最新人教新课标A版高中数学必修三全册教案

备课人
课题
课标要求

授课时间
1．1．1算法的概念

1.了解算法的含义，体会算法的思想；2.掌握正确的算法应满足的要求。

（1）了解算法的含义，体会算法的思想。（2）能够用自然语言叙述
知识目标
算法 。（3）掌握正确的算法应满足的要求。（4）会写出解线性方程（组）
的算法。（5）会写出一个求有 限整数序列中的最大值的算法。
通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个
教
学
目
标
解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的
技能目标
算法。 由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能
模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个 求有限整数序列中的最大
值的算法。
通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明
情感态度价值观
确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一
步提高探索、认识世界的能力。
重点
难点
教
算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。
把自然语言转化为算法语言，写出解决一类问题的算法。
问题与情境及教师活动

学生活动
1

学

过

程

及

方

法

一．导入新课

思路1（情境导入）
一个人带着三只狼 和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容
纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚

羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请同学们写出
解决问题的步骤， 解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——
算法
二．研探新知
探究（一）：算法的概念
思考1:在初中，对于解二元一次方程组你学过哪些方法？
思考2:用加减消元法解二元一次方程组

?













?
x?2y??1
?
1
?
的具体步骤是什么？
??
2x?y?12
?
第一步，①+②×2，得 5x=1 . ③
第二步，
1

教 问题与情境及教师活动

学生活动
2

学

过

程

及

方

法
第五步，
思考3:参照上述思路，一般地，解方程组
?
a
1
x?b
1
y?c
1
?
?< br>a
1
b
2
?a
2
b
1
?0
?
的基本步骤是什么？
ax?by?c
22
?
2
第一步，
第二步，
第三步，
第四步，
第五步，
思考4: 根据上述分析，用加减消元法解二元一次方程组，可以分为五
个步骤进行，这五个步骤就构成了解二元一 次方程组的一个
“算法”。我们再根据这一算法编制计算机程序，就可以让计
算机来解二元一次 方程组.那么解二元一次方程组的算法包括
哪些内容？
思考5:一般地，算法是由按照一定规则解决某一类问题的基本步骤组
成的。你认为：
(1)这些步骤的个数是有限的还是无限的？
(2)每个步骤是否有明确的计算任务？ 思考6:有人对哥德巴赫猜想“任何大于4的偶数都能写成两个质数之
和”设计了如下操作步骤：
第一步，检验6=3+3，
第二步，检验8=3+5，
第三步，检验10=5+5，
……
利用计算机无穷地进行下去！
请问：这是一个算法吗？
思考7:根据上述分析，你能归纳出算法的概念吗？
算法的定义：广义的算法是指完成某项 工作的方法和步骤，在数学中，
算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤
算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不
漏.“不重”是指不是可有可无的， 甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺
少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到
“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的
前提， “后一步”是 “前一步”的继续.③有穷性：算法要有明确的开
始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明 确的结果，
也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行.
探究（二）:算法的步骤设计
2







































教 问题与情境及教师活动

学生活动
3

学

过

程

及

方

法
算法如下：
⑴第一步，用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7
第二步，用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.
第三步，用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.
第四步，用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.
第五步，用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.
因此，7是质数.
⑵类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：
第一步，用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35.
第二步，用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35.
第三步，用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.
第四步，用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.
因此，35不是质数.
变式训练 请写出判断n(n>2)是否为质数的算法.
?
P
4
?

【例2】写出用“二分法”求方程x
2
-2=0 (x>0)的近似解的算法
分析：令f(x)=x
2
-2,则方程x
2
-2=0 (x>0)的解就是函数f(x)的零点.
“二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点 所在的区间［a,b］(满足
f(a)·f(b)<0）“一分为二”，得到［a,m］和［m,b］. 根据“f(a)·f(m)<0”
是否成立，取出零点所在的区间［a,m］或［m,b］，仍记为［a ,b］.
对所得的区间［a,b］重复上述步骤，直到包含零点的区间［a,b］“足
够小”， 则［a,b］内的数可以作为方程的近似解.
解：第一步，令f(x)=x
2
-2,给定精确度d.
第二步，确定区间［a,b］，满足f(a)·f(b)<0.
第三步，取区间中点m=
a?b
.
2
第四步，若f(a)·f(m)<0，则含零点的区间为［a,m］；
否则，含零点的区间为［m,b］.
将新得到的含零点的区间仍记为［a,b］.
第五步，判断［a,b］的长度是否小于d或f(m）是否等于0.
若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步.
当d=0.005时，按照以上算法，可以得到下表.
a
1
1
1.25
1.375
1.375
b
2
1.5
1.5
1.5
1.437 5
3

|a-b|
1
0.5
0.25
0.125
0.062 5






































教 问题与情境及教师活动

学生活动
4

学

过

程

及

方

法
实际上，上述步骤也是求
2
的近似值的一个算法
三．随堂练习
1．
P
5
练习2
2．一个人带着三只狼和三只羚羊过河， 只有一条船，同船可容纳一
个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的
数量 就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请设计算法.
解：具体算法如下：
算法步骤：
第一步：人带两只狼过河，并自己返回.
第二步：人带一只狼过河，自己返回.
第三步：人带两只羚羊过河，并带两只狼返回.
第四步：人带一只羊过河，自己返回.
第五步：人带两只狼过河.


教
学
（1）正确理解算法这一概念.
小
(2)结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法.
结

课

后
反
思
4



备课人


5
授课时间

课题
课标要求
1．1．2
程序框图与算法的基本逻辑结构（一）

1.掌握程序框图的概念；2.会用通用的图形符号表示算法；
3.掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图；

掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三
知识目标
个基本逻辑结构；掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图。
通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程；
教
学
目
标
技能目标
学会灵活、正确地画程序框图。
通过本节的学 习，使我们对程序框图有一个基本的了解；掌握算法语
言的三种基本逻辑结构，明确程序框图的基本要求 ；认识到学习程序
情感态度价值观
框图是我们学习计算机的一个基本步骤，也是我们学习计算机语言的
必经之路。

重点
难点
程序框图的基本概念、基本图形符号和3种基本逻辑结构
综合运用这些知识正确地画出程序框图。
问题与情境及教师活动

一．导入新课
用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一
定条件下才 会被执行的步骤，以及在一定条件下会被重复执行的
步骤，自然语言的表示就显得困难，而且不直观、不 准确.因此，
本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天开始学
习程序框图.
二．研探新知
探究（一）：程序框图
自学
P
6
，总结以下问题：
（1）什么是程序框图？
（2）说出终端框（起止框）的图形符号与功能.
（3）说出输入、输出框的图形符号与功能.
（4）说出处理框（执行框）的图形符号与功能.
（5）说出判断框的图形符号与功能.
（6）说出流程线的图形符号与功能.
（7）说出连接点的图形符号与功能.
（8）总结几个基本的程序框、流程线和它们表示的功能.
思考1:“判断整数n（n>2）是否为质数”的算法步骤如何？
1



学生活动
教

学

过

程

及

方

法



















问题与情境及教师活动

6
学生活动

第四步
第五步，
思考2:我们将上述算法用下面的图形表示：





















开始
输入n
i=2
求n除以i的余数
i的值增加1，仍用i表
否
i>n-1或r=0？
是
否
输出“n是质数”
r=0？
输出“n不是质数”
结束
是


思考3:在上述程序框图中，有4种程序框，2种流程线，它们分别有
何特定的名称和功能？ 试分别说明。
注意：在学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使
用规则，画 程序框图的规则如下：
（1）使用标准的图形符号。
（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
（3）除判断框外，大多数流程图符号只有 一个进入点和一个退出
点。判断框具有超过一个退出点的惟一符号。
（4）判断框分两大类， 一类判断框“是”与“否”两分支的判断，
而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同< br>的结果。
2






































教 问题与情境及教师活动

学生活动
7

学

过

程

及

方

法
程序框图包含下面三种逻辑结构可以用如下程序框图表示：

顺序结构 条件结构 循环结构
探究（三）:顺序结构
任何一个算法 各步骤之间都有明确的顺序性，在算法的程序框图中，
由若干个依次执行的步骤组成的逻辑结构，称为顺 序结构。
顺序结构描述的是是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框
之间是按从上到下 的顺序进行的。
【例3】已知一个三角形三条边的边长分别为a，b，c，利用海伦—秦九
韶 公式设计一个计算三角形面积的算法，并画出程序框图表示.
算法分析：这是一个简单的问题，只需先 算出p的值，再将它代入分
式，最后输出结果.因此只用顺序结构应能表达出算法.
算法步骤如下：
第一步，输入三角形三条边的边长a,b,c.
第二步，计算p=
第三步，计算S=
第四步，输出S.
程序框图如下：
a?b?c
.
2
p(p?a)(p?b)(p?c)
.

点评：很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，它是
3







































教 问题与情境及教师活动

学生活动
8

用程序框图表示条件结构如下．

学

过

程

及

图1 图2

方
条件结构：先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构就称
，如图1所示.执行过程如下：条件成立，则

为条件结构（或分支结构）
法
执行A框；不成立，则执行B框．
注：无论条件是否成立，只能执行A、B之一，不可能两个框都执行．
A、B两个框中，可以有一个是空的，即不执行任何操作，如图2.
条件结构的两种形式的区 别：一种是在两个“分支”中均包含算法的步骤，
符合条件就执行“步骤A”，否则执行“步骤B”；另 一种是在一个“分
支”中均包含算法的步骤A，而在另一个“分支”上不包含算法的任
何步骤， 符合条件就执行“步骤A”，否则执行这个条件结构后的步
骤
【例4】任意给定3个正实数， 设计一个算法，判断以这3个正实数为
三边边长的三角形是否存在，并画出这个算法的程序框图. 算法分析：判断以3个任意给定的正实数为三条边边长的三角形是否
存在，只需验证这3个数中任意 两个数的和是否大于第3
个数.这个验证需要用到条件结构.
算法步骤如下：
第一步，输入3个正实数a，b，c.
第二步，判断a+b>c，b+c>a，c+a>b是 否同时成立.若是，则存在这
样的三角形；否则，不存在这样的三角形.
程序框图如右图：
4







































教 问题与情境及教师活动

学生活动
9

点评：根据构成三角形的条件，判断是否满足任意两边之和大于第三

边，如果满足则存在这样的三角形，如果不满足则不存在这样
学
的三角形.这种分类讨论思想是高中的重点，在画程序框图时，

常常遇到需要讨论的问题，这时要用到条件结构.
过

三．随堂练习
程
2

P
并画出程序
11
例5. 设计一个求解一元二次方程ax+bx+c=0的算法，

框图表示.
及

方

法

教
学
（1）理解顺序结构和两种条件结构的特点和区别.
小
（2）能用学过的两种结构解决常见的算法问题.
结

课

后
反
思
5



备课人


10
授课时间

课题
课标要求
1．1．2
程序框图与算法的基本逻辑结构（二）

1.掌握程序框图的概念；2.会用通用的图形符号表示算法；
3.掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图；

掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三
知识目标
个基本逻辑结构；掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图。
通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程；
教
学
目
标
技能目标
学会灵活、正确地画程序框图。
通过本节的学 习，使我们对程序框图有一个基本的了解；掌握算法语
言的三种基本逻辑结构，明确程序框图的基本要求 ；认识到学习程序
情感态度价值观
框图是我们学习计算机的一个基本步骤，也是我们学习计算机语言的
必经之路。

重点
难点
程序框图的基本概念、基本图形符号和3种基本逻辑结构
综合运用这些知识正确地画出程序框图。
问题与情境及教师活动

一．导入新课
1．设计一个算法的程序框图的基本思路：
第一步，用自然语言表述算法步骤.
第二步，确定每个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应
的程序框图表示.
第三步，将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加
上两个终端框.
2．算法的基本逻辑结构有哪几种？用程序框图分别如何表
示？（顺序结构、条件结构） 3．前面我们学习了顺序结构，顺序结构像一条没有分支的河
流，奔流到海不复回；条件结构像有分 支的河流最后归入
大海；事实上很多水系是循环往复的，今天我们开始学习
循环往复的逻辑结构 ——循环结构.
二．研探新知
探究（一）：循环结构
提出问题
（1）请大家举出一些常见的需要反复计算的例子.
（2）什么是循环结构、循环体？
（3）试用程序框图表示循环结构.
（4）指出两种循环结构的相同点和不同点.
1


学生活动
教

学

过

程

及

方

法


















11

问题与情境及教师活动

（2）在一些算法中，经常会出现从某处开始 ，按照一定的条件反复
执行某些步骤的情况，这就是循环结构.反复执行的步骤称为循
环体. 显然，循环结构中一定包含条件结构。
（3）在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构 .即从
算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理的过程.重复执
行的处理步骤称为循环体 .
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.
1°当型循环结 构，如图（1）所示，它的功能是当给定的条件P
成立时，执行A框，A框执行完毕后，返回来再判断条 件P
是否成立，如果仍然成立，返回来再执行A框，如此反复执
行A框，直到某一次返回来判断 条件P不成立时为止，此时
不再执行A框，离开循环结构.继续执行下面的框图.
2°直到型循环结构，如图（2）所示，它的功能是先执行重复
执行的A框，然后判断给定的条件P是否 成立，如果P仍然
不成立，则返回来继续执行A框，再判断条件P是否成立.
继续重复操作，直 到某一次给定的判断条件P时成立为止，
此时不再返回来执行A框，离开循环结构.继续执行下面的框图. 见示意图：
学生活动







































当型循环结构 直到型循环结构
(4)两种循环结构的不同点：直到型循环结构是程序 先进入循环体，
然后对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直
到条件满足时终 止循环.
当型循环结构是在每次执行循环体前，先对条件进行判断，当条
件满足时，执行循环体，否则终止循环.
两种循环结构的相同点: 两种不同形式的循环结构可以看出，循
环结构中一定包含条件结构，用于确定何时终止执行循环体.
探究（二）:应用实例
【例6】设计一个计算1+2+……+100的值的算法，并画出程序框图.
算法分析：通常，我们按照下列过程计算1+2+……+100的值.
第1步，0+1=1.
第2步，1+2=3.
第3步，3+3=6.
2

教 问题与情境及教师活动

学生活动
12

学

过

程

及

方

法
显然，这个过程中包含重复操作的步骤，可以用循环结 构表示.
分析上述计算过程，可以发现每一步都可以表示为第（i-1）步
的结果+i=第i步 的结果.
为了方便、有效地表示上述过程，我们用一个累加变量S来表
示第一 步的计算结果，即把S+i的结果仍记为S，从而把第i步
表示为S=S+i，
其中S的初始值为0，i依次取1，2，…，100，由于i同时记录
了循环的次数，所以也称为计数变 量.
解决这一问题的算法是：
第一步，令i=1，S=0.
第二步，若i≤100成立，则执行第三步；
否则，输出S，结束算法.
第三步，S=S+i.
第四步，i=i+1，返回第二步.
程序框图如右：







上述程序框图用的是当型循环结构，
如果用直到型循环结构表示，
则程序框图如下：



点评：这是一个典型的用循环结构解决求和
的问题，有典型的代表意义，可把它
作为一个范例，仔细体会三种逻辑结
构在程序框图中的作用，学会画程序
框图.





3







































教 问题与情境及教师活动

学生活动
13

算法分析：先写出解决本例的算法步骤：

第一步，输入2005年的年生产总值.
学
第二步，计算下一年的年生产总值.

第三步，判断所得的结果是否大于300，若是，则输出该年的
过
年份，算法结束；否则，返回第二步.

由于“第二步”是重复操作的步骤，所以本例可以用循环结构来
程
实现.我们按照“确定循环体”“初始化变量”“设定循环控制条件”的

顺序来构造循环结构.
及

（1）确定循环体：设a为某年的年生产总值 ，t为年生产总值的年增长
量，n为年份，则循环体为t=0.05a,a=a+t,n=n+1.
方

（2）初始化变量：若将2005年的年生产总值看成计算的起始点，则n的初始值为2005，a的初始值为200.
法
（3）设定循环控制条件：当“年生产 总值超过300万元”时终止循环，所
以可通过判断“a>300”是否成立来控制循环.
程序框图如下：


三．随堂练习

教
学
小
结

课

后
反
思
已知有一列数
（1）熟练掌握两种循环结构的特点及功能.
（2）能用两种循环结构画出求和等实际问题的程序框图，进一步理解学习算法的意义
123n
,,,
?
,
，
234n?1
4



备课人


14
授课时间

课题
课标要求
1．1．2
程序框图与算法的基本逻辑结构（三）

1.掌握程序框图的概念；2.会用通用的图形符号表示算法；
3.掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图；

通过设计流程图来表达解决问题的过程，了解流程图的三种基本逻辑
知识目标
结构：顺序、条件分支、循环。理解掌握三种基本逻辑结构，能设计
简单的流程图。
教
学
目
标
通过模仿、操作和探索，抽象出算法的过程，培养抽象概括能力、语
技能目标
言表达能力和逻辑思维能力。
通过算法实例，体会构造的数学思想方法；提高学生欣赏数学美的能
情感态度价值观
力，培养学生学习兴趣，增强学好数学的信心；通过学生的积极参与、
大胆探索，培养学生的探索精神和 合作意识。
重点
难点
综合运用框图知识正确地画出程序框图
综合运用这些知识正确地画出程序框图。
问题与情境及教师活动

一．导入新课
前面我们学习了顺序结构、条件结构、循环结构，今天我们系
统学习程序框图的画法。
提出问题
(1)请大家回忆顺序结构，并用程序框图表示.
(2)请大家回忆条件结构，并用程序框图表示.
(3)请大家回忆循环结构，并用程序框图表示.
(4)总结画程序框图的基本步骤.
讨论结果：
(1)顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,这是任何一
个算法都离不开的基本结构.框图略.
(2)在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程
根据条件是否成立有不同的流向 .条件结构就是处理这种
过程的结构.框图略.
(3)在一些算法中要求重复执行同一操作的 结构称为循环结
构.即从算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理
过程.重复执行的处理 步骤称为循环体.
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.
框图略.
1


学生活动
教

学

过

程

及

方

法


















15

问题与情境及教师活动

第一步，用自然语言表达算法步骤.
第二步，确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相
应的程序框表示，得到该步骤的程序框图.
第三步，将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加
上终端框，得到表示整个算法的程序框图.
二．研探新知
探究（一）：多重条件结构的程序框图
思考1:解关于
x< br>的方程
ax?b?0
的算法步骤如何设计？下面流程图是
否正确？
开始
正确算法如下
第一步，输入实数
a,b

第二步，判断
a
是否为0. 若是，执行第三步；
否则，输出
x??
输入x
学生活动





































b

a

第三步，判断
b
是否为0.
若是，则输出“方程的根为全体实数”；
输出x
否则，输出“ 方程无实数根”.
程序框图如下：

结束
开始



输入a,b


是

a?0
?

否

否
b?0
?

b
x??


a
是







输出x
输出“方程的根
式全体实数
x??
b

a
输出“方程无
实数根”
结束
2

教 问题与情境及教师活动

学生活动
16

探究（二）: 混合逻辑结构的程序框图
学
思考1：用“二分法”求方程
x
2
?2?0(x?0)
的近似解的算法如何

设计？
过

第一步，令
f(x)?x
2
?2
，给定精确度
d
.
程

第二步，确定区间
?
a,b
?
，满足
f
?
a
?
?f
?
b
?
?0
。
及

a?b
m?
第三步，取区间中点 。
方
2

法
第四步，若
f(a)?f(m)?0
，则含零点的 区间为
?
a,m
?
，否则，含
零点的区间为
?
m, b
?
，将新得到的含零点的区间仍记为
?
a,b
?
。 第五步，判断
?
a,b
?
的长度是否小于
d
，或
f(m)
是否等于0.

则
m
是方程的近似解；否则，返回第三步.
思考2：该算法中哪几个步骤可以用顺序结构来表示？
这个顺序结构的程序框图如何？
思考3：该算法中第四步是什么逻辑结构？
这个步骤用程序框图如何表示？
思考4：该算法中哪几个步骤构成循环结构？
这个循环结构用程序框图如何表示？
思考5：根据上述分析，你能画出表示整个算法的程序框图吗？
点评：在用自然语言表述一个算法
后，可以画出程序框图，用
顺序结构、条件结构和循环
结构来表示这个算法，这样
表示的算法清楚、简练，便
于阅读和交流.



3







































教 问题与情境及教师活动

学生活动
17

学

过

程

及

方

法

探究（三）：程序框图的阅读与理解
考察下列程序框图：
思考1:怎样理解该程序框图中包含的逻辑
结构？


思考2:该程序框图中的循环结构属于那种
类型？


思考3:该程序框图反映的实际问题是
什么？
该问题就是要求1+2+4+……+2
63
的和



三．随堂练习

P
19
练习：设计一个用有理指数幂逼近无理指数 幂
5
算法的
程序框
图


2
的算法，画出
教
学
（1）进一步熟悉三种逻辑结构的应用，理解算法与程序框图的关系.
小
（2）根据算法步骤画出程序框图.
结

课

后
反
思
5



备课人


18
授课时间

课题
课标要求
1．1．2
程序框图与算法的基本逻辑结构（习题课）

1.掌握程序框图的概念；2.会用通用的图形符号表示算法；
3.掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图；

通过设计流程图来表达解决问题的过程，了解流程图的三种基本逻辑
知识目标
结构：顺序、条件分支、循环。理解掌握三种基本逻辑结构，能设计
简单的流程图。
教
学
目
标
通过模仿、操作和探索，抽象出算法的过程，培养抽象概括能力、语
技能目标
言表达能力和逻辑思维能力。
通过算法实例，体会构造的数学思想方法；培养学生学习兴趣，增强
情感态度价值观
学好数学的信心；通过学生的积极参与、大胆探索，培养学生的探索
精神和合作意识。
重点
难点
综合运用框图知识正确地画出程序框图
综合运用这些知识正确地画出程序框图。
问题与情境及教师活动


一．复习

(1)请大家回忆顺序结构，并用程序框图表示.
顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,这是任何一个

算法都离不开的基本结构.框图略.

(2)请大家回忆条件结构，并用程序框图表示.
在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断 ，算法的流程根
据条件是否成立有不同的流向.条件结构就是处理这种过程的结构

(3)请大家回忆循环结构，并用程序框图表示.
在一些算法中要求重复执行同一操作的结构 称为循环结构
即从算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理过程.重复执
行的处理步骤称 为循环体.
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.

二．问题讲解
(一）顺序结构
13.画出求坐标平面内两点
A
?
a,b
?
，
B
?
c,d
?
之间距离的程序 框
1
学生活动
教

学

过

程

及

方

法

















19

问题与情境及教师活动


学生活动







































(二)条件结构
14、

1.2x
?
0?x? 7
?
y
与
x
之间的函数关系式为：
y?
?
。请你设
?
?
1.9x?4.9
?
x?7
?
计一个 输入用水量、输出应缴费额的算法，画出程序框图。
2

教 问题与情境及教师活动

学生活动
20

学

过

程

及

方

法

（三）循环结构
13. 2000年某地森林面积为1000
km
，且每年 增长
5%
，到哪一年该
地森林面积超过2000
km
。请设计一个算 法，并画出程序框图。










2
2

教
学
（1）进一步熟悉三种逻辑结构的应用，理解算法与程序框图的关系.
小
（2）根据算法步骤画出程序框图.
结

课

后
反
思
3



备课人


21
授课时间

课题
课标要求
§1.2.1输入语句、输出语句和赋值语句
1．正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的 结构，学会输入语句、输出语句和赋值语
句的基本用法。
2．理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法。
(1)初步了解基本的算法语句中的赋值,输入和输出语句特点.
知识目标
(2)理解基本算法语句是将算法的各种控制结构转变成计算机能够理解
的程序语言.
结合程序语言,初步掌握赋值,输入和输出语句的结构以及如何编写对应
教
学
目
标
技能目标
的程序及在计算机上实现算。通过模仿,操作,探索的过 程,体会算法的基
本思想和基本语句的用途,提高学生应用数学软件的能力。
发展有条理的思考,表达的能力,提高逻辑思维能力，活跃思维,提高学生
情感态度价值观
的数学素养.结合计算机软件的应用, 增强应用数学的意识,在计算机上
实现算法让学生体会成功的喜悦.
重点
难点
会用输入语句、输出语句、赋值语句.
正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的作用.
问题与情境及教师活动


一．导入新课
前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理解算法步

骤、程序框图，我们开始学习算法语句.

二．研探新知
探究（一）：输入语句和输出语句
思考1：在每个程序框图中，输入框与输出框是两个必要的 程序框，
我们用什么图形表示这个程序框？其功能作用如何？
思考2：已知函数y=x
3
+3x
2
-24x+30，求自变量x对应的函数值的算
法步骤如何设计 ？
第一步，输入输入一个自变量的x的值 。
第二步，计算 y=x
3
+3x
2
-24x+30。
第三步，输出
学生活动


















教

学

过

程

及

方

法
y
。
思考3：该算法是什么逻辑结构？其程序框图如何？
思考4：我们将该程序框图中第一个程序框
省略，后四个程序框中的内容依次写
成算法语句，就得到该算法的计算机
程序（仿照课本写下来）：
解：程序：INPUT “x”；x
y=x^3+3*x^2-24*x+30
PRINT y
1

22

问题与情境及教师活动

行程序中的语句，最后一行的END语句表示程序到此结束
思考5：在这个程序中，第1行中的INPUT语句称为输入语句，
其一般格式是：
INPUT “提示内容”；变量
其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息，它可以
用字母、符号、文字等来表述. 变量是指程序在运行时其值是可
以变化的量，一般用字母表示，若输入多个变量，变量与变量
之 间用逗号隔开. 提示内容加引号，提示内容与变量之间用分号
隔开.
据此，输入框 转化为输入语句

输入a,b,c
可以怎样表述？
注：①“提示内容”与变量之间必须
用分号“；”隔开。
②各变量之间必须用逗号“，”隔开。但最后的变量的后面
不需要。
思考6：在这个程序中，
PRINT “提示内容”；表达式
第3
行中的PRINT语句称为输出
语句，
其一般格式是：

其中，“提示内容”一般是提示用户输出什么
输出s
样的信息，它通常是常量或变量 的值；表
达式一般是表示输出信息所对应的字母或代数式.PRINT语句可
以在计算机的屏幕 上输出运算结果和系统信息.
据此，在计算a与b的和S时，输出框
转化为输出语句可以怎样表述？
探究（二）: 赋值语句
思考1：在算法的程序 框图中，处理框是一个常用的程序框，我们用什
么图形表示这个程序框？其功能作用如何？
思考2：在上述求函数值的程序中，第二行中的语句称为赋值语句，其
一般格式是：
变量
=
表达式

赋值语句中的“
=
”叫做赋值号。
赋值语句的作用：先计算出赋值号右边表 达式的值，然后把这
个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值
2
学生活动





































教

学

过

程

及

方

法

教 问题与情境及教师活动

学生活动
23

学

过

程

及

方

法
据此，执行框




2x+y
2
m=
3
转化为赋值语句可以怎样表述？
思考3：考察给一个变量重复赋值的程序：A=10
A=A+15
PRINT A
END
那么，A的输出值是多少？
探究（三）：理论迁移
【例2】编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩。
分析：先写出算法，画出程序框图，再进行编程。

算法： 程序：













开始
输入a,b,c
y?
a?b?c
3
INPUT “数学=”;a
INPUT “语文=”;b
INPUT “英语=”;c
y=(a+b+c)3
PRINT “The average=”;y
END
输出y
A=10
A=A+10
PRINT A
结束
【例3】给一个变量重复赋值。
程序：


【例4】交换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值。

分析：引入一个中间变量X,将A的值赋
INPUT A
予X,又将B的值赋予A，再将X
INPUT B
的值赋予B，从而达到交换A，B
PRINT A，B
的值。（比如交换装满水的两个水
X=A
桶里的水需要再找一个空桶）
A=B
程序：

3
B=X

PRINT A，B
教 问题与情境及教师活动







































学生活动
24

三．随堂练习
学
P
24
练习 1. 2. 3

参考答案：
过
1.程序: INPUT “请输入华氏温度：”；x

y=(x-32)*59
程
PRINT “华氏温度：”；x

PRINT “摄氏温度：”；y
及
END

〖提问〗：如果要求输入一个摄氏温度，输出其相应的华氏
方
温度，又该如何设计程序？（学生课后思考，讨论

完成）
法
2. 程序： INPUT “请输入a（a
?
0）=”；a
INPUT “请输入b（b
?
0）=”；b
X=a+b
Y=a-b
Z=a*b
Q=ab
PRINT a,b
PRINT X,Y,Z,Q
END
3. 程序： p=(2+3+4)2
t=p*(p-2)*(p-3)*(p-4)
s=SQR(t)
PRINT “该三角形的面积为：”；s
END
注：SQR（）是函数名，用来求某个数的平方根。


本节课介绍了输入语句、输出语句和赋值语句的结构特点及联系。掌握并应用输入
教
学
语句，输出语句，赋值语句编写一些简单的程序解决数学问题，特别是掌握赋值语句中
小 “=”的作用及应用。编程一般的步骤：先写出算法，再进行编程。我们要养成良好的
结

习惯，也有助于数学逻辑思维的形成。
课

后
反
思
4



25

备课人
课题
课标要求

授课时间
§1.2.2条件语句

正确理解条件语句的概念，掌握条件语句的结构，会应用条件语句编写程序。
知识目标 理解基本算法语句的意义.

学会条件语句的基本用法；体会算法的思想加强学生逻辑思维能力和推
教
学
目
标
技能目标
理论证能力的培养；使学生能将自然语言整理成程序框图 进而翻译成计
算机语言，体现转化的思想方法。
情感态度价值观
在教学过程中培养 学生创新意识和数学应用意识，提高学生学习数学的
兴趣，培养学生的合作精神
重点
难点
条件语句的基本用法。
算法语句的写法.
问题与情境及教师活动

一．复习引入
提出问题
（1）回忆程序框图中的两种条件结构.
（2）指出条件语句的格式及功能.
（3）指出两种条件语句的相同点与不同点.
（4）揭示程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对
应关系.
讨论结果：
（1）一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据
条件是 否成立有不同的流向.条件结构就是处理这种过程的结构.
用程序框图表示条件结构如下图：


学生活动




















教

学

过

程

及

方

法

（2）条件语句
1°“IF—THEN—ELSE”语句
格式：
功能：在“IF—THEN—ELSE”语句中，
“条件”表示判断的条件，
1

IF 条件 THEN
语句体1
ELSE
语句体2
END IF

26

问题与情境及教师活动

不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条件语句的结束.计
算机在执 行“IF—THEN—ELSE”语句时，首先对IF后的条件进行判
断，如果符合条件，则执行THE N后面的“语句1”；若不符合条件，
则执行ELSE后面的“语句2”.
2°“IF—THEN”语句
IF 条件 THEN
格式：
语句体
功能：“条件”表示判断的条件；“语句”表
END IF
示满足条件时执行的操作内容，条件
不满足时，直接结束判断过程；
END IF表示条件语句的结束.
计算机在执行“IF—THEN”语句时，首先对IF后的条件进行判断，
如果符合条件就执行THEN后边的语句，若不符合条件则直接
结束该条件语句，转而执行其他 后面的语句.
（3）相同点：首先对IF后的条件进行判断，如果符合条件就执行THEN
后边的语句. < br>不同点：对于“IF—THEN—ELSE”语句，若不符合条件，则执行ELSE
后面的“语句 体2”.
对于“IF—THEN”语句，若不符合条件则直接结束该条件语
句，转而执行其他 后面的语句.
（4）程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系如
下图：
学生活动





































教

学

过

程

及

方

法

二．研探新知（应用示例）
【例5】编写一个程序，求实数x的绝对值.
算法分析：首先，我们来设计求实数x的绝对值 的算法，因为实数x的
?
x(x?0),
?
?x(x?0),
教
2

学生活动 问题与情境及教师活动

27

学

过

程

及

方

法








第一步，输入一个实数x.
第二步，判断x的符号.若x≥0，则输出x；否则，输出-x.
显然，“第二步”可以用条件结构来实现.
程序框图如下图：
程序：
INPUT x
IF x＞=0 THEN
PRINT x
ELSE
PRINT -x
END IF
END
点评： 通过本题我们看到算法步骤可以转化为程序框图，程序框图可以
转化为算法语句.本题揭示了它们之间的 内在联系，只要理解了程
序框图与算法语句的对应关系，把程序框图转化为算法语句就很
容易了
【例6】把前面求解一元二次方程ax
2
+bx+c=0的程序框图（1.1-11） 转
化为程序。
解：由程序框图可以发现，其中包含着两个条件结构，而且内层的条件
结构是外层的条件结构的一个分支，所以，可以用
“IF—THEN—ELSE—END IF”来完成转化.
程序：
INPUT “a，b，c=”；a，b，c

d=b^2-4*a*c

IF d＞=0 THEN

p=-b(2*a)

q=SQR(d)(2*a)

IF d=0 THEN

PRINT “x
1
=x
2
=”；p

ELSE

PRINT “x
1
，x
2
=”；p+q，p-q

END IF

ELSE

PRINT“No real root”




3







































教 问题与情境及教师活动

学生活动
28

学

过

程

及

方

法
教
学
（1）条件语句的用法.
小
（2）利用条件语句编写算法语句.
结
















a已是三者中最大的）
第四步，将b与c比较，并把小者赋给c，大者 赋给b（此时
a，b，c已按从大到小的顺序排列好）.
第五步，按顺序输出a，b，c.
如下图所示，上述操作步骤可以用程序框图更直观地表达出来.


INPUT “a，b，c=”；a，b，c

IF b＞a THEN

t=a

a=b

b=t

END IF

IF c＞a THEN

t=a
a=c
c=t
END IF
IF c＞b THEN
t=b
b=c
c=t
END IF

课
后
反
思
4



备课人


29
授课时间

课题
课标要求
§1.2.3 循环语句
1．理解学习基本算法语句的意义.2．学会循环语句的基本用法.
3．理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.
知识目标 通过具体的实例理解，了解循环语句的结构特征.

通过具体的实例，掌握循环语句的具体应用，利用循环语句表达具体问
教
学
目
标
技能目标
题的过程，体会算法的基本思想借助框图中的循环结构， 借助Scilab语
言中的循环语句来设计程序，进一步体会算法的重要性和有效性
在学习过程及解决实际问题的过程中，尽可能的用基本算法语句描述算
情感态度价值观
法、体会算法思想的作用及应用，增进对算法的了解，形成良好的数学
学习情感、积极的学习态度。
重点
难点
两种循环语句的表示方法、结构和用法，用循环语句表示算法。
理解循环语句的表示方法、结构和用法，会编写程序中的循环语句。
问题与情境及教师活动

一．复习引入
前面我们学习了程序框图的画法,为 了让计算机能够理解算法
步骤、程序框图，上一节我们学习了输入语句、输出语句、赋值
语句和 条件语句，今天我们开始学习循环语句.
二．研探新知
探究一:直到型循环语句
思考1:直到型循环结构的程序框图是什么？
思考2:该循环结构对应的循环语句的一般格式设定为：？




学生活动




















教

学

过

程

及

方

法
你能说明计算机在执行上述语句时是怎样工作的吗？
先执行先执行DO和UNTIL之间的 循环体，再对UNTIL后的条
件进行判断.如果条件不符合，则继续执行循环体；然后再检查上
述条件，如果条件仍不符合，则再次执行循环体，直到条件符合
为止.这时，计算机将不执行循环体， 而执行UNTIL语句之后的语
句.
1

教


问题与情境及教师活动

学生活动
30

学

过

程

及

方

法

思考3:计算1+2+3+…+100的值有如下算法:
第一步，令i=1，S=0.
第二步，计算S+i，仍用S表示.
第三步，计算i+1，仍用i表示.
第四步，判断i>100是否成立.若是，则输出S，结束算法；
否则，返回第二步.
你能利用UNTIL语句写出这个算法对应的程序吗？

i?1


S?0


DO














思考4:在下面的程序运行中，
计算机输出的结果是多少？



探究二:当型循环语句
思考1:当型循环结构的程序框图是什么？
思考2:该循环结构对应的循环语句的一般格式设定为：




2

S?S?i


i?i?1

LOOP UNTIL
i?100

PRINT
S

END
x=20
DO
x=x-3
LOOP UNTIL x<0
PRINT x
END






































教 问题与情境及教师活动

学生活动
31

学

过

程

及

方

法
你能说明计算机在执行上述语句时是怎样工作的吗？
先对条件进行判断，如果条件符合，则执 行WHILE和WEND之间的
循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，则再次执行循环体，< br>直到某一次条件不符合为止.这时，计算机将不执行循环体，而执行WEND
之后的语句.
思考3:计算1+2+3+…+100的值又有如下算法:
第一步，令i=1，S=0.
第二步，若i≤100成立，则执行第三步；
否则，输出S，结束算法.
第三步，S=S+i.
第四步，i=i+1，返回第二步.
你能利用WHILE语句写出这个算法对应的程序吗？




i?1


S?0


WHILE
i??100



S?S?i



i?i?1


WEND

PRINT
S


END



x=1

∧
WHILE x2<1000

PRINT
思考4:阅读下面的程序，你能说明它是一个
x=x+1
什么问题的算法吗？
WEND

END


探究二:理论迁移
【例8】修改前面编写过的求函数
y?x
3
?3 x
2
?24x?30
的值的程序，
连续输入11个自变量的取值，输出相应的 函数值.
算法分析：与前面不同的是，本例要求连续输入11个自变量的取值.并
3







































教 问题与情境及教师活动

学生活动
32

学

过

程

及

方

法
第五步，判断输入的次数是否大于11.若是，则结束算法；
否则，返回第一步.
显然，可以用计数变量n（1≤n≤11）记录次数，通过
循环结构来实现算法.
程序框图如下图：


















程序：

三．随堂练习

n=1
DO
INPUT x

y=x^3+3*x^2-24*x+30
PRINT y
n=n+1
P
32
练习 1. 2.
教
学
（1）学会两种循环语句的应用.
小
(2)熟练应用两种循环语句编写计算机程序，巩固算法应用.
结


课
后
反
思
4



备课人


33
授课时间

课题
课标要求
§1.3.1算法案例——辗转相除法与更相减损术
理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见
知识目标
的约分 求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中
体会数学的严谨，领会数学算法计算机处 理的结合方式，初步掌握把数
学算法转化成计算机语言的一般步骤。
通过具体的实例，掌握循环语句的具体应用，利用循环语句表达具体问
教
学
目
标
技能目标
题的过程，体会算法的基本思想借助框图中的循环结构， 借助Scilab语
言中的循环语句来设计程序，进一步体会算法的重要性和有效性
在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维
情感态度价值观
能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的
能力。
重点
难点
理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
问题与情境及教师活动


一．复习引入

思考1：18与30的最大公约数是多少？你是怎样得到的？
（1）短除法
求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因

数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有
的除数连乘起来.
（2）穷举法（也叫枚举法）
穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个 数中
较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到
的公约数便是最大公约数.
思考2：:对于8251与6105这两个数，由于其公有的质因数较大，
利用上述方法求最大 公约数就比较困难
二．研探新知
探究一:辗转相除法
思考1：对于8251与6 105这两个数，注意到8251=6105×1+2146，
那么8251与6105这两个数的公约 数和6105与2146的公
约数有什么关系？
显然8251与6105的最大公约数也必 是2146的约数，同
样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251
与 6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。
思考2：又6105=2146×2+1813，同理，6105与2146的公约数和
1
学生活动


















教

学

过

程

及

方

法

教


问题与情境及教师活动

34
学生活动

学

过

程

及

方

法
思考3：上述求两个正整数的最大公约数的方法称为辗转相除法或欧几
里得算法. 一般地，用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公
约数，可以用什么算法？其算法步骤如何设计？
辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的
数，若余数不为零，则将余数 和较小的数构成新的一对数，继续上面的
除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个 数的最
大公约数.
思考4：你能否把辗转相除法编程？
辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下：
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中.
第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.
第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果；
否则转向第二步继续循环执行.
程序框图如下图： 程序：


INPUT m,n

DO

r=m MOD n

m=n

n=r

LOOP UNTIL

r=0










思考4：你能用当型循环结构构造算法，
求两个正整数的最大公约
数吗？试画出程序框图和程序.
当型循环结构的程序框图如右图
2






































教 问题与情境及教师活动

学生活动
35

学

过

程

及

方

法
教
学
小
结

课
后
反
思
探究二:更相减损术
INPUT m，n
思考1：设两个正整数m>n，若m-n=k，则m与
r=1
n的最大公约数和n与k的最大公约数相
WHILE r＞0
等.反复利用这个原理，可求得98与63
r=m MOD n
的最大公约数为多少？
m=n
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，
n=r
并辗转相减，如下图所示.
WEND
所以，98和63的最大公约数等于7. < br>思考2：上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术.一般地，
用更相减损术求两个正 整数m，n的最大公约数，可以用什么逻
辑结构来构造算法？
更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小
的数，然后将差和较小的
数构成新的一对数，
INPUT “m，n=”；m，n
继续上面的减法，
WHILE m<>n
直到差和较小的数相等，
IF m>n THEN
此时相等的两数即为原来
ｍ＝m-n
两个数的最大公约数.
ELSE
思考3：你能否把更相减损术编程？
m=n-m

END IF

WEND

PRINT m


探究三：辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法 以除法为主，更相
减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，
特别当两个数 字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（1）用辗转相除法求最大公约数.
（2）用更相减损术求最大公约数.


3



备课人


36
授课时间

课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点
§1.3.2算法案例—秦九韶算法
1.了解秦九韶算法的计算过程，理解利用秦九韶算法减少计算次数提高计算效率的实质。
2.理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。
知识目标
技能目标
情感态度价值观
了解秦九韶算法的计算过程；了解数学计算转换为计算机计算的途径。
模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙；探究计算机算法与数
学算法的区别。
通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认
识到我国文化历史的悠久。
理解秦九韶算法的思想。
用循环结构表示算法的步骤。
问题与情境及教师活动

一．复习引入
大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都 是从外到里一口一口的
吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看
来处理同 一个问题的方法多种多样.
怎样求多项式f(x)=x
5
+x
4
+ x
3
+x
2
+x+1当x=5时的值呢？
思考：若先计算各项的值，然后再相加，那么一共要做多少次乘
法运算和多少次加法运算？
共需要10次乘法运算，5次加法运算。
我们把多项式变形为：
f(x)?x(1? x(1?x(1?x)))?x?1
再统计一下计算当
x?5
时的值时需要的计算次数 ，可以得出仅需
4次乘法和5次加法运算即可得出结果。显然少了6次乘法运算。
这种算法就叫 秦九韶算法。
二．研探新知
探究一: 秦九韶算法的基本思想
思考1：利用后一种算法求多项式
2
学生活动























教

学

过

程

及

方

法
f(x)?a
n
x
n
?a
n?1
x
n?1
?????a
1
x?a
0< br>的值，这个多项
f(x)?a
n
x
n
?a
n?1x
n?1
?a
n?2
x
n?2
?
?
? a
1
x?a
0
?(a
n
x
n?1
?an?1
x
n?2
?a
n?2
x
n?3
?
?
?a
1
)x?a
0
?((a
n
x
n? 2
?a
n?1
x
n?3
?
?
?a
2
)x?a
1
)x?a
0
?
??
?(
?
( (a
n
x?a
n?1
)x
1
?a
n?2
)x?
?
?a
1
)?a
0

教

问题与情境及教师活动

学生活动
37

学

过

程

及

方

法
思考2：对于由内向外逐层计算一次多项式

f(x)?a
n
x
n
?a
n?1
x
n?1
?????a
1
x?a
0

?（??（?a
n
x?a
n?1
)x?a
n?2
)x?????a
1
)x?a
0


的值，其算法步骤如何？
第一步，计算
v
1
?a
n
x?a
n?1
.
第二步，
第三步，
…
第
n
步，计算
vn
?v
n?1
x?a
0

思考3：上述求多项式
f(x)?a
n
x
n
?a
n?1
x
n?1
?????a
1
x?a
0
的值的方
法称为秦九韶算法，
利用该算法求
f(x
0
)
的值，一共需要多少次乘法运算，多少次
加 法运算？
秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+…+a
1
x+a
0
的求 值问
题。直接法乘法运算的次数最多可到达
(n?1)n
，加法最多n次。秦九
2
韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次
思考4：在秦九韶算法 中，记
v
0
?a
n
那么第
k
步的算式是什么？

v
k
?v
k?1
x?a
n ?k
?
k?0,1,2,?,n
?

探究二: 秦九韶算法的程序设计
思考1：用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么逻辑结构来构造算法？
其算法步骤如何设计？
我们可以得到下面的公式：
?
v
0
?a
n
,

?
v?vx? a(k?1,2,
?
,n).
k?1n?k
?
k
这是一个在 秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.
算法步骤如下：
第一步，输入多项式次数n、最高次的系数a和x的值.
2






































教 问题与情境及教师活动

学生活动
38

学

过

程

及

方

法




INPUT “n=”；n

INPUT “an=”；a

INPUT “x=”；x

v=a

i=n-1

WHILE i＞=0

PRINT “i=”；i

INPUT “ai=”；a

v=v*x+a

i=i-1

WEND

思考3：该程序框图对应的程序如何表述？
探究三：理论迁移
【例2】已知一个5次多项式为
f(x)?5x
5
?4x
4
?3x
3
?2x
2
?x?10

用秦九韶算法求
f(5)
的值.







秦九韶算法计算多项式的值及程序设计

教
学
小
结

课
后
反
思

3



备课人


39
授课时间

课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点
种进位制之间的转换。
§1.3.3算法案例—进位制
了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制 与十进制之间的联系进行各
知识目标
技能目标
情感态度价值观
了解各种 进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制
之间的联系进行各种进位制之间的转换。
学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位
制的除k去余法，并理解 其中的数学规律。
领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一
步认 识到计算机与数学的联系。
各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换
除
k
取余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计
问题与情境及教师活动

一．复习引入
在日常生活中，我们最熟悉、最常用 的是十进制，据说这与
古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、
十二进制 、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个
月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进 位制
二．研探新知
探究一: 进位制的概念
思考1:进位制是为了计数和运算方 便而约定的记数系统，如逢十
进一，就是十进制；每七天为一周，就是七进制；每十二
个月为一 年，就是十二进制，每六十秒为一分钟，每六十
分钟为一个小时，就是六十进制；等等.一般地，“满< br>k
进
一”就是
k
进制，其中
k
称为
k
进制的基数.那么
k
是一个
什么范围内的数？

思考2:十进制使用0～9十个数字，那么二进制、五进制、七进制
分别使用哪些数字？


思考3:在十进制中10表示十，在二进制中10表示2.一般地，若
k
是一个大于1的整数，则以
k
为基数的
k
进制数可以表
示为 一串数字连写在一起的形式：
a
n
a
n?1
?a
1
a
0(k)
其中
各个数位上的数字
a
,
a
n?
,…，
a
，
a
的取值范围如
1


学生活动





















教

学

过

程

及

方

法

教

问题与情境及教师活动

学生活动
40

学

过

程

及

方

法

思考4:十进制数4 528表示的数可以写成
4?10
3
?5?10
2
?2?10
1
?8?10
0
，依此类比，二进制数
110011
(2)
,八进制数
7342
(8)
分别可以写成什么式子？


思考5:一般地，如何将
k
进制数
a
n
an?1
?a
1
a
0(k)
写成各数位上
的数字与基数< br>k
的幂的乘积之和的形式？


思考6:在二进制中，0+0，0+1，1+0，1+1的值分别是多少？

探究二:
k
进制化十进制的算法
思考1:【例3】二进制数110011
（2）
化为十进制数是什么数？

思考2:二进制数右数第i位数字
a
i
化为十进制数是什么数？

思考3:【例4】运用循环结构，把二进制数
a?a
n
a
n?1< br>?
a
1
a
0(2)
化为
十进制数b的算法步骤如何设 计？
算法分析：从例3的计算过程可以看出，计算k进制数a的右数第i位
数字a
i
与k
i-1
的乘积a
i
·k
i-1
，再将其累加， 这是一个重复操
作的步骤.所以，可以用循环结构来构造算法.
算法步骤如下：
第一步，输入a，k和n的值.
第二步，将b的值初始化为0，
i的值初始化为1.
第三步，b=b+a
i
·k
i-1
，i=i+1.
第四步，判断i＞n是否成立.
若是，则执行第五步；
否则，返回第三步.
第五步，输出b的值.
程序框图如右图：
2






































教

问题与情境及教师活动

学生活动
41

学

过

程

及

方

法


INPUT “a,k，n=”；a，k，n

b=0

i=1

t=a MOD 10

DO

b=b+t*k^（i-1）

a=a10

t=a MOD 10

i=i+1

LOOP UNTIL i＞n

PRINT b



探究三：除
k
取余法
思考1:二进制数101101
（ 2）
化为十进制数是什么数？【例5】十进制数
89化为二进制数是什么数？
解：根 据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89或所得商，
然后取余数.具体计算方法如下：
因为89=2×44+1，44=2×22+0，
22=2×11+0，
11=2×5+1，
5=2×2+1，
2=2×1+0，
1=2×0+1，
所以89=2×（2×（2×（2×（2×2+1）+1）+0）+0）+1
=2×（2×（2×（2×（2
2
+1）+1）+0）+0）+1
=…=1 ×2
6
+0×2
5
+1×2
4
+1×2
3
+0×2
2
+0×2
1
+1×2
0

=1 011 001
(2)
.
思考2:上述化十进制数为二进制数的算法叫做除2取余法，转化过 程有
些复杂，观察下面的算式你有什么发现
吗？
把上式中各步所得的余数从下到上排列，
得到89=1 011 001
(2)
.
思考3:上述方法也可以推广为把十进制数化为
k

进制数的算法，称为除
k
取余法。
3







































教 问题与情境及教师活动

学生活动
42

学

过

程

及

方

法
教
学
小
结

课
后
反
思
思考4:根据上面 分析，【例6】利用除
k
取余法，将十进制数a化为
k
进
制数的算法 步骤如何设计？
算法分析：从例5的计算过程可以看出如下的规律：
若十制数a除 以k所得商是q
0
，余数是r
0
，即a=k·q
0
+r0
，则r
0
是a
的k进制数的右数第1位数.
若q< br>0
除以k所得的商是q
1
，余数是r
1
，即q
0=k·q
1
+r
1
，则r
1
是a的
k进制数的 左数第2位数.
……
若q
n-1
除以k所得的商是0， 余数是r
n
，即q
n-1
=r
n
，则r
n
是a的k
进制数的左数第1位数.
这样，我们可以得到算法步骤如下：
第一步，给定十进制正整数a和转化后的数的基数k.
第二步，求出a除以k所得的商q，余数r.
第三步，把得到的余数依次从右到左排列.
第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步；否则，输出全部余数r排列
得到的k进制数.
思考5:将除
k
取余法的算法步骤用程序框图如何表示？
程序框图如右图：
思考6:框图对应的程序如何表述？
INPUT “a，k=”；a，k

b=0
i=0

DO

q=ak
r=a MOD k

b=b+r*10^i

i=i+1
a=q

LOOP UNTIL q=0
PRINT b

END


（1）理解算法与进位制的关系.
（2）熟练掌握各种进位制之间转化


4



备课人


43
授课时间

课题
课标要求
2.1.1 简单随机抽样
正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤

知识目标 理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤

通过自学课后“阅读与思考”，让学生进一步了解虚假广告是淡化总体
教
学
目
标
技能目标
和抽样方法、强化统计结果来夸大产品的有效性，以提高学生理论联
系实际的能力．
通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会数学知
情感态度价值观
识与现实世界及各学科知识之间的联系，认识数学的重要
性。
正确理解简单随机抽样 的概念，掌握抽签法及随机数法的步骤，并能灵活应用相
关知识从总体中抽取样本。
随机数表的应用
重点
难点
问题与情境及教师活动

教学设想：
假设你作为一名食品卫生工作人员，要对某食品店内的一批


学生活动
教

学

过

程

及

方

法
小包装饼干进行卫生达标检验，你准备怎样做？
显然，你只能从中抽取一定数量的饼干作为检 验的样本。（为
什么？）那么，应当怎样获取样本呢？
【探究新知】
一、简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽
取 n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体
被抽到的机会都相等，就把这种抽样方 法叫做简单随机抽样，这
样抽取的样本，叫做简单随机样本。
【说明】简单随机抽样必须具备下列特点：
（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的。
（2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N。
（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。




















问题与情境及教师活动

学生活动
44

（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。
（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为nN。
思考？
下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？
（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。
（2）箱子里共有100个零件，从中选 出10个零件进行质量检验，在
抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子。
二、抽签法和随机数表法
1、抽签法的定义
一般地，抽签法就是把总体中的N个个 体编号，把号码写在号签
上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连
续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。
【说明】抽签法的一般步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）连续抽签获取样本号码。
思考？
你认为抽签法有什么优点和缺点：当总体中的个体数很多时，用
抽签法方便吗？
2、随机数表法的定义：
利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法，这里仅介绍随机数表法。
怎样利用随机数表产生样本呢？下面通过例子来说明，假设 我们
要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶
中抽取60袋进 行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步
骤进行。
第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，001，…，799。
第二步，在随机数 表中任选一个数，例如选出第8行第7列的数
7（为了便于说明，下面摘取了附表1的第6行至第10行 ）。

2





































教 问题与情境及教师活动

学生活动
45

学

过

程

及

方

法
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62
87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
第三步，从选定的数7开始向右读（读数 的方向也可以是向左、
向上、向下等），得到一个三位数785，由于785＜799，说明号码785
在总体内，将它取出；继续向右读，得到916，由于916＞799，将它去
掉，按照这种方 法继续向右读，又取出567，199，507，…，依次下去，
直到样本的60个号码全部取出，这样 我们就得到一个容量为60的样本。
【说明】随机数表法的步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）在随机数表中选择开始数字。
（3）读数获取样本号码。
【例题精析】
例1：人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随 机确定一张为起始牌，这时按
次序搬牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种< br>抽样方法是否是简单随机抽样？
[分析] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本 ，而
这里只是随机确定了起始张，其他各张牌虽然是逐张起牌，但是各张在
谁手里已被确定，所 以不是简单随机抽样。
例2：某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中
抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样
本？
[分析] 简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法。
解法1：（抽签法）将100件轴编号为1， 2，…，100，并做好大小、形
状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进

3







































教 问题与情境及教师活动

学生活动
46

学

过

程

及

方

法

均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这个10个号签对应的轴
的直径。
解 法2：（随机数表法）将100件轴编号为00，01，…99，在随机
数表中选定一个起始位置，如取 第21行第1个数开始，选取10个为68，
34，30，13，70，55，74，77，40，44 ，这10件即为所要抽取的样本。
【课堂练习】见课本
【课堂小结】
1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽
样有两种选取个体的方法：放回和不放 回，我们在抽样调查中用的是不
放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法。
2 、抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费
时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌 得不均匀，会导致抽样不公平，
随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是< br>很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽
样类型。
3、简 单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为nN，但是
这里一定要将每个个体入样的可能性、第n次 每个个体入样的可能性、
特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情况区分开业，避免在解题
中出现错误。


教
学
通过本节的学习，应明确什么是系统抽样，系统抽样的适用范围，如何用系统抽样获
小
取样本．
结

课
后
反
思





备课人


47
授课时间

课题
课标要求
2.1.2 系统抽样
理解系统抽样，会用系统抽样从总体中抽取样本

知识目标 了解系统抽样在实际生活中的应用

通过自学课后“阅读与思考”，让学生进一步了解虚假广告是淡化总体
教
学
目
标
技能目标
和抽样方法、强化统计结果来夸大产品的有效性，以提高学生理论联
系实际的能力．
情感态度价值观 通过了解系统抽样的应用，提高学生学习数学的兴趣.
重点
难点
实施系统抽样的步骤．
当
N
不是整数，如何实施系统抽样．
n
问题与情境及教师活动

导入新课


学生活动
教

学

过

程

及

方

法
上一节我们学习了简 单随机抽样，那么简单随机抽样的特点
是什么？简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，当总体中< br>的个体较少时，常采用简单随机抽样．但是如果总体中的个体较
多时，怎样抽取样本呢？教师点出 课题：系统抽样．
提出问题
（1）某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从 高
一年级500名学生中抽取50名进行调查，除了用简单随机抽样获
取样本外，你能否设计其 他抽取样本的方法？
（2）请归纳系统抽样的定义和步骤.
(3)系统抽样有什么特点？
讨论结果：
(1)可以将这500名学生随机编号1—500，分成50组，每组10人，< br>第1组是1—10，第二组11—20，依次分下去，然后用简单随机
抽样在第1组抽取1人,比 如号码是2，然后每隔10个号抽取一个，
得到2，12，22，…，492．
1





















问题与情境及教师活动

学生活动
48

这种抽样方法称为系统抽样．
(2)一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可 将总体分成
均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，
得到所需要 的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样.
其步骤是：
1°采用随机抽样的方法将总体中的N个个体编号;
2°将整体按编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N,l≤k);
3°在第1段用简单随机抽样确定起始个体的编号l（l∈N,l≤k）;
4°按照一定的规 则抽取样本.通常是将起始编号l加上间隔k得到第2
个个体编号(l+k)，再加上k得到第3个个体 编号(l+2k)，这样继续下去，
直到获取整个样本．
说明：从系统抽样的步骤可以看出， 系统抽样是把一个问题划分成若干
部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想．
(3)系统抽样的特点是：
1°当总体容量N较大时，采用系统抽样；
2°将总体 分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相
等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时间隔 一般为k＝［
N
］．
n
3°预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随 机抽样确定一个起
始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．
应用示例
例1 为了了解参加某种知识竞赛的1 000名学生的成绩，应采用什么
抽样方法较恰当？简述抽样过程．
解：适宜选用系统抽样，抽样过程如下：
（1）随机地将这1 000名学生编号为1，2 ，3，…，1000．
（2）将总体按编号顺序均分成50部分，每部分包括20个个体．
（3）在第一部分的个体编号1，2，3，…，20中，利用简单随机抽样
抽取一个号码，比如18．
（4）以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量
2






































教 问题与情境及教师活动

学生活动
49

学

过

程

及

方

法

点评：系统抽样与简单随机抽样一样，每个个体被抽到的概率都相等,
从而说明系统抽样是等概 率抽样，它是公平的．系统抽样是建立在简单
随机抽样的基础之上的，当将总体均分后对每一部分进行抽 样时，采用
的是简单随机抽样．
例2 为了了解参加某种知识竞赛的1 003名学生的成绩，请用系统抽
样抽取一个容量为50的样本．
分析：由于
步骤：
（1）随机地将这1003个个体编号为1，2，3，…，1003．
（2）利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体（可利用随机数表），
剩下的个体数1 000能被样本容量50整除，然后再重新编号为1，2，
3，…，1000．
（3）确定分段间隔．

1003
不是整数，所以先从总体中随机剔除3个个体．
50
1000
=20，则将这1 000名学生分成50组，每组
50
20人，第1组是1，2，3，…，20；第2组是21，22，23，…，40；依
次下去，第50 组是981，982，…，1000．
（4）在第1组用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤20).
（5）按照一定的规则抽取样本．抽取的学生编号为l+20k (k=0,1,2,…，
19 )，得到50个个体作为样本，如当k=2时的样本编号为2，22，42，…，
982．
点 评：如果遇到
N
不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个
n
个体，使 得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．
教
学
通过本节的学习，应明确什么是系统抽样，系统抽样的适用范围，如何用系统抽样获
小
取样本．
结

课

后
反
思





备课人


50
授课时间

课题
课标要求
2.1.3 分层抽样
理解分层抽样的概念，掌握其实施步骤，

理解分层抽样的概念，掌握其实施步骤，培养学生发现问题
知识目标
和解决问题的能力；

技能目标
情感态度价值观
掌握分层抽样与简单随机抽样和系统抽样的区别与联系，

提高学生的总结和归纳能力，让学生领会到客观世界的普遍
联系性．
教
学
目
标
重点
难点
分层抽样的概念及其步骤．
确定各层的入样个体数目，以及根据实际情况选择正确的抽样方法．
问题与情境及教师活动

一、导入新课
中国共产党第十七次代表大 会的代表名额原则上是按各选举
单位的党组织数、党员人数进行分配的，并适当考虑前几次代表
大会代表名额数等因素．按照这一分配办法，各选举单位的代表
名额，比十六大时都有增加．另外，按惯 例，中央将确定一部分
已经退出领导岗位的老党员作为特邀代表出席大会．这种产生代
表的方法 是简单随机抽样还是系统抽样？教师点出课题：分层抽
样．
我们已经学习了两种抽样方法：简单随机抽样和系统抽样，
本节课我们学习分层抽样．
二、新知探究
提出问题，学生讨论
(1)假设某地区有高中生2 400人，初中生10 900人，小学生11 000
人，此地教育部门为了了解本地区中小学的近视 情况及其形成
原因，要从本地区的小学生中抽取1%的学生进行调查，你认
为应当怎样抽取样本 ？
(2)想一想为什么这样取各个学段的个体数？
(3)请归纳分层抽样的定义.
(4)请归纳分层抽样的步骤.
(5)分层抽样时如何分层？其适用于什么样的总体？
讨论结果：
(1)分别利用系统抽样在高中生中抽取2 400×1%=24人，在初中生
中抽取10 900×1%=109人，在小学生中抽取11 000×1%=110
人．这种抽样方法称为分层抽样．


学生活动






















教

学

过

程

及

方

法


问题与情境及教师活动

学生活动
51

(3 )一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，
从各层独立地抽取一定数量的个 体，将各层取出的个体合在一起作为
样本，这种抽样的方法叫分层抽样．
(4)分层抽样的步骤：
①分层：按某种特征将总体分成若干部分（层）；
②按抽样比确定每层抽取个体的个数；
③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；
④综合每层抽样，组成样本．
(5)分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：
①分层时将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个
体互不交叉，即遵循不重复 、不遗漏的原则，即保证样本结构与总体
结构一致性．
②分层抽样为保证每个个体等可能入样 ，需遵循在各层中进行简单随
机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容
量的比相等．
③当总体个体差异明显时，采用分层抽样．
三、应用示例
例1 一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49
岁的有280人，50岁以上的 有95人，为了了解这个单位职工与身体状况
有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工 年龄与这项指
标有关，应该怎样抽取？
分析：由于职工年龄与这项指标有关，所以应选取分层抽样来抽取样本.
解：用分层抽样来抽取样本,步骤是:
(1)分层：按年龄将150名职工分成三层：不到3 5岁的职工；35岁至49
岁的职工；50岁以上的职工.
1001
?
，则 在不到35岁的职工
5005
11
中抽125×=25人；在35岁至49岁的职工中 抽280×=56人；在50
55
1
岁以上的职工中抽95×=19人．
5
(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为
(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本.
(4)综合每层抽样，组成样本．
点评：本题主要考查分层抽样及其实施步骤．如果总体中的 个体有差异
时，那么就用分层抽样抽取样本．用分层抽样抽取样本时，要把性质、
结构相同的个 体组成一层。
变式训练









































教 问题与情境及教师活动

学生活动
52

分析：由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层 ，用分层抽
样来抽取样本．在3个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5
学

解：用分层抽样来抽取样本，步骤是：
(1)分层：按区将20 000名高中生分成三层.
过
(2)确定每层抽取个体的个数．在这3个区抽取的学生数目分别是40、

60、100．
程
(3)在各层分别按随机数表法抽取样本.

(4)综合每层抽样，组成样本．
及

2. 某单位有老年人28人，中 年人54人，青年人81人，为了调查他们
的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样 本的方
方
法是 A.简单随机抽样 B.系统抽样

C.分层抽样 D.
先从老年人中剔除
1
人，再用分层抽样

法
分析：总人数为28+54+81=163．样本容量为36，由于总体由差异明显
的三部分组成，考虑用分层抽样.若按36∶163取样，无法得到整解，
故考虑先剔除1人，抽取比 例变为36∶162=2∶9，则中年人取12人，
青年人取18人，先从老年人中剔除1人，老年人取 6人，组成36的
样本.
例2 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类 及果
蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20
的样本进行食品 安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽
取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
分析：抽样比为

201
=，则抽取的植物油类种数是
40?10? 30?205
11
10×=2，则抽取的果蔬类食品种数是20×=4，所以抽取的植物油55
类与果蔬类食品种数之和是2＋4＝6.

点评：如果A、B、C三层含有 的个体数目分别是x、y、z,在A、B、C三
层应抽取的个体数目分别是m、n、p,那么有x∶y∶ z=m∶n∶p；如果总体有
教
本节课重视从学生的生活经验和已有知识中学习数学和理解数学.首先为教材内容选择
学 nb
生活背景，让学生体验数学问题来源于生活实际;其次，大胆调用学生熟知的生活经验，
?
小
Na
结

使数学学习变得易于理解掌握；

反

思






53

备课人
课题
课标要求

授课时间
§
２.2.1用样本的频率分布估计总体分布

学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图

知识目标 会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图

会频率分布直方图、频率折线图、 茎叶图的各自特征，从而
恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计

教
学
目
标
技能目标
通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活
情感态度价值观 的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数
学知识与现实世界的联系。
会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图。
能通过样本的频率分布估计总体的分布。
重点
难点
问题与情境及教师活动


一．引入
在ＮＢＡ的2004赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得

分的原始记录如下﹕
甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，

44，49，50
乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39， 51，
31，29，33
请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥
比较稳定？
学生活动




















教

学

过

程

及

方

法
如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂 课要研
究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布（板出
课题）。

二．研探新知
探究一:
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突 出，
某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额
管理，即确定一个居民月用 水量标准a，用水量不超过a的部分按
平价收费，超出a的部分按议价收费。如果希望大部分居民的日< br>常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢 ？你认为，为
了了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展
开讨论）
为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量
的分布情况，比如月均用水量在哪个 范围的居民最多，他们占全
1

54

问题与情境及教师活动

分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来 ，或者用紧凑的表格
改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，
二 是利用图形传递信息。表格则是通过改变数据的构成形式，为我们提
供解释数据的新方式。
下 面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在
样本容量中所占比例大小的角度，来表示 数据分布的规律。可以让我们
更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况。
〈一〉频率分布的概念：
频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般< br>用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为：
（1）计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差
（2）决定组距与组数
（3）将数据分组
（4）列频率分布表
（5）画频率分布直方图
以课本 P
56
制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频
率分布直方图。（让学生 自己动手作图）
频率分布直方图的特征：
（1）从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。
（2）从频率分布直方图得不 出原始的数据内容，把数据表示成直方图
后，原有的具体数据信息就被抹掉了。

探究二
同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形
状也会 不同。不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们
对总体的判断，分别以0.1和1为组距 重新作图，然后谈谈你对图的印
象？（把学生分成两大组进行，分别作出两种组距的图，然后组织同学< br>们对所作图不同的看法进行交流……）

〖思考1〗：如果当地政府希望使85%以上 的居民每月的用水量不超出
标准，根据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1，（见课本P57
）你能
对制定月用水量标准提出建议吗？（让学生仔细观察表和图）
〈二〉频率分布折线图、总体密度曲线
1．频率分布折线图的定义：
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布
折线图。
2．总体密度曲线的定义：
2

学生活动





































教

学

过

程

及

方

法

55

问题与情境及教师活动

〖思考2〗：
１．对于任何一个总体，它的密度曲线是不是一定存在？为什么？
２．对于任何一个总体，它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来？为什
么？
实际 上，尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的，但一般很难想函数图
象那样准确地画出来，我们只能用样 本的频率分布对它进行估计，一般来说，
样本容量越大，这种估计就越精确．
〈三〉茎叶图
１．茎叶图的概念：
当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数< br>字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的
茎， 两边部分像植物茎 上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。
（见课本P
6
１
例子）
2．茎叶图的特征：
（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息 的
损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以
随时记录，随时添加， 方便记录与表示。
（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组
的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，
清晰。

学生
活动





































教

学

过

程

及

方

三．例题精析
法

例1 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高
(单位ｃｍ)
区 间界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)[1 42,146)
人数5810223320
区间界限[146,150)[150,154)[ 154,158)
人数1165

(1)列出样本频率分布表﹔
(2)一画出频率分布直方图;
(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.。

分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。

解：（１）样本频率分布表如下：
3


56

问题与情境及教师活动


分组频数频率

[122,126)50.04

[126,130)80.07

[130,134)100.08

[134,138)220.18

[138,142)330.28

[142,146)200.17

[146,150)110.09

[150,154)60.05

[154,158)50.04

合计1201






（２）其频率分布直方图如下：

频率

组距

0.07


0.06

0.05


0.04

0.03


0.02

0.01


o

122 126 130 134 138 142 146 150 154 158





4

学生活动
































cm） 身高（





教

学

过

程

及

方

法

57

问题与情境及教师活动

例2：为
频率

组距
了了解高一
学生的体能
0.03
情况,某校
0.03
抽取部 分学
0.028
生进行一分
0.024
钟跳绳次数
次测试，将
0.020
所得数据整
0.01
理 后，画出
0.01
频率分布直
0.00
方图(如
0.00
图 )，图中从
左到右各小
o
90 100 110 120 130 140 150
次数
长方形面积
之比为2：
4：17：15：9：3，第二小组频数为12.
(1) 第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2) 若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学
生的达标率是多少？
(3) 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理
由。
分析 ：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，
小长方形的高与频数成正比，各组频数 之和等于样本容量，频率之和等
于1。
解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的
频率大小，
因此第二小组的频率为：
学生活动





































教

学

过

程

及

方

法
4
?0.08

2?4?17?15?9?3
又因为频率=
第二小组频数

样本容量
第二小组频数12
??150

第二小组频率0.08
所以
样本容量?
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为
17?15?9?3
?100%?88%
5
2?4?17?15?9?3

教 问题与情境及教师活动

学生活动
58

学

过

程

及

方

法

（3 ）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前
三组的频数之和为69，前 四组的频数之和为114，所以跳绳次数的
中位数落在第四小组内。












四．随堂练习

P
61
练习 1. 2. 3

五
．
课后作业

P
72

习题2.2 A组 1、 2




教
用样本的频率分布去估计总体的分布。
学
2、总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；
小 当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，
结

方法是用频率分布表或频率分布直方图。

1、总体分布指的是总体取值的频率分布 规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往
课
后
反
思
6


河北武中·宏达教育集团教师课时教案
59

备课人
课题
课标要求

授课时间
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
正确理解样本数据标准差的意义和作用，合理地选取样本

用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
知识目标
教
学
目
标

形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
技能目标

能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。
情感态度价值观

重点
难点
用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差
能应用相关知识解决简单的实际问题。
问题与情境及教师活动

【创设情境】
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命
中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个 运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体
上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特 征进行
研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。
学生活动








学生回答















教

学

过

程

及

方

法
【探究新知】
<一>、众数、中位数、平均数
〖探究〗：P
62

（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为
样本数据的“中心点”？
（ 2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让
学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨 论）
〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，
有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25
怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）
分析 ：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些
数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率 分
布直方图得来的，所以存在一些偏差。
〖提问〗：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？
分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也
1
河北武中·宏达教育集团教师课时教案

60

问题与情境及教师活动


数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得
来的，所以存在一些偏差。
〖提问〗：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？
分析：在样本数据中，有50%的个 体小于或等于中位数，也有50%
的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，矩
形 的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的
直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数 的值为
2.02。（图略见课本63页图2.2-6）
〖思考〗：2.02这个中位数的估计 值，与样本的中位数值2.0不一
样，你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率
分 布直方图把原始的一些数据给遗失了）
（课本63页图2.2-6）显示，大部分居民的月均用水量在 中部
（2.02t左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对
这部分居民的用水 量作出限制是非常合理的。
〖思考〗：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是
一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例
说明吗？（让学生讨论，并举例）
<二>、标准差、方差
１．标准差
平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是 ，有时平均数也会
使我们作出对总体的片面判断。某地区的统计显示，该地区的中学生的
平均身 高为１７６㎝，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身
高较高。但是，假如这个平均数是从五十 万名中学生抽出的五十名身高
较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质。因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态。
例如，在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，
命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个 运动员发挥的更稳定些吗？如果
你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？
我们知道，
x
甲
?7， x
乙
学生活动


















学生完成



















教

学

过

程

及

方

法
?7
。
两个人射击的平均成绩是一样的。那么，是否两个人 就没有水平差
距呢？（观察Ｐ６６图２.２-８）直观上看，还是有差异的。很明显，
甲的成绩 比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察
这两组数据。
2
河北武中·宏达教育集团教师课时教案

教
xx,x
n
问题与情境及教师活动

x
学生活动
61

学

过

程

及

方

法
分析：先画出数据的直方图，根据样本数 据算出样本数据的平均数，利
用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差。
解：（图略，可查阅课本Ｐ６８）
四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为：０.００，０.８２，
１.４９，２.８３。
他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差，说明数据的分散程度是
不一样的。
〖例2〗：（见课本Ｐ６９）
分析： 比较两个人的生产质量，只要比较他们所生产的零件 内径尺寸
所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可，根据用样本估计
总体的思想，我们可 以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比
较这两个样本数据的平均数、标准差，以此作为两个总体之 间的差
异的估计值。
【课堂精练】


















学生独立完
成
教
学
小
结

课

后
反
思

3


教 问题与情境及教师活动

学生活动
62

2. 、算出每个样本数据与样本数据平均数的差：
学

x
i
?x(i?1,2,n)

过

3. 、算出（２）中
x
i
?x(i?1,2,n)
的平方。
程
4. 、算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。

5. 、算出（４）中平均数的算术平方根，，即为样本标准差。
及
其计算公式为：

方
1
222

s?[(x?x)?(x?x)??(x?x)]
12n
法

















显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程

度较小。

〖提问〗：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么

特点？

从标准差的定义和计算公式都可以得出：
s?0
。当s?0
时，
学生完成

意味着所有的样本数据都等于样本平均数。

（在课堂上，如果条件允许的话，可以给学生简单的介绍一下利

用计算机来计算标准差的方法。）

２．方差

2

从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方
s
（即方差）来

代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：

1

s
2
?[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
??(x
n
?x)
2
]

n

在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在

解决实际问题时，一般多采用标准差。

【例题精析】

〖例1〗：画出下列四组样本数据的直方图，说明他们的异同点。


(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５

(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６

(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７

(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８
n

河北武中·宏达教育集团教师课时教案
备课
人


授课时间
63

课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点
2.3.1变量之间的相关关系
正确理解样本数据标准差的意义和作用，合理地选取样本

知识目标
技能目标
情感态度价值观
明确事物间的相互联系.
.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程
能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。
经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程
能应用相关知识解决简单的实际问题。
问题与情境及教师活动

在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似
乎学生的物理成绩与数学成绩之间 存在着一种相关关系.这种说
法有没有根据呢?请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ）:


学生活动






学生回答















教

学

过

程

及

方

法

你的数学成绩
你的物理成绩
好 中 差






学生讨论：我们可以发现自 己的数学成绩和物理成绩存在某
种关系.（似乎就是数学好的,物理也好；数学差的,物理也差,但又< br>不全对.）物理成绩和数学成绩是两个变量,从经验看,由于物理学
习要用到比较多的数学知识和 数学方法.数学成绩的高低对物理
成绩的高低是有一定影响的.但决非唯一因素,还有其他因素,如是否喜欢物理,用在物理学习上的时间等等.（总结：不能通过一
个人的数学成绩是多少就准确地断 定他的物理成绩能达到多少.
但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.
如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要
的现实意义.）为很好地说明上述问题,我 们开始学习变量之间的
相关关系和两个变量的线性相关.(教师板书课题)
我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的问题.例如:
商品销售收入与广告 支出经费之间的关系.商品销售收入与
广告支出经费有着密切的联系,但商品销售收入不仅与广告支出< br>多少有关,还与商品质量、居民收入等因素有关.
粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内,施肥量越大,
1
河北武中·宏达教育集团教师课时教案

教 问题与情境及教师活动

学生活动
64

人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.在一定年龄段内,随着年龄
学
的增长,人体内的脂肪含 量会增加,但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、
体育锻炼等有关,可能还与个人的先天体质有关.

过
应当说,对于上述各种问题中的两个变量之间的相关关系,我们都< br>可以根据自己的生活、学习经验作出相应的判断,因为“经验当中有规

程
律 ”.但是,不管你的经验多么丰富,如果只凭经验办事,还是很容易出错
的.因此,在分析两个变量之间 的相关关系时,我们需要一些有说服力的

及
方法.

在寻找变量之间相关关系的过程中,统计同样发挥着非常重要的作
方
用.因为上面提到的这种 关系,并不像匀速直线运动中时间与路程的关
系那样是完全确定的,而是带有不确定性.这就需要通过收 集大量的数

法
据(有时通过调查,有时通过实验),在对数据进行统计分析的基础 上,发
现其中的规律,才能对它们之间的关系作出判断.
(2)相关关系的概念：自变量取值 一定时,因变量的取值带有一定随机性
的两个变量之间的关系,叫做相关关系.两个变量之间的关系分两 类：
① 确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；
②带有随机性 的变量间的相关关系,例如“身高者,体重也重”,我们就说身
高与体重这两个变量具有相关关系.相关 关系是一种非确定性关系.
如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.（还与商品质量、居民收
入、生活环境等有关）
(3)两个变量间的相关关系的判断：①散点图.②根据散点图中变量的对
应点的离散程度,可 以准确地判断两个变量是否具有相关关系.③正相
关、负相关的概念.
①教学散点图
出示例题：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了
一组样本数据
年龄
脂肪
年龄
脂肪
23
9.5
53
29.6
27
17.8
54
30.2
38
21.2
56
31.4
41
25.9
57
30.8
45
27.5
58
33.5
分析数据： 大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在
增加.我们可以作散点图来进一步分析. ②散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表
示两个变量的一组数据的图 形,这样的图形叫做散点图，如下图.
2


















学生完成



















河北武中·宏达教育集团教师课时教案

教 问题与情境及教师活动

学生活动
65

学

过

程

及

方

法
从散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的
趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系,这个图支持了我们从数
据表中得出的结论. （a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量
之间的关系,即变量之间具 有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某
一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的 样本点都落在
某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）
③正相关与负相关的概念：如果散 点图中的点散布在从左下角到右上角
的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角 的
区域内,称为负相关.（注：散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个
变量之间不具有相 关关系）
课堂小结
通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散
点图直观认识变量间的相关关系.
作业
习题2.3A组3、4(1).




















学生独立完
成
教
通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变
学
小
量间的相关关系.
结

课

后
反
思
3



备课人


66
授课时间

课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点
§2.3.2两个变量的线性相关
。.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.
知识目标
技能目标
情感态度价值观
.
认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外 ,仍存在大量的非确定
性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系.

经历用 不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的
思想,能根据给出的线性回归方程的系数 公式建立线性回归方程．
使学生认识到在现实世界中存在变量关系,

通过收集现实 问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识
两个变量之间的线性关系 ；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程
．
变量之间相关关系的理解；作散点 图和理解两个变量的正相关和负相关；理解最小二乘法的思
想.
问题与情境及教师活动

提出问题
（1）作散点图的步骤和方法？
（2）正、负相关的概念？
（3）什么是线性相关？
（4）看人体的脂肪百分比和 年龄的散点图,当人的年龄增加时,体
内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？
（5）什么叫做回归直线？
（6）如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的
思想？
（7）利用计算机如何求回归直线的方程？
（8）利用计算器如何求回归直线的方程？
活动：学生回顾,再思考或讨论,教师及时提示指导.
讨论结果：（1）建立相应的平面直角 坐标系,将各数据在平面直角
坐标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这
样的图形叫做散点图.（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线
上,就用该函数来描述变量之间的关 系,即变量之间具有函数关
系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有
相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有
线性相关关系）
（2） 如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正
相关.如果散点图中的点散布在从左上角到 右下角的区域内,称为
负相关.
（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相
1


学生活动





















教

学

过

程

及

方

法

教

问题与情境及教师活动

学生活动
67

学
（5）如下图：

过

程

及

方


从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附
法
近.如果散 点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这
两个变量之间具有线性相关关系,这条直线 叫做回归直线(regression
line).

如果能够求出这条回归直线 的方程(简称回归方程),那么我们就可
以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可 以作为
一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关
关系的代表. < br>（6）从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布
在通过散点图中心的一 条直线.
那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢?
有的同学可能会 想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出
各点与它的距离,然后移动直线,到达一个使距离 的和最小的位置,测量出
此时的斜率和截距,就可得到回归方程了.但是,这样做可靠吗?
有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧
的点的个数基本相同.同样地,这样 做能保证各点与此直线在整体上是最
接近的吗?
还有的同学会想,在散点图中多取几 组点,确定出几条直线的方程,再
分别求出各条直线的斜率、截距的平均数,将这两个平均数当成回归方 程
的斜率和截距.
同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行?
（学生讨论：1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳,使
得上面和下面点的个数 相同或基本相同.3.多取几组点对,确定几条直线
方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平 均值,作为所求直线
的斜率、截距.）教师：分别分析各方法的可靠性.如下图：课本87---88
上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强.
实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上
2






































教

问题与情境及教师活动

学生活动
68

学

过

程

及

方

法
n
?
(x
i
?x)(y
i
?y)?
?
i?1
?
?
?
b?
n
?
(x
i
?x)
2
?
?
i?1
?
?
?
a?y?bx.
?
xy
i
i?1
n
i?1
n
i
?nxy
,(1)

?
x
i
2?nx
2
其中，b是回归方程的斜率，a是截距.
推导公式①的计算比较复杂，这里不作推导.但是,我们可以解释一下得
出它的原理.
假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据
(x
1
,y
1< br>),(x
2
,y
2
),…,(x
n
,y
n< br>)，
且所求回归方程是
y
=bx+a,
其中a、b是待定参数.当 变量x取x
i
(i=1,2,…,n)时可以得到
^
y
=bx
i
+a(i=1,2,…,n),
它与实际收集到的y
i
之间的偏差是y
i
-
y
=y
i
-(bx
i
+a)(i=1 ,2,…,n).
^
^

这样，用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的 整体偏差”是比较合适
的.由于（y
i
-
y
）可正可负，为了避免相 互抵消，可以考虑用
^
?
|y
i?1
n
i
?yi
|
^
来代替，但由于它含有绝对值，运算不太方便，所以改用
Q=(y
1
-bx
1
-a)
2
+(y
2
-bx2
-a)
2
+…+(y
n
-bx
n
-a)2

②
来刻画n个点与回归直线在整体上的偏差.
这样，问题就归结为:当a,b取什么值时Q最小 ，即总体偏差最小.经过
数学上求最小值的运算，a,b的值由公式①给出.

通过 求②式的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样
本数据的点到它的距离的平方和最小，这 一方法叫做最小二乘法
（method of least square）
3






































教 问题与情境及教师活动

学生活动
69

学

过

程

及

方

法
例1 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影
响，经过 统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：
摄氏温度℃
热饮杯数
-5
156
0
150
4
132
7
128
12
130
15
116
19
104
23
89

（1）画出散点图；
（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；
（3）求回归方程；
（4）如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数.
解：课本91
1.线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在随机误
差，这种误差可以导致预测 结果的偏差.
2.即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x
的预报 值，能够与实际值y很接近.我们不能保证点（x,y）落在回归直
线上，甚至不能百分之百地保证它落 在回归直线的附近，事实上，
y=bx+a+e=
y
+e.这里e是随机变量，预报值
y
与实际值y的接近程度由
随机变量e的标准差所决定.
一些学生 可能会提出问题：既然不一定能够卖出143杯左右热饮，
那么为什么我们还以“这天大约可以卖出14 3杯热饮”作为结论呢？这是
因为这个结论出现的可能性最大.具体地说，假如我们规定可以选择连续< br>的3个非负整数作为可能的预测结果，则我们选择142，143和144能
够保证预测成功（即 实际卖出的杯数是这3个数之一）的概率最大.

^^
教
学
利用实例分析了散点图的分布规律,推导出了线性回归直线的方程的求法,并利用回归
小
直线的方程估计可能的结果,本节课讲得较为详细,实例较多,便于同学们分析比较.
结


课
后
反
思
4



备课人


授课时间
70

课题
课标要求
3.1.1 随机事件的概率
了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念.
知识目标
通过在抛硬币等试验获取数据, 了解随机事件、必然事件、
不可能事件的概念
通过 获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,正确理解事件A
出现的频率的意义，真正做到在探索中学习, 在探索中提高.
通过数学活动,即自己动手、动脑和亲身试验来理解概率的概
念,明确事件A 发生的频率f
n
（A）与事件A发生的概率P（A）
的区别与联系,体会数学知识与现 实世界的联系.
教
学
目
标
技能目标
情感态度价值观
重点
难点
理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.
理解频率与概率的关系.
问题与情境及教师活动


一、导入新课：
在第二次世界大战中,美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用

超过10个师的兵力.这句话有一个非同寻常的来历.（故事略）
在自然界和实际生活中,我们会遇到各种各样的现象.如果从

结果能否预知的角度来看,可以 分为两大类：一类现象的结果总是
确定的,即在一定的条件下,它所出现的结果是可以预知的,这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的,即在一定
的条件下,出现那种结果是无法预 先确定的,这类现象称为随机现
象.随机现象是我们研究概率的基础,为此我们学习随机事件的概
率.
二、新课讲解：
1、提出问题
（1）什么是必然事件？请举例说明.
（2）什么是不可能事件？请举例说明.
（3）什么是确定事件？请举例说明.
注：以上3问初中已经学习了.
（4）什么是随机事件？请举例说明.
（5）什么是事件A的频数与频率？什么是事件A的概率？
（6）频率与概率的区别与联系有哪些?
观察：（１）掷一枚硬币,出现正面；
（２）某人射击一次,中靶；
（３）从标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得4号签；

学生活动




















教

学

过

程

及

方

法

教 问题与情境及教师活动

学生活动
71

学

过

程

及

方

法

骰子,结果都是出现1点.你认为这枚骰子的质地均匀吗?为什么?
这三个事件在一定的条件下是或者发生或不一定发生的,是模棱两可的.
２、活动
做抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时哪一个面朝上.通过学生亲
自动手试验,突破学生理解的难点：“ 随机事件发生的随机性和随机性中
的规律性”.通过试验,观察随机事件发生的频率,可以发现随着实验 次
数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概率的定义.在这个过
程中,重视了掌握知 识的过程,体现了试验、观察、探究、归纳和总结的
思想方法
具体如下：
第一步每个人各取一枚硬币,做10次掷硬币试验,记录正面向上的
次数和比例,填在下表：
姓名

试验次数 正面朝上总次数

正面朝上的比例

思考：
试验结果与其他同学比较,你的结果和他们一致吗？为什么？
第二步 由组长把本小组同学的试验结果统计一下,填入下表.
组次

试验总次数

正面朝上总次数

正面朝上的比例

思考：
与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例一致吗？为什么？
通过 学生的实验,比较他们实验结果,让他们发现每个人实验的结
果、组与组之间实验的结果不完全相同,从 而说明实验结果的随机性,但
组与组之间的差别会比学生与学生之间的差别小,小组的结果一般会比学生的结果更接近0.5.
第三步 用横轴为实验结果,仅取两个值：1（正面）和0 （反面）,
纵轴为实验结果出现的频率,画出你个人和所在小组的条形图,并进行
比较,发现什 么？
第四步 把全班实验结果收集起来,也用条形图表示.
思考：
这个条形图有什么特点？
引导学生在每组实验结果的基础上统计全班的实验结果,一般情况< br>下,班级的结果应比多数小组的结果更接近0.5,从而让学生体会随着实
验次数的增加,频率会 稳定在0.5附近.并把实验结果用条形图表示,这
样既直观易懂,又可以与第二章统计的内容相呼应, 达到温故而知新的
目的.
.








































教

问题与情境及教师活动

学生活动
72

学

过

程

及

方

法
第五步 请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性
思考：
如果同学们重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果
一致吗？为什么？
出现正面朝上的规律性：随着实验次数的增加,正面朝上的频率稳
定在0.5附近.
由特殊事件转到一般事件,得出下面一般化的结论：随机事件A在
每次试验中是否发生是不能预知的,但 是在大量重复实验后,随着次数
的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上 .
从而得出频率、概率的定义,以及它们的关系.
3、讨论结果：（1）必然事件:在条件S 下,一定会发生的事件,叫相对于
条件S的必然事件（certain event）,简称必然事件.
（2）不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S
的不可能事件（imp ossible event）,简称不可能事件.
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事
件.
（4）随 机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条
件S的随机事件（random event）,简称随机事件；确定事件和随机事
件统称为事件,用A,B,C,…表示.
（ 5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是
否出现,称n次试验中事件A出现 的次数n
a
为事件A出现的频数
（frequency）；称事件A出现的比例fn
(A)=
n
A
为事件A出现的频率
n
（relati ve frequency）;对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的
增加,事件A发生的频率f
n
(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P（A）,
称为事件A的概率（prob ability）.
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率,指此事件发生的次数
n
A
与试验总次数n的比值
n
A
,它具有一定的稳定性,总在某个常 数附近
n
摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.我们把这个
常数 叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性
的大小.频率在大量重复试验的前提下 可以近似地作为这个事件的概
率.
频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率 会越来越接近概
率.在实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值.









































教 问题与情境及教师活动

学生活动
73

学

过

程

及

方

法
频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事
件的频率会不同. 概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个
硬币是质地均匀的,则掷硬币出 现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次
实验无关.
三、课堂练习：
教材113页练习：1、2、3
四、课堂小结：
本节研究的是那些在相同条件下,可以进行 大量重复试验的随机事
件,它们都具有频率稳定性,即随机事件A在每次试验中是否发生是不能
预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频
率逐渐稳定在区间［0,1］内 的某个常数上（即事件A的概率）,这个常
数越接近于1,事件A发生的概率就越大,也就是事件A发生 的可能性就
越大.反之,概率越接近于0,事件A发生的可能性就越小.因此说,概率就
是用来 度量某事件发生的可能性大小的量.




教
（1）必然事件、不可能事件、随机事件
学
（2）频率与概率的区别与联系：
小

结


课
后
反
思





74

备课人
课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点

授课时间
3.1.2 概率的意义
正确理解概率的意义；利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.
知识目标
技能目标
情感态度价值观
正确理解概率的意义

利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.

通过对概率的实际意义的理解,体会 知识来源于实践并应用于实践的辩
证唯物主义观,进而体会数学与现实世界的联系.
理解概率的意义.
用概率的知识解释现实生活中的具体问题.
问题与情境及教师活动

一、导入新课：
生活中,我们经常听到这 样的议论：“天气预报说昨天降水概
率为90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了.”这 是
真的吗？为此我们必须学习概率的意义.
二、新课讲解：
1、提出问题： （1）有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面向上的概率为0.5,那么
连续抛掷一枚硬币两次,一定 是一次正面朝上,一次反面朝上,你
认为这种想法正确吗？
（2）如果某种彩票中奖的概率为


学生活动





















教

学

过

程

及

方

法
1
,那么买1 000张彩票一定
1000
能中奖吗？
（3）在乒乓球比赛中,裁判员有时也用数名 运动员伸出手指数的
和的单数与双数来决定谁先发球,其具体规则是：让两名运动员背
对背站立 ,规定一名运动员得单数胜,另一名运动员得双数胜,然
后裁判员让两名运动员同时伸出一只手的手指, 两个人的手指数
的和为单数,则指定单数的运动员得到先发球权,若两个人的手指
数的和为双数 ,则指定双数胜的运动员得到先发球权,你认为这个
规则公平吗？
（4）“天气预报说昨天降 水概率为90%,结果根本一点雨都没下,
天气预报也太不准确了.”学了概率后,你能给出解释吗？
（5）阅读课本的内容了解孟德尔与遗传学.
(6)如果连续10次掷一枚骰子,结果都是出现1点.你认为这枚骰
1

75

问题与情境及教师活动


2、讨论结果：
（1）这种想法显然是错误的,通过具体的试验可以发现有三种可能的结
果：“两次正面朝上”“两次反 面朝上”“一次正面朝上,一次反面朝
上”,而且其概率分别为0.25,0.25,0.5.
（2）不一定能中奖,因为买1 000张彩票相当于做1 000次试验,因为
每次试验的结果都是随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因
此,1 000张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一张、两张乃至多张中
奖.
（3）规则是公平的.
教
（4）天气预报的“降水”是一个随机事件,因此,“昨天没有下雨”并

不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的.
学
（5）奥地利遗传学家（,1822—1884）用豌豆进行杂交试验,
：

下表为试验结果（其中F
1
为第一子代,F
2
为第二子代）
学生活 动





































过

程

及

方

法
性状 F
1
的表现 F
2
的表现
种子的形
状
茎的高度
全部圆粒 圆粒5
474
皱粒1
850
矮茎277
圆粒∶皱粒
≈2.96∶1
高茎∶矮茎
≈2.84∶1
全部高茎 高茎787
子叶的颜
色
豆荚的形
状
全部黄色 黄色6
022
绿色2
001
不饱满
299
黄色∶绿色
≈3.01∶1
饱满∶不饱满
≈2.95∶1
全部饱满 饱满882
孟德尔发现第一子代对于一种性状为必然事件,其可能性为1 00%,
另一种性状的可能性为0,而第二子代对于前一种性状的可能性约为
75%,后一种性 状的可能性约为25%,通过进一步研究,他发现了生物遗传
的基本规律.实际上,孟德尔是从某种性状 发生的频率作出估计的.
(6)利用刚学过的概率知识我们可以进行推断,如果它是均匀的,通过试< br>验和观察,可以发现出现各个面的可能性都应该是
现1点的概率为(
1
,从而连 续10次出
6
1
10
)≈0.000 000 001 653 8,这在一 次试验(即连续
6
10次投掷一枚骰子)中是几乎不可能发生的.而当骰子不均匀时,特别是< br>当6点的那面比较重时(例如灌了铅或水银),会使出现1点的概率最大,
更有可能连续10次出 现1点.
现在我们面临两种可能的决策:一种是这枚骰子的质地均匀,另一
2

教 问题与情境及教师活动

学生活动
76

学

过

程

及

方

法

如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正 确答案的决策任务,那么
“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则,例如对上述思考
题所作的推断.这种判断问题的方法称为极大似然法.极大似然法是统
计中重要的统计思想方法之一.
如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大,那么判断正
确的可能性也最大. 这种判断问题的方法称为似然法.似然法是统计中
重要的统计思想方法之一.
三、例题讲解：
例1 为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法,先从水库中捕
出一定数量的鱼,例如2 000尾, 给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后
放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合, 再从水库
中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.
试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.
分析：学生先思考,然后交流讨论,教师指导,这实际上是概率问题,即2
000尾鱼在水库 中占所有鱼的百分比,特别是500尾中带记号的有40尾,
就说明捕出一定数量的鱼中带记号的概率为

40
,问题可解.
500
2000
.
n
解：设水库中鱼的尾数为n,A={带有记号的鱼},则有P(A)=
①
因P(A)≈
②
由①②得
40
，
500
200040
?
,解得n≈25 000.
n500
教
学
小
结

课
后
反
思
所以估计水库中约有鱼25 000尾.
四、课堂练习：
（1）正确理解概率的意义
（2）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题

3


河北武中·宏达教育集团教师课时教案
备课人


77
授课时间

课题
课标要求
3.1.3 概率的基本性质

正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事
件的概念；
知识目标
正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别
与联系
通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，
培养学生的类化与归纳的数学思想。
通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学
知识应用于现实世界的具体情境，从 而激发学习 数学的情
趣。
教
学
目
标
技能目标
情感态度价值观
重点
难点
概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。
概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。
问题与情境及教师活动

一、情境设置，导入新课：
学生活动



学生思考
教学设计：

教

学

过

程

及

方

法
1、 创设情境 ：（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，
{2，4}С{2，3，4，5}等；
（2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C
1
={出现1点}，C
2< br>={出


现2点}，C
3
={出现1点或2点}，C
4
={出现的点数为偶数}……
师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能


发现事件的关系与运算吗？

2、 基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课

本P115；

（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B

互斥； （3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与学生可自由
事件B互为对立事件 ； 讨论。

（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；

若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)=

P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．

3、 例题分析：

例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪

些是对立事件?

事件A：命中环数大于7环； 事件B：命中环数为10环；

事件C：命中环数小于6环； 事件D：命中环数为6、7、

8、9、10环.

1
河北武中·宏达教育集团教师课时教案

教 问题与情境及教师活动

学生活动
78

学

过

程

及

方

法
分析：要判断所 给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别
弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件， 而对立事件是建立在
互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。
解：A与C 互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D
是对立事件（至少一个发生）.
例2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出
现偶数点”，已知 P(A)=
11
，
P(B)=，求出“出现奇数点或偶数点”．
22
分析：抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，
可用运用概率的加法公式求解 ．
解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事
件，所以P (C)=P(A)+ P(B)=
11
+=1
22
答：出现奇数点或偶数点的概率为1
例3 如果从不包括大小王的52张扑克牌 中随机抽取一张，那么取到红
心（事件A）的概率是
11
，取到方块（事件B）的概率 是
，
问：
44
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
分析：事件C是事件A与事件B的并，且A与B 互斥，因此可用互斥事
件的概率和公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)=1—P(C) ．
解：（1）P(C)=P(A)+ P(B)=
11
（2）P(D)=1—P(C)=

22
例4 袋中 有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一
球，得到红球的概率为
绿球的概率 也是
15
，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或
学生思考
3
12















学生推出









并总结

5
，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是
12
多少？
分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．
解：从袋中任取一球，记事件 “摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、
5
；P(C∪
12
512D)=P(C)+P(D)=；P(B∪C∪D)=1-P(A)=1-=,解的
3
123
11
1
P(B)=,P(C)=,P(D)=
6
44
1< br>1
1
答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是、、．
2
4
6
4
“摸到绿球”为A、B、C、D，则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=河北武中·宏达教育集团教师课时教案

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79

学

过

程

及

方

法

练习：P121课后习题


课堂小结：概率的基本性质：1）必然事件概 率为1，不可能事件概率为
0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P( A∪
B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，
所以P(A∪B)= P(A)+ P (B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；3）互斥事件与
对立事件的区别与联系，互斥事件是指事 件A与事件B在一次试验中不
会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不< br>发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发
生，而对立事件是指事 件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情
形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事 件A不发生，对立事
件互斥事件的特殊情形。



教
学
小
结

课

后
反
思
王新敞

3



备课人
课题
课标要求


授课时间
3.2.1 古典概型（一）

通过模拟试验让学生理解古典概型的特征，试验结果的有限性和每一个试验
结果出现 的等可能性，掌握古典概型的概率计算公式
80

知识目标 理解古典概型及其概率计算公式.

会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生
的概率

树立从具 体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点,培养
学生用随机的观点来理性地理解世界,使得学生在体 会概率意
义

教
学
目
标
技能目标
情感态度价值观
重点
难点
理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率
如何判断一个试验是否是古典概型， 分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本
事件的个数和试验中基本事件的总数。。
问题与情境及教师活动

一、导入新课：
(1)掷一枚质地均匀的硬币,结 果只有2个,即“正面朝上”或“反
面朝上”,它们都是随机事件.
(2)一个盒子中有10 个完全相同的球,分别标以号码
1,2,3,…,10,从中任取一球,只有10种不同的结果,即标号 为
1,2,3，…,10.
思考讨论根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点？
二、新课讲解：
1、提出问题：
试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币,分别记录“ 正面朝上”
和“反面朝上”的次数,要求每个数学小组至少完成20次（最好
是整十数）,最后 由学科代表汇总；
试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子,分别记录“1点”“2
点”“3点”“ 4点”“5点”和“6点”的次数,要求每个数学小
组至少完成60次（最好是整十数）,最后由学科代 表汇总.
（1）用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？为
什么？

（2）根据以前的学习,上述两个模拟试验的每个结果之间都
有什么特点？

（3）什么是基本事件？基本事件具有什么特点？
1


学生活动




















教

学

过

程

及

方

法

教

问题与情境及教师活动

学生活动
81

学

过

程

及

方

法
2、活动：学生展示模拟试验的操作方法和试验结果,并与同学交流活动
感受,讨 论可能出现的情况,师生共同汇总方法、结果和感受.
3、讨论结果：（1）用模拟试验的方法来求某 一随机事件的概率不好,因
为需要进行大量的试验,同时我们只是把随机事件出现的频率近似地认
为随机事件的概率,存在一定的误差.
（2）上述试验一的两个结果是“正面朝上”和“反面朝上” ,它们都是
随机事件,出现的概率是相等的,都是0.5.上述试验二的6个结果是“1
点”“ 2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”,它们也都是随机事
件,出现的概率是相等的,都是
1
.
6
（3）根据以前的学习,上述试验一的两个结果“正面朝上”和“反面朝< br>上”,它们都是随机事件；上述试验二的6个结果“1点”“2点”“3
点”“4点”“5点”和 “6点”,它们都是随机事件,像这类随机事件我
们称为基本事件（elementary event）；它是试验的每一个可能结果.
基本事件具有如下的两个特点
：
①任何两个基本事件是互斥的；
②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.
（4）在一个试验中如果
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）
②每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classical
models of probability）,简称古典概型.
向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆 内任意一点都是
等可能的,你认为这是古典概型吗?为什么？


因为试验 的所有可能结果是圆面内所有的点,试验的所有可能结果
数是无限的,虽然每一个试验结果出现的“可能 性相同”,但这个试验
不满足古典概型的第一个条件.
如下图,某同学随机地向一靶心进行射 击,这一试验的结果只有有限个：
命中10环、命中9环……命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗 ？
2






































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方

法

不是古典概型,因为试验的所有可能结果只有7个,而命中10环、
命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的,即不满足古典概
型的第二个条件.
（5）古典概型,随机事件的概率计算（见课本）
可以概括总结出,古典概型计算任何事件的概率计算公式为：
P（A）=
A所包含的基本事件的个数
.
基本事件的总数
在使用古典概型的概率公式时,应该注意：
①要判断该概率模型是不是古典概型；
②要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.
三、例题讲解：
例1 从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基
本事件？
活动：师生交流或讨论,我们可以按照字典排序的顺序,把所有可能的结
果都列出来.

解：基本事件共有6个:
A={a,b},B={a,c},C={a,d},D ={b,c},E={b,d},F={c,d}.
点评：一般用列举法列出所有基本事件的结果,画树状图是列举法的基
本方法.
例2 ：单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D四个选项中
选择一个正确答案.如果考生 掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确的
答案.假设考生不会做,他随机地选择一个答案,问他答对的 概率是多少
解：（略）
点评：古典概型解题步骤:
（1）阅读题目,搜集信息；
（2）判断是否是等可能事件,并用字母表示事件；
（3）求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；
（4）用公式P(A)=
m
求出概率并下结论
3
.
n







































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学生活动
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