高一数学《圆的标准方程》教学设计

高一数学《圆的标准方程》教学设计
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《圆的标准方程》教学设计，希望能给大家带来帮助!



教学目标
(一)知识目标
1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出 圆
的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半
径;




2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。
(二)能力目标
1.进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力;
2. 通过教学，使学生学习运用观察、 类比、联想、猜测、
证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力;
3. 通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学
生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。


(三)情感目标
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论来源 于
实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问
题的兴趣，同时培养学生勇于探索 、坚忍不拔的意志品质。



教学重、难点
(一)教学重点
圆的标准方程的理解、掌握。
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(二)教学难点
圆的标准方程的应用。
教学方法
选用引导―探究式的教学方法。
教学手段
借助多媒体进行辅助教学。
教学过程
Ⅰ.复习提问、引入课题
师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方
法。请同学们考虑：如何求适合某种条 件的点的轨迹?
生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐
标为(x，y);② 写出适合某种条件p的点M的集合P={M ︳
p(M)｝;③用坐标表示条件，列出方程f(x,y) =0;④化简方程
f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点
都是曲线 上的点(一般省略)。[多媒体演示]
师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆
这种曲线的方程。[给出标题]
师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：
x2+y2=52 即x2+y2=25.
若半径发生变化，圆的方程又是怎样的?能否写出圆心在
原点，半径为r的圆的方程?
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生：x2+y2=r2.
师：你是怎样得到的?(引导启发)圆上的点满足什么条件?
生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即
，亦即 x2+y2=r2.
师：x2+y2=r2 表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，
半径为r.有时圆心不在原点 ，若此圆的圆心移至C(a,b)点(如
图)，方程又是怎样的?






生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合，
由两点间的距离公式得
即：(x-a)2+(y-b)2= r2
Ⅱ.讲授新课、尝试练习
师：方程(x-a)2+(y-b)2= r2 叫做圆的标准方程.
特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：
x2+y2=r2.



师：圆的标准方程由哪些量决定?
生：由圆心坐标(a,b)及半径r决定。
师：很好!实际上圆心和半径分别决定圆的位置和 大小。
由此可见，要确定圆的方程，只需确定a、b、r这三个独立
变量即可。



1、 写出下列各圆的标准方程：[多媒体演示]
① 圆心在原点，半径是3 ：________________________
② 圆心在点C(3，4)，半径是
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：______________________
③ 经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)：
_______________________


2、 变式题[多媒体演示]
① 求以C(1，3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆
的方程。


答案：(x-1)2 + (y-3)2 =
② 已知圆的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ,写出圆心坐标和半
径。










答案： C(a,0), r=|a|
Ⅲ.例题分析、巩固应用
师：下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.
[例1] 已知圆的方程是 x2+y2=17，求经过圆上一点P(
)的切线的方程。
师：你打算怎样求过P点的切线方程?
生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求。
师： 斜率怎样求?
生：。。。。。。
师：已知条件有哪些?能利用吗?不妨结合图形来看看(如
图)


生：切线与过切点的半径垂直，故斜率互为负倒数
半径OP的斜率 K1=
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， 所以切线的斜率 K=-
所以所求切线方程：y-
(x-
即：
x+
y=17 (教师板书)
师：对照圆的方程x2+y2=17和经过点P(
)的切线方程
x+
y=17，你能作出怎样的猜想?
生：。。。。。。
师：由x2+y2=17怎样写出切线方程
x+
y=17,与已知点P(
)有何关系?
(若看不出来，再看一例)
[例1] 圆的方程是x2+y2=13，求过此圆上一点(2，3)的
切线方程。



答案：2x+3y=13 即：2x+3y-13=0
师：发现规律了吗?(学生纷纷举手回答)
生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x
和一个y，便得到了切线方程。
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师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点(xo,yo),则结论将会发生怎样的变化?大胆地猜一猜!



生：xox+yoy=r2.
师：这个猜想对不对?若对，可否给出证明?
生：。。。。。。
[例2]已知圆的方程是 x2+y2=r2，求经过圆上一点P(xo,yo)
的切线的方程。
解：如图，因为切线与过切点的半径垂直，故半径OP的
斜率与切线的斜率互为负倒数







∵半径OP的斜率 K1=
，∴切线的斜率 K=-
∴所求切线方程：y-yo= -
(x-xo)
即：xox+yoy=xo2+yo2 亦即：xox+yoy=r2. (教师板书)
当点P在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。
归纳总结：圆的方程可看成 x.x+y.y=r2,将其中一个x、y
用切点的坐标xo、yo 替换，可得到切线方程
[例3]右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度
AB=20M，拱高OP=4M，在建造时每 隔4M需用一个支柱支
撑，求支柱A2P2的长度。(精确到0.01M)


引导学生分析，共同完成解答。
师生分析：①建系; ②设圆的标准方程(待定系数);③求系
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数(求出圆的标准方程);④利用方程求A2P2的长度。
解：以AB所在直线为X轴，O为坐标原点，建立如图所
示的坐标系。则圆心在Y轴上，设为












(0，b),半径为r，那么圆的方程是 x2+(y-b)2=r2.
∵P(0,4),B(10,0)都在圆上，于是得到方程组：
解得：b=-10.5 ,r2=14.52
∴圆的方程为 x2+(y+10.5)2=14.52.
将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程
且取y>0
得：y=
≈14.36-10.5=3.86 (M)
答：支柱A2P2的长度约为3.86M。
Ⅳ.课堂练习、课时小结
课本P77练习2，3
师：通过本节学习，要求大家掌握圆的标准方程，理解并
掌握 切线方程的探求过程和方法，能运用圆的方程解决实际
问题.


Ⅴ.问题延伸、课后作业
(一)若P(xo,yo)在圆(x-a)2+(y-b)2= r2上时，試求过P点的
圆的切线方程。


课本P81习题7.7 : 1，2，3，4
(二)预习课本P77～P79
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教学设计说明
设计思想：
在教学过程中，教师遵循数学发展 规律，并依据建构主义
教育理论，创设一系列数学实验环境，在情境中让学生观察、
类比、猜想 、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动
建构，从深层次加强学生对知识的感知度，使学生能更好 地
理解和掌握圆的标准方程。


设计理念：
设计的根本出发点 是促进学生的发展。教师以合作者的身
份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研
究，共同提高。


设计思路：
本节课的设计与教材的呈现方式有所不 同，教材只是教学
的蓝本，教师在理解教材编写意图的基础上，应发挥主观能
动作用，对教材资 源进行再加工、再创造，这样教学有利于
认知结构与知识结构的有机结合，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程。鉴于此，本节在给出圆的标准方程
的过程中，运用简单、特殊的到复杂、一 般的数学思想，使
用了观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理，同时引
导学生对照圆的几 何形状，观察和欣赏圆的方程，体会数学
中的美——对称、简洁。圆的标准方程的应用是本节的难点。< br>为了突破难点，设计三个例题。第一、二个例题，从特殊到
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一般给出切线方程，培养学生探究问题的兴趣，不断完善自
己的认知结构。第三个例题，充分利用多 媒体的动感演示，
刺激学生的感官，引起更强的注意，从而使学生理解理论来
源于实践，充分调 动学生学习数学的热情，激发学生自主探
究问题的兴趣，增强应用意识;同时培养学生勇于探索、坚忍< br>不拔的意志品质。最后设计了“问题延伸”，让学生带着问题
走进课堂，又带着问题走出课堂，激 发学生不断求知、不断
探索的欲望。
在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探 ”，把
“引”和“探”有机的结合起来，教师的每项措施都是为了力求
给学生创造一种思维情境 ，一种动手、动脑、动口并且主动
参与学习的机会，激发学生求知的欲望，促使学生掌握知识，
解决问题。
我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内
就能识记几千个汉 字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟
句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学
的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起
作文就头疼,写不出像样的文章呢 ?吕叔湘先生早在1978年就
尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文
水 平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课
时,恰好是30%,十年的时间,二千 七百多课时,用来学本国语
文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因
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就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道
议 论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本
结构:提出问题――分析问题――解决问题 ,但真正动起笔来
就犯难了。知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。根本原因还
是无“米” 下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,
抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书 就很难写出
像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中
学生作文的通病。要解 决这个问题,不能单在布局谋篇等写作
技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累< br>足够的“米”。
媒体设计：
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之 为“教
谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士
之师称“教习”。到清末， 学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”
一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的
教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学
正”。“教授”“学正”和“教谕”的副 手一律称“训导”。于民间，
特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经
师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为
“院长、西席、讲席”等。
采 用powerpoint媒体。本节知识容量大，同时又有图形。
为了在短时间内完成教学内容，故采用 演示文稿的方式，增
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加信息量，节省时间。同时动态演示图 形，刺激学生的感官，
引起更强的注意，提高课堂教学效率。
这个工作可让学生分组负责收集 整理,登在小黑板上,每周一
换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生
的知识 面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛
一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长 、责任、友谊、
爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可
以积累40多则材 料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生
动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?
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