人教版高中数学三角函数图象-高中数学三角函数知识点框架
教学目标：
1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握
可导函数f(x)在闭区间上所有
点（包括端点a，b）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件
；
2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 ．
教学重点：
利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学过程：
一、问题情境
1．问题情境．
函数极值的定义是什么？
2．探究活动．
求函数f(x)的极值的步骤．
二、建构数学
1．函数的最大值和最小值． 观察图中一个定义在闭区间上的函数f(x)的图象．图中f(x
1
)与f(x
3
)是极小值，f(x
2
)
是极大值．函数f(x)在上的最大值是f(b)，
最小值是f(x
3
)．
一般地，在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值．
说明：
1（1）在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．如函数
f(x)＝在
x
(0，＋∞)内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近
函数值得出的．
（3）函数f(x)在闭区间上连续，是f(x)
在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非
必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值
、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一
个，也可能没有一个．
2．利用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有
的极值与定义区间端点的函数
值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f(x)在上连续，在(a，b)内可导，则求f(x)在 上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f(x)在(a，b)内的极值；
（2）将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在上的最值．
三、数学运用
例1
求函数f(x)＝x
2
－4x＋3在区间内的最大值和最小值．
例2
求函数f(x)＝
1
x＋sinx在区间上的最值．
2
注 在实际问题中，
若函数只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还
是最小值即可，不必再与端点的函数值比
较．
练习
设f(x)＝ax
3
－6ax
2
＋b在区间［
－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a＞b，
求a，b的值．
四、回顾小结 <
br>（1）函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的
点，区间端
点；
（2）函数f(x)在闭区间上连续，是f(x)在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非<
br>必要条件；
（3）闭区间上的连续函数一定有最值；开区间(a，b)内的可导函数不一定有最
值，若
有惟一的极值，则此极值必是函数的最值．
五、课外作业
1．课本第33页第2，3，4题．
2．补充．
111
求函数y＝x
4
＋x
3
＋x
2
在区间
上的最值．
432