高中数学教学设计获奖作品《等差数列》

高中数学教学设计获奖作品
《等差数列》

一、教学内容分析 < br>本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列
第二节等差数列第一课 时。
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前
启后的作用。 一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,
学习数列也为进一步学习数列的极 限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习
了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递 推公式的基础上，对
数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。
二、学生学习情况分析
我所教学的学生是我校高二（2） 班的学生，经过一年的学习，大部分学生
知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具 备了较强的抽象
思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不
是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和
探讨以符合这类学生的心 理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
三、设计思想
1．教法
⑴诱导思 维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，
突破难点；有利于调动学生的主动性 和积极性，发挥其创造性。
⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生
的积极性。
⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
2．学法
引导学生 首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水

位问题、储蓄问题）概 括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列
概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以 对各种能力的同学引导认识多元
的推导思维方法。
用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、 探索，同时鼓励学生大胆质
疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
四、教学目标
通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会
求等差数列的公差及 通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的
思想方法并能运用；并在此过程中培养学生观 察、分析、归纳、推理的能力，在
领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培 养学生的
知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。
在解决 问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物
的变化形态，养成细心观察、认 真分析、善于总结的良好思维习惯。并通过一定
的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。
五、教学重点与难点
重点：
①等差数列的概念。
②等差数列的通项公式的推导过程及应用。
难点：
①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
②理解等差数列是一种函数模型。
关键：
等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。
六、教学过程

教学
情境设计和学习任务
环节
上节课我们学习了数列。在日常生活倾听
中，人口增长、教育贷款、存款利息
创设等等这些大家以后会接触得比较多的
课堂引入
学生活动 设计意图
情景 实际计算问题，都需要用到有关数列
的知识来解决。今天我们就先学习一
类特殊的数列。
由学生观察分析并得出答案：
在现实生活中，我们经常这样数
数，从0开始，每隔5 数一次，可以
得到数列：0，5，___,___,___,___,…
2000年，在澳大 利亚悉尼举行的
奥运会上，女子举重被正式列为比赛
项目。该项目共设置了7个级别。其
中较轻的4个级别体重组成数列（单
探索
研究
位：kg）：48，53，58，63。
水库的管理人员为了保证优质鱼
类有良好的 生活环境，用定期放水清
理水库的杂鱼。如果一个水库的水位
为18cm，自然放水每天水位降 低2.5m，
最低降至5m。那么从开始放水算起，
到可以进行清理工作的那天，水库每
天的水位组成数列（单位：m）：18，，
13，，8，
我国现行储蓄制度规定银行支付
观察分析，发表各自的意见 引向课题

存款利息的方式为单利，即不把利息
加入本金计算下一期的利息。按照单
利计算本利和的公式 是：本利和=本金
×（1+利率×寸期）.例如，按活期存
入10 000元钱，年利率是%。那么按
照单利，5年内各年末的本利和分别
是：
年初本
时间
金（元）
第1年 10 000
第2年 10 000
第3年 10 000
第4年 10 000
第5年 10 000
（元）
10 072
10 144
10 216
10 288
10 360
年末本利和
各年末的本利和（单位：元）组成了
数列：10 072，10 144，10 216， 10
288，10 360。
思考：同学们观察一下上面的这四个观察分析并得出答案:
数列：
0，5，10，15，20，…… ①
48，53，58，63 ②
发现
18，，13，，8， ③
规律
10 072，10 144，10 216， 10 288，5 ；
10 360 ④
看这些数列有什么共同特点呢
对于数列②，从第2项起，
每一项与前一项的差都等于
5 ；
共性特点。
每一项与前一项的差都等于 揭示数列的
通过分析，激
引导学生观察相邻两项间发学生学习
的关系，得到： 的探究知识
对于数列①，从第2项起，的兴趣，引导

对于数列③，从第2项起，
每一项与前一项的差都等
于 ；
对于数列④，从第2项起，
每一项与前一项的差都等于
72 ；
由学生归 纳和概括出，以上
四个数列从第2项起，每一项
与前一项的差都等于同一个常
数（即： 每个都具有相邻两项
差为同一个常数的特点）。
[等差数列的概念] 学生认真阅读课本相关 概念，通过学生自
己阅读课本，
找出关键字，
提高学生的
阅读水平和
思维概括能
力，学会抓重
点。
对于以上几组数列我们称它们为等差找出关键字。
数列。请同学们根据我们刚才分析等
差数列的特征，尝试着给等差数列下
个定义： < br>等差数列：一般地，如果一个数列
从第2项起，每一项与它的前一项的
总结
差等 于同一个常数，那么这个数列就
提高
叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差 ，公差
通常用字母d表示。那么对于以上四
组等差数列，它们的公差依次是5，5，，
72。
提问：如果在
a
与
b
中间插入一个数A，由学生回答：因为 a，A，b让学生参与
使
a
，A，
b
成等差数列数列，那么A组成了 一个等差数列，那么由到知识的形

应满足什么条件 定义可以知道：A-a=b-A
所以就有
A?
成过程中，获
得数学学习
的成就感。
a?b

2
由三个数a，A，b组成的等差数列可深入探究，得到更一般化的 引领学习更
深入的探究，
提高学生的
学习水平。
以看成最简单的等差数列，这时，A结论
叫做a与b的等差中项。
不难发现，在一 个等差数列中，从
第2项起，每一项（有穷数列的末项
除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13…
中5是3和7的等差中项，1和9 的等
差中项。
9是7和11的等差中项，5和13的等
差中项。
看来，
a
2
?a
4
?a
1
?a
5
,a< br>4
?a
6
?a
3
?a
7

从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q
则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

[等差数列的通项公式] 由学生经过分析写出通项公学会发现规
律，并加以总对于以上的等差数列，我们能不能式：
总结
提高
用通项公式将它们表示出来呢这是我①这个数列的第一项是5，第2结。
们接下来要学习的内容。 项是10（=5+5），第3项是15
⑴、我们是通过研究数列{a
n
}
的第n（=5+5+5），第4项是20
项与序号n之间的关系 去写出数列的
（=5+5+5+5），……由此可以
通项公式的。下面由同学们根据通项
猜想得到这个数列的通项公式

公式的定义，写出这四组等差数列的是
a
n
?5n

通项公式。
② 这个数列的第一项是48，第
2项是 53（=48+5），第3项是
58（=48+5×2），第4项是63
（=48+5×3）， 由此可以猜想
得到这个数列的通项公式是
a
n
?48?5(n?1)

③ 这个数列的第一项是18，第
2项是（=），第3项是13（=
×2），第4项是 （=×3），第
5项是8（=×4），第6项是（=
×5）由此可以猜想得到这个数
列 的通项公式是
a
n
?18?2.5(n?1)

④这个数列的第一项 是10072，
第2项是10144（=10172+72），
第3项是10216（=100 72+72×
2），第4项是10288（=10072+72
×3），第5项是10360< br>（=10072+72×4），由此可以
猜想得到这个数列的通项公式
是
an
?10072?72(n?1)

⑵、那么，如果任意给了一个等差数 引导 学生根据等差数列的定引导学生进
列的首项
a
1
和公差d，它的通项公式是义 进行归纳：
什么呢

行理性分析
与推导，从而
得出公式。 < /p>

?
a
2
?a
1
?d,
?
a? a?d,
?

(n?1)个等式
?
32

a?a?d,
?
43
?
?
L
所以
a
2
?a
1
?d,


a
3
?a
2
?d,


a
4
?a
3
?d,

……
思考：那么通项公式到底如何表达呢
a
2
?a
1
?d,

进一步的分
a
3
?a
2
?d?(a
1
?d)?d?a?2d,
析。

a
4
?a
3
?d?(a
1
? 2d)?d?a?3d,
……
得出通项公式：由此我们可以猜想得思考，并发表各自的意见。
总结
出：以
a
1
为首项，d为公差的等差数
让学生有自
主思考的时
空。
提高
列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?a
1
?(n?1)d

也就是说，只 要我们知道了等差数
列的首项
a
1
和公差d，那么这个等差数
列的通 项
a
n
就可以表示出来了。

例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第让两个学生分别对这两小题加让学生参与
20项.
⑵-401是不是等差数列-5，-9，
应用
-13，…的项如果是，是第几项
解：⑴由
a
1
=8，d=5-8=-3，n=20，
以分析。 课堂。
巩固
分析：
⑴要求出第20项，可以利用通项公式
得
a
20
?8?(21?1)?(?3)??49

求出来。首项知道了，还需要 知道的
⑵由
a
1
=-5，d=-9-（-5）=-4，
是该等差数列 的公差，由公差的定义
得这个数列的通项公式为

可以求出公差；
a< br>n
??5?4(n?1)??4n?1,
由
⑵这个问题可以看成是上面那个问题
题意知，本题是要回答是否存
的一个逆问题。要判断这个数是不是
在正整数n,使得- 401=-4n-1成
数列中的项，就是要看它是否满足该
立。
数列的通项公式，并且需要注意的是，
解这个关于n的方程，得
项数是否有意义。
n=100，即-401是这个数列的第
100项。
例题评述：从该例题中可以看出，等聆听教师点评
差数列的通项公式其实就是一个关于
a
n
、
a
1
、d、n（独立的量有3个）的
通过教师点< br>评，提高学生
对关键问题
的认知水平。
方程；另外，要懂得利用通项公式来< br>判断所给的数是不是数列中的项，当
判断是第几项的项数时还应看求出的
项数是否为正整 数，如果不是正整数，
那么它就不是数列中的项。
随堂练习：课本45页“练习”第1题； 完成练习 讲练结合，有
利提高学生
的知识应用
水平
例2．某市出租车的计 价标准为元km，解：根据题意，当该市出学以致用，将
起步价为10元，即最初的4km（不含租车的 行程大于或等于4km时，所学知识应
4千米）计费10元。如果某人乘坐该每增加1km，乘客需要支 付元.用到具体生
市的出租车去往14km处的目的地，且所以，我们可以建立一个等差活中去，加深< br>一路畅通，等候时间为0，需要支付多数列
{a
n
}
来计算车费.
少车费
对概念的理
令
a
1
=，表示4km处的车
解。
费，公差d=。那么当出租车行

至14km处时，n=11，此时需要
支付车费
a
11
?11.2?(11?1)?1.2?23.2(元)
答：需要支付车费元。

例题评述：这是等差数列用于解决实聆听教师点评
际问题 的一个简单应用，要学会从实
际问题中抽象出等差数列模型，用等
差数列的知识解决实际问题。
随堂练习：课本45页“练习”第2题； 完成练习
通过教师点
评，提高学生
对关键问题
的认知水平。
讲练结合，有
利提高学生
的知识应用
水平
例3 已知数列
{a
n
}
的通项公式为分析思考，然后分组讨论，让培养学生分
a
n
?pn?q,
其中p、q为常数，且p≠
两组学生代表发表自己的见析问题的能
0，那么这个数列一定是等差数列吗
解。 力，在小组讨
论中提高组
长的组织与
归纳组内成
员想法的能
力。 < br>分析：判定
{a
n
}
是不是等差数列，可解：取数列
{an
}
中的任意
以利用等差数列的定义，也就是看相邻两项
a
n
与a
n?1
（n＞1），
a
n
?a
n?1
（n＞1）是不是一个与n无关
求差得
的常数。
a
n
?a
n?1
?(pn?q)?[p{n?1)?q]

?pn?q?(pn?p?q]?p

它是一个与n无关的数.

所以
{a
n
}
是等差数列。
课本左边“旁注”：这个等差数列
的首项与公差分别是多少

这个数列的首 项对所得结论
a
1
?p?q,
公差
d?p
。由此我进行更深 入
们可以知道对于通项公式是形
一步的探究，
如
a
n
?pn ?q
的数列，一定是
激发学生的
等差数列，一次项系数p就是
学习兴趣。
这个等差数列的公差，首项是
p+q.
例题评述：通过这个例题我们
知道判 断一个数列是否是等差
数列的方法：如果一个数列的
通项公式是关于正整数n的一
次型 函数，那么这个数列必定
是等差数列。
引导学生动手画图研究完成以下探学生动手画图，并进行学习小通过学生动
究：
⑴在 直角坐标系中，画出通项公式为
a
n
?3n?5
的数列的图象。这个图象有< br>组讨论，发表见解。 手作图，并加
以对比，让学
生体会数列
与函数的内
在关系。
什么特点
探索
⑵在同一个直角坐标系中，画出函数
研究
y=3x -5的图象，你发现了什么据此说
一说等差数列
a
n
?pn?q
与一 次函数
y=px+q的图象之间有什么关系。
分析：⑴n为正整数，当n取1，2，
3，……时，对应的
a
n
可以利用通项公
式求出。经过描点知道该图象是均匀

分布的一群孤立点；
⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后
发现 数列的图象（点）在直线上，数
列的图象是改一次函数当x在正整数
范围内取值时相应的点的集 合。于是
可以得出结论：等差数列
a
n
?pn?q
的图象是一次函数 y=px+q的图象的一
个子集，是y=px+q定义在正整数集上
对应的点的集合。
该处还可以引导学生从等差数列
a
n
?pn?q
中的p的几何意义去探究。
本节主要内容为： 以学习小组为单位，在学习小学生自己小
①等差数列定义：即
a< br>n
?a
n?1
?d
(n≥组中，各自归纳自己对这堂课结，使学生对< br>课堂
2)
的收获，后由小组代表总结归自己所学知
识有更深刻
的认识。
小结
②等差数列通项公式：
纳。
a
n
?
a
1
?(n?1)d
(n≥1)
推导出公式：
a
n
?a
m
?(n?m)d

1、已知
{a
n
}
是等差数列.
⑴
2a
5
?a
3
?a
7
是否成立
2a
5
?a
1
?a
9
呢为什么
作业是 课堂
的延续，除了
检验学生对
本节课知识
的理解程度，
还在于引导< br>学生对本课
评价
（）
⑵
2a
n
?a
n?1
?a
n?
是否成立据此
1
n?1
设计
你能得出什么结论
）

2a
n
?a
n?k< br>?a
n?
（
是否成立据此
k
n?1
你又能得出什么结 论
知识的进一
2、已知等差数列
{a
n
}
的公差为d.求
步探究，让学

证：

a
m
?a
n
?d

m?n
生在更大的
深度与广度
之间进行思
考。
七、教学反思

本节课通过生活中一系列的实例让学生观察，从而得出等差数列的概念 ，并
在此基础上学会求等差数列的公差及通项公式，培养了学生观察、分析、归纳、
推理的能力 。充分体现了学生做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到理
性的认识过程，也使本节课的三维目 标真正落到实处。

点评：
本设计从生活中的数列模型，如举重级别、水库水位 、储蓄的本
息计算等问题引入，进而提出有待探索的问题，这有助于发挥学生学
习的主动性。在 探索的过程中，学生通过分析、观察，逐步抽象概括
得出等差数列定义，强化了由具体到抽象，由特殊到 一般的思维过程。
本课各环节的设计环环相扣、简洁明了、重点突出，引导分析细
致、到位、 适度。如：判断某数列是否成等差数列，这是促进概念理
解的好素材；又如：把通项公式与一次函数发生 联系，利用函数这一
“上位”概念，来“同化”等差数列的概念，体现函数思想；还有让
学生经 历列表、画图象的过程，从“形”的角度，感受函数与数列的
联系；此外，用方程的思想指导等差数列基 本量的运算等等。学生在
经历过程中，加深了对概念的理解和巩固。
本节课教学体现了课堂教 学从“灌输式”到“引导发现式”的转
变，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开 教

学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂
教学效率 。教学手段和教学方法的选择合理有效，体现了新课程所倡
导的“培养学生积极主动，勇于探索的学习方 式”。
值得商讨的问题，在等差数列中，对于任意正整数
m,n,p,q
，若
m?n?p?q
则
a
m
?a
n
?a
p
? a
q
这一性质的在第一课时提出是否不合时
宜，并且只是这样蜻蜒点水是否忽视了其重 要性。