高中数学函数要点

函数
1.函数的定义
（1）映射的定义：








(2) 一一映射的定义：










上面中是映射的是_____________,是一一映射的是____________。
(3)函数的定义：（课本第一册上.P51）
2.函数的性质
（1）定义域：（南师大P32复习目标）
（2）值域：
（3）奇偶性（在整个定义域内考虑）
①定义：
②判断方法：Ⅰ.定义法 步骤：a.求出定义域；
b.判断定义域是否关于原点对称；
c.求
f(?x)
；
d.比较
f(?x)与f(x)
或
f(?x)与?f(x)
的关系。
Ⅱ图象法
③已知：
H(x)?f(x)g(x)

若非零函数
f(x ),g(x)
的奇偶性相同，则在公共定义域内
H(x)
为偶函数
若非零函 数
f(x),g(x)
的奇偶性相反，则在公共定义域内
H(x)
为奇函数
④常用的结论：若
f(x)
是奇函数，且
0?定义域
，则
f (0)?0或f(?1)??f(1)
；

若
f(x)
是偶函 数，则
f(?1)?f(1)
；反之不然。
（4）单调性（在定义域的某一个子集内考虑）
①定义：
②证明函数单调性的方法：
Ⅰ.定义法 步骤：
a.设
x
1
,x
2
?A且x
1
?x
2；
b.作差
f(x
1
)?f(x
2
)
；
（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）
c.判断正负号。
Ⅱ用导数证明： 若
f(x)
在某个区间A内有导数，
’
则
f(x)?0，（x?A)?
f(x)
在A内为增函数；
’

f(x)?0，（x?A)?
f(x)
在A内为减函数。
③求单调区间的方法：
a.定义法：
b.导数法：
c.图象法：
d.复合函数
y?f
?
g(x)
?
在公共定义域上的单调性：
若f与g的单调性相同，则
f
?
g(x)
?
为增函数；
若f与g的单调性相反，则
f
?
g(x)
?
为减函数。
注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。
④一些有用的结论：
a.奇函数在其对称区间上的单调性相同；
b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；
c.在公共定义域内
增函数
f(x)?
增函数
g(x)
是增函数；
减函数
f(x)?
减函数
g(x)
是减函数；
增函数
f(x)?
减函数
g(x)
是增函数；
减函数
f(x)?
增函数
g(x)
是减函数。
d.函数
y?ax?
b
(a?0,b?0)
在
??,?ab或ab, ??
上单调递增；在
x
?
??
?
?
?ab,0或0 ，ab
上是单调递减。
??
?

（5）函数的周期性
定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使
f(x?T)?f(x)
恒成立
则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
0
?
上是增函数，且
f(x?2)??f(x)
例：（1）若函数
f(x)
在R上是奇函数，且在
?
?1，
则①
f(x)
关于 对称；②
f(x)
的周期为 ；
③
f(x)
在（1，2）是 函数（增、减）；
（0，1）时，f(x)
=
2
x
，则
f(log
1
)?
。 ④
若x?
2
18
（2）设
f( x)
是定义在
(??,??)
上，以2为周期的周期函数，且
f(x)
为偶函数，
在区间[2，3]上，
f(x)
=
?2(x?3)?4
,则
x?[0,2]时，
f(x)
= 。
3、函数的图象
1、基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比 例函数、（4）指数函数、
（5）对数函数、（6）三角函数。
2、图象的变换
（1）平移变换
①函数
y?f(x?a),(a?0)
的图象是 把函数
y?f(x)的图象沿x轴
向左
平
2
移a个单位得到的
；
②函数
y?f(x?a),(a?0)
的图象是把函数
y?f(x)的 图象沿x轴
向
右平
移a个单位得到的
；
③函数
y?f(x )?a,(a?0)
的图象是把函数
y?f(x)的图象沿y轴
向上
平
移a个单位得到的
；
④函数
y?f(x)?a,(a?0)
的图象是把函 数
y?f(x)的图象沿y轴
向下
平
移a个单位得到的
。
（2）对称变换
①函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于直线x=0对称； < br>函数
y?f(x)
与函数
y??f(x)
的图象关于直线y=0对称；
函数
y?f(x)
与函数
y??f(?x)
的图象关于坐标原点对称 ；

②如果函数
y?f(x)
对于一切
x?R,
都有
f(x?a)?f(x?a)
，那么
y?f(x)

的图象关于直线
x?a
对称。
③函数
y?f(a?x)
与 函数
y?f(a?x)
的图象关于直线
x?a
对称。
④
y?f(x)
?
y?f(x)











⑤
y?f(x)
?
y?f(x)











⑥
y?f
?1
(x)
与
y?f(x)
关于直线
y?x
对称。
（3）伸缩变换
①
y?af(x),(a?0)
的图象，可将
y?f(x)
的图象上的每一点的纵坐标伸长
(a?1)
或缩 短
(0?a?1)
到原来的
a
倍。
②
y?f(ax),( a?0)
的图象，可将
y?f(x)
的图象上的每一点的横坐标伸长
1
(0?a?1)
或缩短
(a?1)
到原来的倍。
a
例：（1）已 知函数
y?f(x)
的图象过点（1，1），则
f(4?x)
的反函数的图象 过
点 。

x
（2）由函数
y?()的图象，通过怎样的变换得到
y?log
2
的图象？
1
2
x
4、函数的反函数
1、求反函数的步骤：
①求原函数
y?f(x)
，
(x?A)
的值域B
②把
y?f(x)
看作方程，解出
x??(y)
；
③x，y互换的
y?f(x)
的反函数为
y?f
2、函数与反函数之间的一个有用的结论：
f
?1
(x)
，
(x?B )
。
(a)?b?f(b)?a

?1
3、原函数
y ?f(x)
在区间
[?a,a]
上单调递增，则一定存在反函数，且反函数
y ?f
?1
(x)
也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。
(1?x)
例1：
y?3log
2
，
(x?0)
的反函数为 。
2
2：已知
f(x)?x?2x?3,(x?0)
，求
y ?f(2x?1)
的反函数。
3：设
f(x)?9?2?3,则f
xx?1
(0)?
。
4：四十五分钟能力训练题十（13题）。
5、函数、方程与不等式
1、“实系数一元二次方程
ax?bx?c?0
有实数解”转化为“
??b?4ac? 0
”，你
是否注意到必须
a?0
；当
a
=0时，“方程有解 ”不能转化为
??b?4ac?0
。若
原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式 ，你是否考虑到二次项系数可能为
零的情形？
2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。
设
x
1
,x
2
为方程
f(x)?0,(a?0)
的两个实根。

①若
x
1
?m,x
2
?m,
则


②当在区间
(m,n)
内有且只有一个实根，时，




2
22
?f(m)?0
；
?
(1) f(m)?f(n)?0
?
?
?
(2)考虑端点，验证端点。

③当在区间
(m,n)
内有且只有两个实根时，







?
??0
?
b
?
m???n
?
?
?
2a
?
f(m)?0
?
?
?
f(n)?0
④若
m?x
1
?n?p?x
2
?q
时



?

f

(

m

)

?

f

(n)?0
?
?

?
f(p)?f(q)?0




注意：①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。
②注意端点，验证端点。
例：1、对于定义在R上的函数
f(x)?
4x? m
,
若其所以的函数值都不超过1，
x
2
?1
a?
。
则m的取值范围 。
2、已知函数
y?log
2
3、若关于x的方程
2
1
[ax
2
?(a?x)?]
4
的定义域是一切实数，则
2x
?2
x
?a?a?1?0
有实根，则
a?
。
4、设集合A=
xx
2
?4x?3?0
，B是关于x的不等 式组
2
?
?
x?2x?a?0
的解集，试确定
a
的 取值范围，使
A?B
。
?
2
?
?
x?2(a?7)x?5?0
??
5、已知方程
x?mx?m?1?0
的两个根为一个三角形两内角的正切值，
试求m
的取值范围。








2