最新新课标人教A版高中数学必修1-5教案完整版名师优秀教案

新课标人教A版高中数学必修1-5教案完整版
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数学5 第一章 解三角形
章节总体设计
(一)课标要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最
后落实在解三角形的应 用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标:
(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索 ，掌握正弦定理、余弦定理，并
能解决一些简单的三角形度量问题。
(2)能够熟练运用正 弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计
算有关的生活实际问题。
(二)编写意图与特色
1(数学思想方法的重要性
数学思想方法的教学是中学 数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学
知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切 相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决
问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。 本章的两个主要数学结论是正弦定
理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生 已经学习了
相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小
角”， “如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形
全”等。
教科书 在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问
题:“在任意三角形中有大边对大 角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个

边、角的关系准确量化的表示呢?”， 在引入余弦定理内容时，提出探究性问题
“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判 定方法，这个三角
形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”
设置这些问题，都 是为了加强数学思想方法的教学。
2(注意加强前后知识的联系
加强与前后各章教学内 容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教
学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整 体，提高教学效益，并有利于学
生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边 角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关
系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着 密切联系。教科书在引入
正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题”在任意三角 形
中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确
量化的表示 呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的
两条边及其所夹的角,根据三角形 全等的判定方法，这个三角形是大小、
形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题 ，也就是研究
如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，
从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，
同时使新知识建立在已 有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
”这部分内容安排在数学五的第一部分内容， 《课程标准》和教科书把“解
三角形
位置
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相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方
程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些
内容可以处理 得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的
方法，需要对于三角形进行讨论，方 法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥
了向量方法在解决问题中的威力。
在证明了余 弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提
出了一个思考问题“勾股定理指出了直 角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理
则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定 理之间的关系,”，
并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方< br>和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方，那么
第三边所对的角 是钝角;如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上
可知，余弦定理是勾股定理的推广. ”
3(重视加强意识和数学实践能力
学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的 两个问题是，学生应用数学
的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能 把所
学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学
生机械地 模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法
不多，对于诸如观察、分析、归 纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问
题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章 重视从实际问题出发，引入
数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。
(三)教学内容及课时安排建议
1.1正弦定理和余弦定理(约3课时)
1.2应用举例(约4课时)
1.3实习作业(约1课时)

(四)评价建议
1(要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断 提出问题，研究问
题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定
理，可以启发得到 有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法
和解析的方法。在应用两个定理解决有关 的解三角形和测量问题的过程
中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解 决办
法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以
鼓励学生 设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。
2(适当安排一些实习作业，目的是让学生进 一步巩固所学的知识，提高学生分
析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实 习过程和实
习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习
作 业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测
量中出现的一些问题。
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1(1正弦定理 课题: ?1(
授课类型:新授课
?教学目标
知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的
(图1(1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角
与边的等式关系。 如图1(1-2，在中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正
弦函数的

A

则定义，有，，又 1a

从而在直角三角形ABC中，a

sin C a B
(图1(1-2)
思考:那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立,
(由学生讨论、分析)
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:

如图1(1-3，当是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数
的定义，有则

同理可得

从而，，a

sinAbsinBcsinC A c B
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(1-3) (图1
思考:是否可以用其它方法证明这一等式,由于涉及 边长问题，从而可以考虑用
向量来研究这个问题。

(证法二):过点A作， C
由向量的加法可得
则

?
j

，即同理，过点C作，可得 从 ?
而 a
sinC

类似可推出，当是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推
导)
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a

sinC
[理解定理]
(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦 成正比，且比例系数为同
一正数，即存在正数k使，，;

(2)a

sinC等价于a

sinB，c

sinB，a

sinC
从而知正弦定理的基本作用为:

?已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如; sinB
?已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如

。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
] [例题分析

例1(在中，已知，，，解三角形。
解:根据三角形内角和定理， ab

;
根据正弦定理，
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asinB42.9sin81.80

; sin32.0根据正弦定理，
asinC42.9sin66.20

评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2(在中，已知0cm，，，解三角形(角度精确到10，边长精确到1cm)。
解:根据正弦定理， bsinA28sin400

因为00,B,1800，所以，或

? 当时，

，
asinC20sin760

? 当时，

，
asinC20sin240

c评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
?.课堂练习
第5页练习第1(1)、2(1)题。

[补充练习]已知中，，求a:b:c
(答案:1:2:3)
?.课时小结(由学生归纳总结)
(1)定理的表示形式:a
sinAsinBsinC

或，，
(2)正弦定理的应用范围:
?已知两角和任一边，求其它两边及一角;
?已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
?.课后作业

第10页[习题1.1]A组第1(1)、2(1)题。
?板书设计
?授后记

;
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课题: ?1.1.2余弦定理
授课类型:新授课
?教学目标
知 识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会
运用余弦定理解决两类基本的 解三角形问题。
过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握
运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解 三角形问题的运算能力;
通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普 遍
联系与辩证统一。 ?教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用;
?教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
?教学过程
?.课题导入

如图1(1-4，在中，设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和，求边
A c B
(图1(1-4)
?.讲授新课
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题,
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A

如图1(1-5，设，，，那么，则 bc

从而 图1(1-5)

同理可证

于是得到以下定理
余弦定理:三角形中任 何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它
们的夹角的余弦的积的两倍。即

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思考:这个式子中有几个量,从方程的 角度看已知其中三个量，可以求出第四个
量，能否由三边求出一角,
(由学生推出)从余弦定理，又可得到以下推论:

理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为:
?已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;
?已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之 间的关系，余弦定理则指出了
一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系,

(由学生总结)若中，C=900，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]

例1(在
中，已知a

600，求b及A

?解:?

=8

?
求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:

?解法一:?

?
asin450,
解法二:?

3.8,

?a,c，即00,A,900,

?
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评述:解法二应注意确定A的取值范围。

例2(在中，已知，，，解三角形
(见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解)

解:由余弦定理的推论得:

;

;

?.课堂练习
第8页练习第1(1)、2(1)题。

[补充练习]在中，若，求角A(答案:A=1200)
?.课时小结
(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的
特例;
(2)余弦定理的应用范围:?(已知三边求三角;?(已知两边及它们的夹角，求第
三边。 ?.课后作业
?课后阅读:课本第9页[探究与发现]
?课时作业:第11页[习题1.1]A组第3(1)，4(1)题。
?板书设计
?授后记
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课题: ?1(1(3解三角形的进一步讨论
授课类型:新授课
?教学目标
知识与 技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解
或一解或无解等情形;三角形各种 类型的判定方法;三角形面积定理的应用。
过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使 学生学会综合运用
正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态 度与价值观:通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有
关性质和三角函数的关系，反映了 事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可
能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
?教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情
形; 三角形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用。
?教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
?教学过程
?.课题导入
[创设情景]

思考:在中，已知，，，解三角形。
(由学生阅读课本第9页解答过程)

从此题的分析我们发现，在已知三角形 的两边及其中一边的对角解三角形时，
在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解 三角形的问题。
?.讲授新课
[探索研究]

b,A，讨论三角形解的情况 例1(在中，已知a,

分析:先由

则从而可进一步求出B; aasinC A

1(当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解;否则无解。
2(当A为锐角时，
如果a?b，那么只有一解;

如果，那么可以分下面三种情况来讨论:

(1)若，则有两解;

(2)若，则只有一解;

(3)若，则无解。

(以上解答过程详见课本第页)
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评述:注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐

时，有两解;其它情况时则只有一解或无解。 角且
[随堂练习1]

(1)在中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。

(2)在中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。 2

(3)在中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
(答案:(1)有两解;(2)0;(3

)

例2(在中，已知，，，判断的类型。
分析:由余弦定理可知

是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形

是锐角三角形
(注意:AABC是锐角三角形)

解:，即a，

?是钝角三角形。
[随堂练习2]

(1)在中，已知，判断的类型。

(2)已知满足条件，判断的类型。

(答案:(1)是钝角三角形

)是等腰或直角三角形) (2

例3(在中，，，求的值

111分析:可利用三角形面积定理以及正弦定理 222
a

1解:由

得， 22
则，即

从而

?.课堂练习

(1)在中，若，，且此三角形的面积，求角C

(2)在中，其三边分别为a、 b、c，且三角形的面积
(答案:(1)600或1200;(2)450)

，求角C
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?.课时小结
(1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解
等情形;
(2)三角形各种类型的判定方法;
3)三角形面积定理的应用。 (
?.课后作业

(1)在中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
(2)设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。

(3)在中，，，，判断的形状。

(4)三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，
三角形的面积。
?板书设计
?授后记
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求这个

课题: ?2.2解三角形应用举例
第一课时
授课类型:新授课
?教学目标
知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知 识和方法解决一些有关测量距
离的实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法:首先通 过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好
铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问 题——引发思考——探索猜想——
总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间 的内在关
系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握
解法 ，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放
多种思路，引导学生发现问 题并进行适当的指点和矫正 情感态度与价值观:激发学
生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值;同 时培养学生运用图形、数学符号表达
题意和应用转化思想解决数学问题的能力
?教学重点
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的
解
?教学难点
根据题意建立数学模型，画出示意图
?教学过程
?.课题导入
1、[复习旧知]
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形,
2、[设置情境]

请学生回答完后再提问:前面引言第一章“解三角形”中 ，我们遇到这么一个
问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢,”在古代，天文学家没有先进< br>的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢,我们
知道，对于未知 的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用
全等三角形、相似三角形的方法，或借 助解直角三角形等等不同的方法，但由于在
实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没 有足够的空间，不能
用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是< br>用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中
的重要应用，首 先研究如何测量距离。
?.讲授新课
(1)解决实际测量问题的过程一般要充分认真理 解题意，正确做出图形，把实
际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数 学模型
来求解
[例题讲解]
(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要 测量两点之间的距离，测量者在
A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，，

。求A、B两点的距离(精确到0.1m)
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启发提问1:中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当,

启发提问2:运用该定理解题还需要那些边和角呢,请学生回答。
分析:这 是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的
问题，题目条件告诉了边AB的对角 ，AC为已知边，再根据三角形的 = AC

? 65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C
的北偏东，灯塔B在观察站C南偏东，则A、B之间的距离为多少,

老师指导学生画图，建立数学模型。 解略:2a km
例2、如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A、B两点间
距离的方法。 分析:这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测
量问题。首先需要构造三角形，所以 需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三
角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求 出AC和BC，再利用余
弦定理可以计算出AB的距离。
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解:测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点 分别测
得，

，，，在和中，应用正弦定理得
AC =

计算出AC和BC后，再在中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离

分组讨论:还没有其它的方法呢,师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练:若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得，

，，
略解:将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20

评注:可见，在 研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的
方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的 方法，最主要的还是分析两个定理的特
点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
?.课堂练习
、2题 课本第14页练习第1
?.课时小结
解斜三角形应用题的一般步骤:
(1)分析:理解题意，分清已知与未知，画出示意图
(2)建模:根据已知条件与求解目 标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角
形中，建立一个解斜三角形的数学模型
(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
?.课后作业
课本第22页第1、2、3题
?板书设计
?授后记
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课题: ?2.2解三角形应用举例
第二课时
授课类型:新授课
?教学目标
知识与技能:能够运用正 弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不
可到达的物体高度测量的问题

< br>过程与方法:本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让
学生在温故知新中学 会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过
3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解 三角形实际问题的一般方法。教学形式
要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多 的要养成良好的
研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间
情感态度与 价值观:进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归
纳、类比、概括的能力
?教学重点
结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
?教学难点
能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件
?教学过程
?.课题导入
提问:现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢,又怎样在水
平飞行的飞机上 测量飞机下方山顶的海拔高度呢,今天我们就来共同探讨这方面的
问题
?.讲授新课
] [范例讲解
例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种 测
量建筑物高度AB的方法。

分析:求AB长的关键是先求AE，在中，如能求 出C点到建筑物顶部A的距离
CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。
，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两 解:选择一条水平基线HG

点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在
中，根据正弦定理

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可得

AB = AE + h

例2 、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角，在塔底C处测得A
处的俯角。已知铁塔BC部分的 高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)

师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗,(给时间给学生讨论思考)若在

中求CD，则关键需要求出哪条边呢,
生:需求出BD边。
师:那如何求BD边呢,

求得。 生:可首先求出AB边，再根据

解:在中-- 根据正弦定理

所以 AB ==

解中,得

将测量数据代入上式,得 )

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?177 (m)
CD =BD -BC?177-27.3=150(m)
答:山的高度约为150米.

师:有没有别的解法呢,

生:若在中求CD，可先求出AC。
师:分析得很好，请大家接着思考如何求出AC,

生:同理，在中，根据正弦定理求得。(解题过程略)
例3、如图,一辆汽车在一条水平的 公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧
远处一山顶D在东偏南的方向上,行驶5km后到达B处,测 得此山顶在东偏南的方向
上,仰角为求此山的高度

CD.
师:欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢,

生:在中

师:在中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长,
生:BC边

解:在中-根据正弦定理,
BCAB = , sinAsinC

? 7.4524(km)

答:山的高度约为1047米
?.课堂练习
、2、3题 课本第17页练习第1
?.课时小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根 据题意画方位图,要懂得
从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。
?.课后作业
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1、 课本第23页练习第6、7、8题
2、 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的
仰角为，

测得塔基B的俯角为，则塔AB的高度为多少m,
203(m) 3
?板书设计
?授后记 答案:20+
课题: ?2.2解三角形应用举例

第三课时
授课类型:新授课
?教学目标
知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角
度的实际问题 过 程与方法:本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对
解法有了基本的了解，这节课应通过综 合训练强化学生的相应能力。除了安排课本
上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例 题，强调知识的传授
更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过< br>导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自
主发现规律，举 一反三。
情感态度与价值观:培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能
力，并 在教学过程中激发学生的探索精神。
?教学重点
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系
?教学难点
灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题
?教学过程
?.课题导入
[创设情境]
提问:前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形
的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问
题，在浩瀚无垠 的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢,今
天我们接着探讨这方面的测量问题。
?.讲授新课

[范例讲解]

例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行67.5 n mile后到达海
岛B,然后从B出发,沿北偏东的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如 果下次航行
直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到
距离精确到0.01n mile)

哈尔滨大森林文化学校 电话: 手机:
学生看图思考并讲述解题思路
教师根据学生的回答归纳分析:首先根据三角形的

?113.15

根据正弦定理

= 113.15
?0.3255,

所以

-

答:此船应该沿北偏东的方向航行,需要航行113.15n mile

例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m ，至
点C处测得顶端A的仰角为，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为，求的
大小和 建筑物AE的高。

师:请大家根据题意画出方位图。
哈尔滨大森林文化学校 电话: 手机:
生:上台板演方位图(上图)
教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法 ，让学生动手练习，请三位同学用三
种不同方法板演，然后教师补充讲评。

解法一:(用正弦定理求解)由已知可得在中，
AC=BC=30， AD=DC=10，

-，

。

因为

得

，

在中，

答:所求角为，建筑物高度为15m
解法二:(设方程来求解)设DE= x，AE=h

在 中,(10+ x)2 + h2=302

在 中,x2+h2=(103)2
两式相减，得x=5,h=15

在 中

答:所求角为，建筑物高度为15m
解法三:(用倍角公式求解)设建筑物高为AE=8，由题意，得

， ， AC = BC =30m , AD = CD =10m

在中，
30 ---------

在中，
103, ---------
? ?
哈尔滨大森林文化学校 电话: 手机:

? 得 ， ?

答:所求角为，建筑物高度为15m

例3、某巡逻艇在A处发现北偏东相距9海 里的C处有一艘走私船，正沿南偏
东的方向以10海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里 小时的速度

沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追,需要多少时间才追赶上该 走私
船,

师:你能根据题意画出方位图,教师启发学生做图建立数学模型
分析:这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。
解:如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x,
AB=14x,AC=9,

-

化简得32x2-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去) 216
所以BC = 10x =15,AB =14x =21,

又因为

， 或(钝角不合题意，舍去)

答:巡逻艇应该沿北偏东方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
评注:在求解三角 形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有
关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解 是否符合实际意义，从而得出实际问
题的解
?.课堂练习
课本第18页练习
?.课时小结
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况:(1)已知量与未知量全部集中 在一
个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。(2)已知量与未知量涉及两个或
几个三 角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中
求出问题的解。 ?.课后作业
1、课本第23页练习第9、10、11题
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相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西 2、我舰在敌岛A南偏西
的方向以10海里小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才
能用2小时追上敌舰,(角度用反三角函数表示)
?板书设计
?授后记
课题: ?2.2解三角形应用举例

授课类型:新授课
?教学目标
知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角
形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
过程与方法:本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑 ，引导学生证明，
同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证
中灵活把握正弦定 理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌
握了两定理的特点，就能很快开阔思维， 有利地进一步突破难点。
情感态度与价值观:让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解 ，
提高创新能力;进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功
体验
?教学重点
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
?教学难点
利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
?教学过程
?.课题导入
[创设情境]
师:以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个
表达公式。在

中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何用已知边和角
表示,

生:ha=bsinC=csinB
hb=csinA=asinC
hc=asinB=bsinaA
1ah,应用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，2
1可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式
吗, 2师:根据以前学过的三角形面积公式S=
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生:同理可得，S=11bcsinA, S=acsinB 22
师:除了知道某条边和 该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可
求出三角形的面积呢,
生:如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
?.讲授新课
[范例讲解]

例1、在中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0.1cm2)

(1)已知

(2)已知
=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm (3)已知三边的长分别为a
分析 :这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有
密切的关系，我们可以应用解三 角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么,求出
需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解:(1)应用S=

S=1acsinB，得
b = c sinCsinB
sinB(2)根据正弦定理， c = bsinC S =
11bcsinA = b2sinCsinA 22sinB

--

(3)根据余弦定理的推论，得

cosB = 2ca

应用S=1acsinB，得 2
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例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室2

应用S=

答:这个区域的面积是2840.38m2。

例3、在中，求证:

(1)c2sin2C
(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC)
分析:这是 一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的
特点，联想到用正弦定理来证明
证明:(1)根据正弦定理，可设 a = b = c = k sinAsinBsinC

显然 ，所以

左边= c2k2sin2C

右边 2sinC
(2)根据余弦定理的推论，
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右边=2(bc+ca+ab) 2bc2ca2ab
=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)
=a2+b2+c2=左边

变式练习1:已知在中，求a及的面积S
提示:解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案:a=6,S=93;a=12,S=183
变式练习2:判断满足下列条件的三角形形状，
(1) acosA = bcosB

(2)
提示:利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”
(1) 师:大家尝试分别用两个定理进行证明。
生1:(余弦定理)得

或

根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形

生2:(正弦定理)得
sinAcosA=sinBcosB,

根据边的关系易得是等腰三角形
师:根据该同学的做法，得到的只有一种情况， 而第一位同学的做法有两种，
请大家思考，谁的正确呢,
生:第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有

， 可能推出2A与2B两个角互补，即
(2)(解略)直角三角形
?.课堂练习
课本第21页练习第1、2题
哈尔滨大森林文化学校 电话: 手机:
?.课时小结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角 的三角函数
式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可
用 正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。
?.课后作业
课本第23页练习第12、14、15题
?板书设计

?授后记
第二章数列
课题: ?2.1数列的概念与简单表示法
授课类型:新授课
(第1课时)
?教学目标
知识与技能:理解数列及其有关概念，了解数列和函 数之间的关系;了解数列的
通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列，会根 据其
前几项写出它的个通项公式。
过程与方法:通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件 的一个通项公式，培
养学生的观察能力和抽象概括能力(
情感态度与价值观:通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习
的兴趣。 ?教学重点
数列及其有关概念，通项公式及其应用
?教学难点
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
?教学过程
?.课题导入
三角形数:1，3，6，10，?
正方形数:1，4，9，16，25，?
?.讲授新课
? 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意:? 数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排
列次序不同，那么它们就是不同的 数列;

?定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复
出现. ? 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数
列的第1项(或首项)，第2项，?，第n 项，?.
例如，上述例子 均是数列，其中?中，“4”是这个数列的第1项(或首项)，
“9”是这个数列中的第6项.

?数列的一般形式:，或简记为，其中an是数列的第n项 结合上述例子，帮助
学生理解数列及项的定义. ?中，这是一个数列，它的首项是“1”，“1”3是 这
个数列的第“3下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对
应关系,这 一关
哈尔滨大森林文化学校 电话: 手机:
系可否用一个公式表示,(引导学生进一 步理解数列与项的定义，从而发现数列
的通项公式)对于上面的数列?，第一项与这一项的序号有这样的 对应关系:
1111项 1 2345
? ? ? ? ?
序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式:来表示其对应
关系 n

即:只要依次用1，2，3?代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系

? 数列的通项公式:如 果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表
示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意:?并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列?;
?一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列:1，0，1，0，1，0，?它的通
项公式

可以是，也可以是
?数列通项公式的作用:?求数列中任意一项;?检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项
的一般表示( 通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公
式，这个数列便确定了，代入项数就可 求出数列的每一项(
5.数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1，2，3，?，n})为定义域的

函数，*
当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数 y=f(x),如果f(i)(i=1、2、3、4?)有意义，那么我们可以
得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)?，f(n)，?
6(数列的分类:
1)根据数列项数的多少分:
有穷数列:项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列

无穷数列:项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6?是无穷数列
2)根据数列项的大小分:
递增数列:从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列:从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列:各项相等的数列。
摆动数列:从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数
列
观察:课本P33的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数
列,
[范例讲解]
课本P34-35例1
?.课堂练习
课本P36[练习]3、4、5
]:根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式: [补充练习
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(1) 3, 5, 9, 17, 33,??; (2) 246810, , , , , ??; 315356399
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,??; (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ??;
(5) 2, ,6, 12, ,20, 30, ,42,??.

解:(1) an,2n，1; (2) an,; (3) an,;
(4) 将数列变形为1，0, 2，1, 3，0, 4，1, 5，0, 6，1, 7，0, 8，1, ??,

?an,n，; 2

(5) 将数列变形为1×2, ,2×3, 3×4, ,4×5, 5×6,??，

? an,(,，1)
?.课时小结
本节课学习了以下内容:数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并
会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。
?.课后作业
课本P38习题2.1A组的第1题
?板书设计
?授后记
课题: ?2.1数列的概念与简单表示法
授课类型:新授课
(第,课时)
?教学目标
知识与技能:了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同;会根据数
列的递推公式写出数列的前几项;理解数列的前n项和与an的关系
过程与方法:经历数列知识的感受及理解运用的过程。
情感态度与价值观:通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习
的兴趣。 ?教学重点
根据数列的递推公式写出数列的前几项
?教学难点
理解递推公式与通项公式的关系
?教学过程
?.课题导入

[复习引入]
数列及有关定义
?.讲授新课
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数列的表示方法
1、 通项公式法

如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就
叫做这 个数列的通项公式。
如数列
的通项公式为
的通项公式为
; ;
的通项公式为
;
2、 图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形(具体方法是以项数 为横坐标，
相应的项
为纵坐标，即以
为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到的数列
为例，做出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐
标为正整数，所以这些点都在
轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数(从图象中可以直观 地看到数列的项
随项数由小到大变化而变化的趋势(

3、 递推公式法
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型(
模型一:自上而下:

;即:,1+3 第1层钢管数为4

第2层钢管数为5;即:,2+3

第3层钢管数为6;即:,3+3

;即:,4+3 第4层钢管数为7

第5层钢管数为8;即:,5+3

第6层钢管数为9;即:,6+3

第7层钢管数为10;即:,7+3
若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且

?n?7)

运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型， 运用这一关
系，会
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循,(启发学生寻找规律)
模型二:上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。

即;;a

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(2?n?7) 依此类推:
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为
重要。 定义:

递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项(或
前 n项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公
式 递推公式也是给出数列的一种方法。

如下数字排列的一个数列:3，5，8，13，21，34，55，89

递推公式为:

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系， 首先请学生回忆
函数的表示法:列表法，图象法，解析式法(相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法:用
示第一项，用
4、列表法
(简记为
( 表表示第一项，??，用
表示第 项，依次写出成为
[范例讲解]

例3 设数列满足写出这个数列的前五项。

解:分析:题中已给出的第1项即，递推公式:

解:据题意可知:

[补充例题，

例4已知，写出前5项，并猜想an(

法一:，观察可得

法二:由?即

?

?
?.课堂练习
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课本P36练习2
[补充练习]
1(根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式

(1) a1,,an，(2n,1) (n?N);

(2) a1,,2an (n?N);

(3) a1,,3an,2 (n?N).
解:(1) a1,0, a2,1, a3,4, a4,9, a5,16, ? an,(n,1);

(2) a1,1,a2,21212222,a3,,, a5,? an,

012(3) a1,3,,7,,19,

a4,55,,163,? an,1，
?.课时小结
本节课学习了以下内容:
1(递推公式及其用法;
2(通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n
项)之间的关系.
?.课后作业
习题2。1A组的第4、6题
?板书设计
?授后记
课题: ?2.2等差数列

授课类型:新授课
(第1课时)
?教学目标
知识 与技能:了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据
定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用
通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项
过程与方法:经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问
题的过程。 情感 态度与价值观:通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、
分析资料的能力，积极思维，追求新知 的创新意识。
?教学重点
等差数列的概念，等差数列的通项公式。
?教学难点
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等差数列的性质
?教学过程
?.课题导入
[创设情境]
上两节课我们学习了数列 的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举
法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同 的角度反映数列的特点。下面
我们看这样一些例子。
课本P41页的4个例子:
?0，5，10，15，20，25，?
?48，53，58，63
?18，15.5，13，10.5，8，5.5

?10072，10144，10216，10288，10366
观察:请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征,
?共同特征:从第二项 起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等
差);(误:每相邻两项的差相等——应指明作差的 顺序是后项减前项)，我们给具有
这种特征的数列一个名字——等差数列
?.讲授新课
1(等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于
同一个常数，这 个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字
母“d”表示)。
?(公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求;

?(对于数列 {an},若an,与n无关的数或字母)，n?2，n?N，则此数列是等差数
列，d 为公差。
思考:数列?、?、?、?的通项公式存在吗,如果存在，分别是什么,

2(等差数列的通项公式:【或】 的首项是a1，公差是d，则据其定义可得:

即:

即:

即:
??

由此归纳等差数列的通项公式可得:
?已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an。

由上述关系还可得:

即:
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则:

即等差数列的第二通项公式 ? d=
[范例讲解]
例1 ?求等差数列8，5，2?的第20项
? -401是不是等差数列-5，-9，-13?的项,如果是，是第几项,

解:?由，得?由

得数列通项公式为:由题意可知，本题是要回答 是否存在正整数n，使得成立解
之得n=100，即-401是这个数列的第100项

例3 已知数列{an}的通项公式，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是
等差数列, 若是，首项与公差分别是什么,

分析:由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要 看(n?2)是不是一个与
n无关的常数。

解:当n?2时, (取数列中的任意相邻两项与an(n?2))

为常数

?{an}是等差数列，首项，公差为p。
注:?若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…
?若p?0, 则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数
y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
?数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q (p、q是常数)，称其为第
3
通项公式。

?判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
?.课堂练习
课本P45练习1、2、3、4
[补充练习]
1.(1)求等差数列3，7，11，??的第4项与第10项.
分析:根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而
求出所求项.
解:根据题意可知:(n,1)×4,即an=4na1=3,d=7,3=4.?该数列的通项公式< br>为:an=3+
哈尔滨大森林文化学校 电话: 手机:
,1(n?1,n?N*)?a4=4×4,1=15, a10=4×10,1=39.
评述:关键是求出通项公式.
(2)求等差数列10，8，6，??的第20项.
解:根据题意可知:a1=10,d=8,10=,2.
?该数列的通项公式为:(n,1 )×(,2),
即:an=10+an=,2n+12,?a20=,2×20+12=,28.
评述:要注意解题步骤的规范性与准确性.
(3)100是不是等差数列2，9，16，? ?的项,如果是，是第几项,如果不是，说
明理由.
分析:要想判断一数是否为某一数列的 其中一项，则关键是要看是否存在一正
整数n值，使得an等于这一数.
解:根据题意可得:a1=2,d=9,2=7. ?此数列通项公式为:an=2+(n,1)×7=7n,5.
令7n,5=100,解得:n=15, ?100是这个数列的第15项.
(4),20是不是等差数列0，,3

说明理由. 1，,7，??的项,如果是，是第几项,如果不是，2
177 ?此数列的通项公式为:an=,n+, 222
774777令,n+=,20,解得n= 因为,n+=,20没有正整数解，所以,20不是这22227
解:由题意可知:a1=0,d=,3
个数列的项.
?.课时小结

通过本节学习，首先要理解与掌握等差 数列的定义及数学表达式:an,，(n?2，
n?N).其次，要会推导等差数列的通项公式:，并掌 握其基本应用.最后，还要注意
一重要关系式:和an=pn+q (p、q是常数)的理解与应用.

?.课后作业
课本P45习题2.2[A组]的第1题
?板书设计
?授后记

课题等差数列
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授课类型:新授课
(第,课时)
?教学目标

知识 与技能:明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导
公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解
决某些问题。
过 程与方法:通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思
想;通过等差数列通项公式的 运用，渗透方程思想。
情感态度与价值观:通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列
的或an=pn+q (p、q是常数))

3(有几种方法可以计算公差d

? d=an,? ?
?.讲授新课
问题:如果在a与b中间插入 一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应
满足什么条件,

由定义得A-a=b-A ，即:

反之，若，则A-a=b-A 2

成等差数列 由此可可得:

[补充例题]
例 在等差数列{an}中，若a1+a6=9, a4=7, 求a3 , a9 .
分析:要求一个 数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公
式，必须知道这个数列中的至少一项和公差， 或者知道这个数列的任意两项(知道
任意两项就知道公差)，本题中，只已知一项，和另一个双项关系式 ，想到从这双
项关系式入手??
解:? {an }是等差数列
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,a4=9,7=2 ?
? d=a4,a3=7,2=5
? a9=a4+(9,4)d=7+5*5=32
[范例讲解]
课本P44的例2 解略
课本P45练习5
已知数列{an}是等差数列 ? a3 =2, a9=32

(1)是否成立,呢,为什么,

(2)是否成立,据此你能得到什么结论,

(3)是否成立,,你又能得到什么结论,

结论:(性质)在等差数列中，若m+n=p+q，则，

即 ?N )
但通常 ?由推不出m+n=p+q ，?
探究:等差数列与一次函数的关系
?.课堂练习
1.在等差数列中，已知，，求首项a1与公差d
中, 若 求a14 2. 在等差数列
?.课时小结
节课学习了以下内容:

1(成等差数列 2

2(在等差数列中， ?N )
?.课后作业
课本P46第4、5题
?板书设计
?授后记

哈尔滨大森林文化学校 电话: 手机:
课题: ?3.3 等差数列的前n项和
授课类型:新授课
(第1课时)
?教学目标
知识与技能:掌握等差数列前n项和公式及其获取思路;会用等差数列的前n
项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
过程与方法:通过公式的推导和公式的运用 ，使学生体会从特殊到一般，再从
一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方 法;通过公
式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
情感态度与价值观:通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。
?教学重点
等差数列n项和公式的理解、推导及应
?教学难点
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题
?教学过程
?.课题导入
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师
说: “现在给大家出道题目:
1+2+?100=?”
过了两分钟,正当大家在:1+2= 3;3+3=6;4+6=10?算得不亦乐乎时，高斯站起来
回答说: “1+2+3+?+100=5050。
教师问:“你是如何算出答案的,

高斯回答说:因为1+100=101;
2+99=101;?50+51=101，所以
101×50=5050”
这个故事告诉我们:
(1)作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的
事物中发现
和寻找出某些规律性的东西。
(2)该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的 思想方法，这就是
下面我们要介绍的“倒序相加”法。
?.讲授新课

1(等差数列的前n项和公式1:

证明: ?

Sn?

?+?:

?
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?由此得:

2( 等差数列的前n项和公式2:
用上述公式要求Sn必须具备三个条件:n,a1,an

但代入公式1即得:
此公式要求Sn必须已知三个条件:n,a1,d (有时比较有用)
[范例讲解]
课本P49-50的例1、例2、例3
由例3得与an之间的关系:

由Sn的定义可知，当n=1时，S1=a1;当n?2时，an=Sn-，

即
?.课堂练习
课本P52练习1、2、3、4
?.课时小结
本节课学习了以下2

1)d 22.等差数列的前n项和公式2:
?.课后作业
课本P52-53习题[A组]2、3题
?板书设计
?授后记
课题: ?2.3等差数列的前
(第,课时) n项和 授课类型:新授课
?教学目标
知识与技能:进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式;了解等差
数列的一些性
哈尔滨大森林文化学校 电话: 手
机:
质，并会用它们解决一些相关问题;会利用等差数列通项公式与前 项和的公
式研究
的最值;
过程与方法:经历公式应用的过程;
情感态度与价值观:通过有关2

等差数列的前n项和公式2:
?.讲授新课
探究:——课本P51的探究活动

结论:一般地，如果一个数列 的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么
这个数列一定是等差数列吗,如果是，它的首项与公差 分别是多少, 由，得

当时

对等差数列的前n项和公式2:可化成式子: 2

，当d?0，是一个常数项为零的二次式 22
[范例讲解]
等差数列前项和的最值问题
课本P51的例4 解略
小结:
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
(1) 利用an:

当an>0，d<0，前nan?0，且，求得n

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当an<0，d>0，前nan?0，且，求得n(2) 利用Sn: 由利用二次函数配
方法求得最值时n的值 22
?.课堂练习
1(一个等差数 列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这
个等差数列的通项公式。
2(差数列{an}中, a4,,15, 公差d,3, 求数列{an}的前n项和Sn的最小值。 ?.
课时小结

1(前n项和为，其中p、q、r为常数，且，一定是等差数列，该数列的

首项是
公差是d=2p

当时通项公式是当时
2(差数列前项和的最值问题有两种方法:

(1)当an>0，d<0，前nan?0，且，求得n的值。

当an<0，d>0，前nan?0，且，求得n的值。

(2)由利用二次函数配方法求得最值时n的值 22
?.课后作业
课本P53习题[A组]的5、6题
?板书设计
?授后记
课题: ?2.4等比数列
授课类型:新授课
(第1课时)
?教学目标
知识与技能:掌握等比数列的定义;理解等比数列的通项公式及推导;
过程与方法:通过实 例，理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公
式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的 等比关系，提高数学建模能力;体
会等比数列与指数函数的关系。
哈尔滨大森林文化学校 电话: 手机:
情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于
现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习
的兴趣。
?教学重点
等比数列的定义及通项公式

?教学难点
灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
?教学过程
?.课题导入

复习:等差数列的定义: an,，(n?2，n?N)
等差数列是一类特殊的 数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下
面一类特殊的数列。
课本P41页的4个例子:
?1，2，4，8，16，?

?1，，，，，? 24816
23?1，20，20，20，20，?

234?，，，，4

，??

观察:请同学们仔细观察一下，看看以上?、?、?、?四个数列有什么共同特征,
共同特点:从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。
?.讲授新课
1(等比数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等
于同一个常数，那么这 个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比
通常用字母q表示(q?0)，即:an= q(q?0)

从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)

,an,成等比数列() an

隐含:任一项且
“an?0”是数列,an,成等比数列的必要非充分条件(

时，{an}为常数。

2.等比数列的通项公式

由等比数列的定义，有:

;
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;

;

等比数列的通项公式2:

4(既是等差又是等比数列的数列:非零常数列
探究:课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系
等比数列与指数函数的关系: 等比数列,an,的通项公式

它的图象是分布在曲线(q>0)上的一些孤立的点。

当，q >1时，等比数列,an,是递增数列;

当，，等比数列,an,是递增数列;

当，时，等比数列,an,是递减数列;

当，q >1时，等比数列,an,是递减数列;

当时，等比数列,an,是摆动数列;当时，等比数列,an,是常数列。
[范例讲解]
课本P57例1、例2、P58例3 解略。
?.课堂练习
课本P59练习1、2
[补充练习]
2.(1) 一个等比数列的第9项是a1xqq41，公比是,，求它的第1项(答
案:a1=2916) 93
(2)一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项(答
案:a1=a 2=5, qa4=a3q=40)
?.课时小结
本节学习内容:等比数列的概念和等比数列的通项公式(
?.课后作业
课本P60习题A组1、2题
?板书设计
?授后记
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课题: ?2.4等比数列
授课类型:新授课
(第,课时)
?教学目标

知识 与技能:灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念;熟
悉等比数列的有关性质，并系 统了解判断数列是否成等比数列的方法
过程与方法:通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。
情感态度与价值观: 充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于
现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多 彩的而不是枯燥无味的，提高学习
的兴趣。
?教学重点
等比中项的理解与应用
?教学难点
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
?教学过程
?.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要即G=?ab(a,b同号)

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则() “an?0”是数
列,an,成等比数b， aG

反之，若G=ab,则
?0)

[范例讲解，即a,G,b成等比数列。?a,G,b成等比数列(a?aG
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课本P58例4 证明 :设数列的首项是a1，公比为的首项为b1，公比为q2，那
么数列的第n项与第n+1项分别为:

与2即为与


它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列
拓展探究:
对于例4中的等比数列{an}与{bn}，数列{an}也一定是等比数列吗, bn

ana，则探究:设数列{an}与{bn}的公比分别为q1和q2，令

，所以，数列{n}也一定是等比数列。

课本P59的练习4

)是否成立,成立吗,为什 22已知数列{an}是等比数列，(1
么,

2(2)是否成立,你据此能得到什么结论,

是否成立,你又能得到什么结
论,

结论:2(等比数列的性质:若m+n=p+k，则
在等比数列中，m+n=p+q，am,an,ap,ak有什么关系呢,

由定义得:

，则

?.课堂练习
、5 课本P59-60的练习3
?.课时小结

1、若m+n=p+q，
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2、若是项数相同的等比数列，则、{
?.课后作业
课本P60习题2.4A组的3、5题
?板书设计
?授后记
an}也是等比数列 bn
课题: ?2.5等比数列的前
(2课时) n项和 授课类型:新授课
?教学目标
知识与技能:掌握等比数 列的前n项和公式及公式证明思路;会用等比数列的前
n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
过程与方法:经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方
法，并能在具体的 问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
情感态度与价值观:在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进
取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。

?教学重点
等比数列的前n项和公式推导
?教学难点
灵活应用公式解决有关问题
?教学过程
?.课题导入
] [创设情境
[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”
?.讲授新课
[ 分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比
数列，它的首项是1，公比 是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总
合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我 们先来推导等比数列的前n项和公
式。
1、 等比数列的前n项和公式:

当时，? 或?

当q=1时，
;当已知a1, q, an时，用公式?. 当已知a1, q, n 时用公式?
公式的推导方法一:

一般地，设等比数列它的前n项和是
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由

得

?当时，? 或?

当q=1时，

公式的推导方法二: 有等比数列的定义，

根据等比的性质，有

即 (结论同上)
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式(
公式的推导方法三:

,

,,

(结论同上)
[解决问题]
有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。

由可得

。

这个数很大，超过了。国王不能实现他的诺言。
[例题讲解]

课本P65-66的例1、例2 例3解略
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?.课堂练习
课本P66的练习1、2、3
?.课时小结

等比数列求和公式:当q=1时，当时，或

?.课后作业
课本P69习题A组的第1、2题
?板书设计
?授后记
课题: ?2.5等比数列的前
(第,课时)
?教学目标
知识与技能:会用等比数 列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的
Sn,an,a1,n,q中知道三个数求另外两个数 的一些简单问题;提高分析、解决问题能
力
过程与方法:通过公式的灵活运用，进一步渗透 方程的思想、分类讨论的思
想、等价转化的思想.

情感态度与价值观:通过 公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，
培养他们实事求是的科学态度.
?教学重点
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
?教学难点
灵活使用公式解决问题
?教学过程
?.课题导入

首先回忆一下前一节课所学主要 或?

当q=1时，
当已知a1, q, n 时用公式?;当已知a1, q, an时，用公式?
?.讲授新课
哈尔滨大森林文化学校 电话: 手
机:
1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，
2求证:S2

2、设a为常数，求数列a，2a，3a，?，na，?的前n项和;
(1)a=0时，Sn=0
(2)a?0时，若a=1，则Sn=1+2+3+?+n=

n-若a?1，Sn-aSn=a(1+a+?+a-na)，Sn=
?.课堂练习
?.课时小结
?.课后作业
?板书设计
?授后记

课 题:数列复习小结
2课时
教学目的:
1(系统掌握数列的有关概念和公式。
2(了解数列的通项公式an与前n项和公式Sn的关系。
3(能通过前n项和公式Sn求出数列的通项公式an。
授课类型:复习课
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机:
课时安排:2课时
教学过程:
一、本章知识结构
二、知识纲要
(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列(
(2)等差、等比数列的定义(

(3)等差、等比数列的通项公式(
(4)等差中项、等比中项(
(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法(
三、方法总结
1(数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数
形结合的思想(
2(等差、等比数列中，a1、an、n、d(q)、Sn “知三求二”，体现了方程(组)
的思想、整体思想，有时用到换元法(
3(求等比数列的 前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨
论，体现了分类讨论的思想(
4 (数列求和的基本方法有:公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项
法，累加法，等价转化等(
四、知识精要:
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1、数列

[数列的通项公式
2、等差数列
[等差数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等差 数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d
表示。
[等差数列的判定方法]

1( 定义法:对于数列，若常数)，则数列是等差数列。

2(等差中项:对于数列，若，则数列是等差数列。
[等差数列的通项公式]

如果等差数列的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为。
[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。

[等差数列的前n项和] 1(

[数列的前n项和
[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。
[等差中项]

如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即:或2

[说 明]:在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)
都是它的前一项与后一项的 等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前
后两项的等差中项。
[等差数列的性质]
1(等差数列任意两项间的关系:如果an是等差数列的第n项，am 是等差数列的
第m项，且，公差为d，则有d

2( 对于等差数列，若，则。

，如图所示:

也就是:
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3(若数列是等差数列，Sn是其前n项的和，，那么Sk，k，

成等差数列。如下图所示:

3、等比数列
[等比数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一 个常数，
那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q
表示 ()。

[等比中项]
如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b
的等比中项。 也就是，如果是的等比中项，那么
[等比数列的判定方法]

1( 定义法:对于数列，若，则数列，即。

是等比数列。

22(等比中项:对于数列，若是等比数列。 ，则数列

[等比数列的通项公式]

如果等比数列的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为。
[等比数列的前n项和]

当时，
[等比数列的性质]
1(等比数列任意两项间的关系:如果ann项，am是等差数列的第m项，且

，则有

3( 对于等比数列，若，则
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也就是:

。如图所示:

4(若数列是其前n项的和，，那么Sk，，成等比数列。如下图所示:

4、数列前n项和
(1)重要公式:

; 2

;

(2)等差数列中，

(3)等比数列中，

(4)裂项求和:;()
第三章不等式
课题: ?3.1不等式与不等关系
第1课时
授课类型:新授课
【教学目标】
1(知识与技能:通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不
等关系，理解不 等式(组)的实际背景，掌握不等式的基本性质;
2(过程与方法:通过解决具体问题，学会依据具 体问题的实际背景分析问题、
解决问题的方法;
3(情态与价值:通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨
的思维习惯。
【教学重点】
用不等式(组)表示实际问题的不等关系，并用不等式(组)研究含有不等关系的
问题。理
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解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】
用不等式(组)正确表示出不等关系。
【教学过程】
1.课题导入
在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点
之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与

矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存
在的不等关系。在数学 中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课
1)用不等式表示不等关系
引例1:限速40kmh的路标，指 示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v
不超过40kmh，写成不等式就是:
引例2:某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白
质的含量p应不少 于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示

问题1:设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点，则。
问题2:某种杂志原以每 本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，
若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少 2000本。若把提价后杂志的定价设
为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢,

解:设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为万元，那么不等关系0.1
“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式

问题3:某钢铁厂要把长 度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生
产的要求，600mm的数量不能超 过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等

关系的不等式呢, 解:假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根
据题意，应有如下的不等关系:
(1)截得两种钢管的总长度不超过4000mm
(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍;
(3)截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示:

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3.随堂练习
1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。
2、课本P82的练习1、2
4.课时小结
用不等式(组)表示实际问题的不等关系，并用不等式(组)研究含有不等关系的
问题。
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第4、5题
【板书设计】
【授后记】
第2课时
授课类型:新授课
【教学目标】
1(知识与技能:掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式;
2(过程 与方法:通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、
解决问题的方法;
3(情态与价值:通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.

【教学重点】
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式;
【教学难点】
利用不等式的性质证明简单的不等式。
【教学过程】
1.课题导入
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变;

即若
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变;

即若
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

即若
2.讲授新课
1、不等式的基本性质:
师:同学们能证明以上的不等式的基本性质吗,
证明:
1)?(a，c),(b，c)
,a,b,0，

?a，c,b，c
哈尔滨大森林文化学校 电话: 手
机:

2)，

?(

实际上，我们还有，(证明:?a,b，b,c，
?a,b,0，b,c,0(
根据两个正数的和仍是正数，得
(a,b)，(b,c),0，
即a,c,0，
?a,c(
于是，我们就得到了不等式的基本性质:

(1)

(2)

(3)

(4)
2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质:

(1);

(2);
(3

)
证明:
1)?a,b，
?a，c,b，
c(
?c,d，
?b，c,b，
d(
? ?
哈尔滨大森林文化学校 电话: 手
机:
由?、?得 a，c,b，d(

)

3)反证法)假设，

则:若

这都与矛盾， ?(
[范例讲解]:
例1、已知求证 。 ab

。 证明:以为，所以ab>0,ab

于是 ，即