高中数学不等式专题教案

名师精编 精品教案
学大教育个性化教学辅导教案
学科： 高中数学 任课教师： 谢老师 授课时间： 20XX年 7月 20日 (星期 一 )
姓名
许悦
课程名称
年级 高二 性别 女 学校 总课时____第_四_课
一元二次不等式
知识与技能目标： 掌握一元二次的不等式解法，能够熟练掌握不等式的范围求值问题；
教学
过程与方法目标： 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；
目标
情感与态度目标： 在一元二次不等式的学习过程中感受到数学的应用价值和审美价值。
教学重点：一元二次不等式的解法，分式和绝对值不等式的解法，不等式与指数、对数函数
难点
的结合，不等式的求值范围应用；
重点
教学难点：

不等式的求值范围应用，恒成立的不等式范围求值。

课前
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□
检查
建议__________________________________________
第一部分 【知识梳理】
复习导入
不等式的基本性质：
（1）
a?b,b?c?a?c

（2）
a?b?a?c?b?c

（3）
a?b,c?0?ac?bc

（4）
a?b,c?0?ac?bc


通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。

课
堂
教
学
过
程

过
程
a?0

一次函数
y?ax?b(a?0)
的图
a?0

像

一元一次方程

ax?b?0
的解集
一元一次不等式
?
b
?
xx??
??

a
??
?
b
?
xx??
??

a
??
?
b
?
xx??
??

a
??
?
b
?
xx??
??

a
??
?
b
?
xx??
??

a
??
?
b
?
xx??
??

a
??
ax?b?0
的解集
一元一次不等式
ax?b?0
的解集
在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次 函数三者之间有着密切的联系。利用这
种联系（集中反映在相应一次函数的图像上！）我们可以快速准确 地求出一元一次不等式的解集，
类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来 讨论找到其求解方法

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呢？

1.1 一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根，是对 应二次函数的图像与x轴
交点的横坐标。

注意：表中不等式的二次系数均为正，如 果不等式的二次项系数为负，应先利用不等
式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决 。
例题讲解：
例1、解下列关于
x
的不等式
（1）
x?x ?6?0
；（2）
4x?4x?1?0
；（3）解不等式
?x?2x?3?0

解：（1）因为
??(?1)?4?1?(?6)?25?0
,方程
x?x?6?0
的两根是
x
1
?3,x
2
??2
，
所以，原不等式的解集是
xx?3或x??2
。
（2）因为
??0,方程4x?4x?1?0的解是x
1
?x
2
?
所以，原 不等式的解集是
?
xx?
2
22
222
??
1，
2
?
?
1
?
?
。
2
?
（3）整理，得
x?2x?3?0
， 化标准
因为
??(?2)?4?1?(?3)?16?0
，
方程
x?2x?3?0
的解是
x
1
?3,x
2
?? 1
判Δ，求根
2
2
2

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所以不等式
x?2x?3?0
的解集是
x?1?x?3
，
从而，原不等式的解集是
x?1?x?3
。 下结论
小结：解一元二次不等式的步骤：
（1）化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、最高次的系数为正）；
（2）判Δ，求根：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根；
（3）下结论：注意结果要写成集合或者区间的形式
2
??
??

1.2、一元高次不等式的解法
解高次不等式的基本思路是通过因式分解，将它转化成一 次或二次因式的乘积的形
式，然后利用数轴标根法或列表法解之。
数轴标根法步骤： ①将不等式化为(x-x
1
)(x-x
2
)…(x-x
n
)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为
了统一方便)
②求根，并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不
等式是“ <0”,则找“线”在x轴下方的区间.

注意：（1）“右、上”（2）“奇过，偶不过”

例2、 解不等式：(x-2)
2
(x-3)
3
(x+1)<0.
解：①检查各因式中x的符号均正；
②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；
③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：

④∴原不等式的解集为：{x|-1说明：∵3是三重根，∴在C 处穿三次，2是二重根，∴在B处穿两次，结果相
当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x -x
1
)
n
时，n为奇数时，曲线在x
1
点处穿
过 数轴；n为偶数时，曲线在x
1
点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.

练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x
2
+4x+4)
?
0.
解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)
2
?
0；

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②求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3；
③在数轴上表示各根并穿线，如图：

④∴原不等式的解集是{x|-1
?
x
?
3或x=-2}.
说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线
虽不穿-2点，但x= -2满足“=”的条件，不能漏掉.

1.3分式不等式的解法
（1）若能判定分母（子）的符号，则可直接化为整式不等式。
（2）若不能判定分母（子）的符号，则可等价转化

例3 解不等式：
x?3
?0
.
x?7
解法1：化为两个不等式组来解：
∵
?
x?3?0
?
x?3?0
x?3
?0
?
?
或
?
?
x∈φ或
?7?x?3
?
?7 ?x?3
，
x?7
?
x?7?0
?
x?7?0
∴ 原不等式的解集是
?
x|?7?x?3
?
.
解法2：化为二次不等式来解：
∵
?
(x?3)(x?7)?0
x?3
?0
?
?
?
?7?x?3
，
x?7
x?7?0
?
∴原不等式的解集是
?
x|?7?x?3
?

说明：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)
?
0，则不等式解集中应注意x?
-7的条件，
解集应是{x| -7?
3}.
小结：由 不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式
两边同乘以负数，不等号方向要变 ；分母中有未知数x，不等式两边同乘以一个含x
的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解 起，若讨论分母的正负，再解
也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.
解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为
f(x)
的形式.
g(x)

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x
2
?3x?2
?0
. 例4 解不等式：
2
x?2x?3
解法1：化为不等式组来解较繁.
22
?
x
2
?3x?2
?
(x?3x?2)(x?2x?3)?0
?0
?
?
2
解法2：∵
2
?

x?2x ?3
?
?
x?2x?3?0
?
(x?1)(x?2)(x?3)(x ?1)?0
，
?
?
(x?3)(x?1)?0
∴原不等式的解集为{x| -1?
1或2
?
x<3}.

1.4 指数、对数不等式的解法

例5 解不等式：


解 (1)原不等式可化为

x
2
-2x-1＜2(指数函数的单调性)
x-2x-3＜0
2
(x+1)(x-3)＜0
所以原不等式的解为-1＜x＜3。
(2)原不等式可化为

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注 函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。

1.5 含绝对值不等式的解法：

对于含有多个绝对值的不等式，利用绝对值的意义，脱去绝对值符号

例6、 解下列不等式 （1）|x＋5|≤8 ； （2）|5 x－3|＞2 ．


第二部分 【例题讲解】

【例3】

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【例4】



【例
5
】


【例6】


【例7】

思路|a|-|b| ≤|a土b|≤|a|+|b|

【例8】 解关于x的不等式：(x-x
2
+12)(x+a)<0.
解：①将二次项系数化“+”为：(x
2
-x-12)(x+a)>0，
②相应方程的根为：-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解？
③讨论：
ⅰ当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为{x| -3-a}.
ⅱ当-3<-a<4，即-4
∴原不等式的解集为{x| -34}.
ⅲ当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为{x| -a4}.
ⅳ
0
当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

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∴原不等式的解集为{x| x>-3}.
ⅴ当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为{x| x>4}.

【例9】 解不等式log
x+1
(x
2
-x-2)＞1。
解 [法一] 原不等式同解于


所以原不等式的解为x＞3。
[法二] 原不等式同解于
log
x+1
(x
2
-x-2)＞log
x+1
(x+1)

所以原不等式的解为x＞3。
注 解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。

第三部分 【课堂练习】
1.已知集合A＝{x|x
2
－5x＋6≤0}，集合B＝{x||2 x－1|>3}，则集合A∩B等于( )

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A．{x|2≤x≤3} B．{x|2≤x<3} C．{x|2
2.

3、


4、

5、


6、

第四部分 【课堂小结】
1．特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不
等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二
次的（不能再分解 了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律作；②注意边
界点（数轴上表示时是“0”还是“. ”）.
2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为
f(x)f(x)
>0(或 <0)的形式，
g(x)g(x)
?
f(x)g(x)?0
?
f(x )g(x)?0
转化为：
?
(或
?
)
，即转化
?
g(x)?0
?
g(x)?0
为一次、二次或特殊高次不等式形式 .
3．一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有
理不等式.
4．注意必要的讨论.
5．一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴.

第五部分【课后作业】
1、

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2、



3、


4、

5、
求函数
f(x)?x?2?log
3
(3?2x?x
2
)
的定义域

6、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这 条流水线生产的摩托车数
量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：
y??2x
2
?220x

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流 水线创收6000元以上，那么它在一个
星期内大约应该生产多少辆摩托车？





课堂
听课及知识掌握情况反馈： ___________ ____________________________________________。
检测
测试题(累计不超过20分钟)_____道；成绩______；教学需:加快□;保 持□;放慢□;增加内容□
课后

巩固
签字
后记

教学组长签字： 学习管理师: