2017全国高中数学竞赛复赛-高中数学必修一必修四错题集
课题：§2.1.2指数函数及其性质
教学任务：（1）使学生了解指数函
数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他
学科的联系；
（2）理解指数函数的的概念和
意义，能画出具体指数函数的图象，探索
并理解指数函数的单调性和特殊点；
（3）在学习的
过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体
到一般的过程、数形结合的方法等．
教学重点：指数函数的的概念和性质．
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．
教学过程：
一、 引入课题
（备选引例）
1． （合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全
球人口迅猛增加，已引起全
世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率
增长，
按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”
的趋势
．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世
界人口日”，呼吁各国要控制人口
增长．为了控制人口过快增长，许多国家
都实行了计划生育．
我国人口问题更为突出，在耕地
面积只占世界7%的国土上，却养育
着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2
000年第
五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控
制人口过
快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
1
按照上述材料中的1%的增长率，
○
从2000年起，x年后我国的人口
将达到2000年的多少倍？
2
到2050年我国的人口将达到多少？
○
3
你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？
○
2． 上一节中GDP问题中时
间x与GDP值y的对应关系y=1.073
x
（x∈N
*
，x
≤2
0）能否构成函数？
3．
一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，
第1页 共4页
那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？
4．
上面的几个函数有什么共同特征？
二、
新课教学
x
（一）指数函数的概念
一般地，函数
y?a(a?0,且a?1)
叫做指数函数（exponential
function），其
1
指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；
注意：○
2
注意指数函数的底数的取值范围，
○
引导学生分析底数
为什么不能是负
中x是自变量，函数的定义域为R．
数、零和1．
巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P
68
例2、3）
（二）指数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和
方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
探索研究：
1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）
y?()
x
（2）
y?()
x
（3）
y?2
（4）
y?3
（5）
y?5
2．从画出的图象
中你能发现函数
y?2
的图象和函数
y?()
x
的图象有什么
关系？可否利用
y?2
的图象画出
y?()
x
的图象？
3．从画出的图象（
y?2
、
y?3
和
y?5
）中，你能发
现函数的图象与其
底数之间有什么样的规律？
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x
xx
x
x
1
3
1
2
x
x
1
2
x
1
2
4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？
图象特征 函数性质
a?1
0?a?1
a?1
0?a?1
非奇非偶函数
向x、y轴正负方向无限延伸
图象关于原点和y轴不对称
函数图象都在x轴上方
函数图象都过定点（0，1）
自左向右看，
图象逐渐上升
在第一象限内的图
象纵坐标都大于1
在第二象限内的图
象纵坐标都小于1
图象上升趋势是越
来越陡
自左向右看，
图象逐渐下降
在第一象限内的图
象纵坐标都小于1
在第二象限内的图
象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越
来越缓
函数的定义域为R
函数的值域为R
+
a
0
?1
增函数 减函数
x?0,a
x
?1
x?0,a
x
?1
函数值开始增长较
慢，到了某一值后
增长速度极快；
x?0,a
x
?1
x?0,a
x
?1
函数值开始减小极
快，到了某一值后
减小速度较慢；
5．
利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
f(x)?a(a?0且a?1)
值域是
[f(a),f(b)]
或
[f(b),f(a)]
；（1）在[a，b]上， （2）若
x?0
，则
f(x)?1
；
f(x)
取遍所有
正数当且仅当
x?R
；
（3）对于指数函数
f(x)?a(a?0且a?1
)
，总有
f(1)?a
；
（4）当
a?1
时，若
x
1
?x
2
，则
f(x
1
)?f(x
2<
br>)
；
（三）典型例题
例1．（教材P
66
例6）．
解：（略）
问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？
例2．（教材P
66
例7）
解：（略）
问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？
说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式．
巩固练习：（教材P
69
习题A组第7题）
第3页 共4页
x
x
三、
四、
归纳小结，强化思想
作业布置
本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法．
1．
必做题：教材P
69
习题2．1（A组） 第5、6、8、12题．
2．
选做题：教材P
70
习题2．1（B组） 第1题．
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