人教版高中数学优质教案3：3.1.2导数的概念 教学设计

人教版高中数学选修1-1教学设计
3.1.2 导数的概念
1. 教学目标
（1）知识与技能目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.
（2） 过程与方法目标：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊
到一般的思维方法；领悟极 限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思
维能力．
（3）情感、态度与价值观目标：
①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦， 体会数学的理性与严谨，
激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．
②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数
学观．
2. 教学重、难点
重点：导数的定义和用定义求导数的方法．
难点：对导数概念的理解．
3．教学过程

教学
环节


复
习
引
入


提
出
问
【回顾2】
已知曲线C是函数
f(x)??4.9x?6.5x?10
的图
象,求曲线上点P
(x
0
,y
0
)
处 的切线斜率.
【思考】对瞬时速度和和切线的斜率两个具体问题，
1
2
内容 师生活动 设计意图
【回顾1】 学生相互
交流探讨瞬
针 对新概念创
设相应的学生熟悉
的问题情景，让学
生从概念的现实原
型，体验、 感受直
观背景和概念间的
关系，为学生主动
建构新知提供自然
的生长点.

当运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的
过程中，不同时刻的速度是不同 的.假设t秒后运动员相对
地面的高度为：
H(t)??4.9t?6.5t?10
， 问在2秒时
运动员的瞬时速度为多少？
2
时速度和和
切线的斜率
两 个具体问
题，解决方法
上有什么共
同之处.

人教版高中数学选修1-1教学设计
题





类

比

探

索



形

成

概

念

一
般
情
x)
形
具
体
例
子
曲线
y=f(
x)
研究

对象
物体
平均
运动
规律
H=h
(t)
曲线上P
求割线
的
求切线的斜
率
割线
斜率 极限
物体在
t
0
时
的瞬时速度
求时间 求位移
求平均 求瞬时速度
速度 极限
的极
限
思想
求解问题 求解方法 本质 思想
解决方法上有什么共同之处？

①归纳共性揭示本质
?
h

增量
?
t
增量
?
h

速度
?
t
v?
lim
?
h

?< br>t?0
?
t
(x
0
,y
0
)

点处切线的斜
率
求横坐
标
求纵坐
标
?
y

增量
?
x

增量
?
y

斜率
?
x
?y
的极思想

k?lim
?x?0
?x
限
函数
函数在
x?x
0

y=f(
处的变化率

？ ？ ？ ？ ？ ？
【师生活动】将学生分成若干学习小组，以表格为载体为师生、生生 互动搭起积极交流的
探究平台.教师巡视，鼓励学生参与，对个别学有困难的小组加以指导.探究后，共 同归纳得出：
两个问题的解决在方法、本质、思想上都有相同之处.一个是“位移改变量与时间改变量之 比”的
极限，一个是“纵坐标改变量与横坐标改变量之比”的极限.如果舍去它们的具体含义，都可以概
括为求平均变化率的极限.
【设计意图】给学生创设探究的平台，分析瞬时速度和切线的斜率 两个具体问题，讨论解
决这两个问题的方法、本质、思想上有什么共同之处，引导学生分析、观察、归纳 ，打通揭示
事物本质的思维通道.
教学
环节
内容 师生活动 设计意图

2

人教版高中数学选修1-1教学设计


类

比

探

索


形

成

概

念

【思考】考虑求一般函数y=f(x) 在点
x
0
到
x
0< br>+
?x
之间的平均变化率的极限问题，也就是
怎样计算函数在点
x0
处的变化率？





引出导数定义后 ，回归问题情景，反思概
念的“原型”解释“切线的斜率”、“物体的瞬时
速度”的本质.

=
lim
?
x?0
②类比迁移形成概念
引导学 生利用求瞬时速度的
方法和思想类比探究，猜想得出
函数在点
x
0
处 的变化率
lim
用具体
到抽象，特
?
y
殊到一般的

?
x?0
?
x
思维方式，
f(x
0
??
x)?f(x
0
)
,并对
利用瞬时速
?
x< br>度进行类比
迁移，自然
引出函数在
一点处可导
和导数的概
念.


由具体
到抽象再回
到具体的过
程，感知上
升到 了理
性，强化了
对概念的理
解.

猜想的合理性进行分析后，引出
定义1：（函数在一点处可导及其
导数）


类

比

探


③剖析概念加深理解
【探讨1】怎样判断函数在一点是否可导？

判断函数
y?f(x)
在点
x
0
处是否可导
转化
引导学
组织学生阅读“导数”定义，抓生以数学语
住定义中的关键词“可导”与“导
数”交流探讨，然后通过师生互动
挖掘这些概念之间的深层含义.
限



3
言（文字语
言、符号语
言、图形语
言）的 理解、
把握、运用
判断极
f(x
0
?
?
x)?f( x
0
)
lim
是否存在
?
x?0
?
x

人教版高中数学选修1-1教学设计
索


形

成

概

念





【探讨2】导数是什么？

描述角度
文字语言
符号语言
图形语言
本质
瞬时变化率

分析导数的本质后，同时简单
提及导数产生的时代背景.






为切入点去
揭示概念的内涵与外
延，提高学
生数学阅读
和自主学习
的能力.

让学生
感受数学文
化的熏陶，
了解导数的
文化价值、
科学价值和< br>应用价值.

教学
环节


类

比

探

索

形
【探讨3】求导数的方法是什么？










让学生类比瞬时速度的
问题，根据导数定义归纳出 求
函数
y?f(x)
在点
x
0
处导数
的方法步骤：
（1）求函数的增量；
（2）求平均变化率；
（3）取极限，得导数.




用定义法求导数
是本课的重点之一.
有了可导这个逻 辑基
础，导数成为可导的
自然结果，求导数的
方法则是对导数概念
的理解与应 用.让学
生积极主动参与，进
行有意义的建构，有
利于重点知识的掌
握.
内容 师生活动 设计意图
?
x?0
lim
?
y

?
x
（切线斜率）

4

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成

概

念

，
【例1】
求函数y=x
2
+2x在点x=2处的导数.

解：（1）求增量△y=f（2+△x）-f（2）
=（2+△x）
2
+ 2（2+△x）-（2
2
+2×2）
=（△x）
2
+6△x，
（2）求平均变化率：




学生动手解答，老师强调
符号语言的规范使用，对诸如





本题是教材上的
(
?
x)
2
忘写括号 的现象加以纠
一道例题.在学生建
正.
立起导数概念，明确
用定义求导数的方法
之后,进行强化训练,
（3）取极限
6
∴f′（2）=6或








引
申
拓
展


发
展
概
念

（△x+6）=

渗透算法思想，加深

对导数概念的理解，
强化对重点知识的巩
固.

利用例1继续设问，函数在
x?1
处
可导，那么
x?-1
，
x?2
，
x?3
这些
点也可导吗？从而引申拓展出定义2 ：
（函数在开区间
(a,b)
内可导）
【探讨1】函数在开区间内可导，那
么对于每一个确定的值,都有唯一确定的
导数值与之相对应，这样在开区间内存
在一个 映射吗？

【探讨2】存在的这个映射是否构成
一个新的函数呢？若能，新函数的定 义
师生互动，共同探讨归
纳函数在开区间
(a,b)
的每一
点可导， 每一点就有确定的唯
一的导数.这样在开区间
通过层层展开的
探讨，激活学生知识思维的“最近发展
区”，引导学生主动将
新问题与原认知结构
中函数的相关知识相
(a,b)
内构成一个特殊的映
射，这里的映射是数集到数集
的映射，就是函 数，我们把这
个新函数叫做
f(x)
在开区间
联系，自然引入导函
数 概念，从而完成从
函数在一点可导
?
域是
(a,b)
内的导函数。 它的定义
函数在开区间内可导
?
函数在开区间内
的导函数的两次拓
5

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域和对应法则分别是什么呢？



教学
环节











引

申

拓

展





2
（2）y′|
x=2
??

8
展.

内容 师生活动 设计意图

【探讨3】怎样求新函数的[解
析]式？



探讨后引出定义3：（函数

y?f(x)
在开区间
(a,b)
内的导函数）






【例2】已知y=
解：
1
x< br>开区间
(a,b)
，对应法则是
对开区间内每一点求导.运
用函数思想 ，只要把求一点
处的导数
x
0
替换成
x
，就可
以求 出导函数的[解析]式.









，求（1）y′;（2）y′|
x=2
.
分学习小组 让学生
动脑思考，动手“操作”，相
互交流。书面总结出两小问
的区别与联系，选出代 表作
品用投影仪全班交流.完善

后，屏幕显示形成共识：
【区别】
（1）函数
f(x)
在点















本例共两个小问，第
(1)小问是教材上的一道例
题, 第(2)小问是补充题.两< br>问都是求导数，但它们有
本质上的区别！学生容易
产生混淆.通过此题让学
生辨 清“函数
f(x)
在一点
处的导数”、“函数
f(x)
在



6

人教版高中数学选修1-1教学设计
发

展

概

念
数是对开区间内任意点
x
而
言，是
f(x)
在开区间内任
意点
x
的变化 率，是一个函
数.
【联系】一般而言，

x
0
处的导数 ，是在点
x
0
处
开区间内的导数”与“导
的变化率，是一个常数；
（2）函数
f(x)
的导
数”三者的关系.

y?f(x )
在
x
0
处的导数就
是导函数
f
?
(x)
在
x
=
x
0
处
的函数值，表示为
y
?
|
x?x
0
，

这也是求
f(x
0)
的一种方
法.

小
结
整
理

形
成
系
统
4．板书设计
板书设计：
y?f(x)在开区间(a,b)内的导数


y?f(x)在x
0
处可导及其导数


引导学生从知识、 方
法、思想和应用四个层面
进行小结，理清知识结构，
提炼数学方法和领悟数学
思想，培养应用意识.

①知识层面：
y?f(x)在开区间(a,b)内可导

②方法层面：用定义求导数的三个步骤
③思想层面：极限思想、函数思想、类比思想、转化思想
④应用层面：举出生活中与导数有关的实例（涉及变化率问题
的问题可以考虑用导数解决）.

7

人教版高中数学选修1-1教学设计
导数的概念（第三课时）
例1．。。。。。。。

定义1 函数在点x可导及导数
例2.。。。。。。。。。。
定义2 函数在开区间内可导
课堂练习
电子屏幕



定义3 函数在开区间内的导函数
辨析：f′(x
0
) 与f′(x)

课堂小结


导数
布置作业

8