人教版高中数学《三角函数》全部教案

三角函数
第一教时
教材：角的概念的推广
目的：要求学生掌 握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终
边相同的角”的含义。
过程：一、提出课题：“三角函数”
回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三 角形中两边的比值来定义的。
相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后 的学习和
研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。
二、角的概念的推广
1． 回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成 的几何图形）
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”
2． 讲解：“旋转”形成角（P4）
突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”
“始边”往往合于
x
轴正半轴
3． “正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法：角
?
或
?
?
可以简记成
?

4． 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
1? 角有正负之分 如：?=210? ?=?150? ?=?660?
2? 角可以任意大
实例：体操动作：旋转2周（360?×2=720?） 3周（360?×3=1080?）
3? 还有零角 一条射线，没有旋转
三、关于“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点合于坐标原 点，角的始边合于
x
轴的正半轴，这样一来，角的终
边落在第几象限，我们就说这个角 是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角
不属于任何一个象限）
例如：30? 390? ?330?是第Ⅰ象限角 300? ?60?是第Ⅳ象限角
585? 1180?是第Ⅲ象限角 ?2000?是第Ⅱ象限角等
四、关于终边相同的角
1．观察：390?，?330?角，它们的终边都与30?角的终边相同
2．终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与
k(k?Z)
个周角的和
390?=30?+360?
(k?1)

?330?=30??360?
(k??1)
30?=30?+0×360?
(k?0)

1470?=30?+4×360?
(k?4)

?1770?=30??5×360?
(k??5)

3．所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合

S?
?
?
|
?
?
?
?k?360,k?Z
?

?
即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和
4．例一 （P5 略）
五、小结： 1? 角的概念的推广
用“旋转”定义角 角的范围的扩大
2?“象限角”与“终边相同的角”


第二教时
教材：弧度制
目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制 与角度制互化，并进而建立角的集合与实数
集
R
一一对应关系的概念。
过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制
它的单位是rad 读作弧度
定
B C l=2
义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1
r
r
2rad
弧度的角。
1rad
A
r
A
如
o o
图：?AOB=1rad

?AOC=2rad

周角=2?rad
1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
2． 角?的弧度数的绝对值
?
?
l
（
l
为弧长，
r
为半径）
r
3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
三、角度制与弧度制的换算
抓住：360?=2?rad ∴180?=? rad
∴ 1?=
?
180
rad?0.01745rad

?
?
180
?
??

1rad?
??
?57.30?5718'

?
?
?
例一 把
6730'
化成弧度
?
?
13
?
1
?
?
rad?67?
?rad
解：
6730'?
?
67
?
∴
6730'?
18028
?
2
?
?
?
例二 把
?
rad
化成度
3
5

解：
?
rad?
3
5
3
?180
?
?10 8
?

5
注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行；
2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3
表示3rad sin?表示?rad角的正弦
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）
4 ．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能
在角的集合与实数的集合之间建 立一种一一对应的关系。
例三 用弧度制表示：1?终边在
x
轴上的角的集合 2?终边在
y
轴上的角的集
合 3?终边在坐标轴上的角的集合
解：1?终边在
x
轴上的角的集合
S
1
?
?
?< br>|
?
?k
?
,k?Z
?

2?终边在
y
轴上的角的集合
S
2
?
?
?
|
?
?k
?
?
?
?
?
?
,k? Z
?

2
?
3?终边在坐标轴上的角的集合
S
3
?
?
?
|
?
?
第三教时
?
?
k
?
?
,k?Z
?

2
?
教材：弧度制（续）
目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。
过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。
口答《教学与测试》P101-102练习题 1—5 并注意紧扣，巩固弧
度制的概念，然后再讲P101例二
二、由公式：
?
?
ln
?
r
?

l?r?
?
比相应的公式
l?
简单
r180
1
lR
其中
l
是扇形弧长，
R
2
1
?
R
2

2
?
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
例一 （课本P10例三） 利用弧度制证明扇形面积公式
S?
是圆的半径。
证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为：
l
R
弧长为
l
的扇形圆心角为
rad

R
o
S
l
∴
S?
l11
??
?
R
2
?lR

R2
?
2
n
?
R
2
比较这与扇形面积公式
S
扇
?
要简单
360
例二 《教学与测试》P101例一 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴
4
?
?
⑵
165

3
解：
r?10cm
⑴：
l?
?
?r?
4
?< br>40
?
?10?(cm)

33

⑵：
165
?
?
?
180
?165(r
11
?
a)?dr
12
a

d
∴
11
?
55
?
?10?(cm)

126
例三 如图，已知扇形
AOB
的周长是6cm，该扇形
l?
的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
解：设扇形的半径为r，弧长为
l
，则有
A B
o
2r?l?6
?
r?2
?
1
?
2

?
l
∴ 扇形的面积
S?rl?2(cm)

?< br>?
?1
2
?
l?2
?
?
r
?
例四 计算
sin

tan1.5

4
解：∵
?
4
?45
?
∴
sin
?
4
?sin45
?
?
2

2
1.5rad?57.30
?
?1.5?85.95
?
?85< br>?
57'

∴
tan1.5?tan8557'?14.12

例五 将下列各角化成0到2
?
的角加上
2k
?
(k?Z)
的形式
?
19
?
⑵
?315
?

3
19
?
解：
?
??6
?

33
⑴
?315
?
?45
?
?360
?
?
?
4
?2
?

60
R=45
例六 求图中公路弯道处弧AB的长
l
（精确到1m）
图中长度单位为：m
解： ∵
60?
?
?
3

∴
l?
?< br>?R?
?
3
?45?3.14?15?47(m)

三、练习：P11 6、7 《教学与测试》P102 练习6
四、作业： 课本 P11 -12 练习8、9、10
P12-13 习题4.2 5—14
《教学与测试》P102 7、8及思考题
第四教时
教材：任意角的三角函数（定义）
目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解? 角与?=2k?+?(k?Z)的同名三角
函数值相等的道理。
过程：一、提出课题：讲解定义：
1． 设?是一个任意角，在?的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）

则P与原点的 距离
r?
2．比值
x?y?x
2
?y
2
?0
（图示见P13略）
22
yy
叫做?的正弦 记作：
sin
?
?

r
r
xx
比值叫做?的余弦 记作：
cos
?
?

rr
yy
比值叫做?的正切 记作：
tan
?
?

x
x
比值
x
x
叫做?的余切 记作：
cot
?
?

y
y
比值
rr
叫做?的正割 记作：
sec
?
?

xx
比值
r
r
叫做?的余割 记作：
csc
?
?

y
y
注意突出几个问题： ①角是“任意角”，当?=2k?+?(k?Z)时，?与?的同名三角函
数值应 该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。
②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例子说
明）
③三角函数是以“比值”为函数值的函数
④
r?0< br>，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应
由象限确定（今后将专题研究）
⑤定义域：
R
y?sin
?
y?cot
?

y?cos
?

R

y?sec
?

?
y?tan
?
y?csc< br>?
?
?k
?
?(k?Z)
2
?
?k
?
(k?Z)
?
?
?k
?
?(k?Z)

2
?
?k
?
(k?Z)
二、例一 已知?的终边经过点P(2,?3)，求?的六个三角函数值
y
解：
x?2,y??3,r?2
2
?(?3)
2
?13


o x
∴sin?=?
313213
cos?=
1313
32
tan?=? cot?=?
P(2,-3)
23
sec?=
例二 求下列各角的六个三角函数值
1313
csc?=?
23

⑴ 0 ⑵ ? ⑶
3
?
2
⑷
?

2
解：⑴ ⑵ ⑶的解答见P16-17
⑷ 当?=
?
2
?
sec
2
∴sin
?
时
x?0,y?r

2
???
=1 cos=0 tan不存在 cot=0
222
?
不存在 csc=1
2
cosx
cosx
?
tanx
的值域
tanx
例三 《教学与测试》P103 例一 求函数
y?
解： 定义域：cosx?0 ∴x的终边不在x轴上
又∵tanx?0 ∴x的终边不在y轴上
∴当x是第Ⅰ象限角时，
x?0,y?0
cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2
…………Ⅱ…………,
x?0,y?0
|cosx|=?cosx |tanx|=?tanx ∴y=?2
x?0,y?0
…………ⅢⅣ………,
x
|cosx|=?cosx |tanx|=tanx ∴y=0
?0,y?0
例四 《教学与测试》P103 例二
⑴ 已知角?的终边经过P(4,?3),求2sin?+cos?的值
⑵已知角?的终边经过P(4a,?3a),(a?0)求2sin?+cos?的值
342
cos?= ∴2sin?+cos?=?
555
342
⑵若
a?0

r?5a
则sin?=? cos?= ∴2sin?+cos?=?
555
342
若
a?0

r??5a
则sin?= cos?=? ∴2sin?+cos?=
555
解：⑴由定义 ：
r?5
sin?=?
三、小结：定义及有关注意内容
四、作业： 课本 P19 练习1 P20习题4.3 3
《教学与测试》P104 4、5、6、 7
第五教时
教材：三角函数线
目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值 ，从而使学生对三角函数的定义域、
值域有更深的理解。
过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比
值”
二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义：
用单位圆中的线段表示三角函数值
三、新授：
2． 介绍（定义）“单位圆”—圆心在原点O，半径等于单位长度的圆
3． 作图：（课本P14 图4-12 ）
此处略 …… …… ……… …… ……

设任意角?的顶点在原点，始边与x
轴的非负半轴重合，角?的终边
也与单位圆交于P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于A、 B两点
过P(x,y)作PM?x轴于M，过点A(1,0)作单位圆切线 ，与?角的终边或
其反向延长线交于T，过点B(0,1)作单位圆的切线，与?角的终边或其反向延长
线交于S
4． 简单介绍“向量”（带有“方向”的量—用正负号表示）
“有向线段”（带有方向的线段）
方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。
例：有向线段OM，OP 长度分别为
x,y

当OM=x时 若
x?0
OM看作与x轴同向 OM具有正值x
若
x?0
OM看作与x轴反向 OM具有
负值x
yy
??y?MP

r1
xx

cos
?
???x?OM
有向线段
r1
5．
sin
?
?
MP,OM,AT,BS分别称作

tan
?
?
余切线

cot
?
?
yMPAT
???AT
?角的正弦线,余弦线,正切线,
xOMOA
xOMBS
???BS

yMPOB
四、例一．利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1?
s in
2
?
4
?
2
?
4
?
2
?
4
?
与
sin
2? tan与tan 3? cot与cot
353535
解： 如图可知：
S
2
S
1
B

P
2
P
1
2
?
4
?
sin

?
sin
A
o
35

T
2

tan
2
?
4
?

?
tan
35
cot
2
?
4
?

?
cot
35
T
1
例二 利用单位圆寻找适合下列条件的0?到360?的角
1? sin?≥
1
3
2? tan?
?

2
3
y
30?

T
o
210?
A

x
y
解： 1? 2?

P
2
P
1


o x

30?≤?≤150? 30?
?
?
?
90?或210?
?
?
?
2 70?
例三 求证：若
0?
?
1
?
?
2
?
?
2
时，则sin?
1
?
sin?
2

证明： 分别作?
1
,?
2
的正弦线x的终边不在x轴上
y
sin?
1
=M
1
P
1
sin?
2
=M
2
P
2
P
2
P
1
∵
0?
?
?
?
?
?

12
2
o M
2
M
1

x
∴M
1
P
1
?
M
2
P
2
即sin?
1
?
sin?
2


五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线
六、作业： 课本 P15 练习 P20习题4.3 2
补充：解不等式：(
x?[0,2
?
)
)
1?sinx≥
2
3
2? tanx
??1

2
3?sinx≤
1

2
第七教时
教材：三角函数的值在各象限的符号
目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函 数的值在各象限的符号，并由此熟
练地处理一些问题。
过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值
二、提出课题 然后师生共同操作：
1． 第一象限：
.x?0,y?0
∴sin?
?0,cos?
?
0,tan?
?
0,cot?
?
0,s ec?
?
0,csc?
?
0
第二象限：
.x?0, y?0
∴sin?
?
0,cos?
?
0,tan?
?
0,cot?
?
0,sec?
?
0,csc?
?
0
第三象限：
.x?0,y?0
∴sin?
?
0,cos??
0,tan?
?
0,cot?
?
0,sec?
?0,csc?
?
0
第四象限：
.x?0,y?0
∴si n?
?
0,cos?
?
0,tan?
?
0,cot?
?
0,sec?
?
0,csc?
?
0
记忆法则：

sin
?
为正 全正
csc
?
tan
?
cos
?
为正 为正
cot
?
sec
?
2． 由定义：sin(?+2k?)=sin? cos(?+2k?)=cos? tan(?+2k?)=tan?
cot(?+2k?)=co? sec(?+2k?)=sec?

csc(?+2k?)=csc?
三、例一 （P18例三 略）
例二 （P18例四）求证角?为第三象限角的充分条件是
?
(1)
?
sin
?
?0

(2)
?
tan
?
?0
证：必要性：
若?是第三象限角，则必有sin?
?
0,tan?
?
0
充分性：
若⑴ ⑵ 两式成立 ∵若sin?
?
0 则?角的终边可能位于
第三、第四象限，也可能位于y轴的非正半轴
若tan?
?
0，则角?的终边可能位于第一或第三象限
∵⑴ ⑵ 都成立 ∴?角的终边只能位于第三象限
∴角?为第三象限角
例三 （P19 例五 略）
四、练习：
1． 若三角形的两内角?，?满足sin?cos?
?
0，则此三角形必为…………（B）
A：锐角三角形 B：钝角三角形 C：直角三角形 D：以上三种情况都可能
2． 若是第三象限角，则下列各式中不成立的是……………………………（B）
A：sin?+cos?
?
0 B：tan??sin?
?
0
C：cos??cot?
?
0 D：cot?csc?
?
0
3． 已知?是第三象限角且
cos
?
2
?0
，问
?
是第几象限角？
2
解：∵
(2k?1)
?
?
?
?(2k?1)
?
?
∴
k
?
?
又∵
cos
∴
?
2

(k?Z)

?
2
?
?
2
?k
?
?
3
?
?

(k?Z)
则是第二或第四象限角
4
2
?
2
?0
则
?
是第二或第三象限角
2
?
必为第二象限角
2
sin2
?
?
1
?
4． 已知
??
?
2
?
?1
，则?为第几象限角？
sin2
?
?
1
?
解： 由
??
?
2
?
?1
∴sin2?
?
0
∴2k?
?
2?
?
2k?+?
(k?Z)
∴k?
?
?
?
k?+
∴?为第一或第三象限角
五、小结：符号法则，诱导公式
六、作业： 课本 P19 练习4,5,6
P20-21习题4.3 6-10
第八教时
教材：同角三角函数的基本关系
?

2

目的：要求 学生能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系，并能正确运用进行
三角函数式的求值运算。
过程：
一、 复习任意角的三角函数的定义：
计算下列各式的值：

2
90
?
?cos
2
90
?


2
30
?
?cos
2
30
?

45
?
?cot
2
45
?

?
3?
sin
3

5.
4


5?
?cot
5?

4.
3?
?
66
cos
cos
4
3
sin
二、1．导入新课：引导学 生观察上述题目的结果（并像公式“方向”引导）
引导猜想：
sin??cos??1

2．理论证明：（采用定义）
22
sin?
?tan?

tan??cot??1

cos?
yx
,cos???sin
2
??cos
2
??1
rr
?sin?yxyry
?
??????tan?

2当??k??(k?Z)时，

2cos?rrrxx
?yx
3< br>?
当??k?且??k??时,tan??cot????1
2xy
1
?
?
x
2
?y
2
?r
2
且sin?? 3．推广：这种关系称为平方关系。类似的平方关系还有：
sec??tan??1

22
csc
2
??cot
2
??1

sin?
?tan?
这种关系称为商数关系。类似的商数关系还有：
cos?
cos?
?cot?
< br>sin?
tan??cot??1
这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有：
csc??sin??1

sec??cos??1


4．点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系。
5．注意：
1?“同角”的概念与角的表达形式无关，
?
22
2
?tan
?
如：
sin3??cos3??1

?
2
cos
2
sin
2?上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。
3?据此，由一个角的任一 三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为
利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现 两解，因此应尽可能少用（实
际上，至多只要用一次）。
三、 例题：

例一、（课本P25 例一） 略
注：已知角的象限，利用平方关系，也只可能是一解。
例二、（课本P25 例二） 略
注：根据已知的三角函数值可以分象限讨论。
例三、（课本P25 例三） 略
22
实际上：
sec??tan??1
即
cos??
2
1

1?tan
2
?
1?
?
?
1?tan
2
?

?c os??
?
1
?
?
2
?
?
1?tan?< br> 而
sin??tan??cos?

当?为第一、四象限角

当?为第二、三象限角
tan?
?
?
?
1?tan
2
?
?cos??
?
tan??
?
2
?
?
1?tan?
四、 小结：三种关系，八个公式
五、 作业：P27 练习 1—4
P27—28 习题4．4 1—4

当?为第一、四象限角

当?为第二、三象限角
第九教时
教材：同角三角函数的基本关系(2)——求值 < br>目的：要求学生能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值，并从中了解一
些三角 运算的基本技巧。
过程：
二、 复习同角的三角函数的基本关系：
练习：已知
cos??m(m?0,m??1),求?的其他三角函数值。

解：若?在第一、二象限，则
sec??
tan??
1
m
1?m
m
2
sin??1?m
2
cot??
m
1? m
2
csc??
1
1?m
2

若?在第三、四象限，则
sec??
1
m
1?m
m
2
sin???1?m
2
cot???
m
1?m
2
csc???
1
1?m
2

tan???
六、 例一、（见P25 例四）化简：
1?sin
2
440
?

2
??
2
?
解：原式
?1?sin(3 60?80)?1?sin80?cos
2
80
?
?cos80
?< br>
例二、已知
sin??2cos?
，求
解：
?sin??2 cos?
sin??4cos?
及sin
2
??2sin?cos?的值。< br>
5sin??2cos?
?tan??2

?
sin??4cos?tan??4?21
????

5sin? ?2cos?5tan??2126
sin
2
??2sin?cos?tan
2
??2tan?4?26
sin??2sin?cos?????
4?15
sin
2
??cos
2
?tan
2
??1
2

强调（指出）技巧：1?分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式
2?“化1法”
例三、已知
sin??cos??
3
，求
tan ??cot?及sin??cos?的值。

3
1
3
两边平方，得：
sin?cos???

3
3
解：将
sin??cos??

?tan??cot??
1
??3

sin?cos?
25
?
33

(sin??co s?)
2
?1?2sin?cos??1?
?sin??cos???
15< br>
3
25
,
12
例四、已知
tan??cot??
求tan??cot?,tan
2
??cot
2
?,tan
3
??cot
3
?,sin??cos?

解：由题设：
tan??cot??
22
625
?2,
144

∴
tan??cot???

6257
?4??
14412

tan
2
??co t
2
??(tan??cot?)(tan??cot?)?
257175
? (?)??
1212144

tan
3
??cot
3
??(tan??cot?)(tan
2
??cot
2
??tan?cot ?)

25337251934825
??(?1)???
728

sin??cos???1?2sin?cos???1?2?
(
?tan??cot??
例五、已知
sin??cos??
127
??

255
12512
??sin?cos??
)
si n?cos?1225
1
(0????)
，求
tan?及sin
3< br>??cos
3
?的值。

5
12?
,0????,得：cos??0???(,?)
解：1? 由
sin?cos???
252
497
2
,得：sin??cos? ?
由
(sin??cos?)?

255
?
sin??cos??
?
?
联立 ：
?
?
sin??cos??
?
?
33
14
?
sin??
5
?
?
5
?tan???
4

?
73
3
?
cos???
55
?
3< br>3
91

5125
4?2mm?3
,cos??,?是第四象限角，
求
tan?的值。
例六、已知
sin??

m?5m?5
4 ?2m
2
m?3
2
22
)?()?1
解：∵sin? + cos? = 1 ∴
(
m?5m?5
2?
sin??cos??()?(?)?
3
4
5
化简，整理得：
m(m?8)?0
当
m
= 0时，
sin??
?m
1
?0,m
2
?8

43
,cos???，(与?是第四象限角不合）

55
12512
当
m
= 8时，
sin???,cos??，?tan???

13135
七、 小结：几个技巧
八、 作业：《课课练》P12 例题推荐 1、2、3
P13 课时练习 6、7、8、9、10
P14 例题推荐 1
《精编》P35 14

第十教时
教材：同角三角函数的基本关系(3)——证明 《教学与测试》第50课
目的：运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。
过程：
三、 复习同角的三角函数的基本关系：
例：（练习、《教学与测试》P25 例一）
已知
sin??cos???
解：
(sin??cos?)?
2
5
，求
sin?cos?的值。

4
25259
即：
1?2sin?cos??

?sin?cos???

161632

九、 提出课题：利用同角的三角函数的基本关系证明三角恒等式（或化简）
例一、（见P25 例四）化简：
1?sin
2
440
?

2
??
2
?
解：原式
?1?sin(360?80)? 1?sin80?cos
2
80
?
?cos80
?

例二、已知
?是第三象限角，化简
1?sin?1?sin?
（《教学与测试》例二 ）
?
1?sin?1?sin?
解：
原式?
(1?sin?)(1 ?sin?)(1?sin?)(1?sin?)

?
(1?sin?)(1?sin ?)(1?sin?)(1?sin?)
(1?sin?)
2
1?sin
2< br>?
?
(1?sin?)
2
1?sin
2
?
?
1?sin?1?sin?

?
|cos?||cos?|
< br>?
??是第三象限角，?cos??0
1?sin?1?sin?
???2ta n?
（注意象限、符号）
?cos??cos?
cos?1?sin?
?
例三、求证： （课本P26 例5）
1?sin?cos?
?原式?
证一：
左边?< br>cos?(1?sin?)cos?(1?sin?)cos?(1?sin?)
??

22
(1?sin?)(1?sin?)
1?sin?cos?
1?sin?
?右边

?等式成立
（利用平方关系） cos?
二
2
?
证：
?(1?sin?)(1?s?)?1?s

?
证
??c
2
?且1?is??0,ic??0o

nino
cos?1?sin?
?
（利用比例关系）
1?sin?cos?
三：
cos?1?sin?cos
2
??(1 ?sin?)(1?s?)c
2
??(1?s
2
?)

?< br>???
1?sin?cos?(1?s?)c?(1?s?)c?io
cos?1?si n?
cos
2
??cos
2
?
?
（作差）
??0

?
1?sin?cos?
(1?sin?)cos?
io
i
cos?
， 例三、已知方程
2x
2
?(3 ?1)x?m?0
的两根分别是
sin?，
求
sin?cos?
?的 值。
（《教学与测试》 例三）
1?cot?1?tan?
sin
2
?cos
2
?sin
2
??cos
2
?
???sin??cos?
解：
?原式?
sin??cos?cos??sin? sin??cos?

?由韦达定理知：原式?
3?1
（化弦法）
2
例四、已知
asec??ctan??d,bsec??dtan? ?c,求证：a
2
?b
2
?c
2
?d
2
证：由题设：
?
?
asec??ctan??d(1)
?
bsec? ??dtan??c(2)


(1)
2
?(2)
2
：(a
2
?b
2
)sec
2
? ?(c
2
?d
2
)tan
2
??c
2
?d
2

(a
2
?b
2
)sec
2
? ?(c
2
?d
2
)sec
2
?

?a
2
?b
2
?c
2
?d
2
< br>例五、消去式子中的
?：
?
?
x?sin??cos?(1)
y?tan??cot?(2)

?
解：由
(1)：x
2
? 1?2sin?cos??cos??
x
2
?sin
?1
2
(3)

由
(2)：y?
sin?cos?
cos?
?sin?
?
1
sin?cos?
?sin?cos??
1
y
将(3)代入(4)：y?
2
x
2
?1
（平方消去法）
例六、（备用）已知
sin??2sin?,tan??3tan?,求co s
2
?

解：由题设：
sin
2
??4sin
2
?
①
tan
2
??9tan
2
?
②
①②：
9cos
2
??4cos
2
?
③
①+③：
sin
2
??9cos
2
??4


1?cos
2
??9cos
2
??4


?cos
2
??
3
8

十、 小结：几种技巧
十一、 作业：课本P27 练习 5，6，
P28 习题4.4 8，9
《教学与测试》P106 4，5，6，7，8，思考题
(4)

第十一教时

教材：诱导公式（1） 360?
k
+ ?, 180? ? ?, 180? + ?, 360? ? ?, ? ?
目的：要求学生掌握上述诱导公式 的推导过程，并能运用化简三角式，从而了解、领会把未
知问题化归为已知问题的数学思想。
过程：
一、 诱导公式的含义：
任意角的三角函数 0?到360?角的三角函数 锐角三角函数
二、 诱导公式
sin(360?k+?) = sin?, cos(360?k+?) =
1． 公式1：（复习）
cos?.

tan(360?k+?) = tg?, cot(360?k+?)

= ctg?.


2． 对于任一0?到360?的角，有四种可能（其中?为不大于90?的非负角）
?
?当??0
?
，90
?
)
?
??
180
?
）
?
180??当??90，
??
?
???
180??当?? 180，270）
?
?
360
?
??当??270
?
，360
?
）
?
?
?
?
?
?为第一象限 角
?为第二象限角
（以下设?为任意角）
?为第三象限角
?为第四象限角
3． 公式2：
y
设?的终边与单位圆交于点
P(
x
,
y
)，则180
?+?终边与单位圆交于点P’(-
x
,-
y
)
P (x,y)

∴ sin(180?+?) = ?sin?,
o x
cos(180?+?) = ?cos?.
tan(180?+?) =
tg?, cot(180?+?) = ctg?.
P (-x,-y)

sec(180?+?) =
?sec?, csc(180?+?) = ?csc?

4．公式3：
y
如图：在单位圆中作出与角的
终边，同样可得：
P(x,y)
sin(??) = ?sin?,
M
o x
cos(??) = cos?.
tan(??) = ?tan?,
P’(x,-y)

cot(??) = ?cot?.
sec(??) = sec?,
csc(??) = ?csc?

5． 公式4： sin(180???) = sin[180
?
+(??)] = ?sin(??) = sin?,
cos(180???) = cos[180
?
+(??)] = ?cos(??) = ?cos?,
同理可得： sin(180???) = sin?, cos(180???) = ?cos?.
tan(180???) = ?tan?, cot(180???) = ?cot?.
sec(180???) = ?sec?, csc(180???) = csc?

6．公式5： sin(360???) = ?sin?, cos(360???) = cos?.
tan(360???) = ?tan?, cot(360???) = ?cot?.
sec(360???) = sec?, csc(360???) = ?csc?
三、小结：360?
k
+ ?, 180? ? ?, 180? + ?, 360? ? ?, ? ?的三角函数值等
于?的同名三角函数值再加上一个把?看成锐角时原函数值的符号
四、 例题：P29—30 例一、例二、例三
P31—32 例四、例五、例六 略
五、 作业：P30 练习
P32 练习
P33 习题4.5
第十二教时

教材：诱导公式（2） 90? k ± ?, 270? ± ?,
目的 ：能熟练掌握上述诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，同时学会另外四套
诱导公式，并能应 用，进行简单的三角函数式的化简及论证。
过程：
三、 复习诱导公式一至五：
1sin(180
?
??)cos(720
?
??)tan(540
?
??)
练习：1．已知
sin(3???)??,求

???3
cot(???180)sin(?180??)tan(900??)
解：
?sin(3???)?sin(???)??sin?,?sin??

?原式?
1

3
1
?sin??

? ?
3
?cot(??180)sin?tan(180??)
35?

,求cos(??)的值。
36
?sin?cos?tan?
2．已知
cos(??)?
?
6
解：
cos(
5?5??3

??)??cos[??(??)]??cos(??)??
6663
四、 诱导公式
1． 公式6：（复习）
sin(90? ??) = cos?, cos(90? ??) = sin?.

tan(90? ??) = cot?, cot(90? ??) =

tan?.


2． 公式7：
y

sec(90? ??) = csc?, csc(90? ??) =
如图，可证： 则
sin(90? +?) =
P(x,y)
M’P’ = OM = cos?
M
M’
o x
cos(90? +?) = OM’
= PM = ?MP = ?sin?
sin(90? +?) = cos?, cos(90? +?) = ?sin?.
P’


?cot?, cot(90? +?) = tan(90?
从而：
+?) =

?tan?.



sec(90? +?) = ?csc?, csc(90?+?) =
或证：sin(90? +?) = sin[180?? (90? ??)] = sin(90? ??) = cos?

cos(90? +?) = cos[180?? (90? ??)] = ?sin(90? ??) = ?cos?
3． 公式8：sin(270? ??) = sin[180?+ (90? ??)] = ?sin(90? ??) = ?cos?
sin(270? ??) = ?cos?, cos(270? ??) = ?sin.
余

类

似可（
?
其
tan(270? ??) = cot?, cot(270? ??) = tan?.


得，
sec(270? ??) = ?csc?, csc(270???) = sec?


学生自己完成）


4． 公式9：
sin(270? +?) = ?cos?, cos(270? +?) = sin?.
tan(270? +?) = ?cot?, cot(270? +?
（学生证明）
) = ?tan?.




?

sec(270? +?) = csc?, csc(270?+?) = ?sec
三、小结：90?± ?, 270? ± ?的三角函数值等于?的余函数的值，前面再加上一个把
?看成锐角时原函数值的符号
?3??
sin(??)?cos(??)sin(4k???)sin(??)
22 2
六、 例一、
求证：

?
?
tan(2k???)?co t(?k???)
cos(5???)?cos(??)
2
cos??sin?sin ?cos?
证：
左边?

?
?tan??cot?cos? ?sin?
?sin?cos?sin?cos?

右边?
左边 = 右边 ∴
?
?cos??sin?cos??sin?
等式成立
??

??)?cos
2
(??)的值。
44
?????
解：
原式?cos
2
[?(??)]?cos
2
(??)?sin< br>2
(??)?cos
2
(??)?1

244 44
例二、
求cos
2
(
例三、
已知sin??，sin( ???)?1,
解：
?sin(???)?1
从
1
3
求sin(2???)

?
2
而
?????2k??(k?Z)

：
s2? ??)?s
?
2(2k??)??i]?s
2
1
4k??i???) ?s??n

i
3
ni(n
例四、
若f(cosx)?cos17x,
解：
求f(sinx)

f(sinx)?f[cos(90
?
?x)]?cos[17(90
?
?x)]

?cos(4?360
?
?90
?
?17x)?cos(90
?
?17)?sin 17x

七、 作业：1.
已知f(sinx)?sin(4n?1)x,(n?Z, x?R)求f(cosx)

?
,求f()

3
2. 设f(?)?
2cos
3
??sin
2
(360
???)?sin(90
?
??)?3
2?2cos
2
(??18 0
?
)?cos(??)
《课课练》P16—17 课时9 例题推荐 1—3 练习 6—10

第十三教时
教材：诱导公式(3)——综合练习
目的：通过复习与练习，要求学生能更熟练地运用诱导公式，化简三角函数式。
过程：
四、 复习：诱导公式
十二、 例一、（《教学与测试》 例一）计算：sin315??sin(?480?)+cos(?330?)
解：原式 = sin(360??45?) + sin(360?+120?) + cos(?360?+30?)
= ?sin45? + sin60? + cos30? =
3?
2

2
小结：应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：
1?用“? ?”公式化为正角的三角函数
2?用“2
k
? + ?”公式化为[0，2?]角的三角函数
3?用“?±?”或“2? ? ?”公式化为锐角的三角函数
例二、已知
cos(??)?
?
6
3 5?
（《教学与测试》例三）
，求cos(??)的值。
36
解：
cos(
5?5??3

??)??cos[??(??)]??cos(??)??
6663
小结：此类角变换应熟悉
例三、求证：
cos(k???)cos(k???)
??1,k?Z

sin[(k?1)???]cos[(k?1)???]
证：若
k
是偶数， 即
k
= 2
n
(
n
?Z) 则：

左边?
cos(2n???)cos(2n???)?sin?cos?
???1
sin[2n??(???)]cos[2n??(???)]?sin?(?cos?)
若
k
是奇数，即
k
= 2
n
+ 1 (
n
?Z) 则：
左边?
cos[2n??(???)]cos[ 2n??(???)]sin?(?cos?)
???1

sin[2(n?1)?? ?)]cos[2(n?1)???)]sin?cos?
∴原式成立
小结：注意讨论
例四、已知方程sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?)，求
sin(??? )?5cos(2???)
的
3?
2sin(??)?sin(??)
2值。
（《精编》 38例五）
解： ∵sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?) ∴? sin(3? ? ?) = 2cos(4? ? ?)
∴? sin(? ? ?) = 2cos(? ?) ∴sin? = ? 2cos? 且cos? ? 0
∴
原式?
sin??5cos??2cos??5cos?3 cos?3
????

?2cos??sin??2cos??2cos??4cos ?4

例五、已知
tan(???)?a,|cos(???)|??cos?,
（《精编》P40 例八）
2
求
1

的值。
cos(???)
解：由题设：
tan???a
2
?0,|cos?|??cos?,即cos??0

由此：当a ? 0时，tan? < 0, cos? < 0, ?为第二象限角，

?原式??
1
??sec??1?tan
2< br>??1?a
4

cos?
当a = 0时，tan? = 0, ? =
k
?, ∴cos? = ±1，
∵
cos??0
∴cos? = ?1 ,

?原式??
1
?1?1?a
4
(a?0)

cos?
综上所述：
1
?1?a
2

cos(???)
2
例六、若关于
x
的方程2cos(? +
x
) ? sin
x
+
a
= 0 有实根，求实数
a
的取值范
围。
解：原方程变形为：2cos
x
? sin
x
+
a
= 0 即 2 ? 2sin
x
? sin
x
+
a
= 0
∴
a?2sinx?sinx?2?2(sinx?)?
∵? 1≤sin
x
≤1
2
22
1
4
2
17

8
a
min
??
∴
当sinx??时，
∴
a
的取值范围是[
?
十三、
1
4
17
；
当sinx?1时，a
max
?1

8
17
,1
]
8
作业：《教学与测试》P108 5—8，思考题
《课课练》P46—47 23，25，26

第十三教时
教材：单元复习
目的：复习整节内容，使其逐渐形成熟练技巧,为继续学习以后的内容打下基础。
过程：
五、 复习：梳理整节内容：

两
角的概念的扩
同角的三角函数关
套
预

基
备

概
弧度制
本
公

念
诱导公式
式
任意角三角函

十四、 处理《教学与测试》P109 第52课 略
1．“基础训练题” 1—4
2．例题 1—3
3．口答练习题 1，2
十五、 处理《课课练》P20 第11课

1．“例题推荐” 1—3 注意采用讲练结合
2．口答“课时练习” 1—4
十六、 备用例题： 《精编》P40—41 例九，例十一
a) 已知sin(? ? ?) ? cos(? + ?) =
的值
解：∵sin(? ? ?) ? cos(? + ?) =
2
(04
22
即：sin ? + cos ? = ①
44
又∵0<
?3?
2
<1，0????
∴sin?>0, cos?<0
24
4
令
a
= sin(? + ?) + cos(2? ? ?) = ? sin? + cos? 则
a
<0
由①得：2sin?cos? =
?
7
30

?a??1?2sin?cos???

8
4
b) 已知2sin(? ? ?) ? cos(? + ?) = 1 (0的值
解：将已知条件化简得：2sin ? + cos ? = 1 ①
设cos(2? ? ?) + sin(? + ?) =
a
, 则
a
= cos ? ? sin ? ②
11
(1?a),cos??(1?2a)

33
11
22
22
∵sin? + cos? = 1 ∴
(1?2a?a)?(1?4a?4a)?1

99
①②联立得：
sin??
∴5
a
+ 2
a
? 7 = 0,
2
7
,
a
2
= 1(舍去)(否则sin? = 0, 与05
7
∴cos(2? ? ?) + sin(? + ?) =
?

5
解之得：
a
1
=
?
作业：《教学与测试》P109—110 练习题3—7
《课课练》P21 课时练习 8—10
第十五教时
教材：两角和与差的余弦（含两点间距离公式）
目的：首先要求学生理解平面上的两点间距离公式的推导过程，熟练掌握两点间距离公式并
由此 推导出两角和与差的余弦公式，并能够运用解决具体问题。
过程：一、提出课题：两角和与差的三角函数
二、平面上的两点间距离公式
5． 复习：数轴上两点间的距离公式
d?x
1
?x
2

2． 平面内任意两点
P
1
(x
1
,y
1
)
，< br>P
2
(x
2
,y
2
)
间的距离公式。
从点P
1
,P
2
分别作x轴的垂线
y
P
1
M
1
,P
2
M
2
与x轴交于点M
1
(x
1
,0),M
2
(x
2
,0)

P
2

N
2

再从点P
1
,P< br>2
分别作y轴的垂线P
1
N
1
,P
2
N2
与y轴交于
十七、
M
1

P
1

o
N
1

M
2

Q
x

点N
1
,N
2
直线P
1
N
1
,P
2
N
2
与相交于Q点则：P
1
Q=
M
1
M
2
=|x
2
-x
1
| Q P
2
= N
1
N
2
=|y
2
-y
1
|
由勾股定理：
22222
P
1
P
2
2
?P
1
Q
2
?QP
2
?|x
2
?x
1
|?|y
2
?y
1
|?(x
2
?x
1
)? (y
2
?y
1
)

从而得
P
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
两点间的距离公
式：

PP?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

12
3．练习：已知A(-1,5),B(4,-7) 求AB
解：
AB?(4?1)
2
?(?7?5)
2
?25?144?13< br>
三、两角和与差的余弦 含意：cos(?±?)用?、?的三角函数来表示
1．推导：(过程见书上P34-35)
cos(?+?)=cos?cos??sin?sin?
① 熟悉公式的结构和特点； 嘱记
②此公式对任意?、?都适用
③公式代号
C
?
+
?

6． cos(???)的公式，以??代?得：
cos(???)=cos?cos?+sin?sin?
同样，嘱记，注意区别，代号
C
???

四、例一 计算① cos105? ②cos15? ③cos
?3??3?
cos?sinsin
510510
解：①cos105?=cos(60?+45?)=cos60?cos45??sin60?sin45?
12322?6
=
?

???
22224
②cos15? =cos(60??45?)=cos60?cos45?+sin60?sin45?
12322?6
=
?

???
22224
?3?? 3??3?
?
③coscos?sinsin= cos(+)=cos=0
510510510
2
例二 《课课练》P22 例一
312
已知sin?=，cos?=求cos(???)的值。
13
5
312
解：∵sin?=>0，cos?=>0 ∴?可能在一、二象限，?在一、四象限
13
5
若?、?均在第一象限，则cos? =
454123563
，sin?= cos(???)=
????
51351351365
若?在第一象限，?在四象限，则
4123533
cos (???)=
???(?)?

51351365
cos?=
45
，sin?=?
5

13
若?在第二象限，?在一象限，则 cos?=?
4
5
，sin?=
5

13

4123533
cos(???)=
(?)?????

51351 365
若?在第二象限，?在四象限，则
4123563
cos(???)=
(?)???(?)??

51351365
cos?=?
45
，sin?=?
513
五、小结：距离公式，两角和与差的余弦
六、作业： P38-39 练习2中(3)(4) 3中(2)(3) 5中(2)(4)
P40-41 习题4.6 2中(2)(4) 3中(3)(4)(6) 7中(2)(3)
1
22
补充：1．已知cos(???)=求(sin?+sin?)+(cos?+cos?)的值。
3
2．sin??sin?=?
的值
1
1??
，cos??cos?=，??(0, ),??(0, ),求cos(???)
2
222
第十六教时
教材：两角和与差的正弦
目的：能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并
运用 进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
过程：一、复习：两角和与差的余弦
练习：1．求cos75?的值
解：cos75?=cos(45?+30?)=cos45?co s30??sin45?sin30?
23216?2

????
22224
2．计算：1? cos65?cos115??cos25?sin115?
=
2? ?cos70?cos20?+sin110?sin20?
解：原式= cos65?cos 115??sin65?sin115?=cos(65?+115?)=cos180?=?1
原式=?cos70?cos20?+sin70?sin20?=?cos(70?+20?)=0
35
3．已知锐角?,?满足cos?= cos(?+?)=
?
求cos?.
13
5
34
解：∵cos?= ∴sin?=
5
5
又∵cos(?+?)=
?
512
<0 ∴?+?为钝角 ∴sin(?+?)=
1313
∴cos?=cos[(?+?)? ?]=cos(?+?)cos?+sin(?+?)sin?
=
?
5312433
（角变换技巧）
????
13513565
二、两角和与差的正弦
7． 推导sin (?+?)=cos[
=cos(
??
?(?+?)]=cos[(??)??] < br>22
??
??)cos?+sin(??)sin?=sin?cos?+cos?si n?
22
即： sin(?+?)=sin?cos?+cos?sin? （S
?
+
?
）
以??代?得： sin(???)=sin?cos??cos?sin? （S
???
）
8． 公式的分析，结构解剖，嘱记

9． 例一 不查表，求下列各式的值：
1? sin75? 2? sin13?cos17?+cos13?sin17?
解：1?原式= sin(30?+45?)= sin30?cos45?+cos30?sin45?
12322?6
=
?

???
22224
1
2?原式= sin(13?+17?)=sin30?=
2
例二 求证：cos?+
3sin?=2sin(
证一：左边=2(
?
+?)
6
1
3
??
cos?+ sin?)=2(sincos?+cos sin?)
2
2
66
=2sin(
证二：右边=2(sin
?
+?)=右边 （构造辅助角）
6
1
3
??
cos?+cos sin?)=2(cos?+ sin?)
2
2
66
= cos?+
3
sin?=左边
例三 〈精编〉P47-48 例一 已知sin(?+?)=
解： ∵sin(?+?)=
sin(???)=
tan
?
22
,sin(???)= 求的值
tan
?
35
22
∴sin?cos?+cos?sin?= ①
33
22
∴sin?cos??cos?sin?= ②
55
①+②：sin?cos?=
8

8
15
tan< br>?
sin
?
cos
?
=
?
15
< br>?
2
2
tan
?
cos
?
sin
?
①?②：cos?sin?=
?4
15
15
三、小结：两角和与 差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”“逆向运用
公式”
四、作业： P38 练习2中①② 3中① 5中①③
P40-41 习题4.6 2中①③ 3中①②⑤⑦⑧ 7中①④⑤
〈精编〉P60-61 2、3、4
第十七教时
教材：两角和与差的正切
目的：要求学生能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式。
过程：一、复习：两角和与差的正、余弦公式C
?
+
?
,C
???
,S
?
+
?
,S
???

练习：1．求证：cosx+sinx=
2
cos(x
?
证：左边=
2
(
?
)
4
??
22
cosx+sinx)=
2
( cosxcos+sinxsin)
44
22
=
2
cos(x
?
?
)=右边
4
??
22
+sinxsin)=
2
(cosx+sinx )
44
22
又证：右边=
2
( cosxcos

= cosx+sinx=左边
2．已知 ，求cos(???)
3
sin?+sin?=

5

①
22
4
+sin
2
?=
9
③ 解： ①: sin?+2sin
cos?+cos
?
?
sin
=< br>?
②
25
5
16
222
②: cos?+2cos?cos?+cos?= ④
25
③+④: 2+2(cos?cos?+sin?sin?)=1 即：cos(???)=
1

2
二、两角和与差的正切公式 T
?
+
?
,T
???

10． tan(?+?)公式的推导（让学生回答） ∵cos (?+?)?0
sin(
?
?
?
)sin
?
co s
?
?cos
?
sin
?
?
tan(?+?)= 当cos?cos??0时
cos(
?
?
?
)cos
?< br>cos
?
?sin
?
sin
?
分子分母同时除以co s?cos?得：
tan
?
?tan
?
tan(?+?)=


1?tan
?
tan
?
以??代?得：
tan
?
?tan
?
tan(???)=

1?tan
?
tan
?
2．注意：1?必须在定义域范围内使用上述公式 。即：tan?，tan?，tan(?±?)只要
有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需） 用诱导公式来解。 2?
注意公式的结构，尤其是符号。
3．引导学生自行推导出cot(?±?)的公式—用cot?，cot?表示
cos(?
?
?
)cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?
cot(?+?)= 当sin?sin??0时 sin(
?
?
?
)sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
cot(?+?)=
cot
?
cot
?
?1

cot
?
?cot
?
co t
?
cot
?
?1

cot
?
?cot
?
同理，得：cot(???)=
三、 例一求tan15?，tan75?及cot15?的值：
3
3
?
3?3
?
12?63
?2?3
解：1? tan15?= tan(45??30?)=
6
33?3
1?
3
1?
3
3
?
3?3
?
12?63
?2? 3
2? tan75?= tan(45?+30?)=
6
33?3
1?
3
1?
3? cot15?= cot(45??30?)=
1?3
3?1
?
4?23
?2?3

2
1
例二 已知tan?=，tan?=?2 求cot(???)，并求?+?的值，其中0?3
90?

解：cot(???)=
1
tan(
?
?
?
)
?
1?tan
?
tan
?
1
?
tan
?
?tan
?
7
1
?2
ta n
?
?tan
?
3
∵ tan(?+?)=
???1

1
1?tan
?
tan?
1??(?2)
3
且∵0? ∴?+?=135?
1?tan75
?
例三 求下列各式的值：1? 2?tan17?+tan28?+tan17?tan28?
1?tan75
?
tan45
?
?tan75
?
解：1?原式=
?tan(45
?
?75
?
)?tan120
?
??3

??
1?tan45tan75
tan17
?
?tan28
?
2? ∵
tan(

17?28)?
1?tan17
?
tan28
?
??
∴tan17?+tan28?=tan(17?+28?)(1?tan17?tan28?)=1? tan17?tan28?
∴原式=1? tan17?tan28?+ tan17?tan28?=1
四、小结：两角和与差的正切及余切公式
五、作业： P38-39 练习2中 P40-41 习题4.6 1-7中余下部分 及9
第十八教时
教材：两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑴
目的：通过例题的讲解，使学生对上述公式的掌握更加牢固，并能逐渐熟悉一些解题的技巧。
过程：一、复习：1?两角和与差的正、余弦、正切公式
2?处理（以阅读、提问为主）课本P36-38例一、例二、例三
二、关于辅助角问题
例一 化简
3cosx?sinx

解 ：原式=
2(
31
???
cosx?sinx)?2(sincosx?co ssinx)?2sin(?x)

22333
???
或解：原式=
2(coscosx?sinsinx)?2cos(?x)

666
例二 《教学与测试》P
111
例2
?
5
?
?
?
?
已知
x?
?< br>0,
?
，求函数
y?cos(?x)?cos(?x)
的值域
1212
?
2
?
?
5
??
解：
y?cos(?x)?cos(?x)?2cos(?x)

12123
???
?
?
?
∵
x?
?
0,
?
∴
???x?

633
?
2
?
?
2
?
?
?
1
?
∴
cos(?x)?
?
,1
?
∴函数y的值域是
?
,2
?

3
?
2
?
??
?
2
?
四、 关于角变换
cos2x
?
?
5
例三 已知
sin(?x)?
，
0?x?
求的值
?
4413
cos(?x)
4

??
5
?
5< br>?
5
?
?
?
解：∵
sin(?x)?

cos
?
?(?x)
?
?sin(?x)?
即：
cos(?x)?

4413
413413
?
2?
∵
0?x?
?
4
∴
?
4?x?
?
4
?
?
?
12
从而
si(?x)?

2
413
?
?
?
?
?
125125120
而：
cos2x?cos
?
(?x) ?cos(?x)
?
?????

44
?
120
cos2x24
∴
?
169
?
?
5
13
cos(?x)
413
例四 《教学与测试》P
111
例3
已知
sin(2
?
?
?
)?2sin
?
?0
求证tan?=3tan(?+?) < br>?
?
?
)?
?
]?2sin[
?
?(
?
?
?
)]
证：由题设：
sin[(
?< br>?
?
)cos
?
?cos(
?
?
?
)sin
?
?2sin
?
cos(
?
?
?
)?2cos
?
sin(
?
?
?
)
即：
sin(
?
?
?
)cos
?
?sin
?
c os(
?
?
?
)
∴tan?=3tan(?+?) ∴
3sin(
例五 《精编》P48-49 例三
已知
?2
?
?
?
?
?
3
?
123
，
cos(
?
?
?
)?
，
sin(
?
?
?
)??
，求sin2?的值
4
135
解：∵
cos(
?
?
?
)?
∴
0?
?
?
?
?
∴
?
?< br>?
?
?
?
?
3
?
12

?0

?
?
?
?
?
24
13
5

13
?
4
∴
sin(
?
?
?
)?
3
?
34
又：
sin(
?
?
?
)??
∴
cos(
?
?
?
)??

2
55
?
?
?
)?(
?
?
?
)]?sin(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?c0s(
?< br>?
?
)sin(
?
?
?
)
∴sin2?=
sin[(
3124556
=
??????

51351365
四、小结：
五、作业：课本 P41-42 9-17
第十九教时
教材：两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑵
目的：通过例题的讲解，增强学生利用公式解决具体问题的灵活性。
过程：一、公式的应用
例一 在斜三角形△ABC中，求证：tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC
证一：在△ABC中，∵A+B+C=? ∴A+B=??C
从而有 tan(A+B)=tan(??C) 即：
tanA?tanB
??tanC

1?tanAtanB
∴tanA+tanB=?tanC+tanAtanBtanC
即：tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC
证二：左边= tan(A+B)(1?tanAtanB) +tanC=tan(??C) (1?tanAtanB) +tanC
=?tanC+ tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC=右边
例二 求(1+tan1?)(1+tan2?)(1+tan3?)……(1+tan44?)
解： (1+tan1?)(1+tan44?)=1+tan1?+tan44?+tan1?tan44?
=1+tan45?(1? tan1?tan44?)+ tan1?tan44?=2

同理：(1+tan2?)(1+tan43?)=2 (1+tan3?)(1+tan42?)=2 ……
22
∴原式=2
例三 《教学与测试》P
113
例一 （略）口答
?
例四 《教学与测试》P
113
例二 已知tan?和
tan(?
?
)
是方程
x
2
?px?q?0

4
的两个根，证明：p?q+1=0
??
证：由韦达定理：tan?+
tan(?
?
)
=?p ，tan??
tan(?
?
)
=q
44
tan
?
?tan(?
?
)
p
??
4
∴
1?tan?tan[

?
?(?
?
)]???
?
441?q
1?tan
?
?tan(?
?
)
4< br>?
∴p?q+1=0
例五 《教学与测试》 例三 已知tan?=
3(1?m)
，tan(??)=
3
(tan?tan?+m )
又?,?都是钝角，求?+?的值
解：∵两式作差，得：tan?+tan?=
3
(1?tan?tan?
即：
tan
?
?tan
?
?3
∴
tan(
?
?
?
)?3

1?tan
?
tan
?
又：?,?都是钝角 ∴??
4
?

3
二、关于求值、求范围
2
例六 已知tan?，tan? 是关于x的一元二次方程x+px+2=0的两实根，求
sin(
?
?
?)
的值。
cos(
?
?
?
)
解：∵
sin(
?
?
?
)sin
?
cos
?
?cos
?
ssin
?
tan
?
?tan
?
??

cos(
?
?
?
)cos
?< br>cos
?
?sin
?
ssin
?
1?tan
?
tan
?
2
tan?，tan?是方程x+px+2=0的两实根
?
tan
?
?tan
?
??p
sin(
?
?
?
)?pp
???
∴
?
∴
co s(
?
?
?
)1?23
?
tan
?
?ta n
?
?2
2cos10
?
?sin20
?
例七 求的值。
cos20
?
解：原式
2c os(30
?
?20
?
)?sin20
?
2cos30?
cos20
?
?2sin30
?
sin20
?
?sin20
?
=
?
cos20
?
cos20
?
3cos20
?
?sin20
?
?sin20
?
?3
=
cos20
?
三、作业：《教学与测试》 P
111-114
53、54课中练习题
第二十教时
教材：两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑶
目的：进一步熟悉有关技巧，继续提高学生综合应用能力。（采用《精编》例题）
过程：一、求值问题（续）

例一 若tan?=3，tan?=3
?
, 且???=
xx
?
，求x的值。
6
解：tan(???)=tan
3
?
xx
= ∵tan?=3，tan?=3
?

3
6
tan
?
?tan
?
33
x
?3
?x
1
x
???( 3?3
?x
)
∴
x?x
21?tan
?
?tan
?
1?3?32
∴3?3?3?3
?
=2
3
即：
3?(3
x
)
2
?23?3
x
?3?0

xx
∴
3
x
?3或3
x
??
3
1
(舍去) ∴
x?

3
2
例二 已知锐角?, ?, ? 满足sin?+sin?=sin?, cos??cos?=cos?, 求???的值。
解： ∵sin?+sin?=sin? ∴sin? ?sin? = ?sin? <0 ①
∴sin? 同理：∵cos??cos?=cos? ∴ cos?? cos? = cos? ②
①+②: 1+1?2cos（???）=1 ∴cos（???）=
∵
0?
?
?
22
1

2
?
2

0?
?
?
?
2
∴
?
?
2
?
?
?
?
?0
∴???=
?
?

3
二、关于最值问题
例三 已知tan?，tan?是关于x的方程
mx
2
?2x7m?3?2m?0
的 两个实根，求
tan(?+?)的取值范围。
解：∵tan?，tan?是方程mx
2
?2x7m?3?2m?0
的两个实根
∴△=4(7m-3)-8m≥0 ∴2m-7m+3≤0 解之：
22
1
≤m≤3
2
?
27m?3
?
tan
?
?tan
?
?
27m?3
tan(
?< br>?
?
)??
又：
?
∴ m
m
?
?
tan
?
?tan
?
?2< br>117
?
49
?
1
为求范围：
tan(

?
?
?
)??27??3()
2
??2?3
?
()?
?
?
mmm612
??< br>2
∵
1
1
≤m≤3 ∴≤m≤2
2
3
2
7
?
49
49
17
?
1 ∴当
?
时，
?3
?
()?
?
?
有最大值
m612
12
m6
??
7
?
49
111< br>?
1
当
?2
或
?
时，
?3
?
()?
?
?
有最小值2
12
mm3
?
m6
?
2
∴
737
?
49
?
1
???2?3
?
() ?
?
???22
3
?
m6
?
12
2
即：

?
73
?
tan(
?
?< br>?
)?
?
?,?22
?

??
?
3
?
∴p?q+1=0
例四 若
?
x值。
?
3
?
1
?
解：
f
(x
)=
3
sinx+cosx=2
?
sinx?cosx
?
?2sin(x?)

26
??
?
2
?
?
2
?x?
?
2
，求
f
(
x
)=
3
sinx+cosx的最大值和最小值，并求出此时的
∵
?
∴
?
?
2
?x?
?
2
∴
?
?
3
?x?
?
6
?
2
?

3
3
?
?
?sin(x?)?1

?3?2sin(x?)?2

26
6
即：
?3?f(x)?2
当且仅当
x?
(
x
)
min
=
?3

?
6
??
?
3
，
x??
?
2
时
f
当且仅当
x?
?
6
?
?
2
，
x?
?
3
时
f
(
x
)
max
=2



例五 已知
f
(
x
)=-acos2x-
3
asin2x+2a+b，其中a>0，x?[0,
≤1，设g(t)=at+bt-3，t ?[-1,0]，求g(t)的最小值。
解：
f
(
x
)=-acos2x-
3
asin2x+2a+b=-2a[
=-2asin(2x+
∵x?[0,
?
1
?
?sin(2x?)?1

26
1
3
sin2x+cos2x]+2a+b
2
2
2
?
]时，-5≤
f
(
x
)
2
?
)+2a+b
6
?
??
7
?
] ∴
?2x??
∴
2
666
?
又： a>0 ∴-2a<0 ∴
?2a??2asin(2x?)?a

6
?
∴
b??2asin(2x?)?2a?b?3a?b
∴
b?f(x)?3a?b

6
∵-5≤
f
(
x
)≤1 ∴
?
22?
b??5
?
b??5
?
?

3a?b?1a?2
??
∴g(t)=at+bt-3=2t-5t-3=2(t-
∴当t=0时，g(t)
min
=g(0)=-3
5
2
49
)- ∵t?[-1,0]
4
8

三、作业：《精编》 P
61
6、7、11
P
62
20、22、23、25
P
63
30
第二十一教时
教材：二倍角的正弦、余弦、正切
目的：让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公
式所 蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
过程：
六、 复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
十八、 提出问题：若
???
，则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。
让学生板演得下述二倍角公式：
sin2??2sin?cos?
2tan?
tan2??
1?tan
2
?
cos2??cos
2
?? sin
2
??2cos
2
??1?1?2sin
2
?

cot
2
??1
cot2??

2cot?
剖析：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，
如：
?
?
是的倍角。
48
2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）
3．特别注意这只公式的三角表达形式，且要善于变形：

cos??2
1?cos2?
,
2
sin
2
??
1?co s2?
这两个形式今后常用
2
十九、 例题：
例一、（公式巩固性练习）求值：
1．sin22?30’cos22?30’=
12

sin45
?
?
24
2．
2cos
2
?
?2
?1?
cos?

8
42
3．
sin

4．
8sin
例
1．
(sin
2
??
?2
?cos2
?
?cos??

88
42
????
??? ???1
coscoscos?
4sincoscos?2sincos?sin?

48482412
242412121262
二、
5?5?5?5?
5?5?5?3
?cos)(sin?cos)?
sin
2
?cos
2
??cos?

12121212
121262
4
2．
cos
??????
?sin
4
?(cos
2
?sin
2
)(cos
2
?sin
2
)?cos?

222222

3．
112tan?
???tan2?

1?tan?1?tan?
1?tan
2
?
222
4．
1?2cos??cos2??1?2cos??2cos??1?2

例三、若tan ? = 3，求sin2? ? cos2? 的值。
2sincos??sin< br>2
??cos
2
?2tan??tan
2
??17
? ?
解：sin2? ? cos2? =
222
5
sin??cos?1?tan?
例四、条件甲：
1?sin??a
，条件乙：
sin
那么甲是乙的什么条件？
解：
1?sin??
??
?cos?a
，
22
??
??
(sin?cos)
2
?a
即
|sin?cos|?a

22
22
当?在第三象限时，甲 乙；当
a
> 0时，乙 甲
∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。
5?
,??(,?)
，求sin2?，cos2?，tan2?的值。
132
5?12
,??(,?)
∴
cos???1?sin
2
???
解：∵
sin??
13213
120
∴sin2? = 2sin?cos? =
?

169
119
2
cos2? =
1?2sin??

169
120
tan2? =
?

119
例五、（P43 例一）已知
sin??
二十、 小结：公式，应用
二十一、 作业：课本P44 练习
P47 习题4.7 1，2
第二十二教时
教材：二倍角公式的应用
目的：要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强 学生灵活运用数学知识和
逻辑推理能力。
过程：
七、 复习公式：
例一、（板演或提问）化简下列各式：
??1
?
tan40
?
tan80
?

?
1．
4sincos?
2sin
2．
2
?
44
2
2
1?tan40
3．2sin157.5? ? 1 =
?cos315??
2
?
2

2

4．
sin
?5???1?1
sin?sincos?sin?


????
1
sin40
?
cos40
?
c os80
?
5．cos20?cos40?cos80? =
sin20cos20cos40cos80
?
2

?
?< br>sin20
sin20
1
1
sin160
?
sin8 0
?
cos80
?
1
8

?
4

??
8
sin20
?
sin20< br>?
例二、求证：[sin?(1+sin?)+cos?(1+cos?)]×[sin?(1? sin?)+cos?(1?cos?)] =
sin2?
2222
证：左边 = (sin?+sin?+cos?+cos?)×(sin??sin?+cos??cos?)
= (sin?+ cos?+1)×(sin?+cos? ?1)
2
= (sin?+ cos?)?1 = 2sin?cos? = sin2? = 右边
∴原式得证
二十二、 关于“升幂”“降次”的应用
注意：在二倍角公式中，“升次”“降次”与角的变化是相对的。在解题 中应视题目
的具体情况灵活掌握应用。（以下四个例题可视情况酌情选用）
例三、求函数y?cos
2
x?cosxsinx
的值域。（《教学与测试》P115例一）
解：
y?
1?cos2x12?1
?sin2x?sin(2x?)?
——降次
22242
?
1?21?2
)?1
∴
y?[,]

4
22
∵
?1?sin(2 x?
2
??
??)?sin
2
(??)
的值是与?无关的定 值。
36
11??
证：
原式?(1?cos2?)?[1?cos(?2?)]?cos?cos(??)
——降次
2233
1???

?[cos(?2?)?cos2?]?cos?(coscos??sinsin?)

2333
例四、求证：
sin??cos?cos(
< br>?
1??13
(coscos2??sinsin2??cos2?)?cos
2
??cos?sin?)

23322
131131
cos2?? sin2??cos2??(1?cos2?)?sin2?)?

422444
2

?
??
??)?sin
2
(??)
的值与?无关
36
1?cos??sin?1?cos??sin?
?
例五、化简： ——升幂
1?cos??sin?1?cos??sin?
∴
sin ??cos?cos(

??????
?2sincos2sin
2?2sincos
222
?
222
解：
原式?
? ?????
2sin
2
?2sincos2cos
2
?2sinco s
222222
??????
2cos(cos?sin)2sin(sin?cos )
222
?
222

?
??????
2sin(sin?cos)2cos(cos?sin)
222222
??1?co s?1?cos?2
?)????2csc?

??(cot? tan)??(
22sin?sin?sin?
1?sin4??cos4?1?sin4?? cos4?
?
例六、求证：(P43 例二) ——升幂
2
2tan?< br>1?tan?
1?sin4??cos4?2tan?
??tan2?
证 ：原式等价于：
1?sin4??cos4?
1?tan
2
?
2co s
2
sin4??(1?cos4?)2sin2?cos2??2sin
2
2?
左边
?

?
2
sin4??(1?cos 4?)
2sin2?cos2??2cos2?

?
2sin2?(cos2??sin2?)
?tan2??
右边
2cos2?(sin2??cos2?)
二十三、 三角公式的综合运用
例七、利 用三角公式化简：
sin50
?
(1?3tan10
?
)
(P43—44 例三)
13
2(cos10
?
?sin10
?
)
3sin10
?
22
)?sin50?
解：原式
?sin50(1?

??
cos10cos10
?
sin30
?
cos10
?
?cos30
?
sin10< br>?
2sin50
?
sin40
?
?

?2sin50?

cos10
?
cos10
?
2 cos40
?
sin40
?
sin80
?
??1

?
??
cos10cos10
二十四、 作业：课本P47 习题4.7 3
《精编》P73—74 11，12，18，19，23

第二十三教时
教材：续二倍角公式的应用，推导万能公式
目的：要求学生能推导和理解半角公式和万能公式，并培养学生综合分析能力。
过程：
八、 解答本章开头的问题：（课本 P3）
令?AOB = ? , 则AB =
a
cos? OA =
a
sin?
22
∴S
矩形ABCD
=
a
cos?×2
a
sin? =
a
sin2?≤
a

B C
当且仅当 sin2? = 1，
a

?

A O D

即2? = 90?，? = 45?时, 等号成立。
此时，A,B两点与O点的距离都是
九、 半角公式
在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的
2
a

2
? 1?cos??1?cos??1?cos?
?,cos
2
?,tan
2?

222221?cos?
?
2
证：1?在
cos2??1?2sin?
中，以?代2?，代? 即得：
2
1?cos?
2
?
2
?
?

cos??1?2sin
∴
sin

2
22
?
2
2?在
cos2??2cos??1
中，以?代2?，代? 即得：
2
?1?cos?
2
?
?1
∴
cos
2
?

cos??2cos

22
2
1?cos?
2
?
?
3?以上结果相除得：
tan

21?cos?
?
注意：1?左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方。
2
?
2?公式的“本质”是用?角的余弦表示角的正弦、余弦、正切
2
例一、 求证：
sin
2
3?上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆）

sin
?1?cos??1?cos??1?cos?

??,cos??, tan??
222221?cos?
?sin?1?cos?
??
（课后自己 证）
21?cos?sin?
4?还有一个有用的公式：
tan
十、 万能公式
???
1?tan
2
2tan
2
,cos??
2
,tan??
2
例二、 求证：
sin??
???
1?tan
2
1?tan
2
1?tan
2
222
???
2sincos2tan
si n?
22
?
2
证：1?
sin???
? ??
1
sin
2
?cos
2
1?tan
2
222
???
cos
2
?sin
2
1?tan
2< br>cos?
22
?
2
2?
cos? ??
???
1
sin
2
?cos
2
1?tan2
222
2tan

???
cos2tan
sin ?
22
?
2
3?
tan???
???
cos?
cos
2
?sin
2
1?tan
2
222
2sin
注意：1?上述三个公式统称为万能公式。（不用记忆）
2?这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切
即：
f(tan
?
)
所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，
2
可以使解题过程简洁
3?上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小
2sin??cos?
??5
，求3cos 2? + 4sin 2? 的值。
sin??3cos?
2sin??cos?
??5
∴cos ? ? 0 (否则 2 = ? 5 ) 解：∵
sin??3cos?
2tan??1
??5
解之得：tan ? = 2 ∴
tan??3
例三、已知
3( 1?tan
2
?)4?2tan?3(1?2
2
)4?2?27
?? ??
∴原式
?
5
1?tan
2
?1?tan
2
?1?2
2
1?2
2
十一、 小结：两套公式，尤其是揭示其本质和应用（以万能公式为主）
十二、 作业：《精编》P73 16





补充：
1．已知sin? + sin? = 1，cos? + cos? = 0，试求cos2? + cos2?的值。(1)
（《教学与测试》P115 例二）
?
11
????
，
?????0
，tan? =
?
，tan? =
?
，求2? + ? 的大小。
37
2
3

(??)

4
2．已知
3．已知sin
x
=
4xx
355
,?)
，且
x
是锐角，求
sin?cos
的值。
(
522
55
4．下列函数何时取得最值？ 最值是多少？
11
,y
min
??)

22
31
2?
y?2sinx?cos2x

(y
max
?,y
min
??)

22
2??3
)?2cos(x?)

(y
max
?3,y
min
??)
3?
y?cos(2x?
772
1?
y?sin2xcos2x

(y
max
?

5．若?、?、?为锐角，求证：? + ? + ? =
?

4
6．求函数
f(x)?cos
2
x?sinx
在
[?
??
1?2
,]
上的最小值。
()

44
2
第二十四教时
教材：倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式
目的：继续复习巩固倍角公式，加 强对公式灵活运用的训练；同时，让学生推导出和差化积
和积化和差公式，并对此有所了解。
过程：
十三、 复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程：
例一、 已知
?
11
????
，
?????0
，tan? =
?
，tan? =
?
，求2? + ?
37
2
2tan?3
tan2??tan?
??
tan(2???)???1
∴
2
4
1?tan?
1?tan2?tan?
（《教学与测试》P1 15 例三）
解：
tan2??
3??
?2??2?
，
????0

22
7?
∴
??2????2?
∴2? + ? =
4
1?
例二、 已知sin? ? cos? = ，
????2?
，求
tan
和tan?的值
22
??2tan1?tan
2
1
2
?
2
?
1
解：∵sin? ? cos? = ∴
??
2
2
1?tan
2
1?tan
2
22
又∵tan2? < 0，tan? < 0 ∴
化简得：
tan
2
????4?16?12
?4tan?3?0
∴
tan???2?7

22
22
∵
????2?
∴
????
???
∴
tan?0
即
tan??2?7

2222
?
2
?
2(?2? 7)
?
?4?27
?
2?7
?
4?7

tan??
?
1?(?2?7)
2
?10?475?27
3
1?tan
2
2
2tan
二十五、 积化和差公式的推导


sin(? + ?) + sin(? ? ?) = 2sin?cos? ? sin?cos? =
? ?)]
sin(? + ?) ? sin(? ? ?) = 2cos?sin? ? cos?sin? =
1
[sin(? + ?) + sin(?
2
1
[sin(? + ?) ? sin(?
2

? ?)]
cos(? + ?) + cos(? ? ?) = 2cos?cos? ? cos?cos? =
? ?)]
cos(? + ?) ? cos(? ? ?) = ? 2sin?sin? ? sin?sin? = ?
1
[cos(? + ?) + cos(?
2
1
[cos(? + ?) ? cos(?
2
? ?)]
这套公式称为三角函数积化和差公式，熟 悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积
式”化为“和差”，有利于简化计算。（在告知公式前提下）
333
例三、 求证：sin3?sin? + cos3?cos? = cos2?
22
证：左边 = (sin3?sin?)sin? + (cos3?cos?)cos?
11
22
(cos4? ? cos2?)sin? + (cos4? + cos2?)cos?
22
1111
2222
= ?cos4?sin? +cos2?sin? +cos4?cos? +cos2?cos?
2222
111
= cos4?cos2? + cos2? = cos2?(cos4? + 1)
222
1
23
= cos2?2cos2? = cos2? = 右边
2
= ?
∴原式得证
二十六、 和差化积公式的推导
若令? + ? = ?，? ? ? = φ，则
??
??????
，
??
代入得：
22
??????1????????????1
sincos?[sin (?)?sin(?)]?(sin??sin?)
22222222

??????
cos

22
??????
sin

sin??sin??2cos

22
??????
cos

cos??cos??2cos

22
??????
sin

cos??cos???2sin

22
∴
sin??sin??2 sin
这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差
公式相 辅相成，配合使用。
11
，sin? ? sin? =
?
，求sin(? + ?)的值
23
1??????1
sin?
① 解：∵cos? ? cos ? = ，∴
?2sin
2222
1??????1
sin??
② sin? ? sin ? =
?
，∴
?2cos
3223
???? ??3???3
?0
∴
?tan??
∴
tan?
∵
sin
22222
例四、 已知cos? ? cos ? =

???3
2?
22
?
12
∴
sin(???)??
???9
13
1?tan
2
1?24
2tan
二十七、 小结：和差化积，积化和差
二十八、 作业：《课课练》P36—37 例题推荐 1—3
P38—39 例题推荐 1—3
P40 例题推荐 1—3
第二十五教时
教材：综合练习课
目的：复习和角、差角、二倍角及半角，积化和差、和差化积、万能公式，逐渐培养熟练技
巧。
过程：
十四、 小结本单元内容——俗称“加法定理”
1． 各公式罗列，其中和、差、倍角公式必须记忆，要熟知其结构、特点
2． 了解推导过程（回顾）

诱导公
??代?
??代?
两点间距离公式
C C

S
?+?
?+? ???
式C
S
???

?+?



S
?+?

商数关系
S
???

T
?+?
T
???

C
?+
C
??

?

半角公式
?代2?，代?
2
令?=?

和角公式 倍角公式

?

万能公式
代?
2


倒用且令?+?=?
同名和角与差角公式
和差化积公式

???=φ


3． 常用技巧：
1?化弦 2?化“1” 3?正切的和、积
4?角变换 5?“升幂”与“降次” 6?辅助角
二十九、 例题：
例一、《教学与测试》 基础训练题
1． 函数
y?
积化和差公式
?
3sin(?2x)?cos2x
的最小值。 （辅助角）
3
解：
y?3(
3113
cos2x?sin2 x)?cos2x?cos2x?sin2x

2222
?
?2x)??1

6

?sin(

2． 已知
sin(x?
解：
sin2x ?cos(
?5
)??，求sin2x的值。
（角变换）
413
???5119

?2x)?cos[2(x?)]?1?2sin< br>2
(x?)?1?2(?)
2
?
24413169
3． 计算：(1 +
3
)tan15??
3
（公式逆用）
解：原式= (tan45?+ tan60?)tan15??
3
= tan105?(1?tan45?tan60?)tan15? ?
3

= (1 ?
3
) tan105? tan15? ?
3
= (1 ?
3
)×(? 1)?
3
= ? 1
4． 已知sin(45? ? ?) =
?
2
，且45? < ? < 90?，求sin? （角变换）
3
解：∵45? < ? < 90? ∴?45? < 45??? < 0? ∴cos(45???) =
5

3
cos2? = sin(90??2?) = sin[2(45???)] = 2sin(45???)cos(45???) =
?
45

9
即 1 ? sin? =
?
2
22?10
45
， 解之得：sin? =
6
9
例二、已知?是三角形中的一个最小的内角，
且
acos
????
?sin
2
?cos
2
?as in
2
?a?1
，求
a
的取值范围
2222
?? ?
2
?
?sin
2
)?(cos
2
?sin
2
)?a?1
解：原式变形：
a(cos
2222
2
即
(a?1)cos??a?1
，显然
a?1
（若
a?1
，则 0 = 2）
a?1?1
又∵
0???
，∴
?cos??1

a?132
1a?1
?1
解之得：
a??3
即：
?
2a?1
∴
cos??
例三、试求函数
y? sinx?cosx?2sinxcosx?2
的最大值和最小值。
若
x?[0,]
呢？
解：1．设
t?sinx?cosx?
2
?
2
?
2sin(x?)?[?2,2]

4
2
则
t?1?2sinxcosx
∴
2sinxcosx?t?1

∴
y?t?t?1?(t?)?
∴
y
max
?3 ?
2
1
2
2
13
?[,3?2]

44
2,y
min
?
3

4
2．若
x?[0,]
，则
t?[1,2]
，∴
y?[3,3?2]< br>
?
2

即
y
max
?3?2,y
min
?3

?
，求sin(2? + ?)的值。
6
例四、已知tan? = 3tan(? + ?)，
??
解：由题设：
sin?3sin(???)
即sin? cos(? + ?) = 3sin(? + ?)cos?
?
cos?cos(???)
即sin(? + ?) cos? + cos(? + ?)sin? = 2sin? cos(? + ?) ? 2cos?sin(?
+ ?)
∴sin(2? + ?) = ?2sin? 又∵
??
?1
∴sin?
?
∴sin(2? + ?) = ?1
62
三、作业：《教学与测试》P117—118 余下部分
第二十六教时
教材：正弦、余弦函数的图象
目的：要求学生掌握用单位圆中的正弦 线画出正弦函数的图象，继而学会用诱导公式平移正
弦曲线获得余弦函数图象。通过分析掌握五点法画正 （余）弦函数图象。
过程：
十五、 提出课题：正弦、余弦函数的图象——解决的方法：用单位圆中的正弦线（几
何画法）。
十六、 作图：边作边讲（几何画法）y=sinx x?[0,2?]
a) 先作单位圆，把⊙O
1
十二等分（当然分得越细，图象越精确）
b) 十二等分后得对应于0,
??
?
, ,,…2?等角，并作出相应的正弦线，
63
2
c) 将x轴上从0到2?一段分成12等份(2?≈6.28)，若变动比例，今后图象将相应
“变形”
d) 取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合
e) 描图（连接）得y=sinx x?[0,2?]
f) 由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x?[2k?,2(k+1)?] k?Z,k?0
与函数y=sinx x?[0,2?]图象相同，只是位置不同——每次向左（右）平移2?单位
长





十七、 正弦函数的五点作图法 y=sinx x?[0,2?]
y
o
x
?
3
?
,1) (?,0) (,-1) (2?,0)
22
优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以
十八、 作y=cosx的图象
介绍五点法 五个关键点(0,0) (
与正弦函数关系 ∵y=cosx=cos(-x)=sin[
结论：1．y=cosx, x?R与函数y=sin(x+
??
-(-x)]=sin(x+)
22
?
) x?R的图象相同
2

2．将y=si nx的图象向左平移
?
即得y=cosx的图象
2
?
,0) (?,-1)
2
3．也同样可用五点法作图：y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是(0,1) (
(





3
?
,0) (2?,1)
2

4．类似地，由于终边相同的三角函数性质y=cosx x?[2k?,2(k+1)?] k?Z,k?0的图象
与 y=cosx x?[0,2?] 图象形状相同只是位置不同（向左右每次平移个单位长度）




5．例P52 例一 略
十九、 小结：1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法
2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系
二十、 作业：P50练习P57习题4．8 1
补充：1．分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx的图象
2．分别在[-4?,4?]内作出y=sinx和y=cosx的图象
3．用五点法作出y=cosx,x?[0,2?]的图象
第二十七教时
教材：正弦函数、余弦函数的性质之——定义域与值域
目的：要求学生掌握正、余弦函数的定 义域与值域，尤其能灵活运用有界性求函数的最值和
值域。
过程：一、复习：正弦和余弦函数图象的作法





二、研究性质：
1． 定义域：y=sinx, y=cosx的定义域为R
2． 值域：
1?引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|sinx|≤1, |cosx|≤1 （有界性）
再看正弦函数线（图象）验证上述结论
∴y=sinx, y=cosx的值域为[-1，1]
y
o
x
?
?
2
?
2
?
3
?
2
2
?
?
?
2
?
2
?
3
?
2
2
?
2 ?对于y=sinx 当且仅当x=2k?+
?
k?Z时 y
max
=1
2

?
k?Z时 y
min
=-1
2
对于y=cosx 当且仅当x=2k? k?Z时 y
max
=1
当且仅当x=2k?+? k?Z时 y
min
=-1
3． 观察R上的y=sinx,和y=cosx的图象可知
当2k?0
当(2k-1)?当且仅当时x=2k?-
当2k?-
当2k?+
??
0
22
?
3
?
22
三、例题：
例一 （P53 例二）略
例二 直接写出下列函数的定义域、值域：
1? y=
1
2? y=
?2cosx

1?sinx
解：1?当x?2k?-
2 ?x?[2k?+
?
1
k?Z时函数有意义，值域:[
,
+∞]
22
?
3
?
, 2k?+] (k?Z)时有意义, 值域[0,
2
]
22
例三 求下列函数的最值：
1? y=sin(3x+
解：1? 当3x+
当3x+
?
3?cosx
2
)-1 2? y=sinx-4sinx+5 3? y=
4
3?cosx
??
2k
??
=2k?+即 x=
?
(k?Z)时y
max
=0
42
312
??
2k
??
=2k?-即x=
?
(k?Z)时y
min
=-2
42
34
2
2? y=(sinx-2)+1 ∴当x=2k?-
当x=2k?-
3? y=-1+
?
k?Z时y
max
=10
2
?
k?Z时y
min
= 2
2
1
当x=2k?+? k?Z时 y
max
=2
3?cosx
当x=2k? k?Z时 y
min
=
1

2
例四、函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值。
解：当k>0时
?
当k<0时
?
?
k?b?2
?
k?3
?
?

?k?b??4b??1
??
?
?k?b?2
?
k?3
?< br>?
（矛盾舍去）
?
k?b??4
?
b??1
∴k=3 b=-1
例五、求下列函数的定义域：
1? y=
3cosx?1?2cos
2
x
2? y=lg(2sinx+1)+
2cosx?1
3? y=
cos(sinx)

解：1? ∵3cosx-1-2cosx≥0 ∴
∴定义域为：[2k?-
2
1
≤cosx≤1
2
??
, 2k?+] (k?Z)
33
?
7
?
1
?
?
2k
?
??x?2k
?
?
sinx??
?
66
(k?Z)

2
?
?
2?
??
1
??
?
co sx?
?
2k
?
??x?2k
?
?
233
?
?
?2k
?
?
?
6
?x?2k
?
?
?
3
(k?Z)
∴定义域为：
(2k
?
?
?
,2k
?
?](k?Z)

63
?
3? ∵cos(sinx)≥0 ∴ 2k?-
??
≤x≤2k?+ (k?Z)
22
∵-1≤sinx≤1 ∴x?R
cos1
≤y≤1
四、小结：正弦、余弦函数的定义域、值域
五、作业：P56 练习4 P57-58习题4．8 2、9
《精编》P86 11 P87 25、30、31
第二十八教时
教材：正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性
目的：要求学生能理解周期函数，周期函数 的周期和最小正周期的定义；掌握正、余弦函数
的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周 期。
过程：一、复习：y=sinx y=cosx (x?R)的图象
二、提出课题：正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性
1．（观察图象） 1?正弦函数、余弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2?规律是：每隔2?重复出现一次（或者说每隔2k?,k?Z重复出现）
3?这个规律由诱导公式sin(2k?+x)=sinx, cos(2k?+x)=cosx也可以说明
结论：象这样一种函数叫做周期函数。
2．周期函数定义：对于函数
f
(
x
)，如果存在一个非零常数T ，使得当x取定义域内
的每一个值时，都有：
f
(
x
+T)=
f
(
x
)那么函数
f
(
x
)就叫做周期函数，非零常数T
叫做这个函数的周期。
注意：1?周期函数x?定义域M，则必有x+T?M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则
定义域无下界；
2?“每一个值”只要有一个反例，则
f
(
x
)就不为周期函数（如
f
(
x
0
+t)?
f
(
x
0
)）
3?T往往是多值的（如y=sinx 2?,4?,…,-2?,-4?,…都是周期）周期T中最小
的正数叫做
f
(
x
)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
y=sinx, y=cosx的最小正周期为2? （一般称为周期）
三、y=sinωx, y=cosωx的最小正周期的确定
例一 求下列三角函数的周期：1? y=sin(x+
解：1? 令z= x+
x
??
) 2? y=cos2x 3? y=3sin(+)
2
53
?
而 sin(2?+z)=sinz 即：
f
(
2
?+z)=
f
(z)
3
??
]=
f
(x+) ∴周期T=2?
33
f
[(x+
2
)?+
2?令z=2x ∴
f
(
x
)=cos2x=cosz=cos(z+2?)=cos(2x +2?)=cos[2(x+?)]

即：
f
(
x
+?)=
f
(
x
) ∴T=?
3?令z=
x
?
x
?
+ 则：
f
(
x
)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin(++2?)
2< br>5
2
5
=3sin(
x?4
??
?
)=f
(
x
+4?) ∴T=4?
25
2
?
小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A?0, x?R) 周期T=
y=Acos(ωx+φ)也可同法求之
例二 P54 例3
例三 求下列函数的周期： 1?y=sin(2x+
?

?
?
)+2cos(3x-)
4
6
2
2? y=|sinx| 3? y=2
3
sinxcosx+2cosx-1
解：1? y
1
=sin(2x+
y
2
=2cos(3x-
?
) 最小正周期T
1
=?
4
?
2
?
) 最小正周期 T
2
=
63
∴T为T
1
,T
2
的最小公倍数2? ∴T=2?
2? T=? 作图


2?
3?
?
-?


注意小结这两种类型的解题规律
?
?
3? y=
3
sin2x+cos2x ∴T=?
四、小结：周期函数的定义，周期，最小正周期
五、作业：P56 练习5、6 P58习题4．8 3
《精编》P86 20、21
补充：求下列函数的最小正周期：
1． y=2cos(
?
x
?
?
)-3sin(
x?
)
4
43
?
?
)+sin(4x-)
2
3
2． y=-cos(3x+
3． y=|sin(2x+
4． y=cos
?
)|
6
?
?
2
?
sin+1-2sin
222
第三十教时
教材：正弦函数、余弦函数的图象及其性质习题课；《教学与测试》第57、58课
目的：复习正弦函数、余弦函数的图象及其性质，使学生对上述概念的理解、认识更深刻。
过程：一、复习：1．y=sinx y=cosx 的图象 当x?R时，当x?[0，2?]时
2．y=sinx y=cosx 的性质 定义域、值域（有界性）最值、
周期性、奇偶性、单调性

二、处理《教学与测试》P119 第57课
1．已知函数
f
(
x
)=
1?cos
2< br>2x
，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性
?
]上的单调性。
2
解：
f
(
x
)=|sin2x|
-
?

-?
f
(-
x
)=|sin(-2x)|=|sin2x|=
f
(
x
)
2
以及区间[0，
∴
f
(
x
)为偶函数 T=
在[0,
?
?
?
2

?
?

2
???
]上
f
(
x
)单调递增；在[,]上单调递减
442
?
k
?
k
??
]”的条件，则增区间为[
,?
] k?Z
2224
减区间为[
k
??
(k?1)
?
] k?Z
?,
242
注意：若无“区间[0,
2．设x?[0,
?
],
f
(
x
)=sin(cosx),
g
(
x
)=cos(sinx) 求
f
(
x
)和
g
(
x
)的最大值
2
和最小值，并将它们按大小顺序排列起来。
?
]上y=cosx单调递减, 且cosx?[0,1] 在此区间内y=sinx单调递增
2
且sinx?[0,1] ∴
f
(
x
)=sin(cosx)?[0,sin1] 最小值为0, 最大值为sin1
g
(
x
)=cos(sinx)?[cos1,1] 最小值为cos1, 最大值为1
∵cos1=sin(
解：∵在[0,
?
?1)2
三、处理《教学与测试》P121第58课
1． 已知△ABC的两边a, b ，它们的夹角为C 1?试写出△ABC面积的表达式；
2?当?C变化时，求△AABC面积的最大值。

B
解：1? 如图：设AC边上的高h=asinC

a c
1
2?当C=90?时[sinC]
max
=1 ∴[S
△ABC
]
max
=
ab

C D b A
2

2．求函数
y?
cosx?3
的最大值和最小值。
cosx?3
1
6
当cosx=1时 y
max
=
2
cosx?3
解：（部分分式）
y?1?
当cosx=-1时 y
min
= -2
?
?
2
?
3．求函数
y?2cos(x?)
(≤x≤)的最大值和最小值。
363
解：∵x?[
?
2
?
???
,] ∴x-?[-,]
63363
??
=0 即x=时 y
max
=2
33
∴当x-

当x-
??
2
?
= 即x=时 y
min
=1
333

四、补充（备用）《精编》
1
?
（P79例7）求函数
f
(
x
)=
log
1
cos(x?)
的单调递增区间。
34
2
1
?
1
?
解：∵
f
(
x
)=
log
1
cos(x?)
令
t?x?
∴y=
log
1
cost

34
34
2
2
t是x的增函数 又∵0<
1
<1
2
∴当y=
log
1
cost
为单调递增时 cost为单调递减 且cost>0
2
∴2k?≤t<2k?+
?
(k?Z)
2
?
3
?
3
?
1
?
∴2k?≤
x?
<2k?+ (k?Z) 6k?-≤x<6k?+ (k?Z)
244
34
3
?
3
?
1
?
∴
f
(
x
)=
log
1
cos(x?)
的单调递减区间是[6k?-,6k?+) (k?Z)
44
34
2
五、作业：《教学与测试》P120 4-8 思考题
P121 4-8 思考题
第三十一教时
教材：函数y=Asinx和y=Asinωx的图象
目的：要求学生会用五点法画出函数y =Asinx和y=Asinωx的图象，明确A与ω对函数图象
的影响作用；并会由y=Asinx的 图象得出y=Asinx和y=Asinωx的图象。
过程：一、导入新课，提出课题：
物理实例：1．简谐振动中，位移与时间的关系
2．交流电中电流与时间的关系
都可以表示成形如：y=Asin(ωx+φ)的解析式
二、y=Asinx
例一．画出函数y=2sinx x?R；y=
1
sinx x?R的图象（简图）。
2
解：由于周期T=2? ∴不妨在[0,2?]上作图，列表：
x
sinx
2sinx






1
sinx
2
0
0
0
0
?

2
1
2
1

2
?
0
0
0
3
?

2
2?
0
0
0
-1
-2
-
1

2






作图：
2
y=2sinx
y
2
1
1
O
-1

?
-2
?

引导,观察,启发：与y=sinx的图象作比较，结论：
1．y=Asinx，x?R(A >0且A?1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸
长(A>1)或缩短(02．它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A
3．若A<0 可先作y=-Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折。
三、y=sinωx
例二．画出函数y=sin2x x?R；y=sin
1
x x?R的图象（简图）。
2
解：∵函数y=sin2x 周期T=? ∴在[0, ?]上作图
令X=2x 则x=
列表：
X=2x
x
sin2x
作图：







0
0
0
X
从而sinX=sin2x
2
?

2
?

4
1
?
3
?

2
3
?

4
2?
?
0
?

2
0 -1
1
y
1
?
O
?
?
y=sin2x
函数y=sin
列表
X=
x

2
x

2
y=sinx
2
2?
2
3
4?
4
x
y=sinx
x
周期T=4? ∴在[0, 4?]上作图
2
0
0
0

?

2
?
2?
0

3
?

2
2?
4?
0
x
sin
?
1
3?
-1
引导, 观察启发 与y=sinx的图象作比较
1．函数y=sinωx, x?R (ω>0且ω?1)的图象，可 看作把正弦曲线上所有
点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的
1
?
倍（纵坐标不变）
2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图。
四、例三．作出y=2sin2x的图象。
解：（略）
五、作业：P66练习 1中 ①②③④

P68 4.8 2中①——⑧
第三十二教时
教材：函数y=sin(x+φ)和y=Asin(ωx+φ)的图象
目的：要求学生掌握“φ”在y=Asin(ωx+φ)的图象中的作用；会用图形变换方法和五点
法 分别画出y=sin(x+φ)和y=Asin(ωx+φ)的图象。
过程：一、简要复习y=Asinx和y=Asinωx的图象
注意突出“A”与“ω”的作用，同时综合成y=Asinωx图象的作法
二、y=sin(x+φ)的图象的作法
1．由y=cosx=sin(x+
??< br>)知可以看作将y=sinx的图象上各点向左平移个单位得到
22
?
?
) (x?R)；y=sin(x?) (x?R)的简图
4
3
2．例一 （P62例三）画出函数y=sin(x+
1

y=sinx
2


?
2?

?
y=sin(x-?4)

y=sin(x+
)

3

1?用平移法 注意讲清方向：“加左”“减右”
y
1
O
?
?
3
4
x
2?也可用列表法, 然后用五点法作图 以y=sin(x+
3?小结：
?
)为例
3
3
?

2?
2

0

x
??
?

36

0 1
?

sin(x+)
3
三、y=Asin(ωx+φ)的
1． 先重温，参数A, ω, φ在图象中的作用
2． 例二（P63例四）画出函数y=3sin(2x+
解：周期T=?（五点法）
?
x+
3
?

2
(P63)
?
2
?

3
7
?

6
5
?

3
0 -1 0
图象的作法
?
) x?R的图象。
3
2x+
?
令X=2x+则x=
3









X?
?
3
?
x
?
?

226
?

3
0
?
?

2
?
3
?

2?
2
7
?

12
x
?

6
?
12

?

3
0
5
?

6
3sin(2x+
0
?
)
3
3 -3 0
y
1
?
?
?
?
?
3
6
O
?
y=sin(2x+
?
)

3
y=sin(x+
?
)

3
5
?
?
6
3
4
x

3． 用平移法作y=3sin(2x+
?
)的图象
3
4． 小结平移法过程（步骤）P64-65略

作y=sinx（长度为2?的某闭区间）


沿x轴平 移|
φ
|个单位
横坐标 伸长或缩短


得y=sinωx
得y=sin(x+φ)

?
沿x轴平 移||个单位

横坐标伸 长或缩短
?

得y=sin(ωx+φ)
得y=sin(ωx+φ)






纵坐标伸 长或缩短
纵坐标伸 长或缩短
得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一
个周期闭区间上再扩充到R上。
两种方法殊途同归
四、小结：1．突出A, ω, φ的作用
2．强调y=Asin(ωx+φ)图象的平移步骤及五点法
五、作业：P8 习题4.9 2中 ③④ 及3
第三十三教时
教材：
y?Asin(?x??)
的图象，综合练习
?x??)
图 象的影响，熟练掌握由目的：进一步熟悉参数
A、?、?
对函数
y?Asin(
y?sinx
的图象得到函数
y?Asin(?x??)?k(x?R)
的图象的方 法。
过程：
二十一、 复习提问：
4． 如何由
y?sinx
的图象得到函数
y?Asin(?x??)
的图象
5． 如何用五点法作
y?Asin(?x??)
的图象

6．
A、?、?
对函数
y?Asin(?x??)
图象的影响作用
三十、 函数
y?Asin(?x??),x?
?
0,??),(其中A?0 ,??0)
的物理意义：
函数表示一个振动量时：
A
：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”
2?
往复振动一次所需的时间，称为“周期”
?
1?
f
：
f??
单位时间内往返振动的次数，称为“频率”
T2?
?x??
：称为相位
?
：
x
= 0时的相位，称为“初相”
T
：
T?
三、1．函数
y?Acos(?x??),x?R,(其中A?0,??0)
的简图可类似获得
2．口答：P66—67练习 4，5
P67—68习题4.9 1
四、处理《教学与测试》P123—124 第59课
例一、 函数
y?Asin(?x??),(A?0,??0,|?|?
?
)
的最小值是?2，其图象最
2
高点与最低点横坐标差是3?，又：图象过点(0,1)，求函数解析式。
解：易知：
A
= 2 半周期
T1
2?
?3?
∴
T
= 6? 即
?6?
从而：
??

23
?
设：
y?2sin(x??)
令
x
= 0 有
2sin??1

又：
|?|?
1
3
?
?1?
∴
??
∴所求函数解析式为
y?2sin(x?)

2
636
?
例二、 设用五点法作出函数
y?3cos(2x?)
的图象，
4
问：这个图象可由
y?cosx
的图象经过如何变换得到？
解：
2x?
?

4

0
?

2

?
3?

2

2?

x
?
3cos(2x?)

4
?

8

3
3?

8

0
5?

8

?3
7?

8

0
9?

8

3

例三、函数
f
(
x
)的横坐标 伸长为原来的2倍，再向左平移
?
个单位所得的曲线是
2
1
sinx
的图象，试求
y?f(x)
的解析式。
2
1?
1?
解：将
y?sinx
的图象向右平移个单位得：
y?sin(x?)

22
22
1
11
即
y??cosx
的图象再将横坐标压缩到原来的得：
y??cos2x

2
22
1

?y?f(x)??cos2x

2
y?
五、作业：课本P68—69 习题4.9 4，5
《教学与测试》P123—124 余下部分（选）
第三十四教时
教材：正切函数的图象和性质
目的：学会画出正切函数的图象，并掌握正切函数的性质。
过程：
一、课题：正切函数的图象和性质。
二、正切函数
y?tanx
的图象。
1．首先考虑定义域：
x?k
?
?
?
2
?
k?z
?

2．为了研究方便，再考虑一下它的周期：

?tan
?< br>x?
?
?
?
sin
?
x?
?
??sinx
?
??
??tanx
?
x?R,且x?k
?
?,k?z
?

cos
?
x?
?
?
?cosx2
??

?y?tanx
?
x?R,且x?k
?
?
?
??
?
,k?z
?
的周期为
T?
?
（最小正周期 ）
2
?
3．因此我们可选择
?
?









?
??
?
,
?
的区间作出它的图象。
?
22
?
y
?
?
2
?
2
x

根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数y?tanxx?R
，且
x?
?
2
?k
?
?< br>k?z
?
的图象，称“正切曲线”


y






3
?
?
?
?
?
0

?
?
22
2





三、正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：
1、 定义域：
?
x|x?
2、 值域：R
观察：当
x
从小于
k
?
?
当
x
从大于
3、 周期性：
T?
?

4、 奇偶性：
tan
?
?x
?
??tanx
奇函数。
5、 单调性：在开区间
?
?
四、例题：
例一、 比较
tan
?
?
?
3
x
?
2
?
?
?
?
?k
?
,k?z
?
，
2
?
?
2
?
?
k?z
?
，
x??? k??
时，
tanx????

2
?
2
?k
?
?
k?z
?
，
x???
?
2
?k?
时，
tanx?????
。
?
?
?
??k
?
,?k
?
?
k?z
内，函数单调递增。
2
?
2
?
?
13
?
??
17
?
?
?
与
tan
?
?
?
的大小。
45
????
2
?
?
，
??tan
?< br>5
?
解：
?
tan
?
?
?
?
13
?
??
17
?
，
??tantan
???
4
?
4
??
5

又：
0??
4
?
2
?
?
?
?
,y?tanx在
?
0,
?
内单调递增，
5
?
2
?
2
??
2
?
?
13
??
17
?
,??tan??tan,即tan
?
?
?
?
?tan
?< br>?
?
?
。
545
?
4
??
5?
?
?
?tan
?
4
?tan
例二、 讨论函数
y?tan
?
x?
?
?
?
的性质。 4
?
略解：定义域：
?
x|x?R且x?k
?
?
?
?
?
?
,k?z
?

4
?
值域：R 非奇非偶函数
在
?
k
?
?
?
?
3
??
?
,k
??
?
上是增函数。
44
?
图象可看作是
y?tanx
的图象向左平移
五、小结：
y?tanx,x?R且x?k
?
??
单位。
4
?
2
,k?z
的图象，性质。
六、作业：P71练习 1，2，3，4，6
P72习题4.10 1，2，3，4
第三十五教时
教材：（续）正切函数的图象与性质、余切函数的图象性质（《教学与测试》60课）
目的： 巩固正切函数的图象与性质，使学生能逐步养成熟练技巧，同时介绍余切函数的图象
与性质。
过程：
一、 复习正切函数的图象与性质（略）
二、处理《教学与测试》P125第60课
例一、 用图象解不等式
tanx?
y
3

y







3

0
?

?

3
0
T
x
32
A
x
解：利用图象知，所求解为
?
k
?
?
亦可利用单位圆求解。
例二、 求函数
y?tan
?
3x?
?
?
?
3
,k
?
?
?
?
2
?
?
k?z

?
?
?
?
?
的定义域、值域，并指出它的周期性 、奇偶性、单
3
?

调性。
解：由
3x?
?
3
?k
?
?
?
2
得
x?
k
?
5
?
?
，
318
k
?
5
?
??
?,k?z
?

?
所求定义域为
?< br>x|x?R,且x?
318
??
值域为R，周期
T?
?
3
，是非奇非偶函数。
在区间
?
?
k
??
k< br>?
5
?
?
?,?
?
?
k?z
?上是增函数。
?
318318
?
例三、作出函数
y?
tanx
1?tan
2
x
,x?
?
0,2
?
?
且
x?
?3?
,
的简图。
22
?
?
?
??
3?
?
sinx,x?0,?,2?
????
tanxtanx
?
?
2
??
2
??
解：y???
?
?
?3?
?
1?tan
2
x
secx
?
?sinx,x?
?
,
?
?
?
22
?
?
y

1


O
?




三、余切函数的图象及其性质（要求学生了解）
2?
x
?
?< br>??
?
??
向左平移个
y?cotx?tan
?
?x
?
??tan
?
x?
?
——即将
y?tanx的图象，
2
2
??
2
??
单位，再以
x
轴为对称轴上下翻折，即得
y?cotx
的图象。










y
?
?
?
?
2
0
?
2
?
3
?
2
x
定义域：
x?R且x?k
?
,k?z