高一数学：充分条件与必要条件(教案)

高中数学新课程标准教材

数 学 教 案

( 2019 — 2020学年度第二学期 )



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数学教案 高中数学 高一数学教案
编订：XX文讯教育机构

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充分条件与必要条件(教案)

教材简介:本教 材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、
理解能力，培养学生的逻辑、 直觉判断等能力，本教学设计资料适用于高中高一数学科
目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本 内容是按照教材的内容进行的编写，可以
放心修改调整或直接进行教学使用。

教学目标
（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；
（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；
（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；
（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想． 教学建议
（一）教材分析
1．知识结构
首先给出推断符号“ ”，并引出的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步知识．
2．重点难点分析
本节的重点与难点是关于充要条件的判断．
（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条 件、既不充分也不必要条件是重要
的数学概念，主要用来区分命题的条件 和结论 之间的因果关系．

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（2）在判断条件 和结论 之间的因果关系中应该：
①首先分清条件是什么，结论是什么；
②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接证法、间接证法
（即 反证法），也可以举反例说明其不成立；
③最后再指出条件是结论的什么条件．
（3）在讨论条件 和条件 的关系时，要注意：
①若 ，但 ，则 是 的充分但不必要条件；
②若 ，但 ，则 是 的必要但不充分条件；
③若 ，且 ，则 是 的充要条件；
④若 ，且 ，则 是 的充要条件；
⑤若 ，且 ，则 是 的既不充分也不必要条件．
（4）若条件 以集合 的形式出现，结论 以集合
助于充要条件的理解和判断．
①若 ，则 是 的充分条件；
显然，要使元素 ，只需 就够了．类似地还有：
②若 ，则 是 的必要条件；

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的形式出现，则借助集合知识，有

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③若 ，则 是 的充要条件；
④若 ，且 ，则 是 的既不必要也不充分条件．
（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要 证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证
明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的 必要性．由于原命题 逆否命题，
逆命题 否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得
出原命题成立．
（二）教法建议
1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻 辑初步知识内容相联
系．充要条件中的 ， 与四种命题中的 ， 要求是一样的．它们可以是简单命题，也可
以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若 则 ”形式的复合命题．
2．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味 ，为此，激发学生
的学习兴趣是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去 结概
念“下定义”，去体会概念的本质属性．
3．由于“充要条件”与命题的真假、命题 的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教
学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结 论来说，是否充分，从而引入“充
分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念．

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4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多 的解释说明，为了让学生能
理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论 之间的关系来
认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念．
教学设计示例充要条件
教学目标：
（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；
（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；
（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；
（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．
教学重点难点：关于充要条件的判断
教学用具：幻灯机或实物投影仪
教学过程设计
1．复习引入
练习：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；

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（3）全等三角形的面积相等；
（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；
（5）若 ，则 ；
（6）若方程 有两个不等的实数解，则 ．
（学生口答，教师板书．）
（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题．
置疑：对于命题“若 ，则 ”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？
答：看 能不能推出 ，如果 能推出 ，则原命题是真命题，否则就是假命题．
对于命题“若 ，则 ”，如果由 经过推理能推出 ，也就是说，如果 成立，那么 一
定成立．换句话说，只要有条件 就能充分地保证结论 的成立，这时我们称条件 是 成
立的充分条件，记作 ．
2．讲授新课
（板书充分条件的定义．）
一般地，如果已知 ，那么我们就说 是 成立的充分条件．
提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．
（学生口答）

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（1）“ ，”是“ ”成立的充分条件；
（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；
（3）“方程 的有两个不等的实数解”是“ ”成立的充分条件．
从另一个角度看，如果 成立，那么其逆否命题 也成立，即如果没有 ，也就没有 ，
亦即 是 成立的必须要有的条件，也就是必要条件．
（板书必要条件的定义．）
提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题．
（学生口答）．
（1）因为 ，所以 是 的充分条件， 是 的必要条件；
（2）因为 ，所以 是 的必要条件， 是 的充分条件；
（3）因为“两三角形全等” “两三角形面积相 等”，所以“两三角形全等”是“两三
角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形 全等”的必要条件；
（4）因为“四边形的对角线互相垂直” “四边形是菱形”，所以“四边 形的对角线互
相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直 ”
的充分条件；
（5）因为 ，所以 是 的必要条件， 是 的充分条件；

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（6）因为“方程 的有两个不等的实根” “ ”，而且“方程 的有两个不等的实根”
“ ”，所以“方程 的有两个不等的实根”是“ ”充分条件，而且是必要条件．
总结：如果 是 的充分条件， 又是 的必要条件，则称 是 的充分必要条件，简
称充要条件，记作 ．
（板书充要条件的定义．）
3．巩固新课
例1 （用投影仪投影．）
B
A是B的什么条件
B是 的什么条件
是有理数
是实数

、 是奇数
是偶数


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是4的倍数
是6的倍数
（学生活动，教师引导学生作出下面回答．）
①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以 是 的充分非必要条件， 是
的必要非充分条件；
② 一定能推出 ，而 不一定推出 ，所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要
非充分条件；
③ 、 是奇数，那么 一定是偶数； 是偶数， 、 不一定都是奇数（可能都为偶
数），所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件；
④ 表示 或 ，所以 是 成立的必要非充分条件；
⑤由交集的定义可知 且 是 成立的充要条件；
⑥由 知 且 ，所以 是 成立的充分非必要条件；
⑦由 知 或 ，所以 是 ， 成立的必要非充分条件；
⑧易知“ 是4的倍数”是“ 是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件；
（通过对上述问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必

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要条件的认识．）
例2 已知 是 的充要条件， 是 的必要条件同时又是 的充分条件，试 与 的关
系．（投影）
解：由已知得
，
所以 是 的充分条件，或 是 的必要条件．
4．小结回授
今天我们学 习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了判断条件A是B的什
么条件，这为我们今后解决数 学问题打下了等价转化的基础．
课内练习：课本（人教版，试验修订本，第一册（上））第 35页练习l、2；第36页练
习l、2．
（通过练习，检查学生掌握情况，有针对性的进行讲评．）
5．课外作业：教材第36页 习题1.8 1、2、3．

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