高中数学必修一《函数及其表示》优秀教学设计

教学课题
函数及其表示----导学案
1.了解函数、映射的概念．
教学目标
2.理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法．
考点分析
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
教学重点
1.了解函数、映射的概念．
2.理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法．
教学难点
函数的概念、三要素、分段函数等问题是重点，也是难点．
教学方法 讲练结合法、启发式教学法
教学过程：
一、函数与映射的概念
名称 函数 映射
设A、B是两个
两集合
设A、B是两个
A、B
如果按照某种确定的对应如果按某一个确定的对应
对应关关系f，使对于集合 A中关系f，使对于集合A中
系f：A的 一个数x，的 一个元素
→B 在集合B中有 x，在集合B中有
的数f(x)和它对应 的元素y与之对应
称 为称对应 为
从集合A到集合B的一从集合A到集合B的一个
个函数 映射
y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射

记法
二、函数的有关概念
1．函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量， 叫做函数的定义域；与x的值相对应
的y值叫做函数值，
叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
2．函数的三要素： 、 和 ．
三、函数的表示方法

表示函数的常用方法有： 、 和 ．
四、分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而
分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，
分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
1

五、课堂基础练习
1．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{0,1,2}，给出下列
四个对应法则，其中能构成从M到N的函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝x＋1
C．y＝2x D．y＝log2|x
2．(教材习题改编)设f，g都是从A到A的映射(其中A＝
{1,2,3})，其对应关系如下表：
x
f
g

则f(g(3))等于 ( )
A．1 B．2
C．3 D．不存在
3．(教材习题改编)设函数f(x)＝
?
A．－3
C．－1






1
3
3
2
1
2
3
2
1
?
x，x≥0，
B．±3
D．±1
?
－x，x＜0，

若f(a)＋f(－1)＝2,则a＝( )
1
?
2
4．已知f
?
?
x
?
＝x＋5x ，则f(x)＝________.
5．(教材习题改编)若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1) ＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝________.

六、高考真题解析
?
－x，x≤0，
?
[例1] (2011·浙江高考)设函数f(x)＝
?
2
若f(a)＝4，则实数a＝( )
?
?
x，x＞0.

A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
?
?
lg x，x＞0，
[例2] (2011·陕西高考)设f(x)＝
?
x
则f(f(－2))＝________.
?
10，x≤0，
?

[例3] (2011·北京高考)根据统计 ，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝
?
?
c
?
A
，x≥A
c
，xx

(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c
和A的值分别是( )
A．75,25
C．60,25


B．75,16
D．60,16
?
?
2x＋a，x＜1，
[例4] (2011·江苏高考)已知实数a≠0 ，函数f(x)＝
?
若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
?
－x－2a，x≥1.
?

七、高考模拟解析
2

1
1．(2011·宁波一模)已知f：x→sin x是集合A(A?[0, 2π])到集合B＝{0，}的一个映射，则集合A中的元
2
素个数最多有( )
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
2
?
?
1－x，x≤1，
1
2. (2012·温州模拟)设函数f(x)＝
?
2
则f
??
的值为( )
?
f?2?
?
?
x＋x－2，x＞1，
?


15
A.
16
8
C.
9













27
B．－
16
D．18
3．(2012·衢州模拟)图中的图象所表示的函数的解析式f(x)＝____________.

－
?
2
x
，x∈?－∞，1?
?
4．( 2012·丽水模拟)设函数f(x)＝
?
2
若f(x)>4， 则x的取值范围是________．
?
x，x∈[1，＋∞?
?

5．(2012·金华模拟)某工厂六年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年 年
产量保持不变，则该厂六年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系可用图象表示为 ( )


3
?
6．(2012·绍兴模拟)已知f(1－cos x)＝sin
2x，则f
?
?
2
?
＝________.

知识总结:
1．函数与映射的区别与联系
(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于 集合
A
与集合
B
只能是非空数集，即函数是非空数集
A
到非 空数集
B
的
映射．
3

(2)映射不一定是函数， 从
A
到
B
的一个映射，
A
、
B
若不是数集 ，则这个映射便不是函数．
2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数
y
＝
x
与
y
＝
x
＋1，其定义域与值域完全相同，但不是< br>相同函数；再如函数
y
＝sin
x
与
y
＝cos
x
，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数
是否相同，关键是 看定义域和对应关系是否相同
课后作业：
函数及其表示
一、选择题
?
b
?
1．已知a、b为实数 ，集合M＝
?
a
，1
?
，N＝{a,0}，f：x→x表示把M中的 元素x映射到集合N中仍为x，
??
则a＋b等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
x
?
?
2＋1，x<1，
2．已知函数f(x)＝
?
2
若f(f(0))＝ 4a，则实数a等于( )
?
x＋ax，x≥1，
?

14
A. B.
25
C．2 D．9
3．定义x?y＝x
3
－y，则h?(h?h)＝( )
A．－h B．0
C．h D．h
3

?
1
??
＝( ) 4．已知函数f(x)的图象是两条线段(如图，不含 端点)，则f
?
f
??
3
??
11
A．－ B.
33
22
C．－ D.
331
1
x－
?
＝x
2
＋
2
，则f(3) ＝( ) 5．(2012·济南模拟)已知函数f
?
?
x
?
x
A．8 B．9
C．11 D．10

二、填空题
2
?
?
x＋2ax，x≥2
6．已知函数f(x)＝
?x
，若f(f(1))>3a
2
，则a的取值范围是________．
?
2＋1，x＜2
?

7．已知函数f(x)＝2x＋1与函数y＝ g(x)的图象关于直线x＝2成轴对称图形，则函数y＝g(x)的解析式
为 ．

三、解答题
x
8．若函数f(x)＝(a≠0)，f(2)＝1，又 方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的解析式．
ax＋b

4

9．设x≥0时，f(x)＝2 ；x<0时，f(x)＝1，又规定：g(x)＝
并画出其图象．







10．如图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象．
3f?x－1?－f?x－ 2?
(x>0)，试写出y＝g(x)的表达式，
2

(1)试说明图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏 损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示．你能根据图象，
说明这两种建议的意义吗 ？
(3)图①、图②中的票价是多少元？图③中的票价是多少元？
(4)此问题中直线斜率的实际意义是什么？












函数的定义域和值域
一、选择题
1．(2012·潍坊模拟)函数f(x)＝log
2
(3x
－1)的定义域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
5

C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
2．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )

1
3．(2012·茂名模拟)函数y＝x?x－1?－lg
x
的定义域为( )
A．{x|x>0} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x＜0} D．{x|0＜x≤1}
4．(2012·长沙模拟)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( )
A．y＝x
2
－2x＋1 B．y＝
C．y＝
2
x＋2
(x∈(0，＋∞))
x＋1
11
(x∈N) D．y＝
x＋2x＋1|x＋1|
2
的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )
x－1
5．函数y＝
1
，2
?
B．(－∞，2] A．(－∞，0)∪
?
?
2
?
1
－∞，
?
∪[2，＋∞) D．(0，＋∞) C.
?
2
??
二、填空题
6．(2012·忻州模拟)函数y＝l og
a
?3x－2?(07．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________．
三、解答题
8．求下列关于x的函数的定义域和值域：
(1)y＝1－x－x；
(2)y＝log
2
(－x
2
＋2x)；
?3?

x
y




1
9．若函数f(x) ＝x
2
－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，求a、b的值．
2




6
0
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7

10． 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50≤x≤100)(单位：千米小时)．假设汽油的价格
x
2＋
?
升，司机的工资是每小时14元． 是每升2元，而汽车每小时耗油
?
?
360
?
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．










学生对于本次课评价： 教师评定：
2
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 1、上次作业评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化
2、上课情况评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化
学生签字：

教师签字：


7