高中数学教案：随机事件

随机事件
课程目标
知识点
随机事件
考试要求
B
具体要求
了解随机事件与概率的概念，理解
古典概型及其概率计算公式 ，会用
列举法计算一些随机事件所含的基
本事件数及事件发生的概率．
在具体情境中，了解随机事件的概
念．
了解概率的意义以及频率与概率的
区别
通过实例，理解古典概型及其概率
计 算公式，会用列举法计算一些随
机事件所含的基本事件数及事件发
生的概率．
了解随 机数的意义，能运用模拟方
法（包括计算器产生随机数来进行
模拟）估计概率，初步体会几何概
型的意义．
了解事件的关系，并可以利用事件
的关系，计算概率．
在具体情境中，了解条件概率和两
个事件相互独立的概念．
考察频率
必考
随机事件的概念
频率与概率
古典概型
A
A
B
少考
少考
必考
几何概型
B
少考
事件的关系与运算
事件的独立性与条件概率
B
A
少考
少考
知识提要
随机事件
在日常生活中，经常会遇到一些无法预测结果的 事情，这些事件被称为随机事件．概率是描述
随机事件发生可能性大小的度量．
随机事件的概念


? 必然事件
一般地，我们把在条件 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件 的必然事件（certain
event），简称必然事件．

? 不可能事件
在条件 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件 的不可能事件（impossible event），
简称不可能事件．
? 确定事件
必然事件与不可能事件统称为相对于条件 的确定事件，简称确定事件．
? 随机事件
在条件 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件 的随机事件（random
event），简称随机事件．
? 基本事件与基本事件空间
通常用大写英文字母 、 、 、 来表示随机事件，随机事件可以简称为事件．在一次试
验中，所有可能发生的基本结果， 它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件
可以用它们来描述，这样的事件称为基本事件（e lementary event），所有基本事件构成的
集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母 表示．
频率与概率
? 频率
在相同的条件 下重复 次试验，观察某一事件 是否出现，称 次事件中 出现的次
数

为事件 出现的频数（frequency），称事件 出现的比例





的频率（relative frequency）
? 概率
对于给定的随机事件 ，由于事件 发生的频率




随着试验次数的增加稳定于某个常
数，把这个常数记作



，称为事件 的概率，简称为 的概率．

? 频率与概率的区别与联系
①频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率，在实际问题中，
通常 事件发生的概率未知，常用频率作为它的估计值；
②频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确 定，做同样次数的重复试验得到的事
件发生的频率会不同．
③概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关．
④二者都介于 之间．



为事件 出现

古典概型
? 古典概型的概念
古典概型（classical models of probabi lity）需要满足两个特点：①试验中所有可能出现的基
本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可 能性相等．古典概率模型简称古典概型．
? 古典概型的计算公式
如果事件 满足古典概型，那么它的概率






包含的基本事件的个数

基本事件总数
几何概型
? 几何概型的概念 < br>如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的
概率模型 为几何概率模型（geometric models of probability），简称几何概型．
? 几何概型的计算公式
在几何概型中，事件 的概率的计算公式：







试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积
构成事件 的区域长度 面积或体积
事件的关系与运算
? 事件的关系
（1）包含关系：一般地，对于事件 与事件 ，如果事件 发生，则事件 一定
发生，这时称事件 包含事件 （或称事件 包含于事件 ），记作 （或
）．不可能事件记作 ，任何事件都包含不可能事件．
（2）相等关系：如果事件

发生，那么事件

一定发生，反过来也对，这时我们说这
两个事件相等，记作



．一般地，若 ，且 ，那么称事件 与事件
相等，记作 ．
? 事件的运算
（1）并（和）事件：若某事件发生当且仅当事件 发生或事件 发生，则称此事件为
事件 与事件 的并事件（或和事件），记作 （或 ）．

（2）交（积）事件：若某事件发生当且仅当事件 发生且事件 发生，则称此事件为
事件 与事件 的交事件（或积事件），记作 （或 ）．
? 互斥事件与对立事件
（1）互斥事件：若 为不可能事件（ ），那么称事件 与事件 互斥，
其含义是，事件 与事件 在任何一次试验中都不会同时发生．
（2）对立事件：若 为不可能事件， 为必然事件，那么称事件 与事件
互为对立事件，其含义是，事件 与事件 在任何一次试验中有且仅有一个发生．
对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
? 概率的几个基本性质
（1）概率的范围：由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在 之间，
从而任何事件的概率在 之间，即



．
（2）概率的加法公式：当事件 与事件 互斥时，











．
一般地，如果事件

，

， ，

两两互斥（彼此互斥），那么事件“





”
发生（是指事件

，

， ，

中至少有一个发生）的概率，等于这 个事件发生的概
率和，即


























（3）对立事件的概率：若事件 与事件 互为对立事件，则 为必然事件，




．
事件的独立性与条件概率
? 条件概率的概念
一般地，设 ， 为两个事件，且



，称















为在事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率（conditional probability）．



读
作 发生的条件下 发生的概率．
? 条件概率的性质
①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在 和 之间，即




．
②如果 和 是两个互斥事件，则

? 相互独立事件的概念
设 ， 为两个事件，若











，则称事件 与事件 相互独立
（mutually independent）．
相互独立事件同时发生的概率：如果事件

，

， ，

相互独立，那么这 个事件同
时发生的概率等于每个事件发生概率的积，即


























精选例题
随机事件
1. 如果从一卷粗细均匀的电线上截取 米长的电线，称得它的质量为 克，再称得剩余电线
的质量为 克，那么原来这卷电线的总长度是 米．


【答案】

（或

）

2. 从 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中任取 个不同的数，则这 个数的中位数是 的概
率为 ．


【答案】



3. 从



之间选出两个数，这两个数的平方和小于 的概率是



．


【答案】



4. 已知






，






，若向区域
上随机投一点 ，则点 落入区域 的概率为 ．


【答案】


【分析】 如下图所示：

则点 落入区域 的概率为



．




5. 已知平面区域









，



，













的概
率 ．


【答案】


6. 空气质量指数 （单位：

）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越
高，表示空气污染越严重：
日均浓度

空气质量级别
空气质量类别
一级
优
二级
良
三级
轻 度污染
四级
中度污染
五级
重度污染

六级

严重污染
某市2013年3月8日—4月7日（ 天）对空气质量指数 进行检测，获得数据后整理
得到如下条形图：

(1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；

【解】 由条形监测图可知，空气质量级别为良的天数为 天，所以此次监测结果中空气

质量为良的概率为



．
(2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取 个，求至少有一天空气质量类别为中度污
染的概率．

【解】 样本中空气质量级别为三级的有 天，设其编号为 ， ， ， ；
样本中空气质量级别为四级的有 天，设其编号为 ， ．
基本事件有：




，



，



，



，



，



，



，



，



，



，



，



，



，



，



共 个．
其中至少有一天空气质量类别为中度污染的情况有：




，



，



，



，



，



，



，



，




共 个．

所以至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为

．


7. 随机抽取某中学高三年级甲乙两班各 名同学，测量出他们的身高（单位： ），获得身
高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．

(1)若已知甲班同学身高平均数为 ，求污损处的数据．


【解】
，

解得 ，所以污损处是 ．
(2)现从乙班这 名同学中抽取两名身高不低于 的同学，求身高 的同学被
抽中的概率．

【解】 设“身高为 的同学被抽中”的事件为 ，

从乙班 名同学中抽取两名身高不低于 的同学有：



，



，



，



，



，



，



，



，



，



，共 个基本事件，
而事件 含有 个基本事件，

所以





．


8. 号箱中有 个白球和 个红球， 号箱中有 个白球和 个红球．现随机地从 号箱中取
出一个球放入 号箱，然后从 号箱中随机取出一个球，问：
(1)从 号箱中取出的是红球的条件下，从 号箱中取出红球的概率是多少？

【解】 记“从 号箱中取出红球”为事件 ，“从 号箱中取出的是红球”为事件 ．

则





，



．










．



(2)从 号箱中取出红球的概率是多少？


【解】 因为



，
所以





















．

9. 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有 个数据，其数据
分组如表．估计纤度落在



中的概率及纤度不小于 的概率是多少？
分组频数




























【解】 纤度落在



中的概率为
，
纤度不小于 的概率为
．


10. 设集合



，



，分别从集合 和 中随机取一个数 和 ，确定平面上
的一个点



，记“点



落在直线 上”为事件





．
(1)求 的值为偶数的概率；

【解】 把每次抽取的结果列表如下：

易得 的值为偶数的概率是 ．


(2)若事件

的概率最大，求 的值．


【解】 由题⑴的列表，可知

的概率最大为

，此时 ．

随机事件的概念
1. 下列事件是随机事件的是 （填序号）．
①连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上；
②异性电荷相互吸引；
③在标准大气压下，水在

时结冰；
④任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数．

【答案】 ①④

2. 将一枚硬币向上抛掷 次，其中正面向上恰有 次是 ．
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定

【答案】 B

3. 判断下列现象是否是随机现象．
（1）三角形的内角和为

；
（2）一批小麦种子的出芽率为 ；
（3）



的展开式中有常数项；

（4）京哈 T17 次列车正点到达哈尔滨站；
（5）2008 年北京奥运会的帆船项目的比赛在青岛举行．

【答案】 （1）否；（2）是；（3）否；（4）是；（5）否

4. 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．（1）在标准大气压下，水加热到


沸腾． ．（2）同一门炮向同一目标发射多发炮弹，其中 的炮弹击中目
标． ．（3）某人给朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在
键盘上按了一数字，恰巧 是朋友的电话号码． （4）技术充分发达后，不需要任何能
量的“永动机”将会出现． ．

【答案】 （1）必然事件；（2）随机事件；（3）随机事件；（4）不可能事件

5. 同时掷两枚骰子，点数之和在 点间的事件是 事件，点数之和为 点的事
件是 事件，点数之和小于 或大于 的事件是 事件，点数之差为 点的事
件是 事件．

【答案】 必然，随机，不可能，不可能

6. 盒中有 只白球 只黑球，从中任意取出 只球．
(1)“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？

【解】 不可能事件，概率为 ；
(2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？


【解】 随机事件，概率为

；
(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？

【解】 必然事件，概率为 ．

7. 掷两枚不同颜色的均匀的骰子，观察向上的点数．
(1)写出这个试验的基本事件空间 ；

【解】 用



（其中 表示一枚骰子的点数， 表示另一枚骰子的点数）表示基本事件，
这个试验的基本事件空间



















































(2)“点数之和等于 ”这一事件包含哪几个基本事件？

【解】 “点数之和等于 ”这一事件包含的基本事件是：



，



，



，



，





8. 盒中有 个白球和 个黑球，从中任意取出一个球．
(1)取出的球是黄球是什么事件？它的概率是多少？

【解】 不可能事件，它的概率是 ．
(2)取出的球是白球“是什么事件？它的概率是多少？


【解】 随机事件，它的概率是 ．

(3)”取出的球是白球或黑球“是什么事件？它的概率是多少？

【解】 必然事件，它的概率是 ．

9. 下列随机现象中，一次试验各指什么？它们各有几次试验？
(1)一天中，从北京开往沈阳的 列火车，全部正点到达；

【解】 一列火车开出，就是一次试验，共有 次试验．
(2)掷 次质地均匀的硬币，硬币落地时有 次正面向上；

【解】 掷一次硬币，就是一次试验，共有 次试验．
(3)箱中有 个正品和 个次品，从箱中随机连续抽取 次，每次取 个，取出后不放回，
取出的 个全是正品．

【解】 抽取一次产品，就是一次试验，共有 次试验．

(1)先后掷 分和 分的硬币各一枚，观察正反面出现的情况，写出这个试验的基本事件空
间 ，并说明事件 至少出现一次反面 与 的关系；

【解】 这个试验的基本事件空间为 正 正 正 反 反 正 反 反 ．
设事件 为“至少出现一次反面”，则 正 反 反 正 反 反 ， ．
(2)投掷一颗骰子，观察掷出的点数．记



，



，



，把 ， ，
看成数的集合，解释下列表达式对应事件的意义．
① ， ；
② ， ．

【解】



，表示“掷出点数为 ”；




表示“掷出点数为奇数或 ”；




，表示“掷出点数为 ”；




表示“掷出点数为偶数或 ”．

频率与概率
1. 利用简单随机抽样的方法抽查了某校 名学生，其中共青团员有 人，戴眼睛的有
人．若在这个学校随机抽查一名学生，则他是团员的概率为 ，他戴着眼睛的概率
为 ．

【答案】 ；

2. 我国西部某地区的降水量在下列区间的经验概率如下表所示：
年降水量













经验概率
则年降水量在





范围内的概率为 ．

【答案】

3. 从含有 个个体的总体中一次性地抽取 个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，
那么总体中的每个个体被抽取的概率等于 ．

【答案】

4. 人口普查中，某地从某年起几年之内的新生婴儿数以及其中男婴数如下表：
时间范围
新生婴儿数
男婴数
年内 年内 年内 年内









则这一地区男婴出生的经验概率是 （精确到 ）．

【答案】


【分析】 这一地区男婴出生的经验概率是

．

5. 有下列说法：①频率反映了事件发生的频繁程度，概率反映了事件发生的可能性大小；②
做 次随机试验，事件 发生 次，则事件 发生的频率就是事件 发生的概率；③百分率
是频率，但不是概率；④频率是不能脱离具体的 次试验的试验值，而概率是 具有确定性的、
不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的
是 ．（只填序号）

【答案】 ①④⑤

【分析】 频率是个不确定的数，会随着试验次数的变化而变化，在一 定程度上频率可以反映
事件发生可能性的大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小．通过大量重 复试验可以
发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某个固定的值，这个值就是概率．

6. 初某级中学共有学生 名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取 名，
抽到初二年级女生的概率是 ．
一年级二年级三年级
女生
男生
(1)求 的值；

【解】 由
解得











(2)已知 ， ．求初三年级中女生比男生多的概率．

【解】 设初三年级女生比男生多的事件为 ，初三年级女生和男生数记为数对



，
由小题⑵知，则基本事件总数有：







共 个，
而事件 包含的基本事件有：







共 个，

所以





．

7. 有人发现中国人在邮箱名称里喜欢用数字，于是他做了调查，结果如下表：
每批邮箱数
频率
(1)填写上表中的频率（结果保留到小数点后两位）；

【解】 由频率公式可算出表中的频率依次为 ．
(2)中国人的邮箱名称里有数字的概率是多少？

【解】 由（1）知，计算出的频率虽然各不相同但都在常数 左右摆动．
因此，中国人的邮箱名称里有数字的概率约为 ．

8. 种子公司在春耕前为了支持农业建设，采购了一批稻谷种子，进行种子发芽试验，在统计
的 粒种子中有 粒发芽，他们要求种子的发芽率在 以上，你认为这批种子合格
吗？




名称里有数字的邮箱数

【解】 合格．种子发芽这个事件的频率为

数很大，因此我们可以用它近似地估计事件发生的概率，所以种子发芽这个事件发生的概率
约为 ．

9. 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：
射击次数
击中 环的次数

击中 环的频率

(1)计算表中击中 环的各个频率；

【解】 如下表所示：
射击次数




，约为 ．由于试验的种子总

击中 环的次数


击中 环的频率


(2)这名射击运动员射击一次，击中 环的概率约是多少？

【解】 由表中各个频率值可知，这名射击运动员射击一次，击中 环的概率约为 ．

10. 某中学号召学生在春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共
有 名学生，他们参加活动的次数统计如表所示．
活动次数
(1)求合唱团学生参加活动的人均次数；


【解】 该合唱团学生参加活动的人均次数
．

(2)从合唱团中任意选一名学生，求这名学生参加活动次数不小于人均活动次数的概率；

【解】

【解】 从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为






参加人数

．
(3)从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．















．
古典概型
1. 连续掷两次殷子，则出现向上的点数之和是 的倍数的概率为 ．

【答案】






2. 一个袋子里装有大小相同的黑球和白球共 个，已知从袋中任意摸出 个球，得到黑球概
率是

，则从袋中任意摸出 个球，至少得到 个白球概率是 ．


【答案】


3. 两位老师从 名学生中各选取 名学生，则学生甲被选到 次的概率为 ．


【答案】



【分析】 每位老师从 名学生中选取 名学生的方法有 种，
所以两位老师从 名学生中各选取 名学生共有 种方法，其中学生甲被选到 次的方法种
数为 ，

所以学生甲被选到二次的概率为 ．


4. 抛掷两颗骰子出现的点数分别为 ， ，则方程

有实根的概率为 ．


【答案】



5. 从长度分别为 ， ， ， 的线段中任取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率
是 ．


【答案】



6. 从 ， ， 名男生和甲、乙 名女生中任选 人参加演讲比赛．
(1)列出“所选 人都是男生”包含的基本事件；

【解】 “所选 人都是男生”包含的基本事件为 ， ， ．
(2)求恰有 名女生被选上的概率；

【解】 从 名男生和 名女生中任选 人的所有基本事件为 ， ， ， 甲， 乙，
甲， 乙， 甲， 乙，甲乙，共有 个基本事件．
记“恰有 名女生被选上”为事件 ，则事件 中包含的基本事件为 甲， 乙， 甲，
乙， 甲， 乙，共有 个基本事件．

所以







．
(3)求所选 人中至少有 名女生的概率；

【解】 记“所选 人中至少有 名女生”为事件 ，则事件 中包含的基本事件为 甲，
乙， 甲， 乙， 甲， 乙，甲乙，共有 个基本事件．

所以





．

7. 在 高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出 ，恰好含有麦锈病
种子的概率是多少？

【解】 ，
记“取出 ，恰好含有麦锈病种子”为事件 ，

则







．

8. 有四条线段，其长度分别为 ， ， ， ．
(1)从这四条线段中任意取出两条，求所取出的两条线段的长度之和大于 的概率；

【解】 从这四条线段中任意取出两条，共有 种不同的取法，分别为



，



，



，



，



，



．
其中两条线段的长度之和大于 的共有 种取法，分别为



，



，



，



．

所以所取出的两条线段的长度之和大于 的概率为



．
(2)从这四条线段中任意取出三条，求所取出的三条线段能构成三角形的概率．

【解】 从这四条线段中任意取出三条，共有 种不同的取法，分别为




，



，



，



．
其中能构成三角形的只有 种取法，即



．

所以所取出的三条线段能构成三角形的概率为

．

9. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法
确认，在图中以 表示．


附：方差
























，其中 为

，

， ，

的平均数．
(1)如果则 ，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

【解】 当 时，由茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数 ， ， ， ．

所以平均数为

．

方差为

(2)如果 ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树为
的概率．

【解】 记甲组四名同学为

，

，

，

，他们植树的棵树依次为 ， ， ， ；乙
组四名同学为

，

，

，

，他们植树的棵树依次为 ， ， ， ．分别从甲乙两组中随
机选取一名同学，所有可能的结果有 个，它们是：






，






，






，






，






，






，






，






，






，






，






，






，






，






，






，






．
用 表示：“选出两名同学的植树总棵树为 这一事件”，则 中的结果有 个，它们是：







，






，






，






．

故所求概率为







．

10. 近年来，某市为了促进生活垃圾的 分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、
“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并分 别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分
类投放情况，现随机抽取了该市四类垃圾箱总计 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：
吨）：
厨余垃圾箱可回收垃圾箱有害垃圾箱其他垃圾箱
厨余垃圾

可回收垃圾
有害垃圾
其他垃圾
投放正确的概率；


【答案】 估计“可回收垃圾”投放正确的概率为 ．


【解】 依题意得，“可回收垃圾”共有 （吨），
其中投放正确的，即投入了“可回收垃圾”箱的有 吨，
设事件 为“可回收垃圾投放正确”，

所以，可估计“可回收垃圾”投放正确的概率为





．
(2)估计生活垃圾投放错误的概率．


【答案】 估计生活垃圾投放错误的概率为

．


【解】 据数据统计，总共抽取了 吨生活垃圾，
其中“厨余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃圾”，“其他垃圾”投放正确的数量分别为 吨，
吨， 吨， 吨．
故生活垃圾投放正确的数量为 吨，
所以，生活垃圾投放错误的总量为 吨．
设事件 “生活垃圾投放错误”，

故可估计生活垃圾投放错误的概率为







．
















(1)试估计“可回收垃圾”

几何概型
1. 在区间



上随机的取一个数 ，若满足

的概率为

，则 ．

【答案】

2. 已知实数



，那么方程

有实数解的概率是 ．


【答案】



3. 在长为 的线段 上任取一点 ，现作一矩形，邻边长等于线段 ， 的长，则矩
形面积小于

的概率为 ．


【答案】



4. 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼 夜内到达该码头的时刻是等
可能的．如果甲船停泊时间为 ，乙船停泊时间为 ，则它们中的任意一艘都不需要等待码
头空出的概率 ．


【答案】



5. 如图，在半径为 的圆内随机撒 粒豆子，有 粒落在阴影部分，据此估计阴影部分的
面积为 ．




【答案】

6. 如图，一个圆盘平均分为十份，每份上对应一个数字，圆盘上有自由转动的指针，问：

(1)指针转动后，停留在偶数区域和奇数区域的概率哪个大？

【答案】 一样大

【解】 设每个小区域的面积为 ，圆盘总面积为 ，偶数区域面积为 ，奇数区域面积
为 ，
指针转动后：

停留在偶数区域的概率为
偶




，
停留在奇数区域的概率为
奇




，

因为
偶

奇
，所以指针转动后，停留在偶数区域和奇数区域的概率一样大．
(2)指针转动后，停留在质数区域和奇数区域的概率哪个大？

【答案】 停留奇数区域的概率大


【解】 质数区域面积为 ，指针转动后，停留在质数区域的概率为
质




，由（1）
知指针转动后，停留在奇数区域的概率为
奇


因为
奇

质
，所以指针转动后，停留奇数区域的概率大．

7. 如图，在边长为 的正方形中挖去边长为 的两个等腰直角三角形，现有均匀的
粒子散落在正方形中，那么粒子落在中间带形区域的概率是多少？


，





【解】 因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．设
粒子落在中间带形区域 ，则依题意得正方形面积为 （

）．

两个等腰直角三角形的面积为
（

）．
带形区域的面积为 （

），所以





．

8. 一条路分成两段，由甲、乙两测绘员分别测量长度，而后加起来得整条路的长，两人都把
测量结果归整到米，舍入单位为分米，求整条路的长的舍入误差在



（分米）范围内的概
率．

【解】 以 ， 分别表示甲，乙二人测量的舍入误差，则 ， ．整条
路的长的舍入误差即二人舍入误差之和 ．把



用平面直角坐标系上的点表示，则一
切可能试验结果组成如图所示的正方形．





满足条件



，即整条路长的舍入误差在



范围内的点由正方形内 和
两直线间的六边形组成（以斜线标出），于是 问题归结为：在正方形内随机投一
点，所求概率正是所投点落在六边形中的概率，所以










．

9. 两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设两船靠在泊位的
时间分别为 小时和 小时．求有一艘船欲停靠泊位是必须等待一段时间的概率．

【解】 分别用 ， 表示第一、二艘船到达泊位的时间，若第一艘船到达泊位时必须等待，
则需要满足 ， ，即点



需落入如图所示的阴影区域，因此所
求概率为

阴影区域 的面积
正方形 的面积













．

10. 将长为 的木棒随机折成 段，求这 段木棒能构成三角形的概率．


【答案】 这 段木棒能构成三角形的概率

．

【解】 设 “ 段木棒能构成三角形”， ， 分别表示其中两段木棒的长度，则第 段
木棒的长度为 ．则试验的全部结果可构成集合






．要使 段木棒能构成三角形，当且仅当任意两段木棒的长度和大于第 段木棒的
长度，

即 ，
，


．




故所求结果构成集合




．




由图可知，所求概率















．

事件的关系与运算
1. 女子国际象棋世界冠军中国江苏选手侯逸凡与某计算机进行人机对抗赛，若侯逸凡获胜的
概率为 ，人机和棋的概率为 ，那么侯逸凡不输的概率为 ．

【答案】

2. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为

，
则该队员每次罚球的命中率为 ．


【答案】



3. 某次知识竞赛规则如下：主办方预设 个问题，选手若能正确回答出这 个问题，即可晋
级下一轮．假设某选手回答正确的个数为 ， ， 的概率分别是 ， ， ，则该选手晋
级下一轮的概率为 ．

【答案】

【分析】 记“答对 个问题”为事件 ，“答对 个问题”为事件 ，“答对 个问题”为事件 ，
这 个事件彼此互斥，“答对 个问题（即晋级下一轮）”为事件 ，则“不能晋级下一轮”为事
件 的对立事件 ，
显然















，
故



．

4. 某射手在一次射击中，射中 环、 环、 环的概率分别是 ， ， ，则此射手
一次射击中不够 环的概率为 ．

【答案】

【分析】 依题意，射中 环及以上的概率为 ，故不够 环的概率
为 ．

5. 两个人下和棋的概率为

，乙获胜的概率为

，则乙不输的概率为 ．


【答案】




【分析】 因为乙不输包括下和棋或乙获胜两种情况且互斥，故所求事件





．

6. 国家射击队的队员为在2012年伦敦奥运会上取得优异成 绩，正在加紧备战，经过近期训练，
某队员射击一次，命中 环的概率如下表所示：

命中环数 环 环 环 环

概率


求该射击运动员射击一次

(1)射中 环或 环的概率；

【解】 记事件“射击一次，命中 环”为事件




，则事件

彼此互斥．
记“射击一次，命中 环或 环”为事件 ，那么当

，

之一发生时，事件 发生，由
互斥事件概率的加法公式得















(2)至少命中 环的概率；

【解】 记“射击一次，至少命中 环”为事件 ，那么当

，

，

之一发生时，事件
发生，由互斥事件概率的加法公式得




















(3)命中不足 环的概率．

【解】 由于事件“射击一次，命中不足 环”是事件 “射击一次，至少命中 环”的对立事
件，根据对立事件的概率公式得







7. 某射击选手射击所得环数的经验概率如下表：
以下

经验概率
求这个选手在一次射击中，
(1)射中 环或 环的概率；

【解】 射中 环戒 环的概率为 ．
(2)至少射中 环的概率；

【解】 至少射中 环的概率为 ．
(3)射中环数不足 的概率．

【解】 射中环数不足 的概率为 ．

8. 某花店每天以每枝 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 元的价格出售．如
果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
(1)若花店一天购进 枝玫瑰花，求当天的利润 （单位：元）关于当天需求量 （单位：
枝， ）的函数解析式；

【解】 当日需求量 时，利润 ；
当日需求量 时，利润 ，
关于 的解析式为






环数

(2)花店记录了 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量

频数
①假设花店在这 天内每天购进 枝玫瑰花，求这 天的日利润（单位：元）的平均
数；
②若花店一天购进 枝玫瑰花，以 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，
求当天的利润不少于 元的概率．

【解】 ①这 天中有 天的日利润为 元， 天的日利润为 元， 天的日利润
为 元， 天的日利润为 元，所以这 天的日平均利润为




元

②利润不低于 元当且仅当日需求不少于 枝，故当天的利润不少于 元的概率为



9. 如图， 地到火车站共有两条路径

和

，现随机抽取 位从 地到达火车站的人进
行调查，调查结果如下：
所用时间 分钟
选择

的人数
选择

的人数













(1)试估计 分钟内不能赶到火车站的概率；

【答案】 ．

【解】 由已知共调查了 人，其中 分钟内不能赶到火车站的有
人，
用频率估计相应的概率为 ．
(2)分别求通过路径

和

所用时间落在上表中各时间段内的频率；

【答案】

所用时间 分钟


的频率


的频率













【解】 选择

的有 人，选择

的有 人，故由调查结果得频率为：
所用时间 分钟


的频率



的频率
(3)现甲、乙两人分别有 分钟和 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的
时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选 择各自的路径．

【答案】 甲应选择路径

；乙应选择路径

．

【解】 用



分别表示甲选择

和

时，在 分钟内赶到火车站；
用



分别表示乙选择

和

时，在 分钟内赶到火车站．
由（2）知


























甲应选择路径

；


























乙应选择路径

．

10. 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为 、 和 ．三人各向目标射击一
次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率．

【解】 设

表示“第 人命中目标”， ．
这里

、

、

相互独立，且




，




，




．
从而，至少有一人命中目标的概率为

























恰有两人命中目标的概率为











































































至少有一人命中目标的概率为 ，恰有两人命中目标的概率为 ．

事件的独立性与条件概率
1. 将三颗骰子各掷一次，设事件 “三个点数都不相同”， “至少出现一个 点”，则概
率



等于 （用数字作答）．


【答案】



2. 左口袋里装有 个红球， 个白球，右口袋里装有 个红球， 个白球．若从左口袋里取出
个球装进右口袋里，掺混好后，再从右口袋里取出 个球，这个球是红球的概率为 ．


【答案】



【分析】 分两种情况讨论：
（i）从左边口袋里取出的是红球放在右边口袋里，则从右边口袋里取

出的是红球，其概率是

＝；

（ii）从左边口袋里取出的是白球，再从右边的口袋里取出的是红球，其概率是

＝．
综上，所求概率为

＋

＝

．

3. 设由“ ”“ ”组成的三位数组中，若用 表示“第二位数字为‘ ’的事件”，用 表示“第一
位数字为‘ ’的事件”，则



．


【答案】



4. 如图，由 到 的电路中有 个组件，分别标为

，

，

，

，电流能通
过

，

，

的概率都是 ，电流能通过

的概率是 ．电流能否通过各组件相
互独立．已知

，

，

中至少有一个能通过电流的概率为 ．




(1)求 ；

【解】 记

表示事件：电流能通过

， ，
表示事件：





中至少有一个能通过电流，
由





，





相互独立，得

根据题意得






从而





解得

(2)求电流能在 与 之间通过的概率．

【解】 记 表示事件：电流能在 与 之间通过，则

















所以












































































5. 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 平前，一方连续发球 次后，对方再连
续发球 次，依次轮换．每次发球，胜方得 分，负方得 分．设在甲、乙的比赛中，每
次发球，发球方得 分的概率为 ，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，
甲先发球．
(1)求开始第 次发球时，甲、乙的比分为 比 的概率；

【解】 记

表示事件：第 次和第 次这两次发球，甲共得 分， ；


表示事件：第 次和第 次这两次发球，甲共得 分， ；
表示事件：第 次发球，甲得 分；
表示事件：开始第 次发球时，甲、乙的比分为 比 ；































































(2)求开始第 次发球时，甲得分领先的概率．

【解】 设 表示事件：开始第 次发球时，甲得分领先．

6. 某同学参加 门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为

，第二、
第三门课程取得优秀成绩的概率分别为



，且不同课程是否取得优秀成绩相互独
立．记 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为













(1)求该生至少有 门课程取得优秀成绩的概率；

【解】 事件

表示“该生第 门课程取得优秀成绩”， ，由题意知


















由于事件“该生至少有 门课程取得优秀成绩”与事件“ ”是对立的，所以该生至少有
门课程取得优秀成绩的概率是







(2)求 ， 的值；

【解】 由题意知


















，
























，
整理得

， ．
由 ，可得 ， ．
(3)求数学期望 ．

【解】 由题意知

课后练习
1. 某单位调试招聘面试试题，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是 类型试题，则
使用后该试题回库，并增补一道 类型试题和一道 类型试题入库，此次调题工作结束；若
调用的是 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有




道试题，其中有 道 类型试题和 道 类型试题．以 表示两次调题工作完成后，试题库
中 类型试题的数量，则 的概率为 ．
2. 已知函数



为奇函数，且当 时，





，在区间

内任取一个数 ，
则





的概率为 ．
3. 书架上有 本数学书， 本物理书，从中任意取出 本，则取出的两本书都是数学书的概
率为 ．
4. 在区间



上随机取一个数 ，则使函数





无零点的概率是 ．
5. 在边长为 的正三角形 内任取一点 ，则使点 到三个顶点的距离至少有一个小于
的概率是 ．
6. 在 件产品中有 件一级品， 件二级品，从中任取 件，事件 “ 件不都是一级
品”，则 的对立事件是 ．
7. 给出下列现象：① 三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球；② 当
时， ；③ 同性电荷，相互排斥．其中必然现象的个数为 ．
8. 在掷一枚骰子观察点数的试验中，若令



，则用语言叙述事件 对应的含义
为 ．

9. 中超某轮比赛中，观察鲁能泰山队与北京现代队的比赛结果，其中基本事件共
有 个．
10. 在 件产品中，有 件一级品， 件二级品，则下列现象：① 在这 件产品中任意
选 件，全部是一级品；② 在这 件产品中任意选 件，全部是二级品；③ 在这 件产
品中任意选 件，不全是一级品．其中， 是随机现象．
11. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷 次，那么第 次出现正面朝上的概率
是 ．
12. 设某厂产品的不合格品率为 ，估计该厂生产的 件产品中不合格品约
有 件．
13. 一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了 部汽车，时间是从某
年的 5 月 1 日到下一年的 5 月 1 日，共发现有 部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一
年内挡风玻璃破碎的概率近似是 ．
14. 下列说法：
①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；
②做 次随机试验，事件 发生 次，则事件 发生的概率为

；
③频率是不能脱离 次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
其中正确命题的序号为 ．
15. 在一次满分为 分的数学考试中，某班 名学生的考试成绩分布如下：

成绩 分以下













人数

在该班随机抽取一名学生，则该学生在这次考试中成绩在 分以上的概率为 ．
16. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 ， ， ， 的正四面体，其底面落于桌面，
记所得的数字分别为 ， ，则 为整数的概率是 ．
17. 将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 ，第二次出现的点数为
．向量



，



，则向量 与 共线的概率为




A.




B.




C.




D.




18. 从一副混合后的扑克牌（ 张）中随机抽取 张，则抽出的 张均为红桃的概率
为 （结果用最简分数表示）．
19. 盒子中装有编号为 ， ， ， ， ， ， 的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编
号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）．

20. 从 ， ， ， 四个数中随机取两个数组成 一个两位数，并要求所取得较大的数为十位数
字，较小的数为个位数字，则所组成的两位数是奇数的概率 ．
21. 如图所示，在一个边长为 的正方形 中，曲线

和曲线

围成叶形图
（阴影部分），向正方形 内随机投一点（该点落在正方形 内任何一点是等可能
的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 ．


22. 在区间



上随机取一个数 ，则 的概率为 ．
23. 某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间短于 分
钟的概率为 ．
24. 在区间



上随机取一个数 ，则



的概率为 ．
，
25. 设不等式组 表示的平面区域为 ，在区域 内随机取一个点 ， ，则

的概率为 ．
26. 在 件产品中有 件一级品， 件二级品，从中任取 件，若记“ 件都是一级品”为事件
，则 的对立事件是 ．
27. 甲、乙等 人参加 米接力，则甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为 ．
28. 某运动员射箭一次击中 环， 环， 环的概率分别是 ， ， ，则他射箭
一次击中的环数不够 环的概率是 ．
29. 已知 是相互独立事件，且



，



，则 ．
30. 甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为
和 ，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为 ．

31. 盒中有 个红球， 个蓝球，其中红球中有 个玻璃球， 个木质球；蓝球中有 个玻璃
球， 个木质球．现从中任取一球，假设每个球摸到的可能性都相同 ，若已知取到的球是玻璃
球，则它是蓝球的概率是 ．
32. 为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”．比赛成绩共有 分、
分、 分、 分、 分五种，按本次比赛成绩共分五个等级，从参加比赛的学生中随机抽
取了 名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：
成绩等级

成绩 分
人数 名











(1)根据上面的 统计数据，试估计从该地区参加“数独比赛”
的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“ 或 ”的概率；
(2)从这 名学生中，随机选取 人，求“这 人的成绩之差大于 分”的概率．
33. 袋中有大小、形状相同的红、黑球各 个，现每摸一次又放回地随机摸取 次．每次摸取
个球，若摸到红球时得 分，摸到黑球时得 分，求 次摸球所得总分为 的概率．
34. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法
确认，在图中以 表示．

(1)如果 ，求乙组同学植树棵数的平均数和方差．
（注：方差
























，其中 为

，

， ，

的平
均数）
(2)如果 ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为
的概率．
35. 甲，乙两人约定在 时在某处会面，并约定先到者应等候另一人 分，过时即可离去，
设两人出发是各自独立的，且在 时各时刻会面是等可能的，求两人能会面的概率．
36. 为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的 名志愿者进行互联网知
识测试，从这 名志愿者中采用随机抽样的方法抽取 人，所得成绩如下： ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
(1)作出抽取的 人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这 志愿者中成绩不低
于 分的人数；

(2)从抽取的成绩不低于 分的志愿者中，随机选 名参加某项活动，求选取的 人中恰有
一人成绩不低于 分的概率．
37. 做如下试验：“将一枚均匀的硬币抛掷 次”．
(1)试用枚举法写出该试验所包含的基本事件．
(2)事件 “两次试验都出现正面”包含几个基本事件？
(3)事件 “一次出现正面，一次出现反面”含有的基本事件是什么？
(4)计算



，



．
38. 判断下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．
(1)三角形的内角和为

；
(2)三角形中大边对的角大，小边对的角小；
(3)锐角三角形中两个内角的和小于

；
(4)三角形中任意两边之和小于第三边．
39. 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：
(1)在标准大气压下且温度高于

时，冰融化；
(2)今天晚上下雨；
(3)没有水分，种子发芽；
(4)技术充分发达后，不需要任何能量的＂永动机＂将会出现；
(5)买彩票中一等奖；
(6)若平面 平面 ， ， ，则 ．
40. 判断以下现象是随机现象还是必然现象．
(1)一袋中装有 个外形完全相同的白球，搅匀后从中任取一球为白球．
(2)一袋中装有 白 黑 红大小形状完全相同的球，搅匀后从中任取一球为白球．
41. 将一颗骰子连续投掷两次，观察落地后的点数．
(1)写出这个试验的基本事件空间和基本事件总数；
(2)＂两次点数相同＂这一事件包含了几个基本事件；
(3)＂两次点数之和为 ＂这一事件包含了几个基本事件；
(4)＂两次点数之差为 ＂这一事件包含了几个基本事件．
42. 城市公交车的数量若太多则容易造成资的浪费；若太少又难以满足乘客需求．南充市公交
公司在某站台的 名候车乘客中随机抽取 人，将他们的候车时间作为样本分成 组，如
下表所示（单位：分钟）：

组别候车时间人数
一

二
三
四
五


















(1)估计这 名乘客中候车时间少于 分钟的人数；
(2)若从上表第三、四组的 人中任选 人作进一步的调查，求抽到的两人恰好自不同组的
概率．
43. 在一个盒子中装有 枝圆珠笔，其中 枝黑色， 枝蓝色， 枝红色，从中任取 枝．
(1)该实验的基本事件共有多少个？若将 枝黑色圆珠笔编号为 ， ， ， 枝蓝色圆珠笔
编号为 ， ， 枝红色圆珠笔编号为 ，用



表示基本事件，试列举出该实验的所有基
本事件；
(2)求恰有一枝黑色的概率；
(3)求至少 枝蓝色的概率．
44. 从一堆纤维中任取 根，其中有 根长度超过 ，求：
(1)纤维的长度超过 的频率；
(2)纤维的长度等于或不足 的频率．
45. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为 ．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投
篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 到 之间取整数值的随机数，指定 ， ， ， 表
示命中， ， ， ， ， ， 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结
果．经随机模拟产生了如下 组随机数：


试据此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率．
46. 某高中学校共有学生 名，各年级男、女人数如下表：


已知从全校学生中随机抽取 名，抽到高二年级女生的概率是 ．
(1)求 的值．

(2)已知 ， ，且在高三年级任意抽取一人，抽到男生的概率大于抽到女生的
概率，试写出 ， 所有取值．
47. 某中学共有学生 人，各年级男、女生人数如下表：
高一年级高二年级高三年级
女生
男生







已知在全校学生中随机抽取 名，抽到高二年级女生的概率是 ．
(1)求 的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取 名学生，问应在高三年级抽取多少名？
(3)已知 ， ，求高三年级中女生比男生多的概率．
48. 现有 ， ， 三种产品需要检测，产品数量如下表所示：
产品

数量
已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了 件．
(1)求三种产品分别抽取的件数；
(2)已知抽取的 ， ， 三种产品中，一等品分别有 件、 件、 件．现再从已抽取的 ，
， 三种产品中各抽取 件，求 件产品都是一等品的概率．
49. 编号分别为

，

，

， ，

的 名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下：

运动员编号

得分



























(1)完成如下的频率

分布表：
得分区间频数频率










合计





(2)从得分在区间



内的运动员中随机抽取 人，求这 人得分之和大于 的概率．
50. 抛掷三枚硬币，求：
(1)“至少有一个硬币是正面”的概率；
(2)“三枚硬币都是反面”的概率．
51. 编号分别为

，

， ，

的 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号

得分

(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；
区间










人数
(2)从得分在区间



内的运动员中随机抽取 人．
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；
②求这 人得分之和大于 的概率．
52. 设关于“的一元二次方程



．
(1)若 是从 ， ， ， 四个数中任取的一个数， 是从 ， ， 三个数中任取的一个数，
求上述方程有实数根的概率；
(2)若 是从区间



上任取的一个数， 是从区间



上任取的一个数，求上述方程有实
数根的概率．
53. 设关于 的一元二次方程



．若 是从区间



上任取的一个数， 是
从区间



上任取的一个数，求方程有实根的概率．
54. 如图所示，墙上挂着一块边长为 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，
半径分别为 ， ， ，某人站在 之外向此板投镣？设投镶击中线上或没有投中
木板时都不算，可重投，问：

(1)投中大圆内的概率是多少？
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
(3)投中大圆之外的概率是多少？
55. 现向如图所示正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率？

56. 向面积为 的 内任投一点 ，则随机事件 的面积小于

的概率为多少？
57. 有一个问题，在半小时内，甲能解决它的概率是

，乙能解决它的概率是

，如果两人都试
图独立地在半小时内解决它，计算：
(1)两人都未解决的概率；
(2)问题得到解决的概率．
58. 小亮想到云南旅游，已知小亮乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是 ， ， ，
．
(1)求小亮乘火车或飞机去的概率；
(2)求小亮不乘飞机去的概率；
(3)问：小亮乘何种交通工具的概率是 ？
59. 袋中有 个除颜色外其余均相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，
得到红球的概率为 ，得到黄球或黑球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率是 ，试求得到黑




球、黄球、绿球的概率各是多少？
60. 本着健康、低碳的生活理 念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是
每车每次租车时间不超过两小时免费，超 过两小时的部分每小时收费标准为 元（不足 小时
的部分按 小时计算）．有甲、乙两人 相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、
乙不超过两小时还车的概率分别为 ，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 ，；


两人租车时间都不会超过四小时．
(1)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于 元的概率．

61. 某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为 至 分，随机调阅了 、 两
所学校各 名学生的成绩，得到样本数据如下：

(1)计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较．
(2)记事件 为“ 校学生计算机操作比赛优秀成绩高于 校学生计算机操作比赛优秀成
绩”．假设 分或 分 以上为优秀成绩，两校学生计算机操作比赛成绩相互独立．根据所给样
本数据，以事件发生的频率作为相 应事件发生的概率，求 的概率．
62. 甲、乙两名射手各自独立地射击同一目标 次，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中


目标的概率为

．
(1)求目标不被击中的概率；
(2)求乙比甲多击中目标 次的概率．

随机事件-出门考
姓名 成绩

1. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为

，两人下成和棋的概率为

，则乙不输的概率
为 ．
2. 有分别写着数字 的 张卡片，若从中随机取出一张，则这张卡片上的数字是 或
的倍数的概率为 ．
3. 甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是 ，乙获胜的概率是 ，则乙不输的概率是 ．



4. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统） 和 ，系统 和 在任意时刻
发生故障的概率分别为

和 ．若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

，则
．
5. 小明对小亮说：“我向空中抛 枚同样的 元硬币，如果落地后一正一反，你给我 元钱，
如果落地后两面一样，我给你 元钱．”你觉得这个游戏公平吗？请你回答问题，并说明判断
的理由．答： ．
6. 小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有 支铅笔，每次取 支或 支，最后取完铅笔
的人获胜，你认为这个游戏规则 ．（填“公平”或“不公平”）
7. 从长度为 ， ， ， ， 的五条线段中任取三条，则取出的三条线段能构成一个三角形的
基本事件空间是 ．
8. 在 件产品中，有 件一级品， 件二级品，则下列事件：
①在这 件产品中任意选出 件，全部是一级品；②在这 件产品中任意选出 件，全
部是二级品；③在这 件产品中任意选出 件，不全是一级品；④在这 件产品中任
意选出 件，其中不是一级品的件数小于 ．
其中 是必然事件； 是不可能事件； 是随机事件．
9. 观察下列现象：
①在标准大气压下水加热到

，沸腾；
②导体通电，发热；
③同性电荷，互相吸引；
④实心铁块丢入水中，铁块浮起；
⑤函数

（ 且 ）在定义域



上是增函数；
⑥掷一枚硬币，正面向上．
其中，必然现象是 ；不可能现象是 ；随机现象是 ．

10. 在相同的条件 下重复 次试验，观察某一事件 是否出现，称 次试验中随机事件 出
现的次数

为事件 出现的 ，称








为事件 出现的 ．
11. 某人连续掷一枚质地均匀的硬币 次，则正面向上的次数最有可能是 次．
12. 已知某厂的产品合格率为 ，抽出 件产品检查，其中的合格产品最可能
有 件．
13. 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的
平均成绩超过甲的概率为 ．


14. 从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取 袋，测得各袋的质量分别为(单位： )：

根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在 之
间的概率约为 ．
15. 气象台预报“本市明天降水概率是 ”，如下理解正确吗？（在题后横线上正确的后面打
“ ( checkmark) ”，错误的后面打“ ”）
① 本市明天将有 的地区降雨．
② 本市明天将有 的时间降雨．
③ 明天出行不带雨具肯定要淋雨．
④ 明天出行不带雨具淋雨的可能性很大．
16. 若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为 的两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则
每个盒子中球数不小于其编号数的概率是 ．
17. 张卡片上分别写上字母 ， ， ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词
的概率为 ．
18. 在 瓶饮料中，有 瓶已过了保质期，从这 瓶饮料中任取 瓶，则至少取到 瓶已过
保质期饮料的概率为 ．
19. 已知集合







，现从 中各取一个数字，组成无重复数字的二位数，
在这些二位数中，任取一个数，则恰为奇数的概率为 ．

20. 同时抛掷两颗骰子，得到点数分别为 ， ，则

的概率是 ．
21. 如图，一不规则区域内，有一边长为 米的正方形，向区域内随机地撒 颗黄豆，数
得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为 颗，以此实验数据 为依据可以估计出该不规
则图形的面积为 平方米．（用分数作答）


22. 在 高产小麦种子中混入 粒带麦锈病的种子，从中随机取出 ，则不含有麦锈病种
子的概率为 ．
23. 已知圆



，直线 ．
①圆 的圆心到直线 的距离为 ；
②圆 上任意一点 到直线 的距离小于 的概率为 ．
24. 将一条 长的绳子随机地切成两段，事件 表示所切两段绳子都不短于 的事件，
则事件 发生的概率是 ．
25. 《广告法 》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得
出结论：他任意时间打开 电视机看该台节目，看不到广告的概率为

，那么该台每小时约
有 分钟的广告．
26. 甲乙两人下棋，甲获胜的概率为 ，两人下成和棋的概率为 ，则甲不输的概率
为 ．
27. 某地区年降水量在下列范围内的概率如下表所示：
年降水量













概率
则该地年降水量在







范围内的概率为 ，年降水量不低于 的概率
是 ．
28. 已知射手甲射击一次，命中 环以上（含 环）的概率为 ，命中 环的概率为 ，命
中 环的概率为 ，则甲射击一次，命中 环以下（含 环）的概率为 ．
29. 已知事件 发生时，事件 一定发生，且









，则条件概率



与




分别为 、 ．

30. 两名学生甲、乙通过英语听力测试的概率分别为 和 ，两人同时参加测试，那么甲、乙两


人中只有一人通过测试的概率是 ．
31. 在 件产品中有 件合格品， 件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，
则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为 ．
32. 有一段长为 的木棍，现要截成两端，每段不小于 的概率有多大？
33. 已知关于 的二次函数





．设集合



和



，分
别从集合 和 中随机取一个数作为 和 ，求函数



在区间



和



上分别取
一个数，记为 ，求方程





表示焦点在 轴上且离心率小于

的椭圆的概率．
34. 一个盒子中装有标号为 ， ， ， ， 的 张标签，先后随机地选取 张标签．根据下列
条件求 张标签的数字为相邻整数的概率．
(1)标签的选取是无放回的；
(2)标签的选取是有放回的．
35. 从 名男生和 名女生中任选 人参加演讲比赛．
(1)求所选 人都是男生的概率；
(2)求所选 人中恰有 名女生的概率；
(3)求所选 人中至少有 名女生的概率．
36. 某中学高一年级新生有 名，从这些新生中随机抽取 名学生作为样本测量其身高
（单位： ），得到频率分布表如下：
身高

男 频率
女 频率

























(1)试估计高一年级新






生中身高在



上的学生人数；
(2)从样本中身高在区间



上的女生中任选 名，求恰好有一名身高在区间



上的概率．
37. 判断以下现象是否为随机现象．
①某路口单位时间内通过“红旗牌”轿车的车辆数；
② 边形的内角和为





；
③某同学竞选学生会主席成功；
④一名篮球运动员每场比赛所得的分数．
38. 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：
(1)六月天下雪；

(2)同时掷两颗骰子，事件＂点数之和不超过 ＂；
(3)太阳从西边升起；
(4)当 时，事件＂ ＂；
(5)数列




是单调递增数列时，事件＂



＂；
(6)骑车通过 个十字路口，均遇红灯．
39. 三位同学 ， ， 到电影院看电影，所买电影票上标明是某排的 ， ， 号座位，三
人随意坐下．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)写出事件“同学 不坐在 号座位”所包含的基本事件．
40. 判断下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．
(1)如果 ， 都是实数，那么 ；
(2)从分别标有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的 张号签中任取一张，得到 号签；
(3)没有水分，种子发芽；
(4)某电话在 秒内接到至少 次传唤；
(5)在标准大气压下，水的温度达到

时沸腾；
(6)同性电荷相互排斥．
41. 指出下列试验的结果．
(1)先后掷两枚质地均匀的硬币的结果；
(2)某人射击一次命中的环数；
(3)从集合



中任取两个元素构成的 的子集．
42. 某车间一段时间生产了某种规格的螺帽几十万个，现在分堆进行抽查，先后共抽查了
个，发现其中合格品有 个，不合格品有 个，如果将这批螺帽全部装箱，其中每
个装成一箱，那么可以估计平均每箱有合格品多少个？从实际情况来说，是否一定如此？
43. 向上掷一枚骰子，向上的点数不大于 的概率是 吗？如果不是，应如何理解？


44. 在研究概率的历史上，英国人蒲丰、皮尔逊就先后做过掷硬币试验，他们的试验数据如下
表所列：
试验人
投掷次数
出现正面频率
(1)计算表中出现正面的各个频率；
(2)随机掷一枚硬币，出现正面的概率约是多少？出现反面的概率呢？
蒲丰

皮尔逊皮尔逊





出现正面次数

45. 试解释下面情况下的概率的意义：
(1)某商场为促进销售，实行有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖率是 ；
(2)一生产厂家称，我们厂生产的产品的合格率是 ．
46. 箱中有 个正品， 个次品，从箱中随机连续抽取 次，在以下两种抽样方式下：
(1)每次抽样后不放回，求取出的 个全是正品的概率；
(2)每次抽样后放回，求取出的 个全是正品的概率．
47. 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交
公司在某站台的 名候车乘客中随机抽取 人，将他们的候车时间作为样本分成 组，如
下表所示（单位： ）：
组别候车时间人数
一

二
三
四
五




















(1)求这 名乘客的平均候车时间；
(2)估计这 名乘客中候车时间少于 分钟的人数；
(3)若从上表第三、四组的 人中选 人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同
组的概率．
48. 某校在高二年级开设了 ， ， 三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，
用分层抽样方法从 ， ， 三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见
下表（单位：人）
兴趣小组小组人数抽取人数




(1)求 ， 的值；
(2)若从 ， 两个兴趣小组抽取的人中选 人作专题发言，求这 人都来自兴趣小组 的
概率．
49. 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共 杯，
其颜色完全相同，并且其中 杯为 饮料，另外 杯为 饮料，公司要求此员工一一品
尝后，从 杯饮料中选出 杯 饮料．若该员工 杯都选对，则评为优秀；若 杯选对
杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对 和 两种饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；

(2)求此人被评为良好及以上的概率．
50. 有编号为





的 个零件，测量其直径（单位： ），得到下面数据：
编号

直径
其中直径在区间



内的零件为一等品．
(1)从上述 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
(2)从一等品零件中，随机抽取 个．
（i）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
（ii）求这 个零件直径相等的概率．
51. 甲、乙两校各有 名教师报名支教，其中甲校 男 女，乙校 男 女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 名，写出所有可能的结果，并求选出的 名教师
性别相同的概率；
(2)若从报名的 名教师中任选 名，写出所有可能的结果，并求选出的 名教师来自同一
学校的概率．
52. 一个球形容器的半径为 ，里面装有纯净水，因不小心混入了 个感冒病毒，从中取
水，则所取的水中含有感冒病毒的概率是多少．
53. 如图，

， ， ，在线段 上任取一点 ，试求：





















(1) 为钝角三角形的概率；
(2) 为锐角三角形的概率．
54. 在长为 的线段 上任取一点 ，并以线段 为边作正方形，求这个正方形的面
积介于

与

之间的概率．
55. 集合



，集合





．
(1)若 ， ，且均为整数，求 的概率；
(2)若 ， ，且均为整数，求 的概率；
(3)若 ， ，且均为实数，求 的概率．
56. 线段 的长度为 ， 为线段 的中点．

(1)在线段 上随机取一点 ，求 ， 两点间距离大于 的概率；
(2)在线段 上随机取一点 ， 上随机取一点 ，求 ， 两点间距离大于 的概率．
57. 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 ， ， ， ，且只
乘一种交通工具去开会．
(1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率；
(2)求他不乘轮船去开会的概率；
(3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为 ，请问他有可能是乘何种交通工具去开会的？
58. 某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件 为＂只订甲报＂，事件 为＂至少订一种
报＂，事件 为＂至多订一种报＂，事件 为＂不订甲报＂，事件 为＂一种报也不
订＂．判断下列每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事件．
① 与 ；② 与 ；③ 与 ；④ 与 ；⑤ 与 ．
59. 一盒中装有各色球 只，其中 只红球、 只黑球、 只白球、 只绿球，从中随机取
出 球，求：
(1)取出 球是红球或黑球的概率；
(2)取出的 球是红球或黑球或白球的概率；
60. 对飞机进行 次独立射击，第一次、第二次、第三次命中率分别为 ， ， ，求：
(1)飞机被击中的概率；
(2)飞机至少被击中两次的概率．
61. 某同学参加科普知识竞赛，需回答 个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分
别得 分、 分、 分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率
分别为 、 、 ，且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得 分的概率；
(2)求这名同学至少得 分的概率．
62. 某班有两个课外活动小组组织观看奥运会，其中第一小组有足球票 张，排球票 张；第
二小组有足球票 张，排球票 张．甲从第一小组的 张票中任抽 张，乙从第二小组的
张票中任抽 张．
(1)求两人都抽到足球票的概率；
(2)求两人中至少有一人抽到足球票的概率．