高中数学余弦定理公开课精品教案教学设计

余弦定理教学设计
一、教学内容解析
1．本章主要是通过任意三角形边角关 系的探究，发现并掌握三角形中边长
和角度之间的数量关系，即正弦定理和余弦定理，运用它们解决一些 测量和与几
何量有关的问题，本章教学的重点是运用两个定理解斜三角形．
2．本节内容是人 教A版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节
余弦定理的第一课时．余弦定理是揭示任意三角 形边角之间关系的另一定理，是
解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它将三角 形的边
和角有机的结合起来，实现了“边”和“角”的互化，从而使“三角”与“几何”
有机地 结合起来，为解决与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三
角形的形状和证明三角形中的等 式提供了重要的依据．
3．教科书中首先通过探究的方式，指出了“已知三角形的两边和它们的夹角，根据三角形全等的判定定理，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形”，
这样就可以从量化 的角度看待此问题，直截了当提出问题：“已知三角形的两边
和它们的夹角，如何计算出三角形的另一边 和另两个角呢？”教科书上主要用向
量的方法推导出余弦定理，同时提出坐标法等方法也可以证明余弦定 理．为了体
现由三边确定三角形，通过公式的变形指出了可以通过三角形的三边计算出三角
形的 三个内角，体现了量化思想．最后通过两个例题使学生掌握余弦定理及其推
论的应用，同时让学生学会求 三角形内角时如何选择正弦定理和余弦定理．
二、教学目标设置
1．通过对三角形边角关系 的探索，理解余弦定理的证明方法，抽象出余弦
定理的三个等式，进而掌握余弦定理；能从余弦定理中抽 象出勾股定理，从而辨
析勾股定理与余弦定理的内在联系．
通过作辅助线，构造出直角三角形，把一般三角形的边角关系转化至直角三
角形中，
利用勾股定理求解边长．将陌生问题转化为熟悉问题，即数学中的转化思想．

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由于向量的模及夹角对应线段的长度和夹角，所以把三角形的三边赋予向量
的意 义，进而把余弦定理的证明问题转化为向量问题，让学生感悟到数学不同章
节知识的联系，进一步认识到 向量的工具性．
通过建立坐标系，把平面几何问题中的长度问题转化为两点间的距离来解
决， 进一步感悟坐标法的作用．
对比余弦定理和勾股定理，让学生认识到勾股定理仅适用于直角三角形，而
余弦定理适用于任意三角形，勾股定理为余弦定理的特殊情况，余弦定理为勾股
定理的推广，即 特殊与一般的辩证关系．
2．能够利用余弦定理及其推论解三角形．通过对余弦定理三个式子结构的< br>分析，加强学生对三个公式的理解与记忆．三个等式中，每一个等式中含有四个
量，已知其中的三 个量求剩下的一个量，体现出方程思想．进而提出已知两边及
其夹角求第三边和已知三边求某一内角两个 基本题型，也是余弦定理的两个基本
应用．通过让学生思考解决例题，培养学生的数学运算能力．通过对 例题的多种
方法的讲解，让学生学会求三角形内角时对正弦定理和余弦定理的选择，培养学
生的 逻辑推理能力．
3．让学生领悟向量法、坐标法、量化思想、转化与化归思想、方程思想等
数 学思想方法，以及特殊与一般的辩证关系，把数学思想方法渗透在课堂教学中，
注重培养学生的数学核心 素养．
三、学情分析
在学习本节课之前，学生已经在初中阶段学习过全等三角形，勾股定理 ，进
入高中阶段又学习了三角函数，平面向量，解析几何初步等有关知识，在本册教
科书中刚学 习了正弦定理，已初步掌握了正弦定理的证明，并能够运用正弦定理
解决一些解三角形问题．
有了以上这些知识与方法的铺垫，在此基础上，教师提出“已知三角形两边
及它们的夹角，如何求第三边 ”这一数学问题，对于学生而言，一方面，运用前
面所学的正弦定理较难解决这一问题；另一方面，本节 课的授课对象是洛阳市第
一高级中学（省级示范性高中）高二年级实验班A段学生，他们基础知识扎实，
思路开阔，思维敏捷，面对求边长这一问题，能够很快联想到可以结合勾股定理、
平面向量、坐 标化等已有知识与方法，多角度展开思考，小组合作探究，寻找解

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决方法．利用几何法证明过程中，部分同学会受到学案中已给图形的限制，而忽
略对
A
为钝角、直角时两种情形的分析，欠缺定理证明的严谨性．此时需要老师
适时引导，师生互动，完善过 程．
在定理初步应用环节中，对学生来讲，套用公式进行求解，涉及到由正弦值
求角进行分情 况讨论都能顺利完成，但是在合理选用定理公式上带有一定盲目
性，如何保证计算简便、避免讨论等方面 的能力还有所欠缺，需要老师就例题的
几种解法进行详细的对比、辨析，以促进学生能力达成．
四、教学策略分析
1．个人独立思考与小组合作探究相结合．培养团队意识，体验知识生成．
2．学生展示成果，获取成功喜悦．
不同的同学会用到不同的方法，鼓励学生展示自己小组的 成果，增强学习的
自信，同时学会分享．通过展台展示学生的解题过程，便于及时发现学生的错误，及时纠正，规范解答步骤和过程，提高教学效率．很好地突出了余弦定理证明这
一重点．
3．学生演板．
既可凸显学生个人解法的单一性，又可展现学生解法的多样性．通过教师对< br>解题过程的讲解及对多种解法的对比，引导学生得出解题感悟，从而突破“如何
合理选用正弦定理 与余弦定理求三角形内角”这一难点．
4．适时点拨，问题引导．
学生展示成果时，师生互动，及时鼓励，问题引导，完善漏洞．
5．使用PPT辅助教学，提高课堂效率．
PPT内容清晰、形象，容易理解，提高学习效率 ．同时也很好地激发了学生
的学习兴趣，有助于集中学生的注意力．呈现出的信息容量大，使课堂变得更 加
紧凑充实．
五、教学过程设计
复习正弦定理
设计意图：通过复习正弦定理的形式及其作用，使学生认识到正弦定理为

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解三角形的一种工具，能定量研究三角形的边角关系．
师生活动：
老师：上一节课，我们学习了正弦定理，正弦定理揭示了三角形中边角之间
的内在联系，首先我们对上节 课所学习的内容进行复习回顾．正弦定理的内容是
什么？利用正弦定理能解决解三角形的哪些类型？
提问学生，学生回答．
1．正弦定理：
abc
??
．
sinAsinBsinC
2．运用正弦定理解决的两类解三角形问题：
（1）已知三角形任意两角和一边解三角形；
（2）已知三角形两边和其中一边的对角解三角形．
问题1：如果已知一个三角形的两条边及 其所夹的角，根据三角形全等的判
定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形．怎样在这样的已 知三角
形的两边及其夹角的条件下求出另外一边，进而解出三角形呢？
设计意图：通过提出新 的解三角形问题，引发学生的思考．让学生明确已
知两边及其夹角时，该三角形的大小和形状完全确定， 进而第三边的长唯一确
定．通过“边
a
的长就是线段
BC
的长，也可 以看成点
B
和点
C
两点间的距离，
联系已经学过的知识”提示语来启 发学生寻找思维出发点．
师生活动：
老师：那么解三角形问题，除了这两种类型，我们是否 还会遇见其他情形呢？
请看这样一个问题：在△
ABC
中,已知
b
,
c
及
A
,能否利用已知条件求出边
a
呢？
老师：边
b
,
c
及
A
已知，那么该三角形确定吗？
学生：根据三角形全等的判定方法，边角边，该
三角形是唯一确定的．
老师：边b
,
c
和它们的夹角已知，那么该三角形的大小和形状是完全确定
的．
当然，边
BC
的长是唯一确定的，边
a
的长就是线段
BC
的长，也可以看成
点
B
与点
C
两点间的距离.请同学们 联系已经学过的知识，进行分组合作探究，
寻求解决方法
．


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