高一数学教案：1.8充分条件与必要条件(二)

课 题：
1.8
教学目的：
充分条件与必要条件（二）
1．使学生理解充要条件的概念，掌握充要条件的判断；
2．在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题
打下良好的逻辑 基础.
教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断
教学难点：充分性与必要性的推导顺序
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
这一节是在上一节学习了充分条件 、必要条件概念的基础上，进一步学习充要条件的有
关知识．重点是充要条件． 关于充分条件、必要条件与充要条件，还是控制在对初中代数、
几何的有关问题的理解上为宜．
教学过程：
一、复习引入：
⒈什么叫做充分条件？什么叫做必要条件？
若p
?
q（或若┐q
?
┐p），则说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
⒉指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
⑴p：x>2，q：x>1；⑵p：x>1,q：x>2；
22
⑶p：x>0 ,y>0，q：x+y<0；⑷p：x=0，y=0，q：x+y=0.
解：⑴∵x>2
?
x>1，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件.
⑵∵x>1x>2，但x>2
?
x>1，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件.
⑶∵x>0 ,y>0x+y<0，x+y<0x>0 ,y>0，∴p不是q的充分条件，p也不是q 的必
要条件；q不是p的充分条件，q也不是p的必要条件.
2222
⑷∵x=0， y=0
?
x+y=0，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x+y=0
?x=0，
y=0，∴q是p的充分条件，p是q的必要条件.
⒊在问题⑷中，p既是q的 充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q
的充分必要条件，简称充要条件.下面我们用 数学语言来表述这个概念.
二、讲解新课：
⒈什么是充要条件？
如果既有p?
q，又有q
?
p，就记作p
?
q.此时，p既是q的充分条件 ，p又是q的
必要条件，我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.（当然此时也可以说q是p
的充要条件）
22
例如，“x=0，y=0”是“x+y=0”的充要条件；“三角 形的三条边相等”是“三角形的三
个角相等”的充要条件.
说明：⑴符号“
?
”叫做等价符号.“p
?
q”表示“p
?
q且p
?
q”； 也表示“p等
价于q”. “p
?
q”有时也用“p
?
q”； ⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”
表示“必 要”.
第1页 共3页

⒉几个相关的概念
若p
?
q，但pq，则说p是q的充分而不必要条件；
若pq，但p
?
q，则说p是q的必要而不充分条件；
若pq，且pq，则说p是q的既不充分也不必要条件.
例如，“x>2”是“x>1”的充 分而不必要的条件；“x>1”是“x>2”的必要而不充分的条
件；“x>0 ,y>0”是“x+y<0”的既不充分也不必要的条件.
⒊充要条件的判断方法
四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：
⑴确定条件是什么，结论是什么；
⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；
⑶确定条件是结论的什么条件.
4.怎样用集合的观点对“充分”、“必要”、“充要”三种条件进行概括？
答：有两种说法 ：⑴若A
?
B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A
是B的充要 条件（此时B也是A的充要条件）.
在含有变量的命题中，凡能使命题为真的变量x的允许值集合，叫做此命题的真值集合.
⑵ 若p
?
q，说明p的真值集合
?
q的真值集合，则p是q的充分条件，q是p 的必要
条件；若p
?
q，说明p，q的真值集合相等，即p，q等价，则p是q充要条 件（此时q也
是p的充要条件）.
三、范例
例(P
35
例2)指 出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要
而不充分条件”、“充要条件 ”、“既不充分也不
必要条件”中选出一种）？
⑴p：(x-2)(x-3)=0；q：x-2=0.
2
⑵p：同位角相等；q：两直线平行.⑶p：x=3；q：x=9.
⑷p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形.
解：⑴∵(x-2)(x-3)=0 x-2=0，(x-2)(x-3)=0
?
x-2=0，
∴p是q的必要而不充分的条件；
⑵∵同位角相等
?
两直线平行，∴p是q的充要条件；
22
⑶∵x=3
?
x=9， x=3x=9，∴p是q的充分而不必要的条件；
⑷∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形的对角线相等四边形是
平行四边形，
∴p是q的既不充分也不必要的条件.
四、练习：1习题：3.⑴假；⑵假；⑶假；⑷真.
课本P
36
练习：1，2；P
36-38
习题：3.
答案：练习：1.⑴；⑵；⑶
?
；⑷
?
.
2.⑴充分而不必要的条件；⑵充分而不必要的条件；
⑶充要条件；⑷必要而不充分的条件.
五、小结：

六、作业：
(一)复习：课本P
34-36
内容，进一步熟悉和巩固有关概念和方法.
(二)书面：课本P
36-37
习题1.8：1，2.
答案：1.⑴p：x>0，y>0；q：x+y>0. （∵
?
）
⑵p：x>3；q：x>5.（∵
?
）
22
⑶p：判别式b-4a c
?
0；q：方程ax+bx+c=0(a
?
0)有实根.（∵
?< br>）
第2页 共3页

⑷p：x>y；q：x>y. (∵)
2.⑴充分而不必要的条件；⑵必要而不充分的条件；
⑶必要而不充分的条件；⑷充要条件；
⑸必要而不充分的条件；⑹必要而不充分的条件. < br>2
(三)思考题：试寻求关于x的方程x+mx+n=0有两个小于1的正根的一个充要条
件.(练习册P
15
探索题2)
2
解法1：关于x的方程x+mx+n= 0有两个小于1的正根
?
方程在(0，1)内有实根
?
22
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22
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解法2：
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12
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方程在(0，1)内有实根
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1
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七、板书设计（略）
八、课后记：



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