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高中数学函数总结大全

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 14:42
tags:高中数学函数

高中数学必考纲要求-高中数学双曲线定值定点例题


一次函数
一、定义与定义式:
自变量x和因变量y有如下关系:
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。

特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。
即:y=kx (k为常数,k≠0)

二、一次函数的性质:
的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即:y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)
2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质:
1.作法与图形:通过如下3个步骤
(1)列表;
(2)描点;
(3)连线,可 以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,
并连成直线即可。(通常 找函数图像与x轴和y轴的交点)
2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x, y),都满足等式:y=kx+b。(2)
一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于 (-bk,0)正比例函数的图像总
是过原点。
3.k,b与函数图像所在象限:

当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
当b>0时,直线必通过一、二象限;
当b=0时,直线通过原点
当b<0时,直线必通过三、四象限。

特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式:
已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数 上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出
2个方程:y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。



五、一次函数在生活中的应用:
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f 一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有
水量S。g=S-ft。

六、常用公式:(不全,希望有人补充)
1.求函数图像的k值:(y1-y2)(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|2
3.求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|2
4.求任意线段的长:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)
的平方和)

二次函数

I.定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时 ,开口方向向上,a<0时,
开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,Ia I越小开口就越大.)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ,0)和 B(x?,0)的抛
物线]
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b2a k=(4ac-b^2)4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x = -b2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为
P ( -b2a ,(4ac-b^2)4a )
当-b2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。


4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的
值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
V.二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
即ax^2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=a x^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形
状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表 :
解析式 顶点坐标 对 称 轴
y=ax^2 (0,0) x=0
y=a(x-h)^2 (h,0) x=h
y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h
y=ax^2+bx+c (-b2a,x=-b2a
[4ac-b^2]4a)

当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向 右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得
到y=a(x-h)^2 +k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得 到
y=a(x-h)^2+k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h |个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k
的图象;
当h<0,k <0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到
y=a(x-h)^2+ k的图象;
因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式 化为y=a(x-h)^2+k的
形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这 给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开 口向上,当a<0时开口向下,对称轴
是直线x=-b2a,顶点坐标是(-b2a,[4ac-b^2 ]4a).
3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b2a时,y随x的增大而减小;当x ≥
-b2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x ≤ -b2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b2a
时,y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);


(2)当△=b^2-4 ac>0,图象与x轴交于两点A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二
次方程a x^2+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在 x轴的上方,x为任何实数时,都有
y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有 y<0.
5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b2a时,y最小(大)值
=(4ac-b^2)4a.
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一
般形式:
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称 轴时,可设解析式为顶点式:
y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)当题给条 件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x?)(x-x
?)(a≠ 0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二 次
函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.

反比例函数
形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数,叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质:
反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数,有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。
另外,从反比 例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作
垂线,这点、两个垂足及原 点所围成的矩形面积是定值,为∣k∣。
如图,上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。
当K>0时,反比例函数图像经过一,三象限,是减函数
当K<0时,反比例函数图像经过二,四象限,是增函数

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交。
知识点:
1.过反 比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的
面积为| k |。
2.对于双曲线y=k/x ,若在分母上加减任意一个实数 (即 y=k/(x±m)m为常数), 就
相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移,减一个数时向右平移)

对数函数
对数函数的一般形式为 ,它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于a的规定,
同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:


可以看到对数函数的图形只不过 的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互
为反函数。
(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2)对数函数的值域为全部实数集合。
(3)函数总是通过(1,0)这点。
(4)a大于1时,为单调递增函数,并且上凸;a小 于1大于0时,函数为单调递减函数,
并且下凹。
(5)显然对数函数无界。

指数函数
指数函数的一般形式为 ,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个
实数集合为定义域,则只有使得
如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
可以看到:
(1) 指数函数的定 义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情
况,则必然使得函数的定义域不存 在连续的区间,因此我们不予考虑。
(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3) 函数图形都是下凹的。
(4) a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。
(5) 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),
函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴
的正半轴与X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个
过渡位置。
(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
(7) 函数总是通过(0,1)这点。
(8) 显然指数函数无界。
奇偶性
注图:(1)为奇函数(2)为偶函数
1.定义
一般地,对于函数f(x)
(1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫 做奇
函数。
(2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那 么函数f(x)就叫做偶函
数。
(3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x) =-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函
数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又 偶函数。
(4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f (x)都不能成立,那么
函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。
说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称 ,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这
个函数一定不是奇(或偶)函数。
(分析 :判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、
偶性的定义经过化简 、整理、再与f(x)比较得出结论)
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
2.奇偶函数图像的特征:
定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。


f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称
点(x,y)→(-x,-y)
奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数 在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。
3. 奇偶函数运算
(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数.
(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.
(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
(5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

定义域
(高中函数定义)设A,B是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中
的任意一 个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A--B为集合A到
集合B的一 个函数,记作y=f(x),x属于集合A。其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作
函数的定义域;
值域
名称定义
函数中,应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数 学中是函数在定义域中应变
量所有值的集合
常用的求值域的方法
(1)化归法;(2)图象法(数形结合),
(3)函数单调性法,
(4)配 方法,(5)换元法,(6)反函数法(逆求法),(7)判别式法,(8)复合函数法,
(9)三角代 换法,(10)基本不等式法等
关于函数值域误区
定义域、对应法则、值域是函数构造的 三个基本“元件”。平时数学中,实行“定义域优先”
的原则,无可置疑。然而事物均具有二重性,在强 化定义域问题的同时,往往就削弱或谈化
了,对值域问题的探究,造成了一手“硬”一手“软”,使学生 对函数的掌握时好时坏,事
实上,定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄皮,何况它们二者随 时处于互相转
化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限集的
话,那么求函数值域不总是容易的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,还必须联系函
数的 奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案,从这个
角度来讲,求值域 的问题有时比求定义域问题难,实践证明,如果加强了对值域求法的研究
和讨论,有利于对定义域内函的 理解,从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”相同吗?
“范围”与“ 值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念,许多同学常常将它们混为一谈,
实际上这是两个不同的概念 。“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个
函数的取值),而“范围”则只是满足某 个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一
定都满足这个条件)。也就是说:“值域”是一个“范 围”,而“范围”却不一定是“值域”。

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