高中数学直线的倾斜角和斜率教案三

两条直线的平行与垂直


一、教学目标



(
一)知识教学点
掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直 线是否平行或垂直，能运用条
件确定两平行或垂直直线的方程系数．

(
二)能力训练点
通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识 解决新问题的能力
以及学生的数形结合能力．

(
三)学科渗透点
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的
兴趣．



二、教材分析



1
．重点： 两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生
能熟练掌握，灵活运用．
2< br>．难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜
率的关系问题．
3
．疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上
课时要注意解决好 这个问题．


三、活动设计



提问、讨论、解答．

第 1 页 共 14 页

四、教学过程



(
一)特殊情况下的两直线平行与垂直
这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直．

当两条直线 中有一条直线没有斜率时：
(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两
直线的倾斜角为90°， 互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的
倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0° ，两直线互相垂直．
(
二)斜率存在时两直线的平行与垂直
设直线
l1
和l
2
的斜率为k
1
和k
2
，它们的方程分 别是
l
1
： y=k
1
x+b
1
； l
2
： y=k
2
x+b
2
．
两直线的平行与 垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角
与斜率决定的，所以我们下面要解决 的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征．

我们首先研究两条直线平行
( 不重合)的情形．如果l
1
∥l
2
(图1-29)，那么它们
的倾斜 角相等：α
1
=α
2
．
∴
tgα
1
=tgα
2
．
即
k
1
=k
2
．

反过来，如果两条直线的斜率相等，k
1
=k
2
，那么tgα
1
=tgα
2
．
由于
0°≤α
1
＜180°， 0°≤α＜180°，
∴α
1
=α
2
．
第 2 页 共 14 页

∵两直线不重合，

∴
l
1
∥l
2
．
两条直线有斜率且不重合，如果 它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的
斜率相等，则它们平行，即

eq x( )
要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，
结论并不存立．

现在研究两条直线垂直的情形．

如果
l
1
⊥l
2
，这时α
1
≠α
2
，否则两直线平行．
设α
2
＜α
1
(图1-30)，甲图的特征是l
1
与l
2
的交点在x轴上方；乙图的特
征是l
1
与l
2
的交点在x轴下方；丙图的特征是l
1
与l
2
的交点在x轴上，无论
哪种情况下都有
α
1
=90°+α
2
．
因为
l
1
、l
2
的斜率是k
1
、k
2
，即α< br>1
≠90°，所以α
2
≠0°．





可以推出
α
1
=90°+α
2
．
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l
1
⊥l
2
．
两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们
的斜率互为 负倒数，则它们互相垂直，即

eq x( )

(
三)例题
例
1 已知两条直线
l
1
： 2x-4y+7=0， L
2
： x-2y+5=0．
求证：
l
1
∥l
2
．
证明两直线平行，需说明两个要点：
(1)两直线斜率相等；(2)两直线不重合．
证明：把
l
1
、l
2
的方程写成斜截式：


∴两直线不相交．


∵两直线不重合，

∴
l
1
∥l
2
．
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例
2求过点 A(1，-4)，且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程．



即
2x+3y+10= 0．
解法
2 因所求直线与2x+3y+ 5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0，
将A(1，-4)代入有m=10，故所求直线 方程为
2x+3y+10=0
．
例
3 已知两条直线
l
1
： 2x-4y+7=0， l
2
： 2x+y-5=0．
求证：
l
1
⊥l
2
．


∴
l
1
⊥l
2
．
例
4 求过点A(2，1)，且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程．
解法
1 已知直线的斜率k
1
=-2．
∵所求直线与已知直线垂直，


根据点斜式得所求直线的方程是


第 5 页 共 14 页

就是
x-2y=0．
解法
2 因所求直线与已知直线 垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，
将点A(2，1)代入方程得m=0，所求直线的方 程是
x-2y=0
．
(
四)课后小结
(1)
斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；
(2)
两斜率存在的直线垂直的等价条件；
(3)
与已知直线平行的直线的设法；
(4)
与已知直线垂直的直线的设法．
五、布置作业

1
．(1．7练习第1题)判断下列各对直线是否平行或垂直：
(1)y=3x+4
和2x-6y+1=0；
(2)y=x
与3x十3y-10=0；
(3)3x+4y=5
与6x-8y=7；

解：
(1)平行；(2)垂直；(3)不平行也不垂直；(4)垂直．
2
．(1．7练习第2题)求过点A(2，3)，且分别适合下列条件的直线方程：
(1)
平行于直线2x+5-5=0；
(2)
垂直于直线x-y-2=0；
解：
(1)2x+y-7=0；(2)x+y-5=0．
3
．(1．7练习 第3题)已知两条直线l
1
、l
2
，其中一条没有斜率，这两条直
线 什么时候：(1)平行；(2)垂直．分别写出逆命题并判断逆命题是否成立．
解：
(1)另 一条也没有斜率．逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果
这两条直线平行，那么另一条直线也没有 斜率；逆命题成立．
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(2)
另一条斜率 为零．逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果另一条直
线和这一条直线垂直，那么另一条直线的斜 率为零；逆命题成立．
4
．(习题三第3题)已知三角形三个顶点是A(4，0)、B(6， 7)、C(0，3)，
求这个三角形的三条高所在的直线方程．



也就是
2x+7y-21=0．
同理可得
BC边上的高所在直线方程为
3x+2y-12=0
．
AC
边上的高所在的直线方程为
4x-3y-3=0
．
六、板书设计



两条直线所成的角


一、教学目标

(
一)知识教学点
第 7 页 共 14 页

一条直线与 另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式
解题．

(
二)能力训练点
通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研 究问题的思想方法；
通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力．

(
三)学科渗透点
训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯．

二、教材分析

1
．重点：前面研究了两条直线平行与垂直，本课时是对两直 线相交的情况
作定量的研究．两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得
到 ，教学时要讲请l
1
、l
2
的公式的推导方法及这一公式的应用．
2
，难点：公式的记忆与应用．
3
．疑点：推导l
1
、l
2
的角公式时的构图的分类依据．
三、活动设计

分析、启发、讲练结合．

四、教学过程

(
一)引入新课
我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况，对于两条 相交直线，怎样
根据它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题．

(
二)l
1
到l
2
的角正切
两条直线
l
1
和l
2
相交构成四个角，它们是两对对顶角．为了区别这些角，
我 们把直线l
1
依逆时针方向旋转到与l
2
重合时所转的角，叫做l
1
到l
2
的角．图
1-27中，直线l
1
到l
2的角是θ
1
，l
2
到l
1
的角是θ
2
(θ
1
+θ
2
=180°)．
l
1
到l
2
的角有三个要点：始边、终边和旋转方向．
现 在我们来求斜率分别为
k
1
、k
2
的两条直线l
1
到l
2
的角，设已知直线的方程
分别是
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l
1
∶y=k
1
x+b
1
l
2
∶y=k
2
x+b
2

如果
1+k
1
k
2
=0，那么θ=90°，
下面研究
1+k
1
k
2
≠0的情形．
由于直线的 方向是由直线的倾角决定的，所以我们从研究θ与
l
1
和l
2
的倾角 的关
系入手考虑问题．
设
l
1
、l
2
的倾斜角分 别是α
1
和α
2
(图1-32)，甲图的特征是l
1
到l< br>2
的角
是l
1
、l
2
和x轴围成的三角形的内角；乙 图的特征是l
1
到l
2
的角是l
1
、l
2
与x
轴围成的三角形的外角．
tg
α
1
=k
1
， tgα
2
=k
2
．
∵θ
=α
2
-α
1
(图1-32)，
或θ
=π-(α
1
-α
2
)=π+(α
2
-α
1)，
∴
tgθ=tg(α
2
-α
1
)．
或
tgθ=tg[π(α
2
-α
1
)]=tg(α
2
-α
1
)．
可得


即

eq x( )
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上面的关系记忆时，可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆．

(
三)夹角公式
从一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角， 但我们常常只需
要考虑不大于直角的角
(就是两条直线所成的角，简称夹角)就可以了，这时可 以用
下面的公式

(
四)例题

解：
k
1
=-2，k
2
=1．

∴θ
=arctg3≈71°34′．
本例题用来熟悉夹角公式．

例
2 已知直线l
1
： A
1
x+B
1
y+C
1
=0和l
2
： A
2
x+B
2
y+C
2
=0(B
1
≠0、 B
2
≠0、A
1
A
2
+B
1
B
2
≠0)，l
1
到l
2
的角是θ，求证：

证明：设两条直线
l1、l2的斜率分别为k1、k2，则
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这个例题用来熟悉直线
l
1
到l
2
的角．
例3等腰三角形一腰所在的直线l
1
的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l
2
的方程是x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在直线l
3
的方程 ．
解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰到底的角与底到另
一腰的 角相等，并且与两腰的顺序无关．

设
l
1
、l
2
、l
3
的斜率分别是k
1
、k
2
、k
3
， l
1
到l
2
的角是θ
1
，l
2
到l
3
的角
是θ
2
，则
．

因为
l1
、l
2
、l
3
所围成的三角形是等腰三角形，所以
θ
1
=θ
2
．
tg
θ
2
=tgθ
1
=-3．


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解得
k
3
=2．
因为
l
3
经过点(-2，0)，斜率为2，写出点斜式为
y=2[x-(-2)]
，
即
2x-y+4=0．
这就是直线
l
3
的方程．
讲此例题时，一定要说明：无须作图，任 一腰到底的角与底到另一腰的角都相等，要
为锐角都为锐角，要为钝角都为钝角．

(
五)课后小结
(1)l
1
到l
2
的角的概念及 l
1
与l
2
夹角的概念；
(2)l
1
到l
2
的角的正切公式；
(3)l
1
与l
2
的夹角的正切公式；
(4)
等 腰三角形中，一腰所在直线到底面所在直线的角，等于底边所在直线到
另一腰所在直线的角．
五、布置作业

1
．(教材第32页，1．8练习第1题)求下列直线l1
到l
2
的角与l
2
到l
1
的
角：



∴θ
1
=45°．
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l
2
到l
1的角θ
2
=π-θ
1
=arctg3．
2
．(教材第32页，1．8练习第2题)求下列直线的夹角：


∵
k
1
·k
2
=-1，
∴
l
1
与l
2
的夹角是90°．
(2)k
1
=1， k
2
=0．
两直线的夹角为
45°．

∴
l
1
与l
2
的夹角是90°．
3
．( 习题三第10题)已知直线l经过点P(2，1)，且和直线5x+2y+3=0的夹
角为45o，求直 线l的方程．
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即
3x+7y-13=0或7x-3y-11=0．
4
．等腰三角形一腰所在的直线l
1
的方程是2x-y+4=0，底面所在的直线l
2
的方程是x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在的直线l
3
的方程 ．
解：这是本课例
3将l
1
与l
3
互换的变形题，解法与 例3相同，所求方程为：
x-2y-2=0
．
六、板书设计




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