二次函数的图象经过与x
轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝ a
(a≠0) ．

2
（2）二次函数y＝－x+23x＋1的函数图象与x轴两
交点之间的距离为 ．

3．根据下列条件，求二次函数的解
析式． （1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；
（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（3）
函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于
(0，－2)．
习题2．2
1．选择题：
2
－
（1）把函数y＝－(x1)
＋4的图象的顶点坐标是 （ ） （A）（－1，4）

（B）（－1，－4） （C）（1，－4） （D）（1，4）
12

2
－
（2）函数y＝x＋4x＋6的最值情况是 （ ）
（A）有最大值6 （B）有最小值6 （C）有最大
值10 （D）有最大值2
2
（3）函数y＝2x＋4x－5中，
当－3≤x＜2时，则y值的取值范围是 （ ） （A）－
3≤y≤1 （B）－7≤y≤1 （C）－7≤y≤11
（D）－7≤y＜11 2．填空： （1）已知某二次函数的图象与x
轴交于A(－2 ，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数
的表达式为 ．

（2）已知某二次函数的图象过点（－
1，0），（0，3），（1，4） ，则该函数的表达式
为 ．

2
3．把 已知二次函数y＝2x＋4x＋7的图象向下平
移3个单位，在向右平移4个单位，求所得图象对应的函 数表
达式． 4．已知某二次函数图象的顶点为A（2，－18），它与x
轴两个交点之间的距 离为6，求该二次函数的解析式．
2.3
方
程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
方程

是一个含 有两个未知数
,
并且含有
未知数的项的最高次数是
做一次项
,6叫做常
方程组
2
的整式方程
,
这样的方程
叫做二元二次 方程．其中
,,
叫做这个方程的二次项
,,
叫
2
2
x
yx2xy
y
数项．

我们看下面的两个

：< br>第
一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次

方程组成的，第二个 方程组是由两个二元二次方程
组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．

下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元
一次方程组成的方程组的解法．

一个二元二次方程
和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入
消元法来解．
例1
解方程组


①

②
例2 解方程组

的解?
（3） （4）
列方程组:
（4）
练 习

2．解下
（1） （2）
1．下列各组中的值是不是方程组
（1） （2）

（3）

2.3.2 一元二次不等式解
法 2 （1）当Δ＞0时，抛 物线y＝ax＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共
点(x，0)和(x，0)，方程122ax＋b x＋c＝0有两个不相等的实数根x和x(x
＜x)，由图2.3－2
①可知
12122不等式ax＋bx＋c＞0的解为

x＜x，或x＞x；
122 不等式ax＋bx＋c＜0的解为
x＜
x＜x．
1222 （2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax＋bx＋c（a＞0） 与x轴
有且仅有一个公共点，方程ax＋bxb＋c＝0有两个相等的实数根x＝x＝
－ ，由图2.3－2②可知

122a2不等式ax＋bx＋c＞0的解为
b
x≠－ ；

2a
2 不等式ax＋bx＋c＜0无解． 22
（3）如果△＜

0，抛物线y＝ax＋bx＋c（a＞0）与x轴没有 公共点，
方程ax＋，bx＋c＝0没有实数根由图2.3－2③可知
2
不等式ax＋bx＋c＞0的解为一切实数；
2
不等式ax
＋bx＋c＜0无解． 例3 解不等式：
22
－
（1）x＋2x
－3≤0； （2）xx＋6＜0； 14

22
（3）4x＋4x＋1≥0； （4）x－6x＋9≤0；
2
（5）－
4＋x－x＜0．

2
例4已知函数y＝x－2ax＋1(a为常数)在
－2≤x≤1上的最小值为n，试将n用a表示出来．
练

习

1．解下列不等式：
22
（1）3x－x－4＞0； （2）x－x
－12≤0；
22
≤0． （3）x＋3x－4＞0； （4）16－8x＋x
22
≤0（a为常数）． 2.解关于x的不等式x＋2x＋1－a
习题2．3
1．解下列方程组：
2
（2）
222.
420;
222(
2
3)0;
9,
22
1,
4,

（1）
（3）
2．解下列不等式：
22
（1）3x－2x＋1＜0；
（2）3x－4＜0；
22
≥－1； （4）4－x≤0． （3）
2x－x
第三讲 三角形与圆
3
．
1
相似形
3.1.1
．平行线分线段成比
例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
.
ABDEABDE
如图< br>3.1-2
，，有
.
当然，也可以得出
.
在运用该定理l
l

123
BCEFACDF解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间 的对应

关系，是“对应”线段成比例
.

例1

如图
3.1-2
，

，

l

l

l
123
且求
.
AB=2,
BC
=3,
DF
=4,
DE
,
EF 15

例2 在中，为边上的点，， 求

证：.

ABACBC
平行于三角形的一边的直线截其它两
边（或两边的延长线 ），所得的对应线段成比例. 平行
于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截
得的三 角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
ABBD
ACDC
例3 在中，为的平分线，求证：.
VABC?BAC=AD

例3的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为
角平分线分对边成比例（等于该

角的两边之比）.
练习1

1．如图3.1-6，，下列比例式正确的
lll123
是
（ ）
ADCEADBC
A． B．
==

DFBCBEAFCEADAFBE
C． D.
==

DFBCDFCE

图3.1-6


2．如图3.1-7，求
的平分线，
DEBC,EFAB,AD=5cm,DB=3cm,FC =2cm,
.
BF

图3.1-7
3．如 图，
在中，AD是角BAC
AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的
V ABC
长.


图3.1-8


16


3.1
．
2
．相似形

我们学过三角形相似的判定方法，想一想，
有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法< br>可以判定两个直角三角形相似？ 例6 如图3.1-12,在
直角三角形ABC中，为直角，.
?BACAD
^
BC于D

求证：（1），；
22
AB
=
BD

BCAC
=
CD

CB
（2）
2
AD
=
BD

CD
练习2
1．如图3.1-15，D是
V
ABC
DEBC的边AB上的一点，过D点作已知AD：DB=2：3，则等于
交AC于E.
（ ）
S:SVEDA四边形EDCB
A． B． C． D．
2:34:94:54:21
图
3.1-15
2．若一个梯