高中数学教案：导数的概念及运算

导数的概念及运算

目标认知

学习目标：

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数< br>在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。
2．熟记常函数C，幂函数x （n为有理数），三角函数sinx，cosx，指数函数e，a，对数函数
lnx，log
a
x的导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则；
3．掌握复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
nxx
重点：
导数的概念、常见函数的导数、函数的和、差、积、商的导数、复合函数的导数
难点：
导数的概念、复合函数的导数。
知识要点梳理

知识点一：函数的平均变化率

函数中,如果自变量在处有增量,那么函数值y也 相应的有增量△y=f(x
0
+△
x)-f(x
0
),其比值叫做函 数从到+△x的平均变化率，即
。
若
到
，，则平均变化率可表示为，称为函数从
的平均变化率。
注意：
1．事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增< br>量的比值；
2．函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。
3．函数
割线的斜率。
4．
的平均变化率的几何意义是表示连接函数图 像上两点
是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均
更小考虑。 变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取
知识点二：导数的概念：

1．导数的定义：
对函数，在点处给自变量x以增量Δx，函数y相应有增量
。若 极限存在，则此极限称为

在点x
0
处的导数，记作或，此时也称在点x
0
处可导。 即：
（或
注意：增量△x可以是正数，也可以是负数。
2．导函数：如果函数在开区间
）
内的每点处都有导数，此时对于每一个
，从而构成了一个新的函数, 称这，都对应着一个确定的导数
个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，
处的导数不是同一概念，
在
是常数，是函数 注意：函数的导数与在点
在处的函数值，反映函数附近的变化情况。
3．导数几何意义：
1. 曲线上一点P(x
0
，y
0
)及其附近一点Q(x
0
+△x,y
0
+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜
角为 当点Q(x
0
+△,y
0
+△y)沿曲线无限接近于点P(x
0，y
0
)，即△x→0
时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线 。
若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。曲线的切线是割 线
的极限位置，即：
2. 导数的几何意义：函数y=f(x)在点x
0
的导数是曲线
斜率。
3. 如果在点可导，则曲线
。
4. 若曲线
，切线与
在点处的导数
在点（
。
上点（）处的 切线的
）处的切线方程为：
不存在，就是切线与
，切线与
轴平行。
，切线轴正向夹角为锐角； 轴正向夹角为钝角；
与轴平行。
5（3）可导与连续的 关系：如果函数y=f(x)在点x
0
处可导，那么函数y=f(x)在点x
0
处连续。

4. 瞬时速度：
我们知道物体运动的速度等于位移与时间的比 ，而非匀速直线运动中这个比值是变化的，如何了解
非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采 用瞬时速度这一概念。
如果物体的运动规律满足s=s(t)(位移公式)，那么物体在时刻t的 瞬时速度v，就是物体t到t+

△t这段时间内，当△t→0时平均速度的极限，即 如果把函数
体在时刻
看作是物体的运动方程（也叫做位移公式），那么导数
。
表示运动物
的瞬时速度。
知识点三：常见基本函数的导数公式

（1）
（3）
（5），
（C为常数），
，
（2）
（4）
（6），
（n为有理数），
，



（7）， （8），
知识点四：函数四则运算求导法则

设，均可导 （1）和差的导数：


（2）积的导数：
（3）商的导数：（）
知识点五：复合函数的求导法则

1.一般地，复合函数
的导数，乘以中 间变量对自变量
对自变量
的导数
的导数
，即
，等于已知函数
或
对中间变量

注意：选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间 变量，注意逐层求导，不遗漏。
其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量 的函数。
2．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：
（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；
（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；
（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。
整个过程可简记为分解——求导——回代。 熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相
应地多次用中间变量。
规律方法指导

1. 理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算 的前提条件。具体解题时，还应结
合函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，调动思维的积极性 ，在解决新问题时，触类旁通，
得心应手。
2．熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。
3. 对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。

典型例题：
例1．求下列函数的导数
①y=(2x-3)
5
② ③ ④y=sin
3
2x
解析：① 设u=2x-3，则y=(2x-3)
5
分解为y=u
5
，u=2x-3
由复合函数的求导法则得： y'=f'(u)u'(x)=(u
5
)'(2x- 3)'=5u
4
·2=10u
4
＝10(2x-3)
4

② 设u=3-x，则可分解为，
。
③

④ y'=3(sin2x)
2
·(sin2x)'=3sin
2
2xcos2x(2x)'=6·sin
2
2x·cos2x
例2．已知曲线
点切线方程。
，问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一
解析：
得x=4，代入，得y=5，
，令，即，
∴曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直，切线方程为，即
x-2y+6=0。

例3．已知曲线C：y=3x
4
-2x
3
-9x
2
+4。
① 求曲线C上横坐标为1的点的切线方程； ② 第①小题中切线与曲线C是否还有其
它公共点。
解析：①把x=1代入C的方程，求得y=-4，∴ 切点为(1,-4)，y'=12x
3
-6x
2
-18x
∴ 切线斜率为k=12-6-18=-12，∴ 切线方程为y=-12x+8。
②由 得3x< br>4
-2x
3
-9x
2
+12x-4=0，即(x-1)
2
(x+2)(3x-2)=0，
。

公共点为(1,-4)（切点），，除切点外，还有两个交点。
评析：举例说明曲线与直线相切 并不说明只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们
知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种 观点对一般曲线不一定正确。
*例4．设，求f'(x)。
解析：当x>0时，，当x<0时，，
由于x=0是该函数的分界点，由导数定义知


由于f'
+
(0)=f'
-
(0)=1，故有f'( 0)=1于是：，即：
。
例5．已知使函数的导数为0的x值也使y值为0，求常数a。
解析：y'=3x
2
+2ax，令y'=0，得x=0或，
由题设x=0时，y'=y=0，此时
训练题：
1．已知函数
，∴a=0；当时也解出a=0。
，且f'(1)=2，则a的值为______。
2．设f(x)=xlnx，则f'(2)=________。
3．给出下列命题：

①； ②(tanx)'=sec
2
x
③函数y=|x-1|在x=1处可导； ④函数y=|x-1|在x=1处连续。 其中正确的命题有：
_____。
4．函数y=cosx在点处的切线方程为_______。
5．已知函数f(x)=ax4
+bx
3
+cx
2
+dx+e为偶函数，它的图象过点A(0 ,-1)，且在x=1处的切线
方程为2x+y-2=0，求函数y=f(x)的表达式。
参考答案：
1. 2 2.

















3. ②，④ 4.
5．解：∵ f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)，∴ b=d=0，f(x)=ax
4
+cx
2
+e，
又∵ 图象过点A(0，-1)，∴ e=-1，∴ f(x)=ax
4
+cx
2
- 1，f'(x)=4ax
3
+2cx，
当x=1时，f'(1)=4a+2c=-2......①
对于2x+y-2=0，当x=1时，y=0。
∴ 点(1,0)在f(x)图象上，a+c-1=0........②
由①，②解出a=-2，c=3，
因此f(x)=-2x
4
+3x
2
-1。