华中师范大学出版 高中数学竞赛教程 熊斌-安徽省高中数学竞赛省一多少分
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第一章 函 数
概念导入
1、集合(子集,真子集、空集、补集、全集等表示和关系)
2、映射(定义,一一映射)
3、增函数、减函数
4、轴对称
5、单调性
定 义 设x和y是两个变
量,D是实数集的某个子集,若
对于D中的每个值x,变量y按照一定的法则有一个确定
的值y
与之对应,称变量y为变量x的函数,记作 y=f(x).
自变量x、因变量y
映射角度函数定义:定义在非空数集之间的映射称为函数
要 点
1、对应法则和定义域是函数的两个要素
2、函数是一种关系
3、函数两组元素一一对应的规则
(这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个集合里的唯一元素;第一组中的每个元素在第二组中只有唯
一的对应量)
1、复合函数:y是u的函数,y=ψ(u),u是x的函数,
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u=f(x),y通过中间变量u构成了x的x→u→y,注意
定义域。
y=lgsinx
2、反函数:x→y, y→x,
性质:
1、一一映射
2、单调函数
分 类:
一次函数y=kx+b
★二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
反比例函数y=kx
(k为常数且k≠0)
指数函数y=a
x
(a>0,a≠1)
对数函数y=logax(a>0)
幂函数y=x
a
★三角函数(正弦,余弦,正切,余切,正割,余割)
常用方法:
待定系数法
平移变换法
数形结合法
注:注意自定义(抽象)函数等学习应用,培养逻辑思维。
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第一节
函数的一般化应用解析
1-1-1函数的值域
方法:
1、巧用定理,整体变换。
(1)函数
y??
sin
2
x?
3cos
x?3
的 最小值;
(2)已知:
3sin
2
?
?
2sin
2
?
?
5sin
?
,α、β
?R
,求
u?cos
2
?
?cos
2
?
范围.
2、借题发挥,分式转化双曲线。
ax?b
?
c?0,ad?bc
?
型求值域和画图的一般化应用。
cx?d
1?3x
(1)作函数
y?
的图象
2x?1
5?3x
(2)求函数
y?
的值域
2x?4
y?
1-1-2函数的奇偶性
要 点
判断函数的奇偶性前提是:函数的定义域必须关于原点对称。
(1)若
f(?x)?
?f(x)?y?f(x)为奇函数
f(?x)?f(x)?y?f(x)为偶函数
(2)奇函数
y?(x)在原点处有意义?f(0)?0;
(3)任一个定
义域关于原点对称的函数
f(x)
一定可以表示成一个奇
函数和一个偶函数之和
即
f(x)?
例 题:
(1)定义在
(??,??)
上的函数
f(x)
可以表示成奇函数g(x)与偶函数
h(x)之和,若
f
(
x
)?lg(10
x
?1)
,那么( )
f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)
(
奇
)?
偶
22
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A、
g
(
x
)?
x
,
h
(
x
)?lg(10x
?10
?x
?2)
11
22
xx
C、
g(x)?,h(x)?lg(10
x
?1)?
22
xx
D、
g(x)??,h(x)?lg(10
x
?1)?
22
B、
g(x)?[lg(10
x
?1)?x],h(x)?
[
lg(10
x
?
1)
?x
]
1-1-3函数的单调性
★常见于证明类问题,单调性证明一定要用定义。
定 义
区间D上任意两个值
x
1
,x
2
,
若
x
1
?x
2
时有
f(x
1
)?f(x
2)
,称
f(x)
为D上增函数,
若
x
1
?x
2
时有
f(x
1
)?f(x
2
)
,称f(x)
为D上减函数。
性 质
奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
证明办法:
作差法:若x1
若x1
若x1
讨 论 复合函数的增减问题
ψ(x)为增函数,f(x)为增函数,y为增函数
ψ(x)为增函数,f(x)为减函数,y为减函数
y?f(
?
(x))
ψ(x)为减函数,f(x)为增函数,y为减函数
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ψ(x)为减函数,f(x)为减函数,y为增函数
(1) 设
f(x)
为奇函数,且在区间[a,b]
(0证明
f(x)
在[-b,-a]上单调减。
(2
)
f
(
x
)
?
log
1
(
x2
?ax?
3
a
)
在
[2,??)
上减函数,
则a的范围:(-4,
2
4]
1-1-4函数的平移和伸缩
平移规则:<
br>左加右减
y?f(x)?
上加右减
y?f(x)?
a个单位
?
左移
?????y?f(x?a)
a个单位
?
右移
????
?y?f(x?a)
b个单位
?
上移
?????y?b?f(x)
?y?f(x)?b
b个单位
?
下移
?????y?b?f(x)?y?f(
x)?b
伸缩规则:
横向变倒数
?
y?f(x)???????
????y?f(
?
x)(
?
?0)
1
纵坐标不变,横坐标变为原来的倍
纵向成倍数
,纵坐标变为原来的A倍<
br>y?f(x)?
横坐标不变
??????????y?Af(x)(A?0)
1-1-5函数的对称性
中心对称
(a,b)对称
y?f(x
)?
关于中心
??????2b?y?f(2a?x)
轴对称
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若
y?f(x)
对<
br>x?R
满足
f(a?x)?f(b?x)
,则
y?f(x)
关
于直线
a?b
x?
2
(a?x)?(b?x)
对称;(由
x
?
求得)
2
对
b?a
函数
y?f(a?x)与y?f(b
?x)
关于直线
x?
2
称。 (由
a?
x?b?x
解得)
例题解析
1、函数
y?
?
?
2x,x?0
的反函数是(
)
2
?
?x,x?0
?
x
?
x
,x?0
?
?
,x?0
?
?
2x,x?0
A.
y?
?
2
B.
y?
?
C.
y?
?
2
?
?
?x,x?0
?<
br>?x,x?0
?
??x,x?0
??
?
?
2x,x?
0
D.
y?
?
?
?
??x,x?0
2、
函数
f
?
x
?
对于任意实数
x
满足条件
f
?
x?2
?
?
f
?
f
?
5
?
?
?
__________。
1
,若
f
?<
br>1
?
??5,
则
f
?
x
?
3、设函
数
f
(
x
)
?
log
a
(
x?b
)(
a?
0,
a?
1)
的图像过点
(2,1),其反函数的图像
过点
(2,8)
,则
a?b
等于( C )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
4、
求函数y?x?3?5?x的值域
5、
求函数y?
x
2
?x?1
2x?2x?3
2
的值域
6、
求函数y?3x
2
?12x?184x?x
2
?23的值域
7、给出四个函数,分别满足①f(x+y)= f(x)+ f(y)
②g(x+y)=
g(x) g(y)③h(xy)= h(x)+ h(y)④t(xy)= t(x)
t(y),又给出
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四个函数图象
正确的匹配方案是( )
(A)①—丁②—乙③—丙④—甲(B)①—乙②—丙③—甲④—丁
(C)①—丙②—甲③—乙④—丁(D)①—丁②—甲③—乙④—丙
8.若
y?
则
y?f(x)
的对称轴为
f(x)对
x?R
满足
f(2?x)?f(2?x)
,
f(2?x)与y
?f(2?x)
的对称轴为 函数
y?
9.f(x)为
定义在
(??,0)
?
(0,??)
上的偶函数,且在
(0,??)
上为减,
①求证f(x)在
(??,0)
上为增函数;
5x
2
?4x?5
10.已知
x?,则f(x)?
有
22x?4
A.最大值 B.最小值 C.最大值1 D.最小值1 <
br>1
2
5
4
5
4
11.设函数
f(x)(x?
R)
为奇函数,
f(1)?
,
f
(
x?
2)
?f
(
x
)
?f
(2),
则
f(5)?
A.0 B.1 C.
5
2
D.5 <
br>12.
f(x)
为定义在R上的偶函数,且
f(5?x)?f(3?x)
对
x?R
恒成立,
则
y?f(x)
的一个周期为:
13.设
y?f(
2x?1)
为偶函数,则
y?f(2x)
的一条对称轴为
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第二节 二次函数
定义,解析式,条件,定义域,值域。
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax
2
+bx+c
则称y为x的二次函数。
判定公式,求根公式,韦达定理等回顾掌握。
表达式类型:
1、一般式:y=ax
2
+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
2、顶点式:y=a(x-h)
2
+k [抛物线的顶点P(h,k)]
对于二次函数y=ax
2
+bx+c 其顶点坐标为
(-b2a,(4ac-
b
2
)4a)
3、交点式:y=a(x-x?)(x-x?) [仅限于与x轴有交点A(x
? ,0)和
B(x?,0)的抛物线]
性质关系:
1、a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向
上,a<0
时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口
就越小,IaI越
小开口就越大
2、图像为抛物线,是轴对称图形,对称轴为直线x = -b2a
3、2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b2a
,
(4ac-b
2
)4a )
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4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=
b
2
-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=
b
2
-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ=
b
2
-4ac<0时,抛物线与x轴有0个交点
7、当a>0时,函数在x= -b
2a处取得最小值
f(-b2a)=4ac-b
2
4,在{x|x<-b2a}上是减
函数,在
{x|x>-b2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值
域是{x|x≥4a
c-b^24a}。相反亦然。
例题应用解析:
1.如图13-28所示,二次函数y=x
2-4x+3的图象交x轴于A、
B两点,交y轴于点C,则△ABC的面积为( )
A、6 B、4 C、3 D、1
2.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的<
br>时间x(单位:分)之间满足函数关系:y=-0.1x
2
+2.6x+43(0<x<
br><30)。y值越大,表示接受能力越强。
(1)x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x在什么范
围内,学生的接受能力逐步降低?
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(2)第10分时,学生的接受能力是什么?
(3)第几分时,学生的接受能力最强? 3.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.据市场分
析,若按每千克50元销售,一个
月能售出500千克;销售单价
每涨1元,月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情
况,请解答以下问题:
(1)当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售
利润;
(2)设销售单
价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x
的函数关系式(不必写出x的取值范围);
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月
销售利润达到8000元,销售单价应
定为多少?
4.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商
品每天的销
量(件)与每件的销售价(元)满足一次函数:
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件的销售价间的函
数关系式.
(2)
如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为
多少最合适?最大销售利润为多少? 5.如图,一边靠学校院墙,其它三边用40米长的篱笆围成一个矩
形花圃,设矩形的边米,面积为
平方米.
米时,的值; (1)求:与之间的函数关系式,并求当
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(2)设矩形的边米,如果满足关系式即矩
形成黄金矩形,求此黄金矩形的长和宽.
第三节 三角函数
知识点回顾
角 <
br>①角的静态定义:具有公共点的两条射线组成的图形叫做角。
这个公共端点叫做角的顶点,这两条
射线叫做角的两条边。
角的大小与边的长短没有关系;角的大小决定于角的两条边张开
的程度
,角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角这五种。
锐角:小于90°的角叫做锐角
直角:等于90°的角叫做直角
钝角:大于90°而小于180°的角叫做钝角
平角:等于180°的角叫做平角
周角:等于360°的角叫做周角
②角的动态定
义:一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另
一个位置所形成的图形叫做角。所旋转射线的端点叫做角
的顶点,
开始位置的射线叫做角的始边,终止位置的射线叫做角的终边。
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角的范围可扩大到实数R。
A=a+2kπ(k∈Z)
角的度量
弧度与角度
在数学中,弧度和角度是角的量度单位。
定义:弧长等于圆半径的弧所对的圆心角为1弧度。
弧长公式:
nπ
r
L(弧长)?(n为角度)
弧度和角度变化公式(r=1)。
180
1-3-1 三角函数的初等基本表示
正弦 余弦 正切 余切
正割 余割
在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋
转角为θ,设O
P=r,P点的坐标为(x,y)有
正弦函数 sinθ=yr
余弦函数
cosθ=xr
正切函数 tanθ=yx
余切函数 cotθ=xy
正割函数 secθ=rx
余割函数 cscθ=ry
(斜边为r,对边为y,邻边为x。)
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1-3-2 三角函数的数值符号及特殊值
函数名称
正 弦
余 弦
正 切
余 切
正 割
余 割
函数名称
正 弦
余 弦
正 切
余 切
正 割
余 割
第一象限 第二象限 第三象限
+ + -
+
- -
+ - +
+ - +
+ - 1
+ + -
特殊角的三角函数值
0 30 45 60
0
1
2
3
2
2
2
1
3
2
1
2
2
2
0
3
3
1
3
----
3
1
3
3
1
23
3
2
2
------ 2
2
23
3
第四象限
-
+
-
-
+
-
90
1
0
----
-----
1
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例
题
1. sin(-
19
6
π)的值是( )
A.
1
2
B. -
1
33
2
C.
2
D. -
2
2. 若sinθ cosθ>0,则θ在(
)
A. 第一,二象限 B. 第一, 三象限
C. 第一,
四象限 D. 第二, 四象限
5.设tanα=
1
7
,
tanβ=
1
3
,α、β均为锐角,则α+2β的值是
A.
?
4
B.
3
4
π
C.
5?3
4
π D.
4
或
4
π
2.当x≠
k?
2
(k∈Z)时,
sinx?tanx
co
sx?cotx
的值是 ( )
A.恒正 B.恒负
C.非负 D.无法确定
6.如果角θ满足条件sinθ>0,cosθ<0,则θ是
( )
A.第二象限角 B.第二或第四象限角
C.第四象限角 D.第一或第三角限角
7.若cotθ=3,则co
s
2
θ-
1
2
sin
2
θ的值是 (
)
A.-
54
6
B.-
5
C.
34
5
D.
5
( )
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1-3-2 三角函数公式
1.诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
sin(π2-a)=cos(a)
cos(-a)=cos(a)
cos(π2-a)=sin(a)
sin(π2+a)=cos(a)
sin(π-a)=sin(a)
cos(π2+a)=-sin(a)
cos(π-a)=-cos(a)
sin(π+a)=-sin(a)
cos(π+a)=-cos(a)
2.两角和与差的三角函数
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
tan(a+b)=(tana+tanb)(1-tanatanb)
tan(a-b)=(tana-tanb)(1+tanatanb)
3.和差化积公式
sinA+sinB=2sin[(A+B)2]cos[(A-B)2]
cosA+cosB=2cos[(A+B)2]cos[(A-B)2]
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB
tanA-
tanB=sin(A-B)cosAcosB
4.积化和差公式
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
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2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)
2sinAsinB=-cos(A+B)cos(A-B)
5.二倍角公式
sin(2a)=2sin(a)cos(a)
cos(2a)=cos
2
(a)-sin
2
(a)=2cos<
br>2
(a)-1=1-2sin
2
(a)
6.半角公式 ?
a
?
sin
??
??
?
2
?
1?cosa
2
1?cosa
?
a
?
cos<
br>??
??
22
??
sina1?cosa1?cosa?
a
?
tan
??
????
21?cosasina1?cosa
??
7.万能公式
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8.辅助角公式
B
nt
Asina?Bsina?A?Bsin(a?t),
其中,ta?
A
22
9.降幂公式
1-cos2a
sina?2
1?cos2a
2
cosa?
2
1-cos2a<
br>2
tana?
1?cos2a
2
10.推导公式
2
tana?cota?
sin2a
tana?cota??2cot2a
1?cos2a?2cos
2
a
1-cos2a?2sina
aa<
br>2
1?sina?(sin?cos)
22
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
2
例 题
1、sin15°sin30°sin75°的值等于( )
A.
33
11
B. C. D.
48
84
2、 已知θ∈﹝0,
?
﹞,则3
15
sinθ+3
5
cosθ的取值范围(
)
3
A. ﹝ -3
5
,3
5
﹞ B. ﹝
0,6
5
﹞
C. ﹝ 3
5
,6
5
﹞
D. ﹝ 0,3
5
﹞
3、tan300°+cot405°的值为( )
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A.1+
3
B. 1-
3
C.-1-
3
D.-1+
3
4.设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c=
6
.则a,b,c的大小关系是( )
2
A. a<b<c B. a<c<b
C. b<c<a D. b<a<c
5.
1?tan75?
的值为( )
1?tan75?
A.
3
B. -
3
C.
33
D. -
33
6.设f(sin
?
+cos
?
)=si
n
?
cos
?
,则f(cos
A.
?
)的值为( )
6
33
11
B. C. - D.-
88
88
7°cos37°-sin83°cos53°=________.
20°+tan40°+
3
tan20°tan40°=_________.
3
?
-α)= ,cos2α=__________.
5
23sin
?
?cos
?
10.已知tanα=3,
=___________.
2sin
?
?cos
?
(
11、化简:(1)
sin50°(1+
3
tan10°)
(2)
tan(2
?
?
?
)sin(?2
?
?
?
)cos(
6
?
?
?
)
cos(
?
?
?<
br>)sin(5
?
?
?
)
12、已知sin
?
=
233
?
?
,
?
?
(,
?
)
,cos
?
=-,
?
?
(
?
,)
342
2
求sin(
?
-
?
),
cos(
?
+
?
),
tan(
?
+
?
).
13、已知
3
?
123
?
<β<α<,cos(α-β)=
,sin(α+β)= -.求sin2α
4135
2
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1-3-3 正弦函数
定义
对于任意一个实数x都有唯一确定的值
sinx与它对应,按照
这个对应法则所建立的函数,表示为y=sinx,叫做正弦函数。
正弦型函数解析式:y=Asin(ωx+φ)+b
图像
y
B
A
1
(B)
(O
1
)
O
-1
定义域与值域
X∈R, y∈ [-1,1]
最值和零点
①最大值:当x=2kπ+(π2) ,k∈Z时,y
max
=1
②最小值:当x=2kπ+(3π2),k∈Z时,y
min
=-1
零值点:
(kπ,0) ,k∈Z
对称性:
1)对称轴:关于直线x=(π2)+kπ,k∈Z对称
2)中心对称:关于点(kπ,0),k∈Z对称
周期性
?
2
y=sin x, x∈[0,2π]
?
3
?
2
2
?
O
1
x
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最小正周期:2π
奇偶性:
奇函数
单调性:
在[-(π2)+2kπ,(π2)+2kπ],k∈Z上是增函数
在[(π2)+2kπ,(3π2)+2kπ],k∈Z上是减函数
正弦型函数及其性质
根据正弦型函数解析式:y=Asin(ωx+φ)+b
φ:决定波形与X轴位置关系或横向移动距离(左加右减)
ω:决定周期(最小正周期T=2π∣ω∣)
A:决定峰值(即纵向拉伸压缩的倍数)
b:表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离(上加下减)
正弦函数的作图
“五点作图法”即取当X分别取0,π2,π,3π2,2π时
y的值。
例 题
1、函数y=2sinxcosx的最小正周期是( )
A. 2π B. π
C.
??
D.
24
2、函数f(x)=cos
4
x-sin
4
x是(
)
A. 奇函数 B. 偶函数
C.非奇非偶函数
D. 既是奇函数又是偶函数
3.函数y=cos(3x+
?
)的图象是由y=cos3x的图象怎样平移而来的(
)
4
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??
个单位
B.向右平移个单位
44
?
?
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
1212
?
4.下列各区间中,函数y=sin(x+)的单调增区间是( )
4
???
?
A. ﹝,π﹞ B. ﹝0,
﹞ C.
﹝
,
﹞ D. ﹝-π,0﹞
2442
A.向左平移
5
.(12分)用五点作图法作出函数y=
3
sin
?
?
-cos22
的图象,并指出这个函数的振幅,周期,频率,相位及最
值。
6. 右图为
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象的一段,求其解析
式。
7 设函数
f(x)?sin(2x?
?
) (?<
br>?
?
?
?0),y?f(x)
图像的一条对称轴是直线
?x?
。
8
(Ⅰ)求
?
;(Ⅱ)求函数
y?f(x)<
br>的单调增区间;(Ⅲ)画出函数
y?f(x)
在区
间
[0,
?
]
上的图像。
8. 设函数
f(x)?a?bcosx?csinx
的图象经过两点(0,1),(
0?x?
?
,且在
,1
)
2
?
2
内|f(x)|?2
,求实数
a
的的取值范围.
1?cos2x
2sin(?x)
2
9. 若函数
f(x)?
?
?sinx?a
2
sin(x?
?
4
)
的最大
值为
2?3
,试确定常
数
a
的值.
1-3-4
正弦定理与余弦定理
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1-3-4-1正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。
abc
???2R
即(2R在同一个三角形中是恒量,
sinAsinB
sinC
是此三角形外接圆的半径的两倍)
1-3-4-1-1
正弦定理的推广与应用
一、三角形面积公式:
1.典型公式
S
△ABC
S
△ABC
1abc
?absinC?
24R
1
?ah
2
2.海伦公式
假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S
设P?
可由以下公式求得:
S
三角形
1
?
a?b?c
?
2
?P(P-a)(P-b)(P-c)
而公式里的p为半周长
二.
正弦定理的变形公式
(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;
(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;
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(3)相关结论:
abca?ba?b?c
????
sinAsinBsinCsinA?sinBsinA?sinB?sinC
1-3-4-1余弦定理
对于任意三角形 三边为a,b,c
三角为A,B,C 满足性质
(c
2
?b
2?a
2
)
cosA?
2bc
(a
2
?c
2
?b
2
)
cosB?
2ac
222
(a?b?c)
cosC?
2ab
1-3-5
三角函数题型演练
x
实数解的个数.
100
?
xxx
2.
已知函数
f(x)?sincos?3cos
2
.
333
(Ⅰ)将f(x)写成
Asin(
?
x?
?
)
的形式,并求
其图象对称中心的横坐标及对
称轴方程
(Ⅱ)如果△ABC的三边a、b、c满足b
2
=ac,且边b所对的角为x,试求
x的范围及此时函数f(x)的值域.
1.
试判断方程sinx=
a
2
?c
2
?b
2
c
?.
3. 已知△ABC三内角A
、
B
、
C所对的边a,b,c
,且
2
a?b
2
?c
2
2a?c
(1)求∠B的大小;
(2)若△ABC的面积为
33
,求b取最小值时的三角形形状.
4
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4.
求函数y=
sin(2x?
5.
求函数y=
?
3
)cot(2x?
?
3
)
的值域.
tanx?secx?1
的单调区间.
tanx?secx?1
sin2x?cos2x?1
6.
已知
f(x)?
1?ctgx
?3?3
①化简f(x);②若sin(x?)?
,且
?x??
,求f(x)的值;
4544
7. 已知ΔABC的三个内角A、B、C成等差数列,且A?2?3
,
①求角A、B、C的大小;②如果BC边的长等于
43
,求ΔABC的边AC的长及三
角形的面积.
3?1
8.
已知
sin??,??(,?),tg(???)?
,求tg(?-2?).
522
9.
已知函数
f(x)??3sin
2
x?sinxcosx
?
?
?
(I)求函数
f(x)
的最小正周期;
(II)求函数
f(x)在x?
?
0,
?
的值域.
?
2
?
10.
在⊿ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且
tanA?
11. 如
图,△ACD是等边三角形,△ABC是等腰直角
三角形,∠ACB=90°,BD交AC于E,AB=
2。(1)
求cos∠CBE的值;(2)求AE。
12. 在
?ABC
中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,
cosBb
??
2a?c
。 且
cosC
1310
,cosB?
210
(1)求tanC的值;
(2)若⊿ABC最长的边为1,求b。
(1)求角B的大小;
(2)若
b?13,a?c?4
,求a的值。
13.已知S
△ABC
=10
3
,一个角为60°,这个角的两边之比为5∶2,求三角形内切圆
的半径.
a
2
?b
2
?c
2
?c
2,且acosB?bcosA
14.已知△ABC中,
a?b?c
,试判断△AB
C的形状.
15.求值:
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sin
2
20??cos
2
80??3sin20?cos80?
16.在△ABC中,a=
6
,b=2,c=
3
+1,求A、B、C
及S
△
.
17.已知:k是整数,钝角△ABC的三内角A
、
B<
br>、
C所对的边分别为a
、
b
、
c
2
??
x?y?7k
?
?
2kx?y?3(k
2
?1)?
(1)若方程组有实数解,求k的值.
sinC?
(2)对于(1)中的k值
,若
试求A
、
B
、
C的度数.
k
222
2
且有关系式
(c?b)sinA?bsinB?csinC
,
,
第
四节 指数函数
1-4-1知识点回顾
1-4-1-1幂函数
形如y=x
a
(a为常数)的函数,称为幂函数。
性质:
(1)所有的图形都通过(1,1)这点.(a≠0)
(2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,
幂函数为单调递减函数。
(3)当a大于1时,幂函数图形下凸;当a小于1大于0
时,幂函数图形上凸。
(4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。
(5)显然幂函数无界限。
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(6)a=0,该函数为偶函数
{x|x≠0}。
1-4-1-1反比例函数
幂函数中,a=-1时,为双曲线。画图,研究渐进线。重温习本章
1-1-1中的第二题。
1-4-1-2指数函数定义与性质
指数函数的一般形式为y=a
x
(a>0,a≠1)
性质:
(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3) 函数图形都是下凹的。
(4) a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则
为单调递减的。
(5) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
(6) 函数总是通过(0,1)点
(8) 显然指数函数无界。
(9) 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
(10)当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y
轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。
1-4-1-3指数函数的应用
比较大小
1、同幂不同底
2、同底不同幂
方 法
以y轴为分界线分情况讨论
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1、比(差)商法
2、函数单调性应用法
3、中值法
第五节 对数函数
1-5-1对数定义及性质
定义:
一般地,如果a(a大于0,且a不
等于1)的b次幂等于N,
那么数b叫做以a为底N的对数,记作
log
a
N
?
b
,其中a叫做对
数的底数,N叫做真数。
底数a则要大于0且不为1
对数的运算性质
当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么:
(1)
log
a
MN?lo
g
a
M?log
a
N
M
?log
a
M?log
a
N
(2)
log
a
N
(3)
log
a
M
n
?nlog
a
M
(n∈R)
log
b
M
(b>0且b≠1)
log
b
a(4)换底公式:
log
a
M?M
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(5)
log
a
b?
(6)
1
log<
br>b
a
a
log
a
M
?M
1
??log
a
N
(7)
log
aN
(8)
log
a
r
1
M?log
a
M
r
s
(9)
log
a
r
s
M
?log
a
M
r
x
对数与指数之间的关系
当a>0且a≠1时,
a?N?x?log
a
N
对数函数的常用简略表达方式:
(1)常用对数:
lgb?log
10
b
?log
e
b
(2)自然对数:
lnb
e=2.718281828...
通常情况下只取e=2.71828 对数函
数的定义。
1-5-2对数函数定义及性质
对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x,它实际上就是指数函数的反
函数(图
象关于直线y=x对称的两函数互为反函数),可表示为x=a
y
。
因此指数函数里对
于a的规定(a>0且a≠1),同样适用于对数函数。
性质
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定义域:(0,+∞)值域:实数集R
定点:函数图像恒过定点(1,0)。
单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸;
0
奇偶性:非奇非偶函数,或者称没有奇偶性。
周期性:不是周期函数
零点:x=1
例 题
1.
log
8
9
的值是
log
2
3
A.
( )
2
3
2
B.1 C.
3
2
5
D.2
2.若log
2
[log
1
(log
2
x)]?l
og
3
[log
1
(log
3
y)]?log
5<
br>[log
1
(log
5
z)]
=0,则x、y、z的大小3
关系是
A.z<x<y
B.x<y<z
C.y<z<x
D.z<y<x
( )
3.
已知x
1
是方程
x?lgx?3
的一个根,
x
2
是方程
x?10
x
?3
的一个根,
那么
x
1
?x
2
的值是 ( )
A. 6
B. 3 C. 2 D. 1
4.
log
2
log
3
log
4
x
?
log
3
log
4
log
2
y
?
log
4
log
2
log
3
z
?
0,
则
x?y?z
的值为
( )
A. 50 B. 58 C. 89 D.
111
5. 当
a?1
时, 在同一坐标系中, 函数
y?a
?x
与
y?
log
a
x
的图象是图中
的 (
)
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6.设
y
1
?4
0.9
,y
2
?8
0.44
,y
3
?()
?1.5
,则
1
2
( )
b
a
A.
y
3
>
y
1
>
y
2
B.
y
2
>
y
1
>
y
3
C.
y
1
>
y
2
>
y
3
D.
y
1
>
y
3
>
y
2
7.在下列图象中,二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
与函数
y
=()
x
的图象可
能是 (
)
8.已知函数
f
(
x
)的定义域是(0,1),那么
f
(2
x
)的定义域是
( )
A.(0,1)
9.若
a
2x
B.(,1)
1
2
C.(-∞,0) D.(0,+∞)
a
3x
?a<
br>?3x
?
2
?
1
,则
x
等于 ( )
a?a
?x
A.2
2
-1 B.2-2
2
C.2
2
+1 D.
2
+1
10.设
f
(x
)满足
f
(
x
)=
f
(4-
x),且当
x
>2 时
f
(
x
)是增函数,则
a
=
f
(1.1
0.9
),
b
=
f
(0.9
1.1
),
c
=
f
(log
1
4)
的大小关系是( )
2
A.
a
>
b
>
c
B.
b
>
a
>
c
C.
a
>
c
>
b
D.
c
>
b
>
a
11.
若函数
f(x)
与
g(x)?
(
)
x
的图象关于直线
y?x
对称,
则
f(4?x
2
)
的单调
递增区间是( )
A.
(?2, 2]
B.
[0, ??)
C.
[0, 2)
D.
(??, 0]
二.
填空题
12.
已知
2
x
?
2
?x
?
5
,
则
8
x
?
8
?x
?
.
1
2
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13. 若
函数
y?
log
2
x
?
2
的反函数定义域为
(3, ??)
, 则此函数的定义
域为 .
14.
已知
y?
log
a
(3
?
ax)
在
[0,
2]
上是x的减函数, 则a的取值范围
是 .
15.函数
f(x)?
a
x
(a
?
0,
a
?
1)
在
[1, 2]
上的最大值比最小值大
,
则a的
值为 .
16. 已知函数
f(x)?
2x
?
1
的反函数为
f
?1
(x)
,
g(x)
?
log
4
(3x
?
1)
.
(1) 若
f
?1
(x)
?
g(x)
,求
x
的取值范围D;
(2) 设函数
H(x)?g(x)?
f
?1
(x)
,当
x?
D时, 求函数
H(x)
的值域.
17. 已知常数
a?1
, 变数x、y有关系
3log
x
a
?
log
a
x
?
log
x
y
?
3
.
(1)若
x?a
t
( t?0
)
, 试以a、t表示y
(2)若t在
[1, ??)
内变化时,
y有最小值8, 求此时a和x的值各为
多少?
18. 已知函数
f(x)?
9
x
?
2
?
3
x
,
判断f
(x)是否有反函数? 若有, 求出反
函数; 若没有, 怎么改变
定义域后就有反函数了?
19.设0≤
x
≤2,求函数
y
=
4
x?
1
2
a
2
1
2
a
2
?a?2??
1
的最大值和最小值.
2
x
第六节 函数与方程
1-6-1理论思想
1、函数与方程的思想方法是高中数学思想方法的
主线,函数思想是
指在解决某些问题时,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象出变
<
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量间的函数系,再利用函数的有关性质,使问题得以解决。
2、方程思想是指将研究的变量设
为未知数,根据题意布列方程,通
过对方程的研究,使问题得以解决。方程与函数是两个不同的概念,<
br>但它们有着密切的联系。对于同一个问题,可以用不同的观点去分析,
从而引出不同的方法。
3、重要关系
A、方程
f(x)?g(x)
的解是两函数
y?f(
x)和y=g(x)
图象交点的横坐标;
B、不等式
f
?
x
?
?g
?
x
?
的解集是函数
y?f(x)的图象在函数y
=g(x)
的图象上
方的取值集合;
C、不等式
f(x)??()g(x<
br>的解集的区间端点值要么是函数
y?f(x)和y=g(x)
的公共定义域的区间端点值
,要么是相应方程
f(x)?g(x)
的解。
5.
数形结合是重要的数学思想方法,借助函数的图象,再结合分
析、推理来解决与函数有关的问题。
6. 函数的思想方法贯穿于高中数学理论和应用的各个侧面,解题
时,一般据题意先建立目标
函数,而后通过对函数性质的研究加以解
决。
7.
解复杂的方程或不等式时,注意换元化归,分类讨论。
例题解析
函数问题方程化
mx
2
?8x?n
1、已知函数
f(x)?log
3
的定义域为R,值域为[0,2],求
x
2
?1
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实数
m
、
n
。
设
t?
mx<
br>2
?8x?n
x?1
2
,则1?t?9,又由t(x
2
?1)?mx
2
?8x?n得(t?m)x
2
?8x?t?n?0
?x?R,???64?4(t?m)(t?n)?0即t
2
?(m?n)t?mn?
16?0,?1?t?9
?m?n?10且mn?16?9.解得m?n?5
方程问题函数化
1、方程lgx+x=3的解所在区间为. ()
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞)
2.如果关于的方程
根大于1,求实数的取值范围.
方程
象与轴交点的横坐标.
原方程有一个根小于-1,另一个根大于1的充要条件是函数y=
f(x)
的图象与轴有两个交点分别在区间(-∞,-1)及(1,+∞)上.
由于y=f(x)的图象是开口向上的抛物线,因此以
上条件等价于
即
3、若关于x的方程lg(x
2
+20x)-lg(8x-6a-3)=0
有惟一的实
根,求实数a的取值范围.
解得
的实根即是的图
有一个根小于-1,另一个
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原方程等价于
x
2
+20x>0,x
2
+20x=8x-6a-3,
即:x<-20或x>0,①x
2
+12x+6a+3=0. ②
令f(x)=x
2
+12x+6a+3.
(1)若抛物线y=f(x)与x轴相切,有
Δ=144-4(6a+3)=0,即a=(11/2).
将a=(11/2)代入②,得x=-6,不满足①.
∴a≠(11/2).
(2
)若抛物线y=f(x)与x轴相交(如图2-12),注意到其
对称轴为x=-6,故交点的横坐标有
且仅有一个满足①的充要条件为
图2-12
f(-20)≥0,
f(0)<0,
解得-(163/6)≤a<-(1/2).
∴当-(163/6)≤a<-(1/2)时,原方程有惟一解.
数型结合思想
上面方程可以等价于
x
2
+20x=8x-6a-3(x<-20或x>0). ③
问题转化
为:求实数a的取值范围,使直线y=8x-6a-3与抛物
线y=x
2
+20x(x
<-20或x>0)有且仅有一个公共点.
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虽然这两个函数的图象都很明确,但在什么情况下它们有且仅有
一个公共点,却并不明显.
如果把方程③稍作变形,如
x
2
+12x+3=-6a(x<-20或x>0).
再在同一直角坐标系中
分别作出抛物线y=x
2
+12x+3(x<-20
或x>0)和直线y=-6a,如
图2-13所示.
当且仅当3<-6a≤163,即-(163/6)≤a<-(1/2)时,直线与
抛物线仅有一个公共点.
∴当-(163/6)≤a<-(1/2)时,原方程有惟一的实根.
第七节
函数与不等式
1-7-1理论思想
1、不等式的性质及均值定理等重
要不等式,是求解函数定义域、
值域、判断函数单调性以及求解函数最值问题的有力工具
2、利用函数的单调性,是求解比较大小问题或进行某些不等式
证明的重要途径
3、函数的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想以及函数
、
方程、不等式之间的相互转化,是灵活处理函数与不等式问题的基本
的思想和方法。
例题解析
1、解关于x的不等式
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分析一:这是解无理不等式,一般思路是化无理不等式为有理不等式
解一:原不等式
1. 当a>0时:I)
II)
a,0]
2. a<0时
∴a>0时原不等式的解集为[-
I)
II)
∴a<0时,原不等式的解集为
3.a=0时,原不等式化为
此时解集为
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分析二:用数形结合解不等式
解二:在同一直角坐标系XOY中作曲线C:
y=2x+a
,作直线
l:
由得∴
如图(3)得a>0时,原不等式的解集为[-a,0]
如图(4)得,a<0时,原不等式的解集为
当a=0时,解法同解法一(略)
例3.若对于任意实数x,不等式
恒成立,求a的取值范围。
分析一:
系数较繁,但有联系,先换元,化简不等式。令t=,
则原不等式化为:(3+t)x
2
-2tx+2t>0
令f(x)=(3+t)x
2
-2tx+2t考
察二次函数f(x)的图象知: 得
t>0
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∴ >0 得
0<a<1,即a的取值范围为 0<a<1。
凸函数的概念:
【定义】如果函数f
(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都
有(f(x1)+f(x2))2>=f((x1+x2
)2),那么f(x)为凹函数,或下凸函
数。
【定义】如果函数f(x)满足对定义域
上任意两个数x1,x2都
有(f(x1)+f(x2))2<=f((x1+x2)2),那么f(x
)为凸函数,或上凸函
数。
同样,如果不等式中等号只有x1=x2时才成立,我们分别称
它们为严格的凹凸函数
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